挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題詳解

目錄

第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題

因動點產(chǎn)生的相似三角形問題

例1

上海市中考第24題

例2

蘇州市中考第29題

例3

例4黃岡市中考第25題

例義烏市中考第題

524

例臨沂市中考第題

626

蘇州市中考第29題

L2

因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題

例1

上海市虹口區(qū)中考模擬第25題

例2

揚州市中考第27題

例3

臨沂市中考第題

例426

例5湖州市中考第24題

例6鹽城市中考第28題

例7南通市中考第27題

江西省中考第25題

L3

因動點產(chǎn)生的直角三角形問題

例1

山西省中考第26題

例2

廣州市中考第24題

例3

杭州市中考第題

例422

例5浙江省中考第23題

北京市中考第題

例624

例7嘉興市中考第24題

河南省中考第23題

L4

因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題

例1

上海市松江區(qū)中考模擬第24題

例2

福州市中考第21題

例3

煙臺市中考第題

例426

例5上海市中考第24題

例6江西省中考第24題

例7山西省中考第26題

江西省中考第題

L524

因動點產(chǎn)生的梯形問題

例1

上海市松江中考模擬第24題

例2

衢州市中考第24題

例4

義烏市中考第24題

傷

I?5

-杭州市中考第24題

仞I?I7

?廣州市中考第25題

16

?因動點產(chǎn)生的面積問題

傷I-1

T蘇州市中考第29題

仞2

?I|荷澤市中考第21題

傷3

》

d河南省中考第23題

傷u4

I.南通市中考第28題

傷5

》

I一廣州市中考第25題

傷6

.

I?揚州市中考第28題

傷.7

I.蘭州市中考第29題

1.7

因動點產(chǎn)生的相切問題

傷1

-

I2上海市楊浦區(qū)中考模擬第25題

仞T

3河北省中考第25題

傷?I|

■無錫市中考第28題

18

I?

T1因動點產(chǎn)生的線段和差問題

傷

2天津市中考第25題

傷

3濱州市中考第24題

傳d

u山西省中考第26撅

第二部分圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題

2.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題

例1寧波市中考第26題

例2上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題

例3連云港市中考第26題

例4上海市中考第25題

22

由面積公式產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題

例1

荷澤市中考第21題

例2

廣東省中考第22題

例3

例河北省中考第26題

4

淮安市中考第題

例28

5

例山西省中考第26題

6

重慶市中考第26題

第三部分圖形運動中的計算說理問題

3.1代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進(jìn)行說理問題

例1南京市中考第26題

例2南昌市中考第25題

3.2幾何證明及通過幾何計算進(jìn)行說理問題

例1上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題

例2江西省中考第24題

第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題

1.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題

例1上海市中考第24題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為M的拋物線)，=底+云(a>0)經(jīng)過點A

和x軸正半軸上的點5,AO=BO=2,NAO8=120°.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)連結(jié)OM,求N40M的大小：

(3)如果點C在x軸上，且△4BC與△40M相似，求點C的坐標(biāo).

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點。在

點B的右側(cè)，有兩種情況，△ABC與△4OM相似.

請打開超級畫板文件名“13上海24”，拖動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在

點8的右側(cè)，有兩種情況，△ABC與4人?！ㄏ嗨?點擊按鈕的左部和中部，可到達(dá)相似的

準(zhǔn)確位置。

思路點核

1.第(2)題把求NAOM的大小，轉(zhuǎn)化為求N80M的大小.

2.因為N8OM=NA8O=30°,因此點。在點8的右側(cè)時，恰好有NABC=NAOM.

3.根據(jù)夾角相等對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論△ABC與△AOM相似.

滿分解答

(1)如圖2,過點A作A”！)，軸，垂足為H.

在Rtz^AO”中，A0=2,ZAOH=30°,

所以4”=1,0/7=73.所以A(-l,6).

因為拋物線與x軸交于08(2,0)兩點，

設(shè)y=ax(x—2),代入點A(-1,73),可得

百

ci=—.圖2

3

所以拋物線的表達(dá)式為y=^x(x-2)=與x?—當(dāng)x.

⑵由丫=受苧邛(1)2-冬

得拋物線的頂點M的坐標(biāo)為(1,—亨).所以tanNB0M=與.

所以NBOM=30°.所以NAOM=150°.

(3)由A(-l,揚8(2,0)M(L-烏，

得tan/A80=且，4B=2石，OM.

33

所以N48O=30°,—=>^.

OM

因此當(dāng)點C在點B右側(cè)時，/ABC=/4OM=150°.

△ABC與A40M相似，存在兩種情況：

①如圖3,當(dāng)?shù)?=*=石時，3C=絲=￥=2.此時C(4,0).

BCOM66

②如圖4,當(dāng)空=*=6時，BC=GB4=GX2J5=6.此時C(8,0).

BAOM

考點伸展

在本題情境下，如果△ABC與△80M相似，求點C的坐標(biāo).

如圖5,因為△80M是30°底角的等腰三角形，NA5O=30°,因此△ABC也是底角

為30°的等腰三角形，AB=AC,根據(jù)對稱性，點C的坐標(biāo)為（一4,0）.

圖5

例2蘇州市中考第29題

如圖1,已知拋物線y=_Lf-j_s+］）x+2（b是實數(shù)且0>2）與X軸的正半軸分別交

444

于點A8（點4位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C.

（1）點8的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為（用含b的代數(shù)式表示）；

（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC

是以點尸為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點尸的坐標(biāo)；如果不存在，請說

明理由；

（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使得△QCOZXQOA和△QA8中的任

意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點。的坐標(biāo)；如果

不存在，請說明理由.

動成體歌

請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點8在x軸的正半軸上運動，可以體驗到,

點尸到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PC06的面積等于2人的時刻.雙擊按鈕“第（3）

題”，拖動點B,可以體驗到，存在N0Q4=N8的時刻，也存在/。。乂=/8的時刻.

思路點撥

1.第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點尸到兩坐標(biāo)軸的距離相等.

2.聯(lián)結(jié)0尸，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子

表示.

3.第（3）題要探究三個三隹形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點。

最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上.

滿分解答

（1）B的坐標(biāo)為（A0）,點C的坐標(biāo)為（0,-）.

4

（2）如圖2,過點P作尸。lx軸，尸軸，垂足分別為OE,那么△PDBg△PEC.

因此PD=PE.設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,x）.

如圖3,聯(lián)結(jié)OP.

所以S酬邊形PCOB=S^pco+S^P8o=—x—x+—xb-x=—bx=2b.

2428

解得x=所以點P的坐標(biāo)為（史,3）.

555

圖2圖3

(3)由y=442一，s+])x+2=_L(x-])(x-b),得A(1,O),OA=\.

4444

①如圖4,以。40C為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC那么△OQCg/XQOA.

當(dāng)絲=0即QA2=BA.OA時，XBQAsXQOA.

QAOA

所以(分“_|.解得人=8±4&.所以符合題意的點。為(1,2+6).

4

②如圖5,以。。為直徑的圓與直線x=l交于點。，那么/。。。=90°。

因此△0CQSZ\QQ4.

當(dāng)空=出時，XBQAs4QOA.此時NOQ8=90。.

QAOA

所以C08三點共線.因此空=怨，即2=0.解得04=4.此時。(1,4).

COOAb\

考點伸展

第(3)題的思路是，ACO三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而NQO4與/

QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況.

這樣，先根據(jù)△QOA與△QOC相似把點。的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比

例確定點B的位置.

如圖中，圓與直線x=l的另一個交點會不會是符合題意的點。呢？

如果符合題意的話，那么點8的位置距離點A很近,這與O5=4OC矛盾.

例3黃岡市中考模擬第25題

如圖1,已知拋物線的方程C1：)，=一,。+2)。一〃?)(機(jī)＞0)與4軸交于點BC,與y

m

軸交于點E,且點5在點C的左側(cè).

(1)若拋物線C1過點M(2,2),求實數(shù)m的值；

(2)在(1)的條件下，求ABCE的面積：

(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點”，使得最小，求出點”

的坐標(biāo)；

(4)在第四象限內(nèi)，拋物線。上是否存在點八使得以點BC/為頂點的三角形與△

BCE相似？若存在，求相的值；若不存在，請說明理由.

圖1

動感體瞼

請打開幾何畫板文件名“12黃岡25"，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可

以體驗到，EC與B/保持平行，但是NBFC在無限遠(yuǎn)處也不等于45°.觀察右圖，可以體

驗到，NQ5尸保持45°,存在N8FC=N5CE的時刻.

思路點撥

1.第(3)題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)“落在線段EC上時，BH+EH最小.

2.第(4)題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF,作NCBF=NEBC=45°,或

者作BF//EC.再用含用的式子表示點尸的坐標(biāo).然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)

于m的方程.

滿分解答

(1)將M(2,2)代入y=一~—(x+2)(x-m)?得2=—■-x4(2-m)-解得m=4.

mm

(2)當(dāng)〃?=4時，了=_；(X+2)(工一4)=一；/+；工+2.所以C(4,0),E(0,2).

所以SMCE=LBCOE=」X6X2=6.

22

(3)如圖2,拋物線的對稱軸是直線x=l,當(dāng)“落在線段EC上時，BH+EH最小.

設(shè)對稱軸與x軸的交點為P,那么空=型.

CPCO

因此與=:.解得=所以點H的坐標(biāo)為(12).

(4)①如圖3,過點B作EC的平行線交拋物線于尸，過點尸作尸尸J_x軸于尸.

由于N8CE=NPBC,所以當(dāng)臣=空，BPBC2=CEBF\H,ABCE^AFBC.

CBBF

i1717,pc-(x+2)(x—tn),

設(shè)點尸的坐標(biāo)為a,_La+2)a—m)),由±土=絲，得理------------=上.

mBF'COx+2m

解得x=〃i+2.所以F'(m+2,0).

由空="，得mfn+4.所以8戶=（用+4）加三

CEBF\jm2+4BFtn

由BC:CEBF,得(〃?+2)2=加?+4x?！ㄊ痈?,

由于NE8C=NCBF,所以些=g￡,即BC?=BEBF時,△BCEsgFC.

BCBF

在RtaBFF中，由尸F(xiàn)=BF',得上（％+2）（彳一6）=x+2.

m

解得x=2m.所以F'（2皿0）.所以BF'=2/n+2,BF=>/2（2m+2）.

由BC'BEBF,得（冽+2）2=2&xVI（2m+2）.解得加=2±2&.

綜合①②，符合題意的/〃為2+2\/^.

考點伸根

第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點尸尸的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間的距離公式求

的長.

例4義烏市中考第24題

如圖1,已知梯形0A8C,拋物線分別過點0(0,0)(2,0)B(6,3).

(1)直接寫出拋物線的對稱軸解析式及頂點”的坐標(biāo)；

(2)將圖1中梯形Q48C的上下底邊所在的直線OAC8以相同的速度同時向上平移，

分別交拋物線于點OiAGB”得到如圖2的梯形設(shè)梯形物亂于的面積為S,

A]Bi的坐標(biāo)分別為(汨，yi)(X2，72).用含S的代數(shù)式表示X2-x\f并求出當(dāng)5=36時點A\

的坐標(biāo)；

(3)在圖1中，設(shè)點。的坐標(biāo)為(1,3),動點P從點8出發(fā)，以每秒1個單位長度的

速度沿著線段8C運動，動點。從點。出發(fā)，以與點尸相同的速度沿著線段。M運動.PQ

兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點M時，PQ兩點同時停止運動.設(shè)PQ兩點的運動時間為人

是否存在某一-時刻，，使得直線PQ直線ABx軸圍成的三角形與直線PQ直線AB拋物線的

動威體驗

請打開幾何畫板文件名“10義烏24"，拖動點/上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗

到，及一內(nèi)隨S的增大而減小.雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點。在?！鄙线\動，可以體驗

到，如果NG4/=NGQE,那么Z\G4/與△GQE相似.

思路點饃

1.第(2)題用含S的代數(shù)式表示及一加，我們反其道而行之，用即，X2表示S.再注

意平移過程中梯形的高保持不變，即”一》=3.通過代數(shù)變形就可以了.

2.第(3)題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位

置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證.

3.第(3)題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線A8與拋物

線的對稱軸的夾角不變.變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點G在x軸

的下方，或者假設(shè)交點G在x軸的上方.

滿分斛答

⑴拋物線的對稱軸為直線d解析式為尸卜』，頂點為土.

(2)梯形OM⑻G的面積S二獨心咨二史坦=3(%+%)-6,由此得到

x

X14-x2=—I-2.由于%—丁1=3，所以丁2一丁1二一若—2—芍*|—$=3.整理，得

3"~8~4~84

1172

“2一百)-(X2+^)--=3.因此得到工2一玉=一?

x^+x.=14,fx=6,

當(dāng)S=36時，解得4c此時點4的坐標(biāo)為(6,3).

x2-x1=2.[^2=8.

(3)設(shè)直線48與尸。交于點G,直線43與拋物線的對稱軸交于點E,直線PQ與x

軸交于點凡那么要探求相似的aGA尸與△GQE,有一個公共角NG.

在△GE。中，NGE。是直線A8與拋物線對稱軸的夾角，為定值.

在△GA尸中，NG4戶是直線與x軸的夾角，也為定值，而且NGEQWNG4F.

因此只存在NGQE=NGA產(chǎn)的可能，△GQE^AGAF.這時NG4F=NGQE=NPQO.

由于tan/GA尸=3,tanNPQ。=強=一二，所以3=_!_.解得f=22.

4QP5-t45-t7

圖3圖4

考點伸展

第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4,假如存在，說理過程相同，求得

的,的值也是相同的.事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3.

例5臨沂市中考第26題

如圖1,拋物線經(jīng)過點44,0)8(1,O)C(0,一2)三點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上的一個動點，過P作軸，垂足為是否存在點P,使得以

為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由；

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點F在拋物線上運動,可以體驗到，△用M

的形狀在變化，分別雙擊按鈕“尸在8左側(cè)”“P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯

示與△04。相似的三個情景.

雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點。在x軸上方的拋物線上運動，觀察△OCA的形狀和面

積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，△DCA的面積最大.

思路點撥

1.已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便.

2.數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長.

3.按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程.

4.把△OCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA.

滿分斛答

(1)因為拋物線與x軸交于A(4,0)8(1,0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x-l)(x-4),代入點。的坐標(biāo)(0,-2),解得〃=所以拋物線的解析式為

y=-^(x-l)(x-4)=--x2+-X-2

(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為3,一一(x-l)(x-4)).

2

①如圖2,當(dāng)點尸在x軸上方時，1VXV4,

-i(x-l)(x-4)

AM旦2,

如果那么'------------=2.解得x=5不合題意.

~PMCO4-x

-i(x-l)(x-4)

如果四二.」

那么'------------=-解得x=2.

PMCO24-x2

此時點P的坐標(biāo)為(2,1).

②如圖3,當(dāng)點P在點4的右側(cè)時，x＞4,PA^=-(x-l)(x-4),=

2

i(x-l)(x-4)

解方程2-----------=2,得x=5.此時點P的坐標(biāo)為(5,-2).

x-4

i(x-l)(x-4)

解方程2-----------=-,得x=2不合題意.

x-42

③如圖4,當(dāng)點P在點8的左側(cè)時，xVl,PiW=-(x-l)(x-4),AM=4-x.

2

解方程2-----------=2,得x=-3.此時點。的坐標(biāo)為(-3,-14).

4-x

彳(x-l)(x-4).

解方程2-----------=-,得x=0.此時點P與點0重合，不合題意.

4—x2

綜上所述，符合條件的點P的坐標(biāo)為(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

設(shè)點O的橫坐標(biāo)為相(1＜加＜4),那么點。的坐標(biāo)為(加,-,m2+*加-2),點E的

22

11511

坐標(biāo)為(九一相一2).所以DE=(——m9~+—w-2)-(―w-2)=——m9~+2m.

22222

122

因此SSAC=-I"/+2旭)x4=-m+4/n=-(m-2)+4.

當(dāng)〃7=2時，△OCA的面積最大，此時點。的坐標(biāo)為(2,1).

圖5圖6

考點伸展

第(3)題也可以這樣解：

如圖6,過。點構(gòu)造矩形OAMN,那么△004的面積等于直角梯形CAMN的面積減去

△CDV和△AOM的面積.

設(shè)點。的橫坐標(biāo)為(川，〃)(1<m<4),那么

S=—(2〃+2)x4--m(n+2)-—〃(4-m)=-m-2〃+4.

222

由于〃=一工加2+』〃?一2,所以S=-/??+4根.

22

例6蘇州市中考第29題

如圖1?拋物線】)(l一5)與工■的交點為M、N.直+b與工■交于

P(-2.0)?與v軸交于C.若A、B兩點在直線y?*工+。上?且AO-BO-^.AO±BO.

D為線段MN的中點.OH為Rt^OPC斜邊上的高.

(DOH的長度等于▲▲?6=▲.

(2)是否存在實數(shù)明使得拋物線N-aa+D《工一5》上有一點E,滿足以D、N、E為夜氤的

三角形與AAOB相似？

若不存在，說明理由：若存在?求所有符合條件的觸物線的解析式,同時探索所求得的拋

物線上是否還有符合條件的￡點(簡要說明理例九并迸一步探索對符合條件的每一個

E點.真線NE與直線A8的交點G是否總滿足PB-PGV10&.寫出探索過程.

動威體徐

請打開幾何畫板文件名“08蘇州29”，拖動表示。的點在)，軸上運動，可以體驗到，當(dāng)

拋物線經(jīng)過點后和后時，直線NE|N￡和直線月8交于同一個點G,此時△POBsaPGN.當(dāng)

拋物線經(jīng)過點場和反時，宜線NEW昌和直線48交于同一個點G,可以體驗到，這個點G

在點N右側(cè)較遠(yuǎn)處.

思路點核

1.求等腰直角三角形OAB斜邊上的高O”,解直角三角形尸0〃求他的值.

2.以O(shè)N為邊畫正方形及對角線，可以體驗到，正方形的頂點和對角線的交點中，有

符合題意的點￡寫出點E的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出乙

3.當(dāng)E在x軸上方時，NGNP=45°,/\POB^APGN,把PRPG轉(zhuǎn)化為

POPN=14.

4.當(dāng)上在x軸下方時，通過估算得到P3-PG大于10啦.

滿分解答

(1)0/7=1,k=—,b=—.

33

(2)由拋物線的解析式y(tǒng)=?x+l)(x-5),得

點M的坐標(biāo)為(—1,0),點N的坐標(biāo)為(5,0).

因此MN的中點。的坐標(biāo)為(2,0),DN=3.

因為aAOB是等腰直角三角形，如果AONE與△A08相似，那么也是等腰直角

三角形.

①如圖2,如果。N為直角邊，那么點上的坐標(biāo)為昂(2,3)或反(2,-3).

將昌(2,3)代入y=〃(x+l)(x-5),求得白=一工.

此時拋物線的解析式為y=—；(x+l)(x—5)=—；x2+gx+g.

將E2(2,—3)代入)，=。*+1)。-5),求得。=g.

此時拋物線的解析式為>=g(%+D(x-5)=1x2-^x-1.

②如果DN為斜邊，那么點E的坐標(biāo)為&(3,,J)或&(3±-J).

2222

119

將員(35，15)代入〉=4(1+1)(工一5),求得4二一§.

27X1()

此時拋物線的解析式為y=--(x+l)(x-5)=--x2+-x+y.

11?

將￡4(3--1耳)代入y=a(x+l)(x-5),求得。二一.

noR10

此時拋物線的解析式為y=](%+l)(X-5)=|x2-^X-y.

圖2圖3

對于點E為?(2,3)和田(32,J)，直線NE是相同的，NENP=45°.

22

又/。60=45°，NP=NP,所以6s△PGM

因此尸B?PG=PO?尸N=2x7=14v10后.

對于點E為Ez(2,-3)和反(3士一1,)，直線NE是相同的.

22

此時點G在直線x=5的右側(cè)，PG>—V3.

3

又PB>±6所以PBPG>VgxW6=14x±>10V^.

3333

考點伸展

在本題情景下，怎樣計算的長？

如圖3,作A/_LA3交OF于F,那么△OBCMAOAF,OF=OC=-6，PF=2—20,

33

以=母尸尸=亭(2-2百)=、行一1,所以23=百+1.

1.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題

例1上海市虹口區(qū)中考模擬第25題

如圖1,在RlZXABC中，ZA=90°,A8=6,AC=8,點。為邊的中點，DELBC

交邊4c于點E,點P為射線上的一動點，點。為邊AC上的一動點，且NPDQ=90°.

(1)求EDEC的長；

(2)若BP=2,求C。的長：

(3)記線段PQ與線段。石的交點為尸，若△尸。尸為等腰三角形，求BP的長.

劫感體驗

請打開幾何畫板文件名“13虹口25”,拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，APDM

與△QQN保持相似.觀察4PDF,可以看到，PF可以落在對邊的垂直平分線上，不存在

DF=DP的情況.

請打開超級畫板文件名“13虹口25”，拖動點尸在射線4B上運動，可以體驗到，叢PDM

與4QDN保持相似.觀察APDF,可以看到，PF可以落在對邊的垂直平分線上，不存在

DF=DP的情況.

思路點彼

1.第(2)題8P=2分兩種情況.

2.解第(2)題時，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系.

3.第(3)題探求等腰三角形PD尸時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三

角形CQ。.

滿分解答

(1)在RtZXABC中，4B=6,AC=8,所以BC=IO.

31595

在RiACDE中，8=5,所以石Z)=CDlanNC=5x2=U，EC=—.

444

(2)如圖2,過點。作OM_LA8,DNLAC,垂足分別為MM那么OMAN是

△A8C的兩條中位線，OM=4,DN=3.

由/PQQ=90°,NMDN=90°,可得NPOM=NQON.

因此△POMS/XQON.

①如圖3,當(dāng)BP=2,尸在BW上時，PM=1.

33319

此時。N=所以CQ=CN+QN=4+3==.

4444

②如圖4,當(dāng)BP=2,P在MB的延長線上時，PM=5.

3IS1531

此時QN=^PM=^.所以CQ=CN+QN=4+^=Z.

4444

（3）如圖5,如圖2,在RtzXPOQ中，匕11/。匹。="=里=3.

PDDM4

R43

在RtZ\4BC中，tanZC=—=-.所以NQPQ=/C.

C44

由NPOQ=90°,ZCDE=90°,可得NPDF=NCDQ.

因此△PQPS/\CQQ.

當(dāng)△「￡）尸是等腰三角形時，也。。。也是等腰三角形.

①如圖5,當(dāng)CQ=CO=5時，QN=CQ-CN=5—4=1（如圖3所示）.

4445

此時PM=—QN=—.所以32=3M—PM=3——=-.

3333

②如圖6,當(dāng)。。=。。時，日cosC=",可得。。=2+3=竺.

CQ258

2s7

所以QN=CN—CQ=4-==,（如圖2所示）.

88

47725

此時尸M二一QN=—.所以8P=6M+PM=3+-=—.

3666

考點伸展

如圖6,當(dāng)△8。是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△8QP也是等腰

三角形，PB=PD.在aBOP中可以直接求解3尸二

6

例2揚州市中考第27題

如圖1,拋物線尸江+區(qū)+c經(jīng)過A(—l,0)8(3,0)C(0,3)三點，直線/是拋物線的對稱

軸.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)點尸是直線/上的一個動點，當(dāng)△抬。的周長最小時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)在直線/上是否存在點M,使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合

條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

動感體驗

請打開幾何畫板文件名“12揚州27”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗

到，當(dāng)點P落在線段8。上時，以+PC最小，的周長最小.拖動點M在拋物線的對

稱軸上運動，觀察△MAC的三個頂點與對邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以看到，點例有

1次機(jī)會落在AC的垂直平分線上；點A有2次機(jī)會落在MC的垂直平分線上；點C有2次

機(jī)會落在M4的垂直平分線上，但是有1次M4C三點共線.

思路點撥

1.第(2)題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段8c上時△以。的周長最小.

2.第(3)題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性.

滿分解答

(1)因為拋物線與x軸交于4(一l,0)B(3,0)兩點，設(shè)'=°(3+1)(4—3),

代入點C(0,3),得一3a=3.解得〃=-1.

所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=-a+l)(X—3)=-/+2x+3.

(2)如圖2,拋物線的對稱軸是直線x=l.

當(dāng)點P落在線段8C上時，出+PC最小，△%C的周長最小.

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H.

由也=也，BO=CO,得尸H=BH=2.

BOCO

所以點尸的坐標(biāo)為(1,2).

(3)點M的坐標(biāo)為(1,1)(1,76)(1,-V6)^(1,0).

考點伸展

第(3)題的解題過程是這樣的：

設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,陽).

在△MAC中，AC2=\0,^=1+(///-3)2,AM2=4+m2.

①如圖3,當(dāng)MA=MC時，MA2=MC2.解方程4+/=1+(〃?一3%得機(jī)=1.

此時點M的坐標(biāo)為(1,1).

②如圖4,當(dāng)人M=AC時，A1^2=AC2.解方程4+M=]0,得吁士癡.

此時點M的坐標(biāo)為(1,6)或(1,-拓).

③如圖5,當(dāng)CM=C4時，CM=CA2.解方程1+(加-3產(chǎn)=10,得機(jī)=0或6.

當(dāng)M(l,6)時，MAC三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0).

例3臨沂市中考第26題

如圖1,點人在x軸上，0A=4,將線段0A繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120°至08的位置.

(1)求點8的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A08的拋物線的解析式；

(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點尸OB為頂點的三角形是等腰三

角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

動感體建

請打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動點尸在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗

到，OO和。B以及08的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的交點，當(dāng)點P運動到

00與對稱軸的另一個交點時，BOP三點共線.

請打開超級畫板文件名“121缶沂26”，拖動點P,發(fā)現(xiàn)存在點P,使得以點P0B為頂

點的三角形是等腰三角形

思路點撥

1.用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的

距離公式列方程；然后解方程并檢驗.

2.本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起.

滿分解答

(1)如圖2,過點作ACly軸.垂足為C.

在Rl^OBC中，ZBOC=303,08=4,所以BC=2,OC=2>j3.

所以點8的坐標(biāo)為(-2,.

(2)因為拋物線與x軸交于OA(4,0),設(shè)拋物線的解析式為)=依。-4),

代入點8(-2,-2?-2x/3=-2dx(-6).解得a=-走.

6

所以拋物線的解析式為y=-gx(x-4)=-曰/+竽x.

(3)拋物線的對稱軸是直線x=2,設(shè)點P的坐標(biāo)為(2,y).

①當(dāng)0P=0B=4時，OP2=16.所以4+爐=16.解得y=±2G.

當(dāng)尸在(2,26)時，BOP三點共線(如圖2).

②當(dāng)5P=80=4時，8P2=16.所以42+(y+2百尸=16.解得y=%=-2>/5.

③當(dāng)尸8=PO時，PB2=PO2.所以42+(y+26)2=22+y2.解得)，二一2百.

綜合①②③，點P的坐標(biāo)為(2,-2百)，如圖2所示.

考點伸展

如圖3,在本題中，設(shè)拋物線的頂點為"，那么△"UA與△04E是兩個相似的等腰三

角形.

由y=-第x(x-4)=-曰(％-2>+手，得拋物線的頂點為0(2,

因此tan/OOA=拽.所以NOOA=30°,ZODA=\200.

3

例4鹽城市中考第28題

如圖1,已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)),=Wx的圖象交于點A,且與x軸交于

3

點B.

(1)求點A和點8的坐標(biāo)；

(2)過點A作AC±y軸于點C,過點B作直線l//y軸.動

點P從點。出發(fā)，以每秒I個單位長的速度，沿。一。一4

的路筏向點A運動；同時直線/從點5出發(fā)，以相同速度

向左平移，在平移過程中，直線/交x軸于點R,交線段B4

或線段40于點Q.當(dāng)點P到達(dá)點A時，點P和直線/都

停止運動.在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為/秒.

①當(dāng)f為何值時，以A尸R為頂點的三角形的面積為8?

②是否存在以APQ為頂點的三角形是等腰三角形？若

存在，求f的值；若不存在，請說明理由.

動威體徐

請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由8向。運動，從圖象中可以看到，

△4PR的面積有一個時刻等于8.觀察△APQ,可以體驗到，P在0C上時，只存在AP=

A。的情況；P在C4上時，有三個時刻，△AP。是等腰三:角形.

思路點撥

1.把圖1好制若干個，在每一個圖形中解決一個問題.

2.求的面積等于8,按照點尸的位置分兩種情況討論.事實上，P在CA上運動

時，高是定值4,最大面積為6,因此不存在面積為8的可能.

3.討論等腰三角形APQ,按照點P的位置分兩種情況討論，點尸的每一種位置又要討

論三種情況.

滿分解答

y=-x+l,

(1)解方程組J4得”‘所以點A的坐標(biāo)是(3,4).