函數(shù)的最值-課件

函數(shù)的最值函數(shù)的最值是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值或最小值。在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)的最值問(wèn)題非常普遍，例如，求解一個(gè)產(chǎn)品的最大利潤(rùn)、最小成本等。課程目標(biāo)理解最值概念掌握函數(shù)最大值和最小值的定義，了解它們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。掌握導(dǎo)數(shù)求最值方法運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的最值，并進(jìn)行相應(yīng)的求解。熟悉最值性質(zhì)和應(yīng)用了解最值的一些重要性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。練習(xí)最值相關(guān)問(wèn)題通過(guò)大量的練習(xí)，鞏固對(duì)最值概念和求解方法的理解。什么是函數(shù)的最值函數(shù)的最值是指函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值或最小值。最大值是指函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大函數(shù)值，最小值是指函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最小函數(shù)值。函數(shù)的最值在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如，尋找最佳的生產(chǎn)方案、設(shè)計(jì)最優(yōu)的結(jié)構(gòu)等。最大值和最小值的定義最大值在函數(shù)圖像中，函數(shù)的最大值指的是函數(shù)取到的最高點(diǎn)，即y坐標(biāo)最大的點(diǎn)。最小值函數(shù)的最小值指的是函數(shù)取到的最低點(diǎn)，即y坐標(biāo)最小的點(diǎn)。利用導(dǎo)數(shù)判斷最值1求導(dǎo)數(shù)找到函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，表示函數(shù)的斜率2令導(dǎo)數(shù)為零找到導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，稱(chēng)為臨界點(diǎn)3求二階導(dǎo)數(shù)判斷臨界點(diǎn)的類(lèi)型，是最大值還是最小值4判斷邊界考慮函數(shù)定義域的邊界，檢查是否有最值利用導(dǎo)數(shù)可以幫助我們找到函數(shù)的最值，無(wú)論是最大值還是最小值。通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，我們可以找到函數(shù)的臨界點(diǎn)，這些點(diǎn)可能是最值點(diǎn)。然后通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)判斷臨界點(diǎn)是最大值還是最小值。最后還需要考慮函數(shù)定義域的邊界，確保沒(méi)有遺漏最值點(diǎn)。最大值和最小值的性質(zhì)1最大值函數(shù)在定義域內(nèi)所有值中最大的值被稱(chēng)為最大值。2最小值函數(shù)在定義域內(nèi)所有值中最小的值被稱(chēng)為最小值。3唯一性函數(shù)的最大值和最小值不一定唯一，可能存在多個(gè)點(diǎn)取得相同的最大值或最小值。4存在性并非所有函數(shù)都存在最大值和最小值，例如定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的線(xiàn)性函數(shù)。判斷最值的步驟1確定定義域確定函數(shù)定義域2求導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)3求駐點(diǎn)解導(dǎo)數(shù)為零的方程4判斷最值利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)示例1:尋找最大值該示例展示了如何使用導(dǎo)數(shù)來(lái)尋找函數(shù)的最大值。我們首先找到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于零。然后求解方程，得到函數(shù)的臨界點(diǎn)。最后，我們比較函數(shù)在臨界點(diǎn)和端點(diǎn)上的值，找到最大值。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以使用此方法來(lái)解決各種問(wèn)題，例如尋找最優(yōu)生產(chǎn)方案。示例2:尋找最小值函數(shù)最小值求解函數(shù)最小值，可以使用導(dǎo)數(shù)方法。找到函數(shù)的臨界點(diǎn)，并判斷其是否為最小值。導(dǎo)數(shù)判斷通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性，可以確定函數(shù)最小值點(diǎn)的位置。示例3:實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)的最值在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。例如，在生產(chǎn)管理中，需要確定最佳產(chǎn)量以最大化利潤(rùn)；在工程設(shè)計(jì)中，需要確定最佳參數(shù)以最小化材料消耗；在金融投資中，需要確定最佳投資組合以最大化收益率。這些實(shí)際問(wèn)題往往可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)等工具來(lái)解決。補(bǔ)充:絕對(duì)值函數(shù)的最值絕對(duì)值函數(shù)定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)，值域?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)。圖像圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，在x軸上方。最值絕對(duì)值函數(shù)的最小值為0，沒(méi)有最大值。實(shí)操練習(xí)1練習(xí)1旨在幫助學(xué)生鞏固函數(shù)最值的定義和求解方法。學(xué)生需要根據(jù)題目中給出的函數(shù)表達(dá)式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值或最小值。練習(xí)題的設(shè)計(jì)涵蓋不同類(lèi)型的函數(shù)，例如一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等，以幫助學(xué)生全面掌握函數(shù)最值的知識(shí)。實(shí)操練習(xí)2已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求該函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。實(shí)操練習(xí)3求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。實(shí)操練習(xí)4求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。實(shí)操練習(xí)5本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的知識(shí)點(diǎn)。在實(shí)際問(wèn)題中，我們需要先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法求解。在求解過(guò)程中，要注意對(duì)函數(shù)定義域進(jìn)行限制，以及判斷最值是否存在。練習(xí)：求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。函數(shù)的局部最值定義局部最值是指函數(shù)在某一點(diǎn)附近取得的最大值或最小值。例如，函數(shù)在某一點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)都比該點(diǎn)小，則該點(diǎn)是函數(shù)的局部最小值。舉例利用一階導(dǎo)數(shù)判斷局部最值1導(dǎo)數(shù)為零或不存在函數(shù)的局部最值點(diǎn)可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)上。2導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在最值點(diǎn)附近從正變負(fù)，則該點(diǎn)為局部最大值點(diǎn)。反之，則該點(diǎn)為局部最小值點(diǎn)。3驗(yàn)證最值需要進(jìn)一步驗(yàn)證最值點(diǎn)是否為局部最值點(diǎn)，可以使用二階導(dǎo)數(shù)或其他方法。利用二階導(dǎo)數(shù)判斷局部最值二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)如果函數(shù)在某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)大于零，則該點(diǎn)為局部最小值。二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)如果函數(shù)在某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)小于零，則該點(diǎn)為局部最大值。二階導(dǎo)數(shù)為零如果函數(shù)在某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零，則該點(diǎn)可能為局部最值，也可能不是。無(wú)法判斷需要進(jìn)一步判斷函數(shù)在該點(diǎn)附近的單調(diào)性才能確定最值。示例4：求局部最值利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的局部最值，需要先找到導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，即駐點(diǎn)。這些點(diǎn)可能是局部最值點(diǎn)，也可能不是。我們需要利用二階導(dǎo)數(shù)或者其他方法來(lái)判斷駐點(diǎn)是否為局部最值點(diǎn)。例如，函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在x=0和x=2處有駐點(diǎn)。但只有在x=0處為局部最大值，在x=2處為局部最小值。因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)在x=0處為負(fù)數(shù)，在x=2處為正數(shù)。示例5:應(yīng)用實(shí)例函數(shù)的最值在實(shí)際應(yīng)用中非常常見(jiàn)。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們可以使用函數(shù)來(lái)描述利潤(rùn)、成本和收入。我們可以使用函數(shù)的最值來(lái)找到最大利潤(rùn)或最小成本。在物理學(xué)中，我們可以使用函數(shù)來(lái)描述運(yùn)動(dòng)軌跡，我們可以使用函數(shù)的最值來(lái)找到最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。實(shí)操練習(xí)6請(qǐng)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的局部最值。在解題時(shí)，需要先求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)為0，則該點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)。利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷該點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。實(shí)操練習(xí)7求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,2]上的全局最大值和最小值。首先，求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，求出駐點(diǎn)。然后，計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的值，并比較大小，從而確定全局最大值和最小值。實(shí)操練習(xí)8本練習(xí)旨在鞏固函數(shù)局部最值的概念和判斷方法。通過(guò)求解給定函數(shù)的局部最值，加深對(duì)相關(guān)理論的理解和應(yīng)用。練習(xí)內(nèi)容包含求解函數(shù)的臨界點(diǎn)，并運(yùn)用一階和二階導(dǎo)數(shù)判定這些臨界點(diǎn)是否是局部最值，以及判斷局部最值的類(lèi)型，例如是局部最大值還是局部最小值。通過(guò)完成本練習(xí)，學(xué)生可以掌握識(shí)別和判斷函數(shù)局部最值的方法，并培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，例如在經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)中，尋找最佳方案通常需要找到函數(shù)的局部最值。函數(shù)的全局最值定義在函數(shù)定義域內(nèi)，函數(shù)取得的最大值或最小值稱(chēng)為函數(shù)的全局最值，也稱(chēng)為絕對(duì)最值。尋找方法可以通過(guò)比較函數(shù)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)找到函數(shù)的全局最值。應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，全局最值常用來(lái)解決優(yōu)化問(wèn)題，例如尋找生產(chǎn)成本最低或利潤(rùn)最高時(shí)的產(chǎn)量。全局最大值和最小值的性質(zhì)全局最大值在函數(shù)定義域內(nèi)，如果存在一個(gè)點(diǎn)，使得函數(shù)值大于等于其他所有點(diǎn)的函數(shù)值，那么該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為全局最大值。全局最小值在函數(shù)定義域內(nèi)，如果存在一個(gè)點(diǎn)，使得函數(shù)值小于等于其他所有點(diǎn)的函數(shù)值，那么該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為全局最小值。示例6:求全局最值全局最值示例假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并已知其在該區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)c。則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的全局最大值或最小值可能出現(xiàn)在以下位置：*區(qū)間端點(diǎn)a或b*極值點(diǎn)c全局最值求解步驟要確定全局最值，需要比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值，并選取其中最大或最小的值。實(shí)操練習(xí)9求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的全局最值。首先，求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得到臨界點(diǎn)x=0和x=2。然后，將臨界點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)f(x)中，比較函數(shù)值的大小。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的全局最大值為2，全局最小值為-2。實(shí)操練習(xí)10請(qǐng)