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專題44中考解答題最常考題型解直角三角形的應用(解析版)

模塊一2022中考真題集訓

類型一坡度坡角問題

1.(2022?菏澤)菏澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯,如圖,把電梯坡面的坡角由原來的37°減至

30°,已知原電梯坡面AB的長為8米,更換后的電梯坡面為AD,點B延伸至點D,求BD的長.(結

果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,1.73)

3≈

思路引領:在△ABC中求出BC以及AC的長度,再求出CD,最后BD=CD﹣BC即可求解.

解:由題意得,在△ABC中,

∵∠ABC=37°,AB=8米,

∴AC=AB?sin37°=4.8(米),

BC=AB?cos37°=6.4(米),

在Rt△ACD中,CD8.304(米),

??

則BD=CD﹣BC=8.=30?4?﹣?360.4°≈≈1.9(米).

答:改動后電梯水平寬度增加部分BD的長為1.9米.

總結提升:本題考查了坡度和坡角的知識,解題的關鍵是根據(jù)題意構造直角三角形,利用三角函數(shù)的知

識求解.

2.(2022?郴州)如圖是某水庫大壩的橫截面,壩高CD=20m,背水坡BC的坡度為i1=1:1.為了對水庫

大壩進行升級加固,降低背水坡的傾斜程度,設計人員準備把背水坡的坡度改為i2=1:,求背水坡新

起點A與原起點B之間的距離.3

(參考數(shù)據(jù):1.41,1.73.結果精確到0.1m)

2≈3≈

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思路引領:在Rt△BCD中,根據(jù)BC的坡度為i1=1:1,可求出BD的長,再在Rt△ACD中,根據(jù)AC

的坡度為i2=1:,可求出AD的長,然后利用AB=AD﹣BD,進行計算即可解答.

解:在Rt△BCD中3,

∵BC的坡度為i1=1:1,

∴1,

??

=

∴?C?D=BD=20米,

在Rt△ACD中,

∵AC的坡度為i2=1:,

∴,3

??1

=

∴?A?D3CD=20(米),

∴AB==AD3﹣BD=20320≈14.6(米),

∴背水坡新起點A與原3起?點B之間的距離約為14.6米.

總結提升:本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題,熟練掌握坡度是解題的關鍵.

3.(2022?長沙)為了進一步改善人居環(huán)境,提高居民生活的幸福指數(shù).某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進

行優(yōu)化改造.如圖,AB表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡,坡角∠BAD=30°,BD⊥AD于點D.為方便

通行,在不改變斜坡高度的情況下,把坡角降為15°.

(1)求該斜坡的高度BD;

(2)求斜坡新起點C與原起點A之間的距離.(假設圖中C,A,D三點共線)

思路引領:(1)根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解;

(2)在△ACD中,根據(jù)∠CBD=30°,∠CAB=15°,求出AC=AB,從而得出AC的長.

解:(1)在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,BA=20m,

∴BDBA=10(m),

1

答:該=斜2坡的高度BD為10m;

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(2)在△ACB中,∠BAD=30°,∠BCA=15°,

∴∠CBA=15°,

∴AB=AC=20(m),

答:斜坡新起點C與原起點A之間的距離為20m.

總結提升:本題主要考查坡度坡角的定義及解直角三角形,得到AB=AC是解題的關鍵.

4.(2022?臺州)如圖1,梯子斜靠在豎直的墻上,其示意圖如圖2.梯子與地面所成的角為75°,梯子

AB長3m,求梯子頂部離地豎直高度BC.(結果精確到0.1m;參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,αcos75°≈0.26,

tan75°≈3.73)

思路引領:在Rt△ABC中,AB=3m,sin∠BAC=sin75°0.97,解方程即可.

????

解:在Rt△ABC中,AB=3m,∠BAC=75°,=??=3≈

sin∠BAC=sin75°0.97,

????

解得BC≈2.9.=??=3≈

答:梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m.

總結提升:本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的

關鍵.

5.(2022?株洲)如圖(Ⅰ)所示,某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段AC至山谷點C處,再

從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處.如圖(Ⅱ)所示,將直線l視為水平面,山坡①的坡角∠

ACM=30°,其高度AM為0.6千米,山坡②的坡度i=1:1,BN⊥l于N,且CN千米.

(1)求∠ACB的度數(shù);=2

(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路

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程.

思路引領:(1)根據(jù)坡度的概念求出∠BCN=45°,根據(jù)平角的概念計算即可;

(2)根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC,根據(jù)余弦的定義求出BC,進而得到答案.

解:(1)∵山坡②的坡度i=1:1,

∴CN=BN,

∴∠BCN=45°,

∴∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°;

(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,

∴AC=2AM=1.2千米,

在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN千米,

=2

則BC2(千米),

??

∴該登=山??運?∠動?愛??好=者走過的路程為:1.2+2=3.2(千米),

答:該登山運動愛好者走過的路程為3.2千米.

總結提升:本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題,掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的

定義是解題的關鍵.

類型二俯角仰角問題

6.(2022?涼山州)去年,我國南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災影響,被冰雪從C處壓折,塔尖

恰好落在坡面上的點B處,造成局部地區(qū)供電中斷,為盡快搶通供電線路,專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場

進行處理,在B處測得BC與水平線的夾角為45°,塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°,A、B兩

點間的距離為16米,求壓折前該輸電鐵塔的高度(結果保留根號).

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思路引領:根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理,可以分別求得AD、CD和BC長,然后將它們相加,即可得

到壓折前該輸電鐵塔的高度.

解:由已知可得,

BD∥EF,AB=16米,∠E=30°,∠BDA=∠BDC=90°,

∴∠E=∠DBA=30°,

∴AD=8米,

∴BD8(米),

2222

∵∠C=BD?=?45?°?,?∠=CDB1=69?0°8,=3

∴∠C=∠CBD=45°,

∴CD=BD=8米,

3

∴BC8(米),

2222

∴AC+=CB?=?AD++?C?D+=CB=(8(83+)8+(883))=米,6

答:壓折前該輸電鐵塔的高度是(38++868)米.

3+6

總結提升:本題考查解直角三角形的應用—坡度坡角問題,解答本題的關鍵是明確題意,求出AD、CD

和BC長.

7.(2022?陜西)端午假期,小明和小昊與家人到一山莊度假.閑暇時,他們想利用所學數(shù)學知識測量所住

樓前小河的寬.如圖所示,他們先在六層房間窗臺點F處,測得河岸點A處的俯角∠1的度數(shù),然后來

到四層房間窗臺點E處,測得河對岸點B處的俯角∠2的度數(shù)(AB與河岸垂直),并且發(fā)現(xiàn)∠1與∠2正

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好互余.其中O,E,F(xiàn)三點在同一直線上,O,A,B三點在同一直線上,OF⊥OA.已知OE=15米,

OF=21.6米,OA=16米,求河寬AB.

思路引領:根據(jù)∠1=∠FAO,∠2=∠EBO,∠1+∠2=90°,可得∠FAO+∠EBO=90°,又OF⊥OA,

即得∠EBO=∠AFO,故△EBO∽△AFO,有,求出OB=20.25,從而可得河寬AB為4.25米.

15??

=

解:∵∠1=∠FAO,∠2=∠EBO,∠1+∠2=1690°2,1.6

∴∠FAO+∠EBO=90°,

∵OF⊥OA,

∴∠O=90°,

∴∠FAO+∠AFO=90°,

∴∠EBO=∠AFO,

∵∠O=∠O,

∴△EBO∽△AFO,

∴,

????

=

∵?O?E=1?5?米,OF=21.6米,OA=16米,

∴,

15??

=

解得16OB2=1.260.25,

∴AB=OB﹣OA=20.25﹣16=4.25(米),

答:河寬AB為4.25米.

總結提升:本題考查解直角三角形的應用﹣俯角問題,涉及相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關鍵是讀

懂題意,證明△EBO∽△AFO.

8.(2022?鋼城區(qū))如圖,某數(shù)學研究小組測量山體AC的高度,在點B處測得山體A的仰角為45°,沿

BC方向前行20m至點D處,斜坡DE的坡度為1:2,在觀景臺E處測得山頂A的仰角為58°,且點E

到水平地面BC的垂直距離EF為10m.點B,D,C在一條直線上,AB,AE,AC在同一豎直平面內(nèi).

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(1)求斜坡DE的水平寬度DF的長;

(2)求山體AC的高度.(結果精確到1m.參考數(shù)據(jù)sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,

)2≈

1.41

思路引領:(1)由斜坡DE的坡度,EF=10即可得出答案;

??1

()作⊥,知四邊形為矩=形,設==,在△中,=°≈

2EHACEFCH??2EHCFxmRtAEHAHEH?tan581.60x

(m),繼而知AC=AH+HC=(1.60x+10)m,BC=BD+DF+CF=(40+x)m,在Rt△ABC中,根據(jù)AC

=BC得1.60x+10=40+x,解之求出x的值,進一步求解可得答案.

解:(1)∵斜坡DE的坡度,EF=10m,

??1

=

∴,??2

101

=

∴?D?F=220.即斜坡DE的水平寬度DF長為20米.

(2)過點E作EH⊥AC于點H,則四邊形EFCH為矩形,

∴HC=EF=10m,CF=EH,

設EH=CF=xm,

在Rt△AEH中,AH=EH?tan∠AEH=EH?tan58°≈1.60x(m),

∴AC=AH+HC=(1.60x+10)m,BC=BD+DF+CF=(40+x)m,

在Rt△ABC中,∠ABC=45°,

∴AC=BC,即1.60x+10=40+x,

解得x=50,

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∴AH=1.60x=1.60×50=80(m),

∴AC=AH+HC=80+10=90(m).即山體AC的高度為90米.

總結提升:本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題,根據(jù)題意作出輔助線,構造出直角三角

形是解答此題的關鍵.

9.(2022?內(nèi)蒙古)在一次綜合實踐活動中,某小組對一建筑物進行測量.如圖,在山坡坡腳C處測得該建

筑物頂端B的仰角為60°,沿山坡向上走20m到達D處,測得建筑物頂端B的仰角為30°.已知山坡

坡度i=3:4,即tan,請你幫助該小組計算建筑物的高度AB.

3

(結果精確到0.1m,θ參=考4數(shù)據(jù):1.732)

3≈

思路引領:過點D作DE⊥AC,垂足為E,過點D作DF⊥AB,垂足為F,則DE=AF,DF=AE,在

Rt△DEC中,根據(jù)已知可設DE=3x米,則CE=4x米,然后利用勾股定理進行計算可求出DE,CE的

長,再設BF=y(tǒng)米,從而可得AB=(12+y)米,最后在Rt△DBF中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF

的長,從而求出AC的長,再在Rt△ABC中,利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于y的方程,進行計算即

可解答.

解:過點D作DE⊥AC,垂足為E,過點D作DF⊥AB,垂足為F,

則DE=AF,DF=AE,

在Rt△DEC中,tan,

??3

θ=??=4

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設DE=3x米,則CE=4x米,

∵DE2+CE2=DC2,

∴(3x)2+(4x)2=400,

∴x=4或x=﹣4(舍去),

∴DE=AF=12米,CE=16米,

設BF=y(tǒng)米,

∴AB=BF+AF=(12+y)米,

在Rt△DBF中,∠BDF=30°,

∴DFy(米),

???

=???30°=3=3

∴AE=DFy米3,

∴AC=AE﹣=CE3=(y﹣16)米,

在Rt△ABC中,∠AC3B=60°,

∴tan60°,

??12+?

===3

解得:y=6+?8?,3??16

經(jīng)檢驗:y=6+83是原方程的根,

∴AB=BF+AF=138+831.9(米),

∴建筑物的高度AB約為3≈31.9米.

總結提升:本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題,坡度坡角問題,根據(jù)題目的已知條件并結

合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

10.(2022?阜新)如圖,小文在數(shù)學綜合實踐活動中,利用所學的數(shù)學知識測量居民樓的高度AB,在居民

樓前方有一斜坡,坡長CD=15m,斜坡的傾斜角為,cos.小文在C點處測得樓頂端A的仰角為

4

60°,在D點處測得樓頂端A的仰角為30°(點A,αB,Cα,=D5在同一平面內(nèi)).

(1)求C,D兩點的高度差;

(2)求居民樓的高度AB.

(結果精確到1m,參考數(shù)據(jù):1.7)

3≈

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思路引領:(1)過點D作DE⊥BC,交BC的延長線于點E,在Rt△DCE中,可得

4

(m),再利用勾股定理可求出DE,即可得出答案.??=???????=15×5=

12

(2)過點D作DF⊥AB于F,設AF=xm,在Rt△ADF中,tan30°,解得DFx,

???3

====3

在Rt△ABC中,AB=(x+9)m,BC=(x﹣12)m,tan60°????3,求出x的值,即

???+9

3===3

可得出答案.??3??12

解:(1)過點D作DE⊥BC,交BC的延長線于點E,

∵在Rt△DCE中,cos,CD=15m,

4

α=

∴5(m).

4

??=???????=15×=12

∴5(m).

2222

答:??C=,D?兩?點?的?高?度=差為159m?.12=9

(2)過點D作DF⊥AB于F,

由題意可得BF=DE,DF=BE,

設AF=xm,

在Rt△ADF中,tan∠ADF=tan30°,

???3

解得DFx,=??=??=3

在Rt△A=BC3中,AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m,BC=BE﹣CE=DF﹣CE=(x﹣12)m,

3

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tan60°,

???+9

===3

解得??3,??12

9

?=63+

經(jīng)檢驗,2是原方程的解且符合題意,

9

?=63+

∴AB9≈224(m).

9

答:居=民6樓3的+高2+度AB約為24m.

總結提升:本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定

義是解答本題的關鍵.

11.(2022?襄陽)位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑,是為紀念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革

命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士而興建的,某校數(shù)學興趣小

組利用無人機測量烈士塔的高度.無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°,烈士塔底部點C

的俯角為61°,無人機與烈士塔的水平距離AD為10m,求烈士塔的高度.(結果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):

sin61°≈0.87,cos61°≈0.48,tan61°≈1.80)

思路引領:在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AD=10m,則BD=AD=10m,在Rt△ACD中,tan∠DAC

=tan61°1.80,解得CD≈18,由BC=BD+CD可得出答案.

????

解:由題意=得??,=∠1B0AD≈=45°,∠DAC=61°,

在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AD=10m,

∴BD=AD=10m,

在Rt△ACD中,∠DAC=61°,

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tan61°1.80,

????

解得CD=≈?1?8,=10≈

∴BC=BD+CD=10+18=28(m).

∴烈士塔的高度約為28m.

總結提升:本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的

關鍵.

12.(2022?朝陽)某數(shù)學興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度(旗桿底端有臺階).該小組在C

處安置測角儀CD,測得旗桿頂端A的仰角為30°,前進8m到達E處,安置測角儀EF,測得旗桿頂端

A的仰角為45°(點B,E,C在同一直線上),測角儀支架高CD=EF=1.2m,求旗桿頂端A到地面的

距離即AB的長度.(結果精確到1m.參考數(shù)據(jù):1.7)

3≈

思路引領:延長DF交AB于點G,根據(jù)題意可得:DF=CE=8m,DC=EF=BG=1.2m,∠AGF=90°,

然后設AG=xm,在Rt△AFG中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長,從而求出DG的長,再在Rt

△ADG中,利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于x的方程,進行計算即可解答.

解:延長DF交AB于點G,

由題意得:

DF=CE=8m,DC=EF=BG=1.2m,∠AGF=90°,

設AG=xm,

在Rt△AFG中,∠AFG=45°,

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∴FGx(m),

??

∴DG==?D?F?+45F°G==(x+8)m,

在Rt△ADG中,∠ADG=30°,

∴tan30°,

???3

∴x=4=4?,?=?+8=3

經(jīng)檢驗:3x+=44是原方程的根,

∴AB=AG+BG≈3+12(m),

∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m.

總結提升:本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題,根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當

的輔助線是解題的關鍵.

13.(2022?鞍山)北京時間2022年4月16日9時56分,神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸.為弘揚航

天精神,某校在教學樓上懸掛了一幅長為8m的勵志條幅(即GF=8m).小亮同學想知道條幅的底端F

到地面的距離,他的測量過程如下:如圖,首先他站在樓前點B處,在點B正上方點A處測得條幅頂端

G的仰角為37°,然后向教學樓條幅方向前行12m到達點D處(樓底部點E與點B,D在一條直線上),

在點D正上方點C處測得條幅底端F的仰角為45°,若AB,CD均為1.65m(即四邊形ABDC為矩形),

請你幫助小亮計算條幅底端F到地面的距離FE的長度.(結果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,

cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

思路引領:設AC與GE相交于點H,根據(jù)題意可得:AB=CD=HE=1.65米,AC=BD=12米,∠AHG

=90°,然后設CH=x米,則AH=(12+x)米,在Rt△CHF中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的

長,從而求出GH的長,最后再在Rt△AHG中,利用銳角三角函數(shù)的定義列出關于x的方程,進行計算

即可解答.

解:設AC與GE相交于點H,

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由題意得:

AB=CD=HE=1.65米,AC=BD=12米,∠AHG=90°,

設CH=x米,

∴AH=AC+CH=(12+x)米,

在Rt△CHF中,∠FCH=45°,

∴FH=CH?tan45°=x(米),

∵GF=8米,

∴GH=GF+FH=(8+x)米,

在Rt△AHG中,∠GAH=37°,

∴tan37°0.75,

???+8

解得:x==4,??=12+?≈

經(jīng)檢驗:x=4是原方程的根,

∴FE=FH+HE=5.65≈5.7(米),

∴條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米.

總結提升:本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關

鍵.

14.(2022?安順)隨著我國科學技術的不斷發(fā)展,5G移動通信技術日趨完善,某市政府為了實現(xiàn)5G網(wǎng)絡

全覆蓋,2021~2025年擬建設5G基站3000個,如圖,在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB,小明在

坡腳C處測得塔頂A的仰角為45°,然后他沿坡面CB行走了50米到達D處,D處離地平面的距離為

30米且在D處測得塔頂A的仰角53°.(點A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi),CE為地平線)(參考數(shù)

據(jù):sin53°,cos53°,tan53°)

434

(1)求坡面≈C5B的坡度;≈5≈3

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(2)求基站塔AB的高.

思路引領:(1)過點D作AB的垂線,交AB的延長線于點F,過點D作DM⊥CE,垂足為M.由勾股

定理可求出答案;

(2)設DF=4a米,則ME=4a米,BF=3a米,由于△ACN是等腰直角三角形,可表示BE,在△ADF

中由銳角三角函數(shù)可列方程求出DF,進而求出AB.

解:(1)如圖,過點D作AB的垂線,交AB的延長線于點F,過點D作DM⊥CE,垂足為M.

由題意可知:CD=50米,DM=30米.

在Rt△CDM中,由勾股定理得:CM2=CD2﹣DM2,

∴CM=40米,

∴斜坡CB的坡度=DM:CM=3:4;

(2)設DF=4a米,則MN=4a米,BF=3a米,

∵∠ACN=45°,

∴∠CAN=∠ACN=45°,

∴AN=CN=(40+4a)米,

∴AF=AN﹣NF=AN﹣DM=40+4a﹣30=(10+4a)米.

在Rt△ADF中,

∵DF=4a米,AF=(10+4a)米,∠ADF=53°,

∴tan∠ADF,

??

=??

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∴,

410+4?

=

∴解3得a4?,

15

∴AF=10=+42a=10+30=40(米),

∵BF=3a米,

45

=

∴AB=AF﹣B2F=40(米).

4535

?2=2

答:基站塔AB的高為米.

35

總結提升:本題考查解2直角三角形,通過作垂線構造直角三角形,利用直角三角形的邊角關系和坡度的

意義進行計算是常用的方法.

15.(2022?大連)如圖,蓮花山是大連著名的景點之一.游客可以從山底乘坐索道車到達山頂,索道車運

行的速度是1米/秒.小明要測量蓮花山山頂白塔的高度,他在索道A處測得白塔底部B的仰角約為30°,

測得白塔頂部C的仰角約為37°,索道車從A處運行到B處所用時間約為5分鐘.

(1)索道車從A處運行到B處的距離約為300米;

(2)請你利用小明測量的數(shù)據(jù),求白塔BC的高度.(結果取整數(shù))

(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,1.73)

3≈

思路引領:(1)根據(jù)路程=速度×時間,進行計算即可解答;

(2)在Rt△ABD中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD,BD的長,再在Rt△ACD中,利用銳角三角函

數(shù)的定義求出CD的長,進行計算即可解答.

解:(1)由題意得:

5分鐘=300秒,

∴1×300=300(米),

∴索道車從A處運行到B處的距離約為300米,

故答案為:300;

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(2)在Rt△ABD中,∠BAD=30°,

∴BDAB=150(米),

1

AD=2BD=150(米),

在R=t△3ACD中,∠3CAD=37°,

∴CD=AD?tan37°≈1500.75≈194.6(米),

∴BC=CD﹣BD=194.6﹣1350×≈45(米),

∴白塔BC的高度約為45米.

總結提升:本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關

鍵.

類型三方向角問題

16.(2022?資陽)小明學了《解直角三角形》內(nèi)容后,對一條東西走向的隧道AB進行實地測量.如圖所示,

他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上,他沿西北方向前進100米后到達點D,

此時測得點A在他的東北方向上,端點B在他的北偏西60°方向上,(點A、B、C、D在3同一平面內(nèi))

(1)求點D與點A的距離;

(2)求隧道AB的長度.(結果保留根號)

思路引領:(1)根據(jù)方位角圖,易知∠ACD=60°,∠ADC=90°,解Rt△ADC即可求解;

(2)過點D作DE⊥AB于點E.分別解Rt△ADE,Rt△BDE求出AE和BE,即可求出隧道AB的長.

解;(1)由題意可知:∠ACD=15°+45°=60°,∠ADC=180°﹣45°﹣45°=90°,

在Rt△ADC中,

∴(米),

答:??點=D?與?×點?A??的∠?距?離?為=1300米3.×???60°=1003×3=300

(2)過點D作DE⊥AB于點E,

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∵AB是東西走向,

∴∠ADE=45°,∠BDE=60°,

在Rt△ADE中,

∴(米),

2

在?R?t△=B?D?E=中?,?×???∠???=300×???45°=300×2=1502

∴(米),

∴??=??×???∠???=1502×??(?6米0°)=,1502×3=1506

答:??隧=道??AB+的??長=為(1502+1506)米.

總結提升:本題考查(了15解0直2角+三15角0形6的)應用﹣方向角問題,掌握方向角的概念,掌握特殊角的三角函數(shù)

值是解題的關鍵.

17.(2022?錦州)如圖,一艘貨輪在海面上航行,準備要??康酱a頭C,貨輪航行到A處時,測得碼頭C

在北偏東60°方向上.為了躲避A,C之間的暗礁,這艘貨輪調(diào)整航向,沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行,

當它航行到B處后,又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C.求貨輪從A到B航行的距離(結

果精確到0.1海里.參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192).

思路引領:過B作BD⊥AC于D,在Rt△BCD中,利用正弦函數(shù)求得BD=15.32海里,再在Rt△ABD

中,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

解:過B作BD⊥AC于D,

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由題意可知∠ABE=30°,∠BAC=30°,則∠C=180°﹣30°﹣30°﹣70°=50°,

在Rt△BCD中,∠C=50°,BC=20(海里),

∴BD=BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里),

在Rt△ABD中,∠BAD=30°,BD=15.32(海里),

∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里),

答:貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里.

總結提升:本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題,正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關

鍵.

18.(2022?丹東)如圖,我國某海域有A,B,C三個港口,B港口在C港口正西方向33.2nmile(nmile是

單位“海里”的符號)處,A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處,在A港口北偏東

53°方向且位于C港口正北方向的點D處有一艘貨船,求貨船與A港口之間的距離.

(參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈

1.33.)

思路引領:過點A作AE⊥CD,垂足為E,過點B作BF⊥AE,垂足為F,根據(jù)題意得:EF=BC=33.2

海里,AG∥DC,從而可得∠ADC=53°,然后在Rt△AEF中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長,

從而求出AE的長,最后在Rt△ADE中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長,進行計算即可解答.

解:過點A作AE⊥CD,垂足為E,過點B作BF⊥AE,垂足為F,

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由題意得:

EF=BC=33.2海里,AG∥DC,

∴∠GAD=∠ADC=53°,

在Rt△ABF中,∠ABF=50°,AB=40海里,

∴AF=AB?sin50°≈40×0.77=30.8(海里),

∴AE=AF+EF=64(海里),

在Rt△ADE中,AD80(海里),

??64

∴貨船與A港口之間=的?距??5離3°約≈為0.80=海里.

總結提升:本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題,根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關鍵.

19.(2022?遼寧)如圖,B港口在A港口的南偏西25°方向上,距離A港口100海里處.一艘貨輪航行到

C處,發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向,B港口在貨輪的北偏西70°方向.求此時貨輪與A港口的

距離(結果取整數(shù)).

(參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192,1.414)

2≈

思路引領:過點B作BD⊥AC,垂足為D,根據(jù)題意得:∠BAC=50°,∠BCA=45°,然后在Rt△ABD

中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD,BD的長,再在Rt△BDC中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD

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的長,最后進行計算即可解答.

解:過點B作BD⊥AC,垂足為D,

由題意得:

∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°﹣25°=45°,

在Rt△ABD中,AB=100海里,

∴AD=AB?cos50°≈100×0.643=64.3(海里),

BD=AB?sin50°≈100×0.766=76.6(海里),

在Rt△BDC中,CD76.6(海里),

??

∴AC=AD+CD=64.3=+?7?6?.64≈5°1=41(海里),

∴此時貨輪與A港口的距離約為141海里.

總結提升:本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題,根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)?/p>

輔助線是解題的關鍵.

20.(2022?邵陽)如圖,一艘輪船從點A處以30km/h的速度向正東方向航行,在A處測得燈塔C在北偏東

60°方向上,繼續(xù)航行1h到達B處,這時測得燈塔C在北偏東45°方向上,已知在燈塔C的四周40km

內(nèi)有暗礁,問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全?并說明理由.(提示:1.414,1.732)

2≈3≈

思路引領:過點C作CD垂直AB,利用特殊角的三角函數(shù)值求得CD的長度,從而根據(jù)無理數(shù)的估算作

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出判斷.

解:安全,理由如下:

過點C作CD垂直AB,

由題意可得,∠CAD=90°﹣60°=30°,∠CBD=90°﹣45°=45°,AB=30×1=30km,

在Rt△CBD中,設CD=BD=xkm,則AD=(x+30)km,

在Rt△ACD中,tan30°,

??

=

∴,??

??3

=

∴??3,

?3

=

解得?+:30x=15315≈40.98>40,

所以,這艘輪船3+繼續(xù)向正東方向航行是安全的.

總結提升:本題考查解直角三角形的應用,通過添加輔助線構建直角三角形,熟記特殊角的三角函數(shù)值

是解題關鍵.

類型四解直角三角形問題

21.(2022?鹽城)2022年6月5日,“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功發(fā)射.如圖是處

于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖,OA是垂直于工作臺的移動基座,AB、BC為機械臂,OA=1m,

AB=5m,BC=2m,∠ABC=143°.機械臂端點C到工作臺的距離CD=6m.

(1)求A、C兩點之間的距離;

(2)求OD長.

(結果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,2.24)

5≈

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思路引領:(1)過點A作AE⊥CB,垂足為E,在Rt△ABE中,由AB=5m,∠ABE=37°,可求AE和

BE,即可得出AC的長;

(2)過點A作AF⊥CD,垂足為F,在Rt△ACF中,由勾股定理可求出AF,即OD的長.

解:(1)如圖,過點A作AE⊥CB,垂足為E,

在Rt△ABE中,AB=5m,∠ABE=37°,

∵sin∠ABE,cos∠ABE,

????

=??=??

∴0.60,0.80,

????

==

∴A5E=3m,BE5=4m,

∴CE=6m,

在Rt△ACE中,由勾股定理AC36.7m.

22

(2)過點A作AF⊥CD,垂足為=F,3+6=5≈

∴FD=AO=1m,

∴CF=5m,

在Rt△ACF中,由勾股定理AF2m.

∴OD=24.5m.=45?25=5

總結提升:5本≈題考查了解直角三角形的應用、勾股定理等知識;正確作出輔助線構造直角三角形是解題

的關鍵.

22.(2022?青海)隨著我國科學技術的不斷發(fā)展,科學幻想變?yōu)楝F(xiàn)實.如圖1是我國自主研發(fā)的某型號隱

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形戰(zhàn)斗機模型,全動型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機亮點之一.圖2是垂尾模型的軸切面,并通過垂尾模型

的外圍測得如下數(shù)據(jù),BC=8,CD=2,∠D=135°,∠C=60°,且AB∥CD,求出垂尾模型ABCD的

面積.(結果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):1.414,1.732)

2≈3≈

思路引領:通過作垂線,構造矩形和直角三角形,利用直角三角形的邊角關系以及等腰三角形的性質(zhì),

可求出BE、CE、DF、AF,進而求出AB,利用梯形面積的計算公式進行計算即可.

解:如圖,過點A作CD的垂線,交CD的延長線于F,過點C作AB的垂線,交AB的延長線于E,

∵AB∥CD,

∴四邊形AECF是矩形,

∵∠BCD=60°,

∴∠BCE=90°﹣60°=30°,

在Rt△BCE中,∠BCE=30°,BC=8,

∴BEBC=4,CEBC=4,

13

∵∠A=D2C=135°,=23

∴∠ADF=180°﹣135°=45°,

∴△ADF是等腰直角三角形,

∴DF=AF=CE=4,

由于FC=AE,即432=AB+4,

∴AB=42,3+

3?

∴S梯形ABCD(2+42)×424,

1

答:垂尾模=型2ABCD的3面?積為24.3=

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總結提升:本題考查解直角三角形的應用,掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提,構造矩形、

直角三角形是解決問題的關鍵.

23.(2022?通遼)某型號飛機的機翼形狀如圖所示,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長度(結果保留小數(shù)點后一位,

1.7).

3≈

思路引領:在Rt△BDE中求出ED,再在Rt△ACM中求出AM,最后根據(jù)線段的和差關系進行計算即可.

解:如圖,過點C、D分別作BE的平行線交BA的延長線于點M、N,

在Rt△BDE中,∠BDE=90°﹣45°=45°,

∴DE=BE=14m,

在Rt△ACM中,∠ACM=60°,CM=BE=14m,

∴AMCM=14(m),

∴AB==BM3﹣AM3

=CE﹣AM

=20+14﹣14

≈10.2(m),3

答:AB的長約為10.2m.

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總結提升:本題考查解直角三角形的應用,掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提,構造直角三

角形是解決問題的關鍵.

24.(2022?張家界)閱讀下列材料:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,求證:.

??

=

證明:如圖1,過點C作CD⊥AB于點D,則:????????

在Rt△BCD中,CD=asinB

在Rt△ACD中,CD=bsinA

∴asinB=bsinA

??

=

根據(jù)???上?面的??材??料解決下列問題:

(1)如圖2,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,求證:;

??

=

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會,張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖3,???規(guī)?劃中??的??一片三角形區(qū)

域需美化,已知∠A=67°,∠B=53°,AC=80米,求這片區(qū)域的面積.(結果保留根號.參考數(shù)據(jù):

sin53°≈0.8,sin67°≈0.9)

思路引領:(1)根據(jù)題目提供的方法進行證明即可;

(2)根據(jù)(1)的結論,直接進行計算即可.

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(1)證明:如圖2,過點A作AD⊥BC于點D,

在Rt△ABD中,AD=csinB,

在Rt△ACD中,AD=bsinC,

∴csinB=bsinC,

∴;

??

=

(?2?)??解:?如??圖?3,過點A作AE⊥BC于點E,

∵∠BAC=67°,∠B=53°,

∴∠C=60°,

在Rt△ACE中,AE=AC?sin60°=8040(m),

3

×=3

又∵,2

??

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