專題09 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點(diǎn)）（解析版）

第三部分函數(shù)

專題09二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

核心考點(diǎn)二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷

核心考點(diǎn)三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

核心考點(diǎn)五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用

核心考點(diǎn)六二次函數(shù)圖象的變換

新題速遞

核心考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2

例1（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）+n的圖象上．若

y1＜y2，則m的取值范圍為（）

33

A．m>2B．mC．m1D．m2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)y1＜y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．

2

【詳解】解：∵點(diǎn)A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）+n的圖象上，

22

∴y1=（m-1-1）+n=（m-2）+n，

2

y2=（m-1）+n，

∵y1＜y2，

∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，

∴（m-2）2-（m-1）2＜0，

即-2m+3＜0，

3

∴m＞，

2

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不等式．

例2（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y(a1)x2，當(dāng)x0時(shí)，y隨x增大而增大，則實(shí)數(shù)

第1頁(yè)共80頁(yè).

a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)0B．a(chǎn)1C．a(chǎn)1D．a(chǎn)1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知二次函數(shù)的開(kāi)口向上，進(jìn)而即可求解．

【詳解】∵二次函數(shù)y(a1)x2的對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x0時(shí)，y隨x增大而增大，

∴二次函數(shù)y(a1)x2的圖像開(kāi)口向上，

∴a-1＞0，即：a1，

故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開(kāi)口方向與二次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)y=x22x3的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等

于m，則m的值為_(kāi)_______．

【答案】4

【分析】由拋物線解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)為（1，-4），由圖象上恰好只有三個(gè)點(diǎn)到x軸

的距離為m可得m=4．

【詳解】解：∵yx22x3(x1)24，

∴拋物線開(kāi)口向上，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)為（1，-4），

∴頂點(diǎn)到x軸的距離為4，

∵函數(shù)圖象有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m，

∴m=4，

故答案為：4．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的概念及表達(dá)式

1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．

2.二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．

第2頁(yè)共80頁(yè).

（3）交點(diǎn)式：，其中x，x是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．

yaxx1xx212

知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）

b

對(duì)稱軸x=–

2a

b4acb2

頂點(diǎn)（–，）

2a4a

a的符號(hào)a>0a<0

圖象

開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下

bb

當(dāng)x=–時(shí)，當(dāng)x=–時(shí)，

2a2a

最值

4acb24acb2

y最小值=y最大值=

4a4a

最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)

bb

當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>

2a2a

增減性

bb

x>–時(shí)，y隨x的增大而增大–時(shí)，y隨x的增大而減小

2a2a

【變式1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)1,0，0,1，頂點(diǎn)在第四象限，

記P2ab，則P的取值范圍是（）

第3頁(yè)共80頁(yè).

A．0P1B．1P2C．0P2D．不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根據(jù)頂點(diǎn)在第四象限，即可求出a的取

值范圍，則P的取值范圍可求．

【詳解】∵拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)(-1,0)、(0,-1)，

abc0

∴有，且顯然a≠0，

c1

∴a-b=1，c=-1，

2

2b4acb

將拋物線yaxbxc配成頂點(diǎn)式：ya(x)2，

2a4a

b4acb2

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(,)，

2a4a

∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，

b

∴＞0，

2a

∵a-b=1，

a1

∴＞0，

2a

解得：0＜a＜1，

∵P=2a-b，a-b=1，

∴P=2a-b=a+a-b=a+1，

∵0＜a＜1，

∴1＜a1＜2，

∴1＜P＜2，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)和頂點(diǎn)在第四象限求出的a的取值范圍是

解答本題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)1,0，0,1，頂點(diǎn)在第四象限，

記P2ab，則P的取值范圍是（）

第4頁(yè)共80頁(yè).

A．0P1B．1P2C．0P2D．不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根據(jù)頂點(diǎn)在第四象限，即可求出a的取

值范圍，則P的取值范圍可求．

【詳解】∵拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)(-1,0)、(0,-1)，

abc0

∴有，且顯然a≠0，

c1

∴a-b=1，c=-1，

2

2b4acb

將拋物線yaxbxc配成頂點(diǎn)式：ya(x)2，

2a4a

b4acb2

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(,)，

2a4a

∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，

b

∴＞0，

2a

∵a-b=1，

a1

∴＞0，

2a

解得：0＜a＜1，

∵P=2a-b，a-b=1，

∴P=2a-b=a+a-b=a+1，

∵0＜a＜1，

∴1＜a1＜2，

∴1＜P＜2，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)和頂點(diǎn)在第四象限求出的a的取值范圍是

解答本題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·江蘇鹽城·濱?？h第一初級(jí)中學(xué)校考三模）如圖1，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)A、P，如果將線段PA

第5頁(yè)共80頁(yè).

繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB，就稱點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”．如圖2，已知點(diǎn)A4,0，點(diǎn)P

是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”，連接AB、OB，則OB的最小值是______．

【答案】22

【分析】①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)≥0時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，由△BPC≌△PAO可得BC=PO，PC=AO，設(shè)OP

長(zhǎng)度為x由兩點(diǎn)距離公式建立二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)＜0時(shí)，過(guò)點(diǎn)B

作BC⊥y軸于C，同理可得OB的表達(dá)式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；

【詳解】解：①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)≥0時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，

∠CBP+∠CPB=90°，∠OPA+∠CPB=90°，則∠CBP=∠OPA，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PB=PA，

△BPC和△PAO中：∠PBC=∠APO，∠BCP=∠POA=90°，BP=PA，

∴△BPC≌△PAO（AAS），

∴BC=PO，PC=AO，

設(shè)OP長(zhǎng)度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（x，x+4）

22

∴OBx2x42x28

∵x≥0，

第6頁(yè)共80頁(yè).

∴x=0時(shí)OB最小，最小值為4，

②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)＜0時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，

同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC=PO，PC=AO，

設(shè)OP長(zhǎng)度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（-x，4-x）

22

∴OBx24x2x28

∵x＞0，

∴x=2時(shí)OB最小，最小值為22，

綜上所述：OB最小值為22，

故答案為：22；

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)P點(diǎn)位置

分類討論是解題關(guān)鍵．

【變式4】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱

2

為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A0,2，點(diǎn)C2,0，則互異二次函數(shù)yxmm與

正方形OABC有公共點(diǎn)時(shí)m的最大值是__________．

【答案】517

2

【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系得出拋物線頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合正方形的位置，則可得到當(dāng)拋

物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)m取最大值，依此列式求解即可．

【詳解】解：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為m,m,

∴拋物線頂點(diǎn)在直線y=-x上移動(dòng)，

第7頁(yè)共80頁(yè).

∵四邊形AOBC為正方形，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（2，0），

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為2,2，

如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，m取最大值，

2

將2,0代入yxmm中，

2

則22mm，

517517

解得m或（舍去），

22

故答案為：517．

2

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)和圖象平移的特點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及

圖象平移的特點(diǎn)．

【變式5】（2021·湖北隨州·一模）如圖，拋物線yax2k(a0,k0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A

1

的右側(cè))，其頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)，且PCOC．過(guò)點(diǎn)P作DE∥AB，分別交拋物線于D，E

4

兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè))，連接OD，DC．

(1)直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(用含a，k的式子表示)

第8頁(yè)共80頁(yè).

(2)猜想線段DE與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)若ODC90，k4，求a的值．

kk

【答案】(1)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為,0、,0、0,k

aa

1

(2)DEAB，理由見(jiàn)解析

2

1

(3)a

3

【分析】（1）yax2k0，求出x的值，可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，令x0，求出y的值，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

1

（2）根據(jù)PCOC求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入解析式，求出點(diǎn)D，E的橫坐標(biāo),進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)度，再根

4

1

據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)度，即可得出DEAB；

2

（3）當(dāng)k4時(shí)，求出OP，PC，PD，再通過(guò)導(dǎo)角證明ODPDCP，得出tanODPtanDCP，進(jìn)

而得出PD2OPPC，代入即可求解．

（1）

解：對(duì)于yax2k，

k

令yax2k0，解得x，

a

令x0，則yk，

kk

故點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為,0、,0、0,k；

aa

（2）

1

解：DEAB，理由：

2

∵C0,k，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸，

∴OCk，

111

∴PCOCkk，

444

13

則ykkk，

P44

3

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,k，

4

第9頁(yè)共80頁(yè).

33

當(dāng)yk時(shí)，則kax2k，

P44

1k

解得x，

2a

1k1kk

則DE，

2a2aa

kkk

由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得：AB22DE，

aaa

1

∴DEAB；

2

（3）

解：當(dāng)k4時(shí)，

441

由12知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,4，DE2，

aaa

11

∴OP3，OC4，PCOCOP431，PDDE，

2a

∵ODC90，

∴ODPCDP90，

又∵CDPDCP90，

ODPDCP，

tanODPtanDCP，

OPPD

∴，即PD2OPPC，

PDPC

2

∴1，

31

a

1

解得a．

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有一定的綜合性，難度適中，第三問(wèn)利用三角函數(shù)或三角

形相似均可得出PD2OPPC，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)yax2k的圖象及性質(zhì)．

核心考點(diǎn)二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷

第10頁(yè)共80頁(yè).

2

例1（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)x1,y1,x2,y2均在拋物線yx1上，下列說(shuō)法正確的是（）

A．若y1y2，則x1x2B．若x1x2，則y1y2

C．若0x1x2，則y1y2D．若x1x20，則y1y2

【答案】D

【詳解】解：由圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，有

A．若y1y2，則x1x2，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

B．若x1x2，則y1y2，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

C．若0x1x2，則y1y2，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

D．若x1x20，則y1y2，原說(shuō)法正確．

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

例2（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）用數(shù)形結(jié)合等思想方法確定二次函數(shù)yx22的圖象與反比例函數(shù)

2

y的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0所在的范圍是（）

x

111133

A．0xB．xC．xD．x1

0440220440

【答案】D

【分析】在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，來(lái)判斷出交點(diǎn)橫坐標(biāo)x0所在的范圍．

【詳解】解：在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖：

第11頁(yè)共80頁(yè).

1

由圖知，顯然x1，

20

32

當(dāng)x時(shí)，將其分別代入yx22與y計(jì)算得；

04x

94128

y2,y

11616233，

4

8415

yy0，

2131648

此時(shí)反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象的上方，

3

x1

40

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)的圖象，再通過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)

得出答案．

222

例3（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，對(duì)于拋物線y1xx1，y2x2x1，y3x3x1，

給出下列結(jié)論：①這三條拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,1；②拋物線y3的對(duì)稱軸可由拋物線y1的對(duì)稱軸向右平移1

個(gè)單位而得到；③這三條拋物線的頂點(diǎn)在同一條直線上；④這三條拋物線與直線y1的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)

之間的距離相等．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______________．

第12頁(yè)共80頁(yè).

【答案】①②④

【分析】根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)及配方法解題．

222

【詳解】將C0,1分別代入拋物線y1xx1，y2x2x1，y3x3x1中，可知，這三條拋

物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，故①正確；

11

拋物線yx2x1的對(duì)稱軸為x，

122

23331

拋物線yx3x1的對(duì)稱軸為x，x=可由x向右平移1個(gè)單位而得到，故②正確；

32222

1515

拋物線yx2x1=(x)2的頂點(diǎn)為A(，)

12424

22，

拋物線y2x2x1=(x1)2的頂點(diǎn)為B(12)

313313

拋物線yx23x1=(x)2的頂點(diǎn)為C(，)

32424

5135

2

3

k4，k442

AB1AC31

12

222

kABkAC

三條拋物線的頂點(diǎn)不在同一條直線上，故③錯(cuò)誤；

將y1分別代入三條拋物線，得x10或1，x20或2，x30或3，

可知，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等，故④正確，

綜上所述，正確的是①②④，

故選：①②④．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，其中涉及將一般式化為頂點(diǎn)式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握

相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

第13頁(yè)共80頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)、拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

①a決定拋物線的開(kāi)口方向：

當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小

完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

知識(shí)點(diǎn)、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

2

b4acb2b4acb2

(1)公式法：yax2bxcax，∴頂點(diǎn)是（，），

2a4a2a4a

b

對(duì)稱軸是直線x.

2a

(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為yaxh2k的形式，

得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是xh.

(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋

物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失★

知識(shí)點(diǎn)、直線與拋物線的交點(diǎn)

(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c)

(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2bhc).

(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)2的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程

yaxbxcxx1x2

第14頁(yè)共80頁(yè).

ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切；

③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為

k，則橫坐標(biāo)是ax2bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn)，由方程組

ykxn

的解的數(shù)目來(lái)確定：

2

yaxbxc

①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);

②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).

2

(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yaxbxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1，0，Bx2，0，由于

bc

x、x是方程ax2bxc0的兩個(gè)根，故xx,xx

1212a12a

22

22b4cb4ac

ABxxxxxx4xx

12121212aaaa

【變式1】（2022·四川瀘州·?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)yax2bxc（a0）的自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)

應(yīng)值如下表：

x…101234…

yax2bxc…830103…

則這個(gè)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．(2,-1)B．1，2C．1,8D．4,3

第15頁(yè)共80頁(yè).

【答案】A

【分析】由圖表數(shù)據(jù)可知，函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為1,0和3,0，故可知圖像對(duì)稱軸為：x2，即可

對(duì)照表格得出頂點(diǎn)坐標(biāo)．

【詳解】解：由表可知：當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x3時(shí)，y0，即函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為1,0和3,0，

1+3

由此可知：圖像對(duì)稱軸為：x==2，對(duì)照表格可知：當(dāng)x2時(shí)，y1，

2

即頂點(diǎn)為(2,-1)，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是將表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)信息，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)畫(huà)出草

圖分析．

2

【變式2】（2022·山東日照·校考一模）設(shè)A2,y1，B1,y2，C2,y3是拋物線yx12上的三點(diǎn)，

則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）

A．y1y2y3B．y1y3y2

C．y3y2y1D．y3y1y2

【答案】A

【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可求得y1，y2，y3的值，比較大小即可．

2

【詳解】解：∵A2,y1，B1,y2，C2,y3是拋物線yx12上的三點(diǎn)，

222

∴y1(21)21，y2(11)22，y3(21)27，

∵1＞-2＞-7，

∴y1y2y3，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的

關(guān)鍵．

22=2

【變式3】（2021·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y1a1x，y2a2x，y3a3x的圖

.

象如圖，則a1，a2，a3的大小關(guān)系為_(kāi)_____（用“”連接）

第16頁(yè)共80頁(yè).

【答案】a1a2a3

【分析】拋物線的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小由a的值決定的，系數(shù)絕對(duì)值越大，開(kāi)口越?。?/p>

【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口都向上，

∴二次項(xiàng)系數(shù)都大于0.

2=2

二次函數(shù)y1a1x的開(kāi)口最小，二次函數(shù)y3a3x的開(kāi)口最大，

a1a2a3，

故答案為：a1a2a3．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)，需熟練掌握．熟練掌握拋物線開(kāi)口大小

與|a|有關(guān)，|a|越大圖象開(kāi)口越小，|a|越小圖象開(kāi)口越大是解答本題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·廣西·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線yax2bxc與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-2，0）和（-1，

0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則a的取值范圍是______．

32

【答案】a

425

【分析】頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)C與D點(diǎn)重合，可以知道頂點(diǎn)坐

標(biāo)為（1，3）且拋物線過(guò)（﹣1，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），由此可求出a；當(dāng)頂點(diǎn)C與F

點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）且拋物線過(guò)（-2，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（8，0），由此也可求a，

然后由此可判斷a的取值范圍．

【詳解】頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

第17頁(yè)共80頁(yè).

當(dāng)頂點(diǎn)C與D點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+3，

a(21)23031

由，解得﹣﹣；

2≤a≤

a(11)3043

當(dāng)頂點(diǎn)C與F點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x﹣3）2+2，

a(23)22012

由，解得﹣﹣；

2≤a≤

a(13)20825

∵頂點(diǎn)可以在矩形內(nèi)部，

32

∴a．

425

32

故答案為：a

425

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵．

【變式5】（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yax24ax2．

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線_______，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______；

(2)若當(dāng)x滿足1x5時(shí)，y的最小值為6，求此時(shí)y的最大值．

【答案】(1)x2，0,2

42

(2)當(dāng)a0時(shí)，y的最大值為12，當(dāng)a<0時(shí)，y的最大值為

5

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸的表達(dá)式計(jì)算求值，再令x=0求得y值即可解答；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，可得x2時(shí)y取得最小值，進(jìn)而可得拋物線解析式，

由對(duì)稱軸x=2可得，x=5時(shí)y取得最大值；②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，可得可得x=5時(shí)y取得最小值，

x=2時(shí)y取得最大值，計(jì)算求值即可；

(1)

4a

解：拋物線yax24ax2的對(duì)稱軸為x=2，

2a

令x=0，則y=2，

∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；

(2)

解：①當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，

∴x2時(shí)，y取得最小值6，

第18頁(yè)共80頁(yè).

4a8a26，解得a2，

∴該拋物線的解析式為y2x28x2，

∵5212，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，

∴當(dāng)x5時(shí)，y取得最大值，

2

y最大2585212；

②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，

∵5212，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，

∴當(dāng)x5時(shí)，y取得最小值6，

8

25a20a26，解得a，

5

832

∴該拋物線的解析式為yx2x2，

55

當(dāng)x2時(shí)，y取得最大值，

823242

y最大222=，

555

42

綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，y的最大值為12，當(dāng)a<0時(shí)，y的最大值為；

5

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，求二次函數(shù)的最值，根據(jù)a的正負(fù)分類討論

是解題關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷

例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)yax2bxc的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線

x=1，有以下結(jié)論：①abc<0；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有abtat2b；③當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)時(shí)，方程

2

axbxc30的兩根為x1，x2（x1x2），則x13x20，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

第19頁(yè)共80頁(yè).

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】利用拋物線開(kāi)口方向得到a＞0，利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到b2a0，利用拋物線與y軸的交

點(diǎn)位置得到c＜0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)當(dāng)x=-1時(shí)有最小值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于二次函數(shù)

yax2bxc與直線y=3的一個(gè)交點(diǎn)為（1，3），利用對(duì)稱性得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=3的另一

個(gè)交點(diǎn)為（-3，3），從而得到x1=-3，x2=1，則可對(duì)③進(jìn)行判斷．

【詳解】∵拋物線開(kāi)口向上，

∴a0，

b

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，即x1，

2a

∴b2a0，

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，

∴c0，

∴abc<0，所以①正確；

∵x=1時(shí)，y有最小值，

∴abcat2btc（t為任意實(shí)數(shù)），即abtat2b，所以②正確；

∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)時(shí)，代入解析式可得c33a，

22

方程axbxc30可化為ax2ax3a0，消a可得方程的兩根為x13，x21，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

∴二次函數(shù)yax2bxc與直線y3的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,3)，

x13，x21代入可得x13x20，

所以③正確．

綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是3．

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，

拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)

a與b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋

物線與y軸交于（0，c）．

第20頁(yè)共80頁(yè).

3

例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+（ca≠0）的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為x，

2

1

且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點(diǎn),y1，（3，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，則y1<y2；③10b-3c=0；

2

④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

31

【分析】由對(duì)稱軸為x即可判斷①；根據(jù)點(diǎn),y1，（3，y2）到對(duì)稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經(jīng)

22

b31

過(guò)點(diǎn)（-1，0），得出a-b+c=0，對(duì)稱軸x，得出ab，代入即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

2a23

以及拋物線的對(duì)稱性即可判斷④．

b3

【詳解】解：∵對(duì)稱軸x，

2a2

∴b=-3a，

∴3a+b=0，①正確；

1

∵拋物線開(kāi)口向上，點(diǎn),y1到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)（3，y2）的距離，

2

∴y1<y2，故②正確；

∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），

∴a-b+c=0，

b3

∵對(duì)稱軸x，

2a2

1

∴ab，

3

1

∴bbc0，

3

∴3c=4b，

第21頁(yè)共80頁(yè).

∴4b-3c=0，故③錯(cuò)誤；

3

∵對(duì)稱軸x，

2

∴點(diǎn)（0，c）的對(duì)稱點(diǎn)為（3，c），

∵開(kāi)口向上，

∴y≤c時(shí)，0≤x≤3．故④正確；

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例3（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0）經(jīng)過(guò)（0，0），（4，0）

兩點(diǎn)．則下列四個(gè)結(jié)論正確的有___（填寫(xiě)序號(hào)）．

①4a+b＝0；

②5a+3b+2c＞0；

3

③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點(diǎn)，則a的取值范圍是a；

4

④對(duì)于a的每一個(gè)確定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，則t的值只有

3個(gè)．

【答案】①③④

【分析】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達(dá)式，求出其解析式，得到系數(shù)之間的關(guān)系，再分別討論每個(gè)

問(wèn)題.

【詳解】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達(dá)式，得：

c0c0

，解得：，

16a4bc0b4a

∴拋物線解析式為yax24ax．

①b4a，則4ab0，故①正確，符合題意；

②5a3b2c5a3(4a)7a，又a＞0，

∴7a0，故②錯(cuò)誤，不符合題意；

③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點(diǎn)，則有3ax24ax，即一元二次方程ax24ax30

有實(shí)數(shù)根，

則16a24a3a(16a12)0，

∵a＞0，

第22頁(yè)共80頁(yè).

3

∴16a120，解得：a，故③正確，符合題意；

4

④如圖，

∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，

一元二次方程可化為ax24axt0，即拋物線yax24ax與直線yt（t為常數(shù)，t≤0）的交點(diǎn)橫

坐標(biāo)為整數(shù)，如圖，則橫坐標(biāo)可為0，1，2，3，4，有3個(gè)t滿足．故④正確，滿足題意．

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系、用根的判別式求取值范圍，借助數(shù)

形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系

字母的符號(hào)圖象的特征

a>0開(kāi)口向上

a

a<0開(kāi)口向下

b=0對(duì)稱軸為y軸

bab>0（a與b同號(hào)）對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

ab<0（a與b異號(hào)）對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

c=0經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負(fù)半軸相交

b2–4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)（頂點(diǎn)）

b2–4acb2–4ac>0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

b2–4ac<0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

第23頁(yè)共80頁(yè).

常用公式及方法：

（1）二次函數(shù)三種表達(dá)式：

表達(dá)式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸

2