專(zhuān)題31 對(duì)角互補(bǔ)模型（原卷版）

模塊二常見(jiàn)模型專(zhuān)練

專(zhuān)題31對(duì)角互補(bǔ)模型

例1（2021·安徽安慶·中考真題）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB

互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN

恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A．4B．3C．2D．1

例2（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實(shí)踐

“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進(jìn)行探究．

提出問(wèn)題：

如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果BD，那么A，B，C，D

四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

探究展示：

如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE則

AECD180（依據(jù)1）

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BD

AECB180

點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的O上（依據(jù)2）

點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

(1)反思?xì)w納：上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．

(2)圖3，在四邊形ABCD中，12，345，則4的度數(shù)為_(kāi)_________．

(3)拓展探究：如圖4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作

點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F，連接AE，DE．

①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；

②若AB22，ADAF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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例3（2020·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾

角為直角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：

（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點(diǎn)，將BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？

（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，ABBC5，CD1，ADAB，點(diǎn)B到直線AD的

距離為BE．

①求BE的長(zhǎng)．

②若M、N分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求MNC周長(zhǎng)的最小值．

對(duì)角互補(bǔ)模型特指在四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

對(duì)角互補(bǔ)模型是經(jīng)典的幾何模型，其中會(huì)涉及到全等三角形的證明、倒角的計(jì)算、線段數(shù)量關(guān)系的證明、

旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造等綜合性較高的幾何知識(shí)，在校內(nèi)考試、中考中一直都是熱門(mén)考點(diǎn)。對(duì)角互補(bǔ)模型在初二陸續(xù)

就會(huì)出現(xiàn)，一般會(huì)和等腰直角三角形、正方形等特殊圖形結(jié)合起來(lái)，既有選填壓軸的題型，也經(jīng)常會(huì)以簡(jiǎn)

答題進(jìn)行考察。

常見(jiàn)的四邊形對(duì)角互補(bǔ)模型含90°-90°對(duì)角互補(bǔ)模型、120°-60°對(duì)角互補(bǔ)模型、2α-（180-2α）對(duì)

角互補(bǔ)模型。本文會(huì)分享對(duì)角互補(bǔ)模型常見(jiàn)的兩種處理策略：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)

行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等.

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模型1：全等形——90°對(duì)角互補(bǔ)模型

模型2：全等形——120°對(duì)角互補(bǔ)模型

模型3：全等形——任意角對(duì)角互補(bǔ)模型

模型4：相似形——90°對(duì)角互補(bǔ)模型

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【變式1】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，且BACDAC，AB15，

AE

AD12．過(guò)頂點(diǎn)C作CEAB于E，則的值為（）

BE

A．73B．9C．6D．7．2

【變式2】（2022·廣東佛山·佛山市華英學(xué)校?？家荒＃┒x：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等

補(bǔ)四邊形．例：如圖1，四邊形內(nèi)接于⊙O，AB＝AD．則四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．

探究與運(yùn)用：如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

若CD＝10，AF＝5，則DF的長(zhǎng)為_(kāi)_．

【變式3】（2021·浙江金華·校考三模）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB

互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM

＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不變；（3）△OMN的周長(zhǎng)不變；（4）四邊形PMON的面積不變，其中正

確的序號(hào)為_(kāi)____．

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【變式4】（2022·浙江寧波·?？既＃净A(chǔ)鞏固】

(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，ACDB，求證∶ABC∽DCA；

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖②，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AED與C互補(bǔ)，BE2，EC4，

求AE的長(zhǎng)；

(3)【拓展提高】如圖③，在菱形ABCD中，E為其內(nèi)部一點(diǎn)，AED與C互補(bǔ)，點(diǎn)F在CD上，EF∥AD，

且AD2EF，AE3，CF1，求DE的長(zhǎng)．

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【變式5】（2022·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）【模型建立】

(1)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且EAF45，探究圖中線段EF，BE，

DF之間的數(shù)量關(guān)系．

小明的探究思路如下：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BGDF，連接AG，先證明ADF≌ABG，再證明

△AEF≌△AEG．

①EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；

②小亮發(fā)現(xiàn)這里ABG可以由△ADF經(jīng)過(guò)一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫(xiě)出這種圖形變換的過(guò)程________．像

上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱(chēng)為半角模型．

【類(lèi)比探究】

(2)如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，ABC與D互補(bǔ)，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且

1

EAFBAD，試問(wèn)線段EF，BE，DF之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？判斷并說(shuō)明理由．

2

【模型應(yīng)用】

(3)如圖3，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，AD6，AB4，CAE45，求CE的長(zhǎng)．

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【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022秋·福建廈門(mén)·九年級(jí)廈門(mén)市第五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AOB（是常量）．點(diǎn)P在AOB的

平分線上，且OP2，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的MPN繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，MPN的兩邊分別

與OB，OA相交于M，N兩點(diǎn)，若MPN始終與AOB互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①PMPN；②OMON

的值不變；③四邊形PMON的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）

A．①③B．①②③C．①③④D．②③

2．（2021·山西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形，如圖，在互補(bǔ)四邊形紙

片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．將紙片先沿直線BD對(duì)折，再將對(duì)折

后的紙片從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪，把剪開(kāi)的紙片打開(kāi)后鋪平，若鋪平后的紙片中有一個(gè)面積為4的平

行四邊形，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_．

3．（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的

夾角為直角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)

題：

(1)如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點(diǎn)，將BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

F在DA的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，ABBC5，CD1，ADAB，點(diǎn)B到直線AD的距

離為BE，求BE的長(zhǎng)．

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4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：一組對(duì)角互補(bǔ)，且對(duì)角線平分其中一個(gè)內(nèi)角，稱(chēng)四邊形為余缺

四邊形．

如圖1，四邊形ABCD，DB180，AC平分DAB，則四邊形ABCD為余缺四邊形．

【概念理解】

(1)用（填序號(hào)）一定可以拼成余缺四邊形．

①兩個(gè)全等的直角三角形，②兩個(gè)全等的等邊三角形；

(2)如圖1，余缺四邊形ABCD，AC平分DAB，若AD6，AB2，則S△ADC:S△ABC；

【初步應(yīng)用】

如圖2，已知△ABC，∠BAC的平分線AP與BC的垂直平分線交于P點(diǎn)，連接PB、PC．

(3)求證：四邊形ABPC為余缺四邊形；

(4)若AB9，AC5，則PA2PB2的值為．

【遷移應(yīng)用】

(5)如圖3，MAN90，等腰Rt△PBC的B、C兩點(diǎn)分別在射線AM、AN.上，且斜邊BC10cm(P、A

在BC兩側(cè))，若B、C兩點(diǎn)在射線AM、AN上滑動(dòng)時(shí)，四邊形APBC的面積是否發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)

說(shuō)明理由；若變化，直接寫(xiě)出面積的最大的值．

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5．（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)如皋市實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）如圖1，我們定義：在四邊形ABCD中，若

AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，則把四邊形ABCD叫做互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形．

(1)如圖2，在等邊ABE中，D、C分別是邊AE、BE的中點(diǎn)，連接CD，問(wèn)四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四

邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理△由．

1

(2)如圖3，在等腰ABE中，四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，求證：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．

2

△1

(3)如圖4，在非等腰ABE中，若四邊形ABCD是互補(bǔ)等對(duì)邊四邊形，試問(wèn)∠ABD＝∠BAC＝∠AEB是否

2

仍然成立？若成立，△請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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6．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市怡雅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）新定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊

形叫做等補(bǔ)四邊形．如圖1，在四邊形ABCD中，ADCD，BADBCD180，則四邊形ABCD是一個(gè)

等補(bǔ)四邊形．

(1)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，怡怡小組對(duì)等補(bǔ)四邊形ABCD進(jìn)一步探究，發(fā)現(xiàn)BD平分ABC．怡怡小組提供的解題

思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)D分別作DEBC于E，DFBA交BA的延長(zhǎng)線于F，通過(guò)證明△ADF△CDE，

得DF=DE，再根據(jù)“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”得到BD平分ABC．請(qǐng)你寫(xiě)出

怡怡小組的完整證明過(guò)程；

(2)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，以AB為直徑的⊙M交y軸于點(diǎn)C、D，點(diǎn)P為弧BC

上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．

①求證：四邊形ACPD始終是一個(gè)等補(bǔ)四邊形；

PD2PC2

②在圖3中，若A1,0，B3,0，連接PA，PB，的值是否會(huì)隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而變化？若不變

PAPB

化，請(qǐng)求出該定值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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7．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題提出：

蘇科版九年級(jí)（上冊(cè)）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對(duì)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問(wèn)題：

1．如圖（1），在O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BD是O的直徑．A與C、ABC與ADC有怎樣的

數(shù)量關(guān)系？

2．如圖（2），若圓心O不在O的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線上，問(wèn)題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？

（1）小明發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1中的A與C、ABC與ADC都滿足互補(bǔ)關(guān)系，請(qǐng)幫助他完善問(wèn)題1的證明：

∵BD是O的直徑，

∴__________________，

∴AC180，

∵四邊形內(nèi)角和等于360，

∴__________________．

（2）請(qǐng)回答問(wèn)題2，并說(shuō)明理由．

深入探究：

如圖3，O的內(nèi)接四邊形ABCD恰有一個(gè)內(nèi)切圓I，切點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F、G、H，連接GH，EF．

（1）直接寫(xiě)出四邊形ABCD邊滿足的數(shù)量關(guān)系_________；

（2）探究EF、GH滿足的位置關(guān)系；

（3）如圖4，若C90，BC3，CD2，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面積．

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8．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同

一個(gè)圓上，則稱(chēng)這四個(gè)點(diǎn)共圓，簡(jiǎn)稱(chēng)“四點(diǎn)共圓”．我們學(xué)過(guò)了“圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”這一定理，它的

逆命題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓”是證明“四點(diǎn)共圓”的一種常用方法．除此之外，我們還經(jīng)常用“同

旁張角相等”來(lái)證明“四點(diǎn)共圓”．如圖1，在線段AB同側(cè)有兩點(diǎn)C，D．連接AD，AC，BC，BD，如果

CD，那么A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”

(1)如圖2，已知四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，下列條件：①12；

②24：③5ADC：④PAPCPBPD．其中，能判定A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”的條件有

___________：

(2)如圖3，直線yx6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，

若A，B，C，D“四點(diǎn)共圓”，且ADC105o，求四邊形ABCD的面積；

(3)如圖4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，且

BDCD，連結(jié)AD，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F，連接AE，DE．

①求證：A，D，B，E“四點(diǎn)共圓”；

②若AB22，ADAF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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9．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)?？计谀┯幸唤M鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫

做等鄰邊互補(bǔ)四邊形．

(1)如圖1，在等鄰邊互補(bǔ)四邊形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度數(shù)；

(2)如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接DO交AC于點(diǎn)E（不與點(diǎn)O重合），若E是AC的中點(diǎn)，求證：

四邊形ABCD是等鄰邊互補(bǔ)四邊形；

24

(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)DO交BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，若BGAB,tanABC，AC＝12，求FG

7

的長(zhǎng)；

(4)如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，BD為⊙O的直徑，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，交⊙O

EF

于點(diǎn)F，連接FC，設(shè)tan∠BAF＝x，y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

AE

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10．（2022春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）【問(wèn)題情境】小明翻閱自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記時(shí)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)老

師在講評(píng)七下《伴你學(xué)》第6頁(yè)“遷移應(yīng)用”第1題時(shí)，曾做過(guò)如下追問(wèn)：如圖1，已知ABCD，點(diǎn)E、F

分別在AB、CD上，點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G在AB、CD之間，且在線段EF左側(cè)時(shí)，連接EG、FG，

則一定有AEGCFGG，為什么？請(qǐng)幫助小明再次說(shuō)明理由；

（2）【變式思考】如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在AB上方時(shí)，且EGF90，請(qǐng)直接寫(xiě)出BEG與DFG之間的數(shù)量

關(guān)系______；

（3）【遷移拓展】①如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作直線HK交直線CD于K，使HEG與GEB互

補(bǔ)，作EKD的平分線與直線GE交于點(diǎn)L，請(qǐng)你判斷FG與KL的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②在①的條件下，第一次操作；分別作∠BEL和∠DKL的平分線，交點(diǎn)為L(zhǎng)1；第二次操作，分別作∠BEL1

和∠DKL1的平分線，交點(diǎn)為L(zhǎng)2；……第n次操作，分別作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分線，交點(diǎn)為L(zhǎng)、則

∠Ln=______．

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11．（2022春·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┧倪呅蜛BCD若滿足∠A+∠C＝180°，則我們稱(chēng)該四邊形為“對(duì)角

互補(bǔ)四邊形”．

(1)四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，則∠A的度數(shù)為_(kāi)______；

(2)如圖1，四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，BADBCD90，ABAD．

求證：AC平分BCD．

小云同學(xué)是這么做的：延長(zhǎng)CD至M，使得DM=BC，連AM，可證明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰

直角三角形，由此證明出AC平分∠BCD，還可以知道CB、CD、CA三者關(guān)系為_(kāi)______；

(3)如圖2，四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足∠BAD=60°，AB=AD，試證明：

①AC平分∠BCD；

②CA=CB+CD；

(4)如圖3，四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，，且滿足∠ABC=60°，AD=CD，則BA、BC、BD三者關(guān)系為

_______．

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12．（2022春·吉林·八年級(jí)吉林省實(shí)驗(yàn)校考期中）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等

鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形．

根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：

(1)如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等補(bǔ)”四邊形；

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AE＝6，AB＝BC＝10，AD>AB，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于E，

過(guò)C作CF⊥BE于點(diǎn)F．

①試求EF的長(zhǎng)；

②連結(jié)BD，若點(diǎn)M是線段DB上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△MEF周長(zhǎng)的最小值．

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13．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）問(wèn)題提出

（1）如圖1，四邊形ABCD中，ABAD，B與D互補(bǔ)，BC2CD20，點(diǎn)A到BC邊的距離為17，

求四邊形ABCD的面積．

問(wèn)題解決

（2）某公園計(jì)劃修建主題活動(dòng)區(qū)域，如圖2所示，BABC60m，B=60，CD∥AB，在BC上找一

點(diǎn)E，修建兩個(gè)不同的三角形活動(dòng)區(qū)域，△ABE區(qū)域?yàn)轶w育健身活動(dòng)區(qū)域，△ECD為文藝活動(dòng)表演區(qū)域，

根據(jù)規(guī)劃要求，EDEA，AED60，設(shè)EC的長(zhǎng)為x(m)，△ECD的面積為y(m2)，求y與x之間的函數(shù)

關(guān)系式，并求出△ECD面積的最大值．

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14．（2022·山西晉中·統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題背景：

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探索有一組鄰邊相等，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的性質(zhì)．如圖1，在四邊形

ABCD中，DADC，ABCADC180．

實(shí)踐操作：

(1)同學(xué)們首先從特殊情形開(kāi)始探索，如圖2，當(dāng)ABC90時(shí)，其它條件不變，發(fā)現(xiàn)了BD平分ABC的

性質(zhì)，有兩個(gè)小組給出如下的證明思路：

“團(tuán)結(jié)組”：利用“在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”；

“實(shí)踐組”：由DADC想到將△ABD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DA與DC重合，將四邊形ABCD轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的

特殊圖形．

①請(qǐng)你分別在圖2，圖3中畫(huà)出符合“團(tuán)結(jié)組”和“實(shí)踐組”思路的輔助線；

②求證：BD平分ABC；（從上面的兩個(gè)思路中選一個(gè)或按照自己的思路）

(2)“創(chuàng)新組”的同學(xué)發(fā)現(xiàn)在圖2中ABBC2BD，請(qǐng)你說(shuō)明理由；

拓展延伸：

(3)“善思組”的同學(xué)受“創(chuàng)新組”同學(xué)的啟發(fā)，提出如下問(wèn)題：如圖4，當(dāng)ABC120時(shí)，其它條件不變，延

DF1

長(zhǎng)BD到點(diǎn)F，使，過(guò)點(diǎn)F分別作FG∥CB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，F(xiàn)E∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

BD4

若GF53，則四邊形BEFG的形狀為_(kāi)______，四邊形ABCD的面積為_(kāi)_____．

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15．（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的

夾角為直角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)

題：

(1)如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點(diǎn)，將BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F

在DA的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等補(bǔ)”四邊形；

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，ABBC，ADAB，過(guò)點(diǎn)B作BEAD于點(diǎn)E．

①試探究BE與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若BC10，CD2，求AD的長(zhǎng)．

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16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為

直角，像這樣的圖形稱(chēng)為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱(chēng)“直等補(bǔ)”四邊形．

根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：

(1)如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點(diǎn)，將△BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

F在DA的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEDF（填“是”或“不是”）“直等補(bǔ)”四邊形；

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于E．

①過(guò)C作CF⊥BF于點(diǎn)F，試證明：BE＝DE，并求BE的長(zhǎng)；

②若M是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求△BCM周長(zhǎng)的最小值．

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17．（2022春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如：在四

邊形ABCD中，AC180，或BD180，則四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．

(1)【概念理解】如圖（1），四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．

①若A:B:C3:2:1，則∠D的度數(shù)是_________；

②若DB=90°，且AB22,AD2，則CD2CB2_______．

1

(2)【拓展延伸】如圖（2），四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)ABCB，且EBFABC時(shí)，猜測(cè)AE，

2

CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

(3)【類(lèi)比運(yùn)用】如圖（3），如圖（4），在四邊形ABCD中，ABCB，BD平分ADC．

①如圖（3），求證：四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；

S△ACD4a

②如圖（4），設(shè)ADa,DCb，連接AC，當(dāng)ABC90，且時(shí)，求的值．

S△ABC5b

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18．（2022·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．

(1)閱讀與理解：

如圖1，四邊形內(nèi)接于O，點(diǎn)A為弧BD的中點(diǎn)．四邊形ABCD（填“是”或“不是”）等補(bǔ)四

邊形．⊙

(2)探究與運(yùn)用：

①如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若CD＝10，

AF＝5，求DF的長(zhǎng)．

(3)思考與延伸：

在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，當(dāng)對(duì)角線AC長(zhǎng)度最大時(shí)，以AC為斜邊作等腰直

角三角形ACP，直接寫(xiě)出線段DP的長(zhǎng)度．

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19．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谀┯羞@樣一類(lèi)特殊邊角特征的四邊形，它們有“一組鄰邊相等且對(duì)角

互補(bǔ)”，我們稱(chēng)之為“等對(duì)補(bǔ)四邊形”．

(1)如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE＝4，則四邊形ABCD

的面積等于．

(2)等對(duì)補(bǔ)四邊形中，經(jīng)過(guò)兩條相等鄰邊的公共頂點(diǎn)的一條對(duì)角線，必平分四邊形的一個(gè)內(nèi)角，即如圖2，

四邊形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，連接BD，求證：BD平分∠ABC．

(3)現(xiàn)準(zhǔn)備在某地著名風(fēng)景區(qū)開(kāi)發(fā)一片國(guó)家稀有動(dòng)物核心保護(hù)區(qū)，保護(hù)區(qū)的規(guī)劃圖如圖3所示，該地規(guī)劃部

門(mén)要求：四邊形ABCD是一個(gè)“等對(duì)補(bǔ)四邊形”，滿足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地勢(shì)原因，

要求3≤AD≤6，求該區(qū)域四邊形ABCD面積的最大值．

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20．（2021·山西大同·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】

在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“頂角互補(bǔ)的等腰三角形紙片的圖形變換”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，

兩張等腰三角形紙片ABC和AEF，其中AB＝AC＝m，AE＝AF＝n，m＞n，∠BAC＋∠EAF＝180°，△AEF

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為0?180，點(diǎn)M為BF的中點(diǎn)．

【特例感知】

（1）如圖1，當(dāng)0o時(shí)，AM和CE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2，當(dāng)90時(shí)，連接AM，CE，請(qǐng)判斷AM和CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【深入探究】

（3）如圖3，當(dāng)為任意銳角時(shí)，連接AM，CE，探究AM和CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【解決問(wèn)題】

（4）如圖4，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，A