專題31 對角互補模型（原卷版）

模塊二常見模型專練

專題31對角互補模型

例1（2021·安徽安慶·中考真題）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB

互補，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM=PN

恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數(shù)為（）

A．4B．3C．2D．1

例2（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進行探究．

提出問題：

如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果BD，那么A，B，C，D

四點在同一個圓上．

探究展示：

如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE則

AECD180（依據(jù)1）

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BD

AECB180

點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

點B，D在點A，C，E所確定的O上（依據(jù)2）

點A，B，C，E四點在同一個圓上

(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．

(2)圖3，在四邊形ABCD中，12，345，則4的度數(shù)為__________．

(3)拓展探究：如圖4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作

點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．

①求證：A，D，B，E四點共圓；

②若AB22，ADAF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．

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例3（2020·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾

角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：

（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點，將BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對

應點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？

（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，ABBC5，CD1，ADAB，點B到直線AD的

距離為BE．

①求BE的長．

②若M、N分別是AB、AD邊上的動點，求MNC周長的最小值．

對角互補模型特指在四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

對角互補模型是經(jīng)典的幾何模型，其中會涉及到全等三角形的證明、倒角的計算、線段數(shù)量關系的證明、

旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造等綜合性較高的幾何知識，在校內(nèi)考試、中考中一直都是熱門考點。對角互補模型在初二陸續(xù)

就會出現(xiàn)，一般會和等腰直角三角形、正方形等特殊圖形結(jié)合起來，既有選填壓軸的題型，也經(jīng)常會以簡

答題進行考察。

常見的四邊形對角互補模型含90°-90°對角互補模型、120°-60°對角互補模型、2α-（180-2α）對

角互補模型。本文會分享對角互補模型常見的兩種處理策略：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進

行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等.

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模型1：全等形——90°對角互補模型

模型2：全等形——120°對角互補模型

模型3：全等形——任意角對角互補模型

模型4：相似形——90°對角互補模型

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【變式1】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD的對角互補，且BACDAC，AB15，

AE

AD12．過頂點C作CEAB于E，則的值為（）

BE

A．73B．9C．6D．7．2

【變式2】（2022·廣東佛山·佛山市華英學校?？家荒＃┒x：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等

補四邊形．例：如圖1，四邊形內(nèi)接于⊙O，AB＝AD．則四邊形ABCD是等補四邊形．

探究與運用：如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F，

若CD＝10，AF＝5，則DF的長為__．

【變式3】（2021·浙江金華·校考三模）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB

互補，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM

＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不變；（3）△OMN的周長不變；（4）四邊形PMON的面積不變，其中正

確的序號為_____．

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【變式4】（2022·浙江寧波·?？既＃净A鞏固】

(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，ACDB，求證∶ABC∽DCA；

(2)【嘗試應用】如圖②，在平行四邊形ABCD中，點E在BC上，AED與C互補，BE2，EC4，

求AE的長；

(3)【拓展提高】如圖③，在菱形ABCD中，E為其內(nèi)部一點，AED與C互補，點F在CD上，EF∥AD，

且AD2EF，AE3，CF1，求DE的長．

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【變式5】（2022·江西南昌·模擬預測）【模型建立】

(1)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且EAF45，探究圖中線段EF，BE，

DF之間的數(shù)量關系．

小明的探究思路如下：延長CB到點G，使BGDF，連接AG，先證明ADF≌ABG，再證明

△AEF≌△AEG．

①EF，BE，DF之間的數(shù)量關系為________；

②小亮發(fā)現(xiàn)這里ABG可以由△ADF經(jīng)過一種圖形變換得到，請你寫出這種圖形變換的過程________．像

上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．

【類比探究】

(2)如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，ABC與D互補，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且

1

EAFBAD，試問線段EF，BE，DF之間具有怎樣的數(shù)量關系？判斷并說明理由．

2

【模型應用】

(3)如圖3，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，AD6，AB4，CAE45，求CE的長．

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【培優(yōu)練習】

1．（2022秋·福建廈門·九年級廈門市第五中學校考期中）如圖，AOB（是常量）．點P在AOB的

平分線上，且OP2，以點P為頂點的MPN繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，MPN的兩邊分別

與OB，OA相交于M，N兩點，若MPN始終與AOB互補，則以下四個結(jié)論：①PMPN；②OMON

的值不變；③四邊形PMON的面積不變；④點M與點N的距離保持不變．其中正確的為（）

A．①③B．①②③C．①③④D．②③

2．（2021·山西·九年級專題練習）定義：有一組對角互補的四邊形叫做互補四邊形，如圖，在互補四邊形紙

片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．將紙片先沿直線BD對折，再將對折

后的紙片從一個頂點出發(fā)的直線裁剪，把剪開的紙片打開后鋪平，若鋪平后的紙片中有一個面積為4的平

行四邊形，則CD的長為__．

3．（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期中）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的

夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問

題：

(1)如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點，將BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應點

F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，ABBC5，CD1，ADAB，點B到直線AD的距

離為BE，求BE的長．

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4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）定義：一組對角互補，且對角線平分其中一個內(nèi)角，稱四邊形為余缺

四邊形．

如圖1，四邊形ABCD，DB180，AC平分DAB，則四邊形ABCD為余缺四邊形．

【概念理解】

(1)用（填序號）一定可以拼成余缺四邊形．

①兩個全等的直角三角形，②兩個全等的等邊三角形；

(2)如圖1，余缺四邊形ABCD，AC平分DAB，若AD6，AB2，則S△ADC:S△ABC；

【初步應用】

如圖2，已知△ABC，∠BAC的平分線AP與BC的垂直平分線交于P點，連接PB、PC．

(3)求證：四邊形ABPC為余缺四邊形；

(4)若AB9，AC5，則PA2PB2的值為．

【遷移應用】

(5)如圖3，MAN90，等腰Rt△PBC的B、C兩點分別在射線AM、AN.上，且斜邊BC10cm(P、A

在BC兩側(cè))，若B、C兩點在射線AM、AN上滑動時，四邊形APBC的面積是否發(fā)生變化？若不變化，請

說明理由；若變化，直接寫出面積的最大的值．

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5．（2022秋·江蘇南通·八年級如皋市實驗初中?？茧A段練習）如圖1，我們定義：在四邊形ABCD中，若

AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，則把四邊形ABCD叫做互補等對邊四邊形．

(1)如圖2，在等邊ABE中，D、C分別是邊AE、BE的中點，連接CD，問四邊形ABCD是互補等對邊四

邊形嗎？請說明理△由．

1

(2)如圖3，在等腰ABE中，四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，求證：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．

2

△1

(3)如圖4，在非等腰ABE中，若四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，試問∠ABD＝∠BAC＝∠AEB是否

2

仍然成立？若成立，△請加以證明；若不成立，請說明理由．

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6．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市怡雅中學?？茧A段練習）新定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊

形叫做等補四邊形．如圖1，在四邊形ABCD中，ADCD，BADBCD180，則四邊形ABCD是一個

等補四邊形．

(1)在數(shù)學活動課上，怡怡小組對等補四邊形ABCD進一步探究，發(fā)現(xiàn)BD平分ABC．怡怡小組提供的解題

思路是：如圖2，過點D分別作DEBC于E，DFBA交BA的延長線于F，通過證明△ADF△CDE，

得DF=DE，再根據(jù)“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”得到BD平分ABC．請你寫出

怡怡小組的完整證明過程；

(2)如圖3，在平面直角坐標系中，點A、B在x軸上，以AB為直徑的⊙M交y軸于點C、D，點P為弧BC

上一動點（不與B、C重合）．

①求證：四邊形ACPD始終是一個等補四邊形；

PD2PC2

②在圖3中，若A1,0，B3,0，連接PA，PB，的值是否會隨著點P的移動而變化？若不變

PAPB

化，請求出該定值；若變化，請說明理由．

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7．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）問題提出：

蘇科版九年級（上冊）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對角的數(shù)量關系時提出了兩個問題：

1．如圖（1），在O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BD是O的直徑．A與C、ABC與ADC有怎樣的

數(shù)量關系？

2．如圖（2），若圓心O不在O的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線上，問題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？

（1）小明發(fā)現(xiàn)問題1中的A與C、ABC與ADC都滿足互補關系，請幫助他完善問題1的證明：

∵BD是O的直徑，

∴__________________，

∴AC180，

∵四邊形內(nèi)角和等于360，

∴__________________．

（2）請回答問題2，并說明理由．

深入探究：

如圖3，O的內(nèi)接四邊形ABCD恰有一個內(nèi)切圓I，切點分別是點E、F、G、H，連接GH，EF．

（1）直接寫出四邊形ABCD邊滿足的數(shù)量關系_________；

（2）探究EF、GH滿足的位置關系；

（3）如圖4，若C90，BC3，CD2，請直接寫出圖中陰影部分的面積．

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8．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙麓山國際實驗學校?？茧A段練習）定義：如果同一平面內(nèi)的四個點在同

一個圓上，則稱這四個點共圓，簡稱“四點共圓”．我們學過了“圓的內(nèi)接四邊形的對角互補”這一定理，它的

逆命題“對角互補的四邊形四個頂點共圓”是證明“四點共圓”的一種常用方法．除此之外，我們還經(jīng)常用“同

旁張角相等”來證明“四點共圓”．如圖1，在線段AB同側(cè)有兩點C，D．連接AD，AC，BC，BD，如果

CD，那么A，B，C，D“四點共圓”

(1)如圖2，已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點P，點E在CB的延長線上，下列條件：①12；

②24：③5ADC：④PAPCPBPD．其中，能判定A，B，C，D“四點共圓”的條件有

___________：

(2)如圖3，直線yx6與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在x軸正半軸上，點D在y軸負半軸上，

若A，B，C，D“四點共圓”，且ADC105o，求四邊形ABCD的面積；

(3)如圖4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，點D是線段BC上的一個動點（點D不與點B重合，且

BDCD，連結(jié)AD，作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．

①求證：A，D，B，E“四點共圓”；

②若AB22，ADAF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值：若變化，請說明理由．

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9．（2022秋·浙江寧波·九年級浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學校考期末）有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫

做等鄰邊互補四邊形．

(1)如圖1，在等鄰邊互補四邊形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度數(shù)；

(2)如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接DO交AC于點E（不與點O重合），若E是AC的中點，求證：

四邊形ABCD是等鄰邊互補四邊形；

24

(3)在（2）的條件下，延長DO交BC于點F，交⊙O于點G，若BGAB,tanABC，AC＝12，求FG

7

的長；

(4)如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，BD為⊙O的直徑，連接AO并延長交BC于點E，交⊙O

EF

于點F，連接FC，設tan∠BAF＝x，y，求y與x之間的函數(shù)關系式．

AE

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10．（2022春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）（1）【問題情境】小明翻閱自己數(shù)學學習筆記時發(fā)現(xiàn)，數(shù)學老

師在講評七下《伴你學》第6頁“遷移應用”第1題時，曾做過如下追問：如圖1，已知ABCD，點E、F

分別在AB、CD上，點G為平面內(nèi)一點，當點G在AB、CD之間，且在線段EF左側(cè)時，連接EG、FG，

則一定有AEGCFGG，為什么？請幫助小明再次說明理由；

（2）【變式思考】如圖2，當點G在AB上方時，且EGF90，請直接寫出BEG與DFG之間的數(shù)量

關系______；

（3）【遷移拓展】①如圖3，在（2）的條件下，過點E作直線HK交直線CD于K，使HEG與GEB互

補，作EKD的平分線與直線GE交于點L，請你判斷FG與KL的位置關系，并說明理由；

②在①的條件下，第一次操作；分別作∠BEL和∠DKL的平分線，交點為L1；第二次操作，分別作∠BEL1

和∠DKL1的平分線，交點為L2；……第n次操作，分別作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分線，交點為L、則

∠Ln=______．

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11．（2022春·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┧倪呅蜛BCD若滿足∠A+∠C＝180°，則我們稱該四邊形為“對角

互補四邊形”．

(1)四邊形ABCD為對角互補四邊形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，則∠A的度數(shù)為_______；

(2)如圖1，四邊形ABCD為對角互補四邊形，BADBCD90，ABAD．

求證：AC平分BCD．

小云同學是這么做的：延長CD至M，使得DM=BC，連AM，可證明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰

直角三角形，由此證明出AC平分∠BCD，還可以知道CB、CD、CA三者關系為_______；

(3)如圖2，四邊形ABCD為對角互補四邊形，且滿足∠BAD=60°，AB=AD，試證明：

①AC平分∠BCD；

②CA=CB+CD；

(4)如圖3，四邊形ABCD為對角互補四邊形，，且滿足∠ABC=60°，AD=CD，則BA、BC、BD三者關系為

_______．

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12．（2022春·吉林·八年級吉林省實驗校考期中）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等

鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)如圖1，正方形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應

點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等補”四邊形；

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AE＝6，AB＝BC＝10，AD>AB，過點B作BE⊥AD于E，

過C作CF⊥BE于點F．

①試求EF的長；

②連結(jié)BD，若點M是線段DB上的動點，請直接寫出△MEF周長的最小值．

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13．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）問題提出

（1）如圖1，四邊形ABCD中，ABAD，B與D互補，BC2CD20，點A到BC邊的距離為17，

求四邊形ABCD的面積．

問題解決

（2）某公園計劃修建主題活動區(qū)域，如圖2所示，BABC60m，B=60，CD∥AB，在BC上找一

點E，修建兩個不同的三角形活動區(qū)域，△ABE區(qū)域為體育健身活動區(qū)域，△ECD為文藝活動表演區(qū)域，

根據(jù)規(guī)劃要求，EDEA，AED60，設EC的長為x(m)，△ECD的面積為y(m2)，求y與x之間的函數(shù)

關系式，并求出△ECD面積的最大值．

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14．（2022·山西晉中·統(tǒng)考二模）綜合與實踐

問題背景：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們探索有一組鄰邊相等，一組對角互補的四邊形的性質(zhì)．如圖1，在四邊形

ABCD中，DADC，ABCADC180．

實踐操作：

(1)同學們首先從特殊情形開始探索，如圖2，當ABC90時，其它條件不變，發(fā)現(xiàn)了BD平分ABC的

性質(zhì)，有兩個小組給出如下的證明思路：

“團結(jié)組”：利用“在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”；

“實踐組”：由DADC想到將△ABD繞點D旋轉(zhuǎn)，使DA與DC重合，將四邊形ABCD轉(zhuǎn)化成我們學過的

特殊圖形．

①請你分別在圖2，圖3中畫出符合“團結(jié)組”和“實踐組”思路的輔助線；

②求證：BD平分ABC；（從上面的兩個思路中選一個或按照自己的思路）

(2)“創(chuàng)新組”的同學發(fā)現(xiàn)在圖2中ABBC2BD，請你說明理由；

拓展延伸：

(3)“善思組”的同學受“創(chuàng)新組”同學的啟發(fā)，提出如下問題：如圖4，當ABC120時，其它條件不變，延

DF1

長BD到點F，使，過點F分別作FG∥CB交BA的延長線于點G，F(xiàn)E∥AB交BC的延長線于點E，

BD4

若GF53，則四邊形BEFG的形狀為_______，四邊形ABCD的面積為______．

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15．（2022秋·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期中）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的

夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問

題：

(1)如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點，將BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應點F

在DA的延長線上，則四邊形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等補”四邊形；

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，ABBC，ADAB，過點B作BEAD于點E．

①試探究BE與DE的數(shù)量關系，并說明理由；

②若BC10，CD2，求AD的長．

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16．（2022·全國·九年級專題練習）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為

直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應點

F在DA的延長線上，則四邊形BEDF（填“是”或“不是”）“直等補”四邊形；

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，過點B作BE⊥AD于E．

①過C作CF⊥BF于點F，試證明：BE＝DE，并求BE的長；

②若M是AD邊上的動點，求△BCM周長的最小值．

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17．（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）定義：有一組對角互補的四邊形叫做“對補四邊形”，例如：在四

邊形ABCD中，AC180，或BD180，則四邊形ABCD是“對補四邊形”．

(1)【概念理解】如圖（1），四邊形ABCD是“對補四邊形”．

①若A:B:C3:2:1，則∠D的度數(shù)是_________；

②若DB=90°，且AB22,AD2，則CD2CB2_______．

1

(2)【拓展延伸】如圖（2），四邊形ABCD是“對補四邊形”，當ABCB，且EBFABC時，猜測AE，

2

CF，EF之間的數(shù)量關系，并加以證明．

(3)【類比運用】如圖（3），如圖（4），在四邊形ABCD中，ABCB，BD平分ADC．

①如圖（3），求證：四邊形ABCD是“對補四邊形”；

S△ACD4a

②如圖（4），設ADa,DCb，連接AC，當ABC90，且時，求的值．

S△ABC5b

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18．（2022·浙江金華·模擬預測）定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．

(1)閱讀與理解：

如圖1，四邊形內(nèi)接于O，點A為弧BD的中點．四邊形ABCD（填“是”或“不是”）等補四

邊形．⊙

(2)探究與運用：

①如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由；

②如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F，若CD＝10，

AF＝5，求DF的長．

(3)思考與延伸：

在等補四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，當對角線AC長度最大時，以AC為斜邊作等腰直

角三角形ACP，直接寫出線段DP的長度．

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19．（2022秋·陜西西安·九年級校考期末）有這樣一類特殊邊角特征的四邊形，它們有“一組鄰邊相等且對角

互補”，我們稱之為“等對補四邊形”．

(1)如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點E，若AE＝4，則四邊形ABCD

的面積等于．

(2)等對補四邊形中，經(jīng)過兩條相等鄰邊的公共頂點的一條對角線，必平分四邊形的一個內(nèi)角，即如圖2，

四邊形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，連接BD，求證：BD平分∠ABC．

(3)現(xiàn)準備在某地著名風景區(qū)開發(fā)一片國家稀有動物核心保護區(qū)，保護區(qū)的規(guī)劃圖如圖3所示，該地規(guī)劃部

門要求：四邊形ABCD是一個“等對補四邊形”，滿足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地勢原因，

要求3≤AD≤6，求該區(qū)域四邊形ABCD面積的最大值．

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20．（2021·山西大同·統(tǒng)考一模）綜合與實踐

【問題情境】

在綜合實踐課上，老師讓同學們以“頂角互補的等腰三角形紙片的圖形變換”為主題開展數(shù)學活動．如圖1，

兩張等腰三角形紙片ABC和AEF，其中AB＝AC＝m，AE＝AF＝n，m＞n，∠BAC＋∠EAF＝180°，△AEF

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為0?180，點M為BF的中點．

【特例感知】

（1）如圖1，當0o時，AM和CE的數(shù)量關系是；

（2）如圖2，當90時，連接AM，CE，請判斷AM和CE的數(shù)量關系，并說明理由；

【深入探究】

（3）如圖3，當為任意銳角時，連接AM，CE，探究AM和CE的數(shù)量關系，并說明理由；

【解決問題】

（4）如圖4，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，A