專題34 規(guī)律探究性問題（原卷版）

模塊三重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題34規(guī)律探究題專訓(xùn)

規(guī)律探索類問題的特征是給出若干個(gè)按照一定順序排列的具有某種特定變化規(guī)律的數(shù)、式或圖形，

要求解題者通過觀察、分析、歸納和猜想等一系列活動(dòng)找出蘊(yùn)藏于其間的一般性規(guī)律。這類較為新穎

的探索型問題不僅可以鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，而且還具有較強(qiáng)的綜合

性和較高的區(qū)分度，因此成為近年各地中考數(shù)學(xué)中的一個(gè)考查熱點(diǎn)。

1317911

例1（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，-，，，，，…．則

252172637

按此規(guī)律排列的第10個(gè)數(shù)是（）

19211921

A．B．C．D．

1011018282

例2（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，

第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)

是（）

A．297B．301C．303D．400

例3（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個(gè)數(shù)是（）

A．98B．100C．102D．104

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例4（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)菱形，第

②個(gè)圖案中有3個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)

為（）

A．15B．13C．11D．9

例5（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，

第②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下

去，則第⑨個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（）

A．32B．34C．37D．41

例6（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）觀察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，…

根據(jù)其中的規(guī)律可得7071L72022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）

A．0B．1C．7D．8

例7（2021·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，……，第n個(gè)單項(xiàng)式

是（）

2

A．n2an1B．n2an1C．nnan1D．n1an

14710

例8（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為，，，……按此規(guī)律

251017

排列，則第30個(gè)數(shù)是_____．

12

例9（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列一組數(shù)：2，，，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)

27

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112

記為an，且滿足．則a4________，a2022________．

anan2an1

111111111

例10（2022·浙江舟山·中考真題）觀察下面的等式：，，，……

23634124520

(1)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）

(2)請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．

例11（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：

222

第1個(gè)等式：21122122，

222

第2個(gè)等式：22134134，

222

第3個(gè)等式：23146146，

222

第4個(gè)等式：24158158，

……

按照以上規(guī)律．解決下列問題：

(1)寫出第5個(gè)等式：________；

(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．

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例12（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）問題提出：

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有多少個(gè)？（整數(shù)邊三角形是指三邊長(zhǎng)度都是整數(shù)的三角形．）

問題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡(jiǎn)單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．

（1）如表①，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長(zhǎng)是1，第三邊長(zhǎng)也是1.按照（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最

短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）的形式記為1,1,1，有1個(gè)，所以總共有111個(gè)整數(shù)邊三角形．

表①

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

111,1,111個(gè)111

（2）如表②，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長(zhǎng)是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)

最短邊長(zhǎng)為1時(shí)，第三邊長(zhǎng)只能是2，記為2,1,2，有1個(gè)；當(dāng)最短邊長(zhǎng)為2時(shí)，顯然第三邊長(zhǎng)也是2，記

為2,2,2，有1個(gè)，所以總共有11122個(gè)整數(shù)邊三角形．

表②

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

12,1,21

22個(gè)112

22,2,21

（3）下面在表③中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：

表③

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

13,1,31

32個(gè)222

23,2,2，3,2,32

33,3,31

（4）下面在表④中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：

表④

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最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

14,1,41

24,2,3，4,2,42

43個(gè)223

34,3,3，4,3,42

44,4,41

（5）請(qǐng)?jiān)诒恝葜锌偨Y(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況并填空：

表⑤

最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式

15,1,51

25,2,4，5,2,52

53__________________

45,4,4，5,4,52

55,5,51

問題解決：

（1）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的整數(shù)邊三角形有___________個(gè)．

（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為n，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形

個(gè)數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請(qǐng)寫出最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為n的整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù)．

（3）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有__________個(gè)．

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長(zhǎng)均為整數(shù)，則最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為9的直三棱柱有___________個(gè)．

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一、遞進(jìn)式變化規(guī)律

遞進(jìn)變化類的規(guī)律題通常給出若干個(gè)按照某種特定的遞進(jìn)變化規(guī)律(遞增或遞減)排列的

數(shù)、式或圖形等內(nèi)容，要求從這些已知量的觀察分析中找出變化的一般規(guī)律。學(xué)生很容易看出

題目呈現(xiàn)的是一列遞進(jìn)變化的量，但較難歸納出一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式來表示變化的一般規(guī)律，而

變化的一般規(guī)律常常與已知量的排列序號(hào)有關(guān)聯(lián)。因此在解決此類問題時(shí)，首先要按照題目中

的排列順序給已知量編上序號(hào)；然后找出已知量中變化和不變的部分，分析序號(hào)和變化部分之

間的數(shù)量關(guān)系，猜想和歸納出第n個(gè)量的含有n的表達(dá)式，得出一般規(guī)律；最后將序號(hào)代回表

達(dá)式算出結(jié)果，比較所得結(jié)果與對(duì)應(yīng)數(shù)值是否一致，驗(yàn)證猜想的正確性，得出最終結(jié)果。

1、數(shù)與式的遞進(jìn)變化規(guī)律

這類規(guī)律題通常呈現(xiàn)出一列按照某種特定的遞進(jìn)變化規(guī)律排列的數(shù)字、等式或代數(shù)式等，

要求變化的一般規(guī)律。解決這類題目的關(guān)鍵在于根據(jù)前若干項(xiàng)已知量(若沒直接給出則需根據(jù)

題目的信息求出來)的變化部分找出與它們對(duì)應(yīng)的排列序號(hào)之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出變化的

一般規(guī)律。

2、圖形變化中的數(shù)量遞進(jìn)變化規(guī)律

與圖形有關(guān)的遞進(jìn)變化規(guī)律題歸根結(jié)底考查的也是圖形在變化過程中圖案的個(gè)數(shù)、圖形的

周長(zhǎng)或面積、線段的長(zhǎng)度等這些量的變化規(guī)律。解決這類問題要仔細(xì)觀察并找出圖形變化與不

變的部分，研究變化部分的圖形變化和數(shù)量變化的規(guī)律，找出不變部分的固定數(shù)量，分析變化

部分的數(shù)量與對(duì)應(yīng)的圖形排列序號(hào)之間的數(shù)量關(guān)系，從而得出變化的一般規(guī)律。

3、圖表中的數(shù)字遞進(jìn)變化規(guī)律

這類題目的規(guī)律蘊(yùn)藏在圖表中的數(shù)字變化中，解題的關(guān)鍵在于尋找圖表中每行、每列中的

數(shù)字之間關(guān)系和排列順序，以及行與行之間、列與列之間的聯(lián)系，此外還應(yīng)觀察圖表中的數(shù)與

它所處的列數(shù)和行數(shù)間的數(shù)量變化規(guī)律。

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【變式1】（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）下列中國結(jié)圖形都是邊長(zhǎng)為“1”的正方形按照一定規(guī)

律組成，第①個(gè)圖形中共有7個(gè)邊長(zhǎng)為“1”的正方形，第②個(gè)圖形中共有12個(gè)邊長(zhǎng)為“1”的正方形，第③個(gè)

圖形中共有17個(gè)邊長(zhǎng)為“1”的正方形，，依此規(guī)律，第⑥個(gè)圖形中邊長(zhǎng)為“1”的正方形的個(gè)數(shù)是（）

A．25B．27C．30D．32

【變式2】（2022·重慶·重慶八中?？级＃┌押谏珗A點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有4

個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有6個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，則

第⑦個(gè)圖案中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A．12B．14C．16D．18

【變式3】（2022·山西·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的小正

方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第_________個(gè)圖案中有2021個(gè)涂有陰影的小正方形．

【變式4】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）我國古代數(shù)學(xué)的許多成就都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一

2

例，例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)aba22abb2展開式中的系數(shù)；第四行

3

的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著aba33a2b3ab3b3展開式中的系數(shù)；請(qǐng)根據(jù)規(guī)律直接寫

4

出a6的展開式______．

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【變式5】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）浙江從3月6日至3月20日新增新冠確診人數(shù)和無癥狀人數(shù)情況如

下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制出如下的折線統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析：

日期67891011121314151617181920

確診1616182454154328383223303

無癥狀34883334311371712822242617

(1)在統(tǒng)計(jì)的這段時(shí)期內(nèi)，新增確診和無癥狀感染者總?cè)藬?shù)在60人以上的天數(shù)有______天；

(2)3月6日至3月20日平均每天有多少個(gè)確診的新冠病人？

(3)請(qǐng)比較分析這段時(shí)間確診人數(shù)與無癥狀感染人數(shù)的整體水平與變化規(guī)律，并對(duì)下階段防疫工作提出一條

合理化的建議．

例1（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，

再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）

A．（22）5B．（22）6C．（2）5D．（2）6

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△

例2（2020·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊

作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的

長(zhǎng)度為（）

﹣22﹣

A．（2）nB．（2）n1C．（）nD．（）n1

22

例3（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1，A2，A3，A4……在x軸上且OA11，

OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3……按此規(guī)律，過點(diǎn)A1，A2，A3，A4……作x軸的垂線分別與直線

△

y3x交于點(diǎn)B1，B2，B3，B4……記OA1B1，OA2B2，OA3B3，OA4B4……的面積分別為S1，S2，S3，

S4……，則S2022______．

例44．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，A1為射線ON上一點(diǎn)，B1為射線OM上一點(diǎn)，

B1A1O60,OA13,B1A11．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且B1A1D160,C1D1與射線OM交于

V

點(diǎn)B2，得C1B1B2；延長(zhǎng)B2D1交射線ON于點(diǎn)A2，以B2A2為邊在其右側(cè)作菱形A2B2C2D2，且

V

B2A2D260,C2D2與射線OM交于點(diǎn)B3，得C2B2B3；延長(zhǎng)B3D2交射線ON于點(diǎn)A3，以B3A3為邊在其右側(cè)

△

作菱形A3B3C3D3，且B3A3D360,C3D3與射線OM交于點(diǎn)B4，得C3B3B4；…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則

△

C2022B2022B2023的面積___________．

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例5（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，AOB60，點(diǎn)P1在射線OA上，且OP11，過點(diǎn)P1作

P1K1OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2P1K1；過點(diǎn)P2作P2K2OA交射線OB于K2，

在射線OA上截取P2P3，使P2P3P2K2.按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長(zhǎng)為________．

二、循環(huán)變化規(guī)律

循環(huán)類規(guī)律題中的數(shù)、式、圖形或坐標(biāo)等內(nèi)容的變化中有著循環(huán)規(guī)律，它們有著一定的排列順序

和固定的循環(huán)周期，并根據(jù)特定的循環(huán)周期間隔出現(xiàn)。解決此類問題首先應(yīng)發(fā)現(xiàn)題目中的循環(huán)規(guī)律并

找出循環(huán)周期，明確循環(huán)周期中的量的個(gè)數(shù)和變化規(guī)律，然后根據(jù)實(shí)際問題求出循環(huán)周期的個(gè)數(shù)及余

數(shù)，最后結(jié)合題目的要求和所得數(shù)據(jù)解出答案。

1、數(shù)與式的循環(huán)變化規(guī)律

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這類題目中有著一列存在著循環(huán)規(guī)律排列的數(shù)字或代數(shù)式。計(jì)算并觀察題目規(guī)律中前若干項(xiàng)的結(jié)

果，當(dāng)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字或代數(shù)式存在循環(huán)規(guī)律時(shí)，找出循環(huán)周期并結(jié)合題目要求算出循環(huán)周期的個(gè)數(shù)及

余數(shù)是解決此類問題的關(guān)鍵。

2、圖形變化中的坐標(biāo)循環(huán)變化規(guī)律

這類規(guī)律題通常要求某個(gè)連續(xù)變化的圖形中某點(diǎn)的坐標(biāo)，在某點(diǎn)的變化過程中對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的數(shù)字存

在著循環(huán)變化的規(guī)律。解題的重點(diǎn)在于仔細(xì)觀察圖形變化的特點(diǎn)，計(jì)算和分析某點(diǎn)變化中橫坐標(biāo)或縱

坐標(biāo)的規(guī)律，找出循環(huán)周期并結(jié)合題目要求算出循環(huán)周期的個(gè)數(shù)及余數(shù)，進(jìn)而得出要求的坐標(biāo)。

【變式1】（2022·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，在正方形ABCB1中，AB3，AB與直線l所夾銳角為60，

延長(zhǎng)CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長(zhǎng)C1B2交直線l于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2B3，延長(zhǎng)C2B3交直

線l于點(diǎn)A3，作正方形A3B3C3B4，依次規(guī)律，則線段A2021A2022（）

2021

201920202022

．3．3．3．3

A2B2C2D2

3333

【變式2】（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圖1中，A1、B1、C1分別是等邊ABC

的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，在圖2中，A2，B2，C2分別是A1B1C1的邊B1C1、A1C1、A1B1的中點(diǎn)，…，按

此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)共有（）個(gè)．

A．n2B．2nC．3nD．3n1

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【變式3】（2022·甘肅嘉峪關(guān)·校考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P按圖中箭頭所示方向依次

運(yùn)動(dòng)，第1次從點(diǎn)(0，1)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1，0)，第二次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2，2)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3，0)，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)

律，動(dòng)點(diǎn)P第2022次運(yùn)動(dòng)到的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．

【變式4】（2022·貴州遵義·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若干個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形，

按下圖中的規(guī)律擺放．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著等邊三角形的邊

“OA1A1A2A2A3A3A4A4A5……”的路線運(yùn)動(dòng)．設(shè)第n秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2023的坐

標(biāo)是_______________．

2

【變式5】（2020·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線ynxanbn（n為正整數(shù)，且0a1a2an）

A(0,0)2

與x軸的交點(diǎn)為和Ancn,0,cncn12．當(dāng)n1時(shí)，第1條拋物線y1xa1b1與x軸的交點(diǎn)為

A(0,0)和A1(2,0)，其他以此類推．

（1）求a1,b1的值及拋物線y2的解析式．

（2）拋物線yn的頂點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為（_______，_______）；以此類推，第(n1)條拋物線yn1的頂點(diǎn)Bn1的坐

標(biāo)為（______，_______）；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)滿足的函數(shù)關(guān)系式是_________．

（3）探究以下結(jié)論：

△

①是否存在拋物線yn，使得AAnBn為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出拋物線yn的解析式；若不存在，

第12頁共21頁.

請(qǐng)說明理由．

②若直線xm(m0)與拋物線yn分別交于點(diǎn)C1,C2,,Cn，則線段C1C2,C2C3,,Cn1Cn的長(zhǎng)有何規(guī)律？請(qǐng)用

含有m的代數(shù)式表示．

【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2022秋·全國·七年級(jí)期末）有一個(gè)數(shù)字游戲，第一步：取一個(gè)自然數(shù)n14，計(jì)算n13n11得a1，第

二步：算出a1的各位數(shù)字之和得n2，計(jì)算n23n21得a2，第三步算出a2的各位數(shù)字之和得n3，計(jì)算

n33n31得a3；以此類推，則a2022的值為（）

A．7B．52C．154D．310

2

2．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3

2a

221

的“哈利數(shù)”是2，2的“哈利數(shù)”是，已知a5，a是a的“哈利數(shù)”，a是a的“哈利

232(2)212132

數(shù)”，a4是a3的“哈利數(shù)”，，依此類推，則a2022等于（）

328

A．B．C．D．5

435

3．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A11,2，A22,0，A33,2，A44,0，，根據(jù)這個(gè)

規(guī)律，可得點(diǎn)A2022的坐標(biāo)是（）

A．2021,0B．2021,2C．2022,0D．2022,2

第13頁共21頁.

4．（2022秋·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）斐波那契螺旋線．也稱“黃金螺旋線”，它可以通過分別以1,1,2,3,5,

為半徑，依次作圓心角為90的扇形弧線畫出來（如圖）．第1步中扇形的半徑是1cm，按如圖所示的方法

依次畫，第8步所畫扇形的弧長(zhǎng)為（）

132155

A．B．C．17D．

222

5．（2021秋·重慶·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列圖形都是由大小相同的小圓按一定規(guī)律

組成的，其中第①個(gè)圖形中有2個(gè)小圓，第②個(gè)圖形中有8個(gè)小圓，第③個(gè)圖形中有16個(gè)小圓…，按此規(guī)

律排列下去，第⑦個(gè)圖形中的小圓個(gè)數(shù)為（）

A．38B．52C．68D．86

6．（2021秋·廣東茂名·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到如下指令：從原

點(diǎn)O出發(fā)，按向右，向上，向右，向下的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1m．其行走路線如圖所示，第1次

移動(dòng)到A1，第2次移動(dòng)到A2，…第n次移動(dòng)到An．則△OA6A2018的面積是（）

A．505m2B．504.5m2

C．504m2D．503m2

7．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考期末）如圖，頂角為36的等腰三角形，其底邊與腰之比

等k，這樣的三角形稱為黃金三角形，已知腰AB=1，ABC為第一個(gè)黃金三角形，△BCD為第二個(gè)黃金三

第14頁共21頁.

角形，CDE為第三個(gè)黃金三角形以此類推，第3個(gè)黃金三角形的周長(zhǎng)（）

23

A．k2B．k3C．k2kD．k2k

8．（2021秋·山東日照·七年級(jí)日照港中學(xué)?？计谥校⒄叫蜛BCD(如圖1)作如下劃分，第1次劃分：分

別連接正方形ABCD對(duì)邊的中點(diǎn)(如圖2)，得線段HF和EG，它們交于點(diǎn)M，此時(shí)圖2中共有5個(gè)正方形；

第2次劃分：將圖2左上角正方形AEMH再劃分，得圖3，則圖3中共有9個(gè)正方形；若把左上角的正方

形依次劃分下去，則第n次劃分后，圖中共有（）個(gè)正方形．

A．4n3B．4n-1C．4n1D．4n3

9．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程x23xm2m0m0，當(dāng)

m1,2,3,,2022時(shí)，相應(yīng)的一元二次方程的兩根分別記為1,1;2,2;;2022,2022,則

111111

的值為_________．

112220222022

△

10．（2022秋·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AB1C1

△V

的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1B1C2的位置，

V△

點(diǎn)C2在x軸上，將A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A2B2C2的位置，點(diǎn)A2在x軸上，依次進(jìn)行下去…．若點(diǎn)

3

A,0，B0,2，則點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為_______．

2

第15頁共21頁.

11．（2022秋·北京西城·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC中，已知A4,0，

OAB120，對(duì)角線AC、BO交點(diǎn)D，將菱形OABC繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)2次

后，點(diǎn)D的坐標(biāo)是___________，旋轉(zhuǎn)2022次后，點(diǎn)D的坐標(biāo)是___________．

12．（2022秋·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┤鐖D，圖中的方格均是邊長(zhǎng)為1的正方形，

每一個(gè)正方形的頂點(diǎn)都稱為格點(diǎn).圖①⑥中，這些多邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其內(nèi)部沒有格點(diǎn)，像這樣

的多邊形我們稱為“內(nèi)空格點(diǎn)多邊形”

（1）當(dāng)內(nèi)空格點(diǎn)多邊形邊上的格點(diǎn)數(shù)為10時(shí)，此多邊形的面積為______；

（2）設(shè)內(nèi)空格點(diǎn)多邊形邊上的格點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)，面積為S，請(qǐng)用等式表示L與S的關(guān)系______

13．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中?？茧A段練習(xí)）如圖①，將正方體骰子（相對(duì)面上

的點(diǎn)數(shù)分別為1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上．在圖②中，將骰子向右翻滾90，然后在桌面上

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，則視作完成一次變換．若骰子的初始位置為圖①所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)

完成2022次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是__________．

第16頁共21頁.

14．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，矩形ABCD的兩邊BC、CD分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，

點(diǎn)A(1,2)，將矩形ABCD沿x軸向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，經(jīng)過第二次翻滾點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)

記為A2依此類推，A的坐標(biāo)__，經(jīng)過2022次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為________．

1

15．（2022秋·湖南岳陽·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、A、A在反比例函數(shù)y（x0）的圖象

123x

1

上，點(diǎn)B、B、B在y軸上，且BOA＝BBA＝BBA，，直線y=x與雙曲線y交于點(diǎn)A，

12311212323x1

B1A1OA1，B2A2B1A2，B3A3B2A3則B2020的坐標(biāo)是_____．

16．（2022秋·遼寧鞍山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下面三行數(shù)：

2，4，8，16，32，……；①

1，5，7，17，31，……；②

4，8，16，32，64，……；③

(1)第①行的第8個(gè)數(shù)是______；

(2)第②行的第n個(gè)數(shù)是______；（n為正整數(shù)）

(3)取每一行的第7個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和．

第17頁共21頁.

17．（2022秋·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）十一期間，泉城廣場(chǎng)的一個(gè)公共區(qū)域用盆栽進(jìn)行了美化，盆栽按

如圖的方式擺放，圖中的盆栽被折線隔開分成若干層，第一層有1個(gè)盆栽，第二層有3個(gè)盆栽，第三層有5

個(gè)盆栽，第四層有7個(gè)盆栽，……，以此類推．請(qǐng)觀察圖形規(guī)律，解答下列問題：

(1)第10層有個(gè)盆栽，第a層有個(gè)盆栽，前n層共有個(gè)盆栽；

(2)計(jì)算：135……25；

(3)拓展應(yīng)用：求2729……1921的值．

18．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖幾何體是由若干棱長(zhǎng)為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若

將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規(guī)律．

(1)第1個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體共有______個(gè)；第2個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體

共有______個(gè)；第3個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體共有______個(gè)．

(2)求出第10個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體的塊數(shù)．

(3)求出前100個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體的塊數(shù)的和．

第18頁共21頁.

19．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）閱讀理解：

11111111111

材料：小華在學(xué)習(xí)分式運(yùn)算時(shí)，通過具體運(yùn)算：1，，，，…，

122232334344545

111

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（n為正整數(shù)），并證明了此規(guī)律成立．

nn1nn1

1111111111119

應(yīng)用規(guī)律，快速計(jì)算：11．

122334910223349101010

根據(jù)材料，回答問題：

在學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算時(shí)，小華根據(jù)分式學(xué)習(xí)積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，類比探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律，并解決問題．請(qǐng)

將下面的探究過程，補(bǔ)充完整．

（1）具體運(yùn)算：

1111

特例1：1111，

1222122

11111

特例2：11