專題07 解題技巧專題：與絕對(duì)值化簡(jiǎn)的有關(guān)問題壓軸題五種模型全攻略(原卷版)

專題07解題技巧專題：與絕對(duì)值化簡(jiǎn)的有關(guān)問題壓軸題五種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】....................................................................................................................................................1

【考點(diǎn)一絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用】......................................................................................................................1

【考點(diǎn)二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】......................................................................................................................1

【考點(diǎn)三分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】......................................................................................................................3

【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】..............................................................................................................4

【考點(diǎn)四解含絕對(duì)值的方程】..........................................................................................................................7

【典型例題】

【考點(diǎn)一絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用】

例題：（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若x5y80，則xy．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若(a1)2|ab4|0，則a，b．

2

2．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若（a2）＋b3＝0，則ab的值是．

3．（2023·河北秦皇島·?？家荒＃┮阎猘，b都是實(shí)數(shù)．若|a1|(b2)20，則ab．

4．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若有理數(shù)a，b滿足a20b190，則ab.

【考點(diǎn)二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】

例題：（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡(jiǎn)下式：

abbcac．

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【變式訓(xùn)練】

1．（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡(jiǎn)ab的結(jié)果是（）

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)b

2．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上位置如圖，則化簡(jiǎn)caabbc的

值為（）

A．2cB．2bC．0D．2c

3．（2023春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）有理數(shù)x在數(shù)軸上的位置如圖聽示，化簡(jiǎn)：

|2x2023||x|．

4．（2023秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)bbaa1的結(jié)

果為．

5．（2023春·黑龍江大慶·六年級(jí)校考階段練習(xí)）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)

|ac||a2b||c2b|的結(jié)果是．

6．（2023春·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．

a

（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）

c

a

（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．

c

（3）化簡(jiǎn)：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．

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【考點(diǎn)三分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】

例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考期中）已知a、b、c均為不等式0的有理數(shù)，則

abc

的值為．

abc

【變式訓(xùn)練】

|a||b|

1．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若有理數(shù)a，b滿足ab0，則的值為．

ab

abc

2．（2023春·廣東河源·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）若n，abc0，則n的值為．

abc

3．（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問題：

ab

(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)a0時(shí)，則_______；當(dāng)b0時(shí)，則_______．

|a||b|

bcacab

(2)已知a，b，c是有理數(shù)，abc0，abc<0，求的值．

|a||b||c|

|a||b||c|

(3)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc0時(shí)，求的值．

abc

4．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）分類討論是重要的數(shù)學(xué)方法，如化簡(jiǎn)|x|，當(dāng)x0時(shí)，|x|x；當(dāng)x0

時(shí)，|x|0；當(dāng)x0時(shí)，|x|x．求解下列問題：

xxx

(1)當(dāng)x3時(shí)，值為______，當(dāng)x3時(shí)，的值為______，當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時(shí)，的值為

|x||x||x|

______；

yzxzxy

(2)已知xyz0，xyz0，求的值；

|x||y||z|

(3)已知：x1,x2,,x2021,x2022,x2023，這2023個(gè)數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個(gè)數(shù)中有n個(gè)正數(shù)，

x1x2x2021x2022x2023

m，則m的值為______（請(qǐng)用含n的式子表示）

x1x2x2021x2022x2023

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【考點(diǎn)四利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】

例題：（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是_____；表示2和1兩點(diǎn)之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表

示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于mn．

(2)如果x12，那么x______；

(3)若a34，b23，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是______，

最小距離是_____．

(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于3與5之間，則a3a5_____．

(5)當(dāng)a_____時(shí)，a1a5a4的值最小，最小值是_____．

【變式訓(xùn)練】

1．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：如圖，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，則A、B

兩點(diǎn)之間的距離可以表示為ab．

根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示8與2的兩點(diǎn)之間的距離是______；

(2)若x53，則x______；若x1x3，則x______；

(3)x1x3表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)的點(diǎn)到1和-3所對(duì)的兩點(diǎn)距離之和．請(qǐng)你利用數(shù)軸，寫出所有符合

條件的整數(shù)x，使得x1x34．

(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則x1010x504x1011有最小值嗎？若有，請(qǐng)直接寫出最小值．若沒有，

說(shuō)出理由．

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2．（2022秋·河北保定·七年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀下列材料：我們知道，x的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)與原點(diǎn)的距離：xx0，也就是說(shuō)，x表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可以推

廣為：ab表示在數(shù)軸上數(shù)a，b對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．

如：數(shù)軸上數(shù)2，5對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為253；

數(shù)軸上數(shù)2，7對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為2(7)9；

又如：已知x12，求x的值．意為：數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為2，觀察數(shù)軸可知x的值為1

或3．

請(qǐng)運(yùn)用上述的幾何方法解決下列問題：

(1)若x3，則x________；

(2)若x32，則x________；

(3)41表示數(shù)軸上數(shù)________與________對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；

(4)若x24，則x________；

(5)若x3x25，則滿足條件的所有整數(shù)x為________________；

(6)若x1x45，則x的取值范圍為________________________．

3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)校考期中）【問題提出】a1a2a3a2021的最小值是多少？

【閱讀理解】

為了解決這個(gè)問題，我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手．a(chǎn)的幾何意義是a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距

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離，那么a1可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1的距離；a1a2就可以看作a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究a1a2的最小值．

我們先看a表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：

如圖①，a在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．

如圖②，a在1，2之間（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距離之和等于1．

如圖③，a在2的右邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結(jié)論：

當(dāng)a在1，2之間（包括在1，2上）時(shí)，a1a2有最小值1．

【問題解決】

(1)a4a7的幾何意義是，請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸研究：a4a7的最小值是；

(2)請(qǐng)你結(jié)合圖④探究a1a2a3的最小值是，由此可以得出a為；

(3)a1a2a3a4a5的最小值是；

(4)a1a2a3a2021的最小值為；

(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍是．

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【考點(diǎn)五解含絕對(duì)值的方程】

例題：（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值

的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對(duì)值的方程．怎樣求含有絕對(duì)值的方程的解呢？基本思路

是：含有絕對(duì)值的方程→不含有絕對(duì)值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．

【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問題．

解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．

解這兩個(gè)一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．

根據(jù)以上材料解決下列問題：

(1)解方程：|3x﹣2|＝4；

(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）解下列方程：

13

(1)x53(2)2x17(3)x41(4)x524

24

2．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，42表示4與2的差的絕對(duì)值，實(shí)際上

也可以理解為4與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離：同理x3也可以理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所

對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，