專題11 難點(diǎn)探究專題：整式中的規(guī)律探究問題壓軸題七種模型全攻略（解析版）

專題11難點(diǎn)探究專題：整式中的規(guī)律探究問題壓軸題七種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................................................................................1

【類型一數(shù)字類規(guī)律探索之單項(xiàng)式問題】......................................................................................................1

【類型二數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題】..........................................................................................................3

【類型三數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題】..................................................................................................6

【類型四數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題】......................................................................................................8

【類型五數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題】........................................................................................................12

【類型六圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題】........................................................................................................17

【類型七圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題】........................................................................................................19

【典型例題】

【類型一數(shù)字類規(guī)律探索之單項(xiàng)式問題】

1111

例題：（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察這一系列單項(xiàng)式的特點(diǎn)：x2y，x2y2，x2y3，x2y4，…

24816

那么第8個(gè)單項(xiàng)式為（）

8897

128128128128

A．xyB．xyC．xyD．xy

2222

【答案】A

n

12122123124n112n

【分析】由xy，xy，xy，xy，…可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第n個(gè)單項(xiàng)式為：1xy，

248162

進(jìn)而可得答案．

n

12122123124n112n

【詳解】解：由xy，xy，xy，xy，…可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第n個(gè)單項(xiàng)式為1xy，

248162

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8

128

∴第8個(gè)單項(xiàng)式為xy．

2

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律．

【變式訓(xùn)練】

aa2a3a4

1．（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，…，第n個(gè)單項(xiàng)式

35917

是（）

nnn1n1

1an1an1an1an

A．B．C．D．

2n12n112n12n11

【答案】C

【分析】根據(jù)所給的式子，分別找出分式的分母和分子的規(guī)律，從而求出第n個(gè)單項(xiàng)式.

11213141

a1a1a2a21a2a31a3a4a41a4

【詳解】解：，，，，

31215522192311717241

n1

1an

第n個(gè)單項(xiàng)式是.

2n1

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是探索數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵要利用已知式子找出所存在的規(guī)律.

2.（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┮唤M數(shù)據(jù)x，3x2，5x3，7x4，9x5…請(qǐng)按這種規(guī)律寫出第十

個(gè)數(shù)是．

【答案】19x10

n1

【分析】由所給的單項(xiàng)式可得第n個(gè)單項(xiàng)式為12n1xn，當(dāng)n10時(shí)即可求解．

【詳解】∵x，3x2，5x3，7x4，9x5…，

n1

∴第n個(gè)式子的指數(shù)是n，系數(shù)是12n1，

n1

則第n個(gè)單項(xiàng)式為12n1xn，

101

當(dāng)n10時(shí)，12101x1019x10，

故答案為：19x10．

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過所給的單項(xiàng)式，探索出系數(shù)與次數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

3．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下列單項(xiàng)式：x,3x2,5x3,7x4,,37x19,39x20,．解決下列問題：

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(1)這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次為多少？系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是什么？

(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是什么？

(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第n個(gè)單項(xiàng)式是什么嗎？

(4)請(qǐng)你根據(jù)猜想，寫出第2022個(gè)、第2023個(gè)單項(xiàng)式．

【答案】(1)1,3,5,7,,37,39,，系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是2n1

(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)

(3)(1)n2n1xn

(4)第2022個(gè)單項(xiàng)式是4043x2022，第2023個(gè)單項(xiàng)式是4045x2023

【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的含義進(jìn)行求解，再觀察其絕對(duì)值的規(guī)律即可；

（2）觀察次的變化，從而可求解；

（3）結(jié)合（1）（2）進(jìn)行分析即可；

（4）根據(jù)（3）進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）解：這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次是1,3,5,7,,37,39,，

系數(shù)的絕對(duì)值為1,3,5,7,,37,39,，是從1開始的奇數(shù)，

∴系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是2n1．

（2）解：這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)．

（3）解：由（1）問得：符合規(guī)律是(1)n，

∵這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，

∴第n個(gè)單項(xiàng)式是(1)n2n1xn．

（4）解：第2022個(gè)單項(xiàng)式是4043x2022，第2023個(gè)單項(xiàng)式是4045x2023．

【點(diǎn)睛】本題主要考查找規(guī)律，能夠通過觀察題中的單項(xiàng)式找出規(guī)律是解題關(guān)鍵．

【類型二數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題】

例題：（2022秋·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校?開始的連續(xù)奇數(shù)按右圖的規(guī)律排列，其余位置數(shù)字均為0．

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（1）第5行第10列的數(shù)字是．

（2）數(shù)字2023在圖中的第行，第列．

【答案】04525

【分析】（1）根據(jù)第2n1行的第1至第n列是非零數(shù)字，可得第5行第10列的數(shù)字是0；

2

（2）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)第2n1行第1個(gè)數(shù)字為2n12n，進(jìn)而根據(jù)4522045，即可求解．

【詳解】解：（1）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)根據(jù)第n（n為奇數(shù)）行第1至第n列有非零數(shù)字，可得第5行第10列的數(shù)

字是0；

故答案為：0．

2

（2）第1行第1個(gè)數(shù)字為321121

2

第3行第1個(gè)數(shù)字為1322122

2

第5行第1個(gè)數(shù)字為3123123

……

2

∴第2n1行的第1個(gè)數(shù)字為2n12n

∵4522045

∴第45行第1個(gè)數(shù)字為4522232071

20712023

24，

2

∴數(shù)字2023在圖中的第45行，第25列

故答案為：45，25．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，m的值

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是（）

A．86B．52C．38D．74

【答案】A

【分析】先看每個(gè)圖形中的左上的數(shù)字：0，2，4，6，依次增加2；同理得出每個(gè)圖形右上角和左下角的數(shù)

字也是依次增加2；有以上規(guī)律可以求出第四個(gè)圖形的右上角和左下角的數(shù)；再看右下角的數(shù)與其它三個(gè)數(shù)

的關(guān)系：8420；26642，52864；右下角的數(shù)=右上角的數(shù)×左下角的數(shù)+左上角的數(shù)；由此

求解即可．

【詳解】解：第四圖右上角的數(shù)是：8210；

左下角的數(shù)是：628；

那么右下角的數(shù)就是：108686；

即

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題稍復(fù)雜，不但要考慮相鄰兩個(gè)圖形中數(shù)字的變化規(guī)律，還要找出每個(gè)圖形中四個(gè)數(shù)之間的規(guī)

律．

2．（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列三行數(shù)：

2，4，8，16，32，64，……

0，6，6，18，30，66，……

1

，1，2，4，8，16……

2

(1)第①行數(shù)第七個(gè)數(shù)是128，那么第二行數(shù)第七個(gè)數(shù)是_____，第三行第七個(gè)數(shù)是_____．

(2)列式計(jì)算：取每行的第9個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的和．

【答案】(1)126，32

(2)這三個(gè)數(shù)的和是1150

【分析】（1）根據(jù)各行數(shù)的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)第二行和第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的關(guān)系，第三行和第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的

關(guān)系，即可得到第二行第七個(gè)數(shù)和第三行第七個(gè)數(shù)；

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（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，可以寫出每行的第九個(gè)數(shù)，然后相加即可解答本題．

【詳解】（1）解：由題目中的數(shù)據(jù)可知，第二行中的每個(gè)數(shù)是第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字加2，第三行中的每個(gè)數(shù)是第

1

一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的，

4

∵第①行第七個(gè)數(shù)是128，

1

∴第二行第七個(gè)數(shù)是1282126，第三行第七個(gè)數(shù)是12832，

4

故答案為：126，32；

123

（2）∵第①行第一個(gè)數(shù)是2，第一個(gè)數(shù)是2，第一個(gè)數(shù)是2，…，

9

∴第一行第9個(gè)數(shù)是2512

第二行第9個(gè)數(shù)是5122510

第一行第9個(gè)數(shù)是5124128

這三個(gè)數(shù)的和是：5125101281150

答：這三個(gè)數(shù)的和是1150．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，找出規(guī)律解答．

【類型三數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題】

例題：（2022秋·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列算式：301，313，329，3327，3481，

35243，36729，372187…歸納各計(jì)算結(jié)果中個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，可得32003的個(gè)位數(shù)字是（）

A．1B．3C．9D．7

【答案】D

【分析】先由前面8個(gè)具體的計(jì)算歸納得到個(gè)位數(shù)每四次循環(huán)，再利用規(guī)律解題即可．

【詳解】解：301，313，329，3327，3481，35243，36729，372187…，

歸納可得：個(gè)位數(shù)每四次循環(huán)，

∵200314501，

∴32003與33的個(gè)位數(shù)相同，是7；

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字變化規(guī)律的探究，乘方的含義，掌握探究的方法并靈活應(yīng)用規(guī)律解決問題是解

題關(guān)鍵．

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【變式訓(xùn)練】

1（.2023春·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列算式：①(x1)(x1)x21；②(x1)(x2x1)x31；

③(x1)(x3x2x1)x41尋找規(guī)律，并判斷2(2011)2(2017)2221的值的末位數(shù)字為（）

A．1B．3C．5D．7

【答案】C

【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律(x1)(xnxn1....x1)xn11，當(dāng)x2時(shí)代入規(guī)律求解，再找出2的次方

末尾數(shù)字規(guī)律即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

(x1)(xnxn1....x1)xn11，

當(dāng)x2時(shí)，

(2011)(2017)22011+1

(21)22221=21，

22011+11

∴2(2011)2(2017)2221220121，

21

∵212，224，238，2416，2532，

∴尾數(shù)是4個(gè)一循環(huán)，

∵20124503，

∴尾數(shù)為：615，

故選C；

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到式子的規(guī)律，再根據(jù)冪的運(yùn)算得到尾數(shù)的規(guī)律．

2.（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)

學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來

表示，即：212，224，238，2416，2532，……，請(qǐng)你推算212223242522023的個(gè)

位數(shù)字是（）

A．8B．6C．4D．2

【答案】C

【分析】利用已知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，丙求出每一個(gè)循環(huán)4個(gè)數(shù)相加后的個(gè)位數(shù)字為0，進(jìn)而得出

答案．

【詳解】解：∵212，224，238，2416，2532，……，

∴尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，

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∵202345053，

又∵248620，

∴每一組的4個(gè)數(shù)相加以后個(gè)位數(shù)字為0，

∴505組相加后個(gè)位數(shù)字為0，

∵24814，

∴212223242522023的個(gè)位數(shù)字為4，故C正確．

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．

12345

3．（2023春·黑龍江綏化·七年級(jí)?？计谀┯^察下列算式：33，39，327，381，3243，，

根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為32023的末位數(shù)字是．

【答案】7

12345

【分析】根據(jù)33，39，327，381，3243，，得出末位數(shù)字以3、9、7、1，四個(gè)數(shù)字為

一循環(huán)，由202345053得出32023的末尾數(shù)字與33的末位數(shù)字相同是7，從而得到答案．

【詳解】解：313，末位數(shù)字為3，

329，末位數(shù)字為9，

3327，末位數(shù)字為7，

3481，末位數(shù)字為1，

35243，末位數(shù)字為3，

，

3的1，2，3，4，5，6，7，，次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1，四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，

202345053，

32023的末尾數(shù)字與33的末位數(shù)字相同是7，

故答案為：7．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尾數(shù)特征及數(shù)字規(guī)律類探索，通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1，

四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，是解題的關(guān)鍵．

【類型四數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題】

例題：（2022·湖南株洲·統(tǒng)考二模）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n5；（2）

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nn

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取n58，第一

2k2k

次經(jīng)F運(yùn)算是29，第二次經(jīng)F運(yùn)算是92，第三次經(jīng)F運(yùn)算是23，第四次經(jīng)F運(yùn)算是74，……；若n9，

則第2020次運(yùn)算結(jié)果是（）

A．1B．2C．7D．8

【答案】A

【分析】由題意所給的定義新運(yùn)算可得當(dāng)n9時(shí)，第一次經(jīng)F運(yùn)算是32，第二次經(jīng)F運(yùn)算是1，第三次經(jīng)

F運(yùn)算是8，第四次經(jīng)F運(yùn)算是1，L，由此規(guī)律可進(jìn)行求解．

32

【詳解】解：由題意n9時(shí)，第一次經(jīng)F運(yùn)算是39532，第二次經(jīng)F運(yùn)算是1，第三次經(jīng)F運(yùn)算

25

8

是3158，第四次經(jīng)F運(yùn)算是1，L；

23

從第二次開始出現(xiàn)1、8循環(huán)，奇數(shù)次是8，偶數(shù)次是1，

∴第2020次運(yùn)算結(jié)果1，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中所給新運(yùn)算得出數(shù)字的一般規(guī)律，然后可進(jìn)

行求解．

【變式訓(xùn)練】

2

1.（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3

2a

21

2

的“哈利數(shù)”是2，2的“哈利數(shù)”是，已知a14，a2是a的“哈利數(shù)”，a是a2的“哈利數(shù)”，

2322213

a4是a3的“哈利數(shù)”，．．．，依此類推，則a2022（）

23

A．4B．1C．D．

32

【答案】B

【分析】通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每四次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，由此可求a2022a2．

【詳解】解：∵a14，

22

∴a1，

2242

22

a，

32(1)3

23

a

42，

22

3

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2

a4

53，

2

2

，

∴每四次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，

∵20224505……2，

∴a2022a21，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計(jì)算，探索出運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

111

2．（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）一列數(shù)a1，a2，a3…an，其中a11，a2，a3，…，an，

1a11a21an

則a1a2a3a2020（）

A．1B．1C．2020D．2020

【答案】B

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出這列數(shù)的前幾個(gè)數(shù)據(jù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然

后即可求得所求式子的值．

【詳解】解：由題意可得，

a11，

111

a2，

1a11(1)2

11

a2

31a1，

21

2

1

a1，

412

，

1

即這列數(shù)依次以1，，2循環(huán)出現(xiàn)，

2

1

Q2020?3=673?1，(1)21，

2

a1a2a3a2020

(a1a2a3)(a4a5a6)(a2017a2018a2019)a2020

673

(1)a2020

(1)(1)

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1，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化特點(diǎn)，明確題意、發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

3.（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知整數(shù)a1，a2，a3，a4，……滿足下列條件：a10，a2a11，

a3a21，a4a31…，以此類推，則a6的值為，a2022的值為

【答案】11

【分析】先求出前4個(gè)值，從而得出這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為1，據(jù)此

可得答案．

【詳解】解：由題意得：

a10，

a2a111，

a3a210，

a4a311

…，

∴整數(shù)a1，a2，a3，a4，……，

∴這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為1

∴a61，a20221；

故答案為：1，1．

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是計(jì)算出前幾個(gè)數(shù)值，從而得出這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，

第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為1的規(guī)律．

4．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于正整數(shù)a，我們規(guī)定：若a為奇數(shù)，則fa3a1；若a

a8

為偶數(shù)，則fa，例如f535116，f84，若a10，afa，afa，

2212132

a4fa3，…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，得到一列數(shù)a1,a2,a3,a4,,an,（n為正整數(shù)），則

a1a2a3a2023．

【答案】4750

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【分析】由所給的規(guī)定，分別求出a1，a2，a3，，再分析其中的規(guī)律，從而可求解．

Q

【詳解】解：a110，

a

af(a)15，

212

a3f(a2)3a2116，

a

af(a)38，

432

a

af(a)44，

542

a

af(a)52，

652

a

af(a)61，

762

a8f(a7)3a714，

L，

從第5個(gè)數(shù)開始，以4，2，1，這三個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，

(20234)3673，

a1a2a3a2023

105168673(421)

1051684711

4750．

故答案為：4750．

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的條件總結(jié)出存在的規(guī)律．

【類型五數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題】

例題：（2023春·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列等式：

112

第1個(gè)等式：．

1223123

112

第2個(gè)等式：．

2334234

112

第3個(gè)等式：．

3445345

……

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

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(1)請(qǐng)直接寫出第4個(gè)等式：．

(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并說明理由．

112

【答案】(1)

4556456

112

(2)第n個(gè)等式為，理由見解析

n(n1)(n1)(n2)n(n1)(n2)

【分析】（1）觀察等式，即可求解；

（2）由各個(gè)等式結(jié)構(gòu)即可得出規(guī)律．

112

【詳解】（1）解：∵第1個(gè)等式為，

1223123

112

第2個(gè)等式為，

2334234

112

第3個(gè)等式為，

3445345

112

∴第4個(gè)等式為，

4556456

112

故答案為：；

4556456

112

（2）解：第n個(gè)等式為，

n(n1)(n1)(n2)n(n1)(n2)

112

∵第1個(gè)等式為，

1223123

112

第2個(gè)等式為，

2334234

112

第3個(gè)等式為，

3445345

112

第4個(gè)等式為，

4556456

……，

112

∴第n個(gè)等式為．

n(n1)(n1)(n2)n(n1)(n2)

【點(diǎn)睛】本題是與分式有關(guān)的規(guī)律問題．確定各分式分子、分母的規(guī)律即可．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知x1，觀察下列等式；

1x1x1x2；

1x1xx21x3；

1x1xx2x31x4；

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…

(1)猜想：1x1xx2x3xn1________；

(2)應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：

①121222232425________；

②x1x2022x2021x2020x2x1________．

(3)求21002992982221的值是多少？

【答案】(1)1xn

(2)①63；②x20231

(3)21011

【分析】（1）根據(jù)所列等式所呈現(xiàn)的規(guī)律得出答案；

（2）①利用（1）中得到的結(jié)論得出結(jié)果為126即可；②將原式變?yōu)?/p>

1x1xx2x2020x2021x2022，再利用（1）中的結(jié)論即可得出結(jié)果；

（3）將原式化為121222...2100，再利用（1）中得到的結(jié)論得出結(jié)果即可．

【詳解】（1）解：由已知條件可得：

1x1xx2x3xn11xn；

故答案為：1xn；

（2）①12122223242512663，

②x1x2022x2021x2020x2x1，

1x1xx2x2020x2021x2022，

1x2023，

x20231，

故答案為：x20231；

（3）21002992982221，

121222...2100，

12101，

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21011，

故答案為：21011．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用和規(guī)律，做題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠利用規(guī)律解決問題，能夠在一

系列運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

2．（2023春·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小明計(jì)算：122223L2992100的過程如下：

解：令S122223L2992100①

則2S2222321002101②

②-①得

S21011

∴122223L299210021011

請(qǐng)參照小明的方法，計(jì)算：155253L5202252023．

2024

【答案】51

4

【分析】仿照例子，令S155253L5202252023①，等式兩邊同時(shí)乘以5得，

5S5525354L5202352024②，兩者作差除以4即可得出結(jié)論．

【詳解】解：令S155253L5202252023①，

等式兩邊同時(shí)乘以5得，

5S5525354L5202352024②，

②-①得5SS520241，

4S520241，

520241

S，

4

520241

∴155253L5202252023．

4

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的規(guī)律和有理數(shù)的乘方，結(jié)合題目中的例子進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．

3．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）找規(guī)律，完成下列各題：

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111

(1)如圖①，把正方形看作1，1．

244

1111

(2)如圖②，把正方形看作1，1．

2488

1111

(3)如圖③，把正方形看作1，1．

24816

11111

(4)計(jì)算：．

2481632

111111111

(5)計(jì)算：．

248163264128256512

3

【答案】(1)

4

7

(2)

8

115

(3)，

1616

31

(4)

32

511

(5)

512

【分析】（1）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；

（2）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；

（3）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；

（4）根據(jù)（1），（2），（3）的運(yùn)算規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；

（5）根據(jù)（1），（2），（3）的運(yùn)算規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；

1113

【詳解】（1）解：如圖①，把正方形看作把正方形看作1，1，

2444

3

故答案為：．

4

11117

（2）解：如圖②，把正方形看作把正方形看作1，1，

24888

7

故答案為：．

8

1111115

（3）解：如圖③，把正方形看把正方形看作1，1，

248161616

115

故答案為：，．

1616

11111131

（4）解：1，

24816323232

31

故答案為：．

32

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1111111111511

（5）解：1，

248163264128256512512512

511

故答案為：．

512

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算的綜合，理解圖示規(guī)律，掌握有理數(shù)的混合方法是解

題的關(guān)鍵．

【類型六圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題】

例題：（2022秋·湖北黃岡·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，根據(jù)圖形中數(shù)的規(guī)律，可推斷出a的值為（）

A．128B．216C．226D．240

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形得出右下角三角形中的數(shù)字等于左下角與中間三角形中數(shù)字的積再加2，然后計(jì)算即可．

【詳解】解：由圖可得：2022，

10242，

26462，

50682，

即右下角三角形中的數(shù)字等于左下角與中間三角形中數(shù)字的積再加2，

所以a14162226，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用

規(guī)律．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023春·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）填在下面各方框中的三個(gè)數(shù)之間都具有相同的規(guī)律．根據(jù)圖中

數(shù)字的規(guī)律，yx（）

2468

512177237228xy

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A．450B．463C．465D．526

【答案】B

【分析】結(jié)合表格找出其中的規(guī)律，求出x82165，y8658528，再計(jì)算yx即可．

【詳解】解：由表可得：5221，12252；

17421，724174；

37621，2286376；

∴x82165，y8658528；

∴yx52865463．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律：x82165，y8658528．

2（.2023春·貴州畢節(jié)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中ABCD的值為196，則n

（）

A．12B．13C．14D．15

【答案】C

【分析】通過觀察可知，若第n個(gè)圖中A位置上的數(shù)是n1，B位置上的數(shù)是n2，C位置上的數(shù)是n1，D

位置上的數(shù)是2n，所以A+B+C-D=n2，帶入數(shù)值求出即可．

【詳解】解：通過觀察可知，若第n個(gè)圖中A位置上的數(shù)是n1，B位置上的數(shù)是n2，C位置上的數(shù)是n1，

D位置上的數(shù)是2n，

所以A+B+C-D=(n+1)+n2+(n-1)-2n=n2，

當(dāng)A+B+C-D=196時(shí)，

\n2=196，

Qn是正整數(shù)，

n14．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形中有關(guān)數(shù)字的變化規(guī)律，能準(zhǔn)確觀察到相關(guān)規(guī)律是解決問題關(guān)鍵．

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3.（2022秋·河南周口·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)

此規(guī)律，則第n（n為正整數(shù)）個(gè)三角形中，用n表示y的式子為（）

A．2n+1B．2nnC．2n1nD．2nn1

【答案】B

【分析】由題意可得各三角形中下邊第三個(gè)數(shù)是上邊兩個(gè)數(shù)字的和，而上邊第一個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為1，2，3，

23n

，n，第二個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，2，2，，2，由此即可得到答案．

【詳解】解：由題意可得：

三角形上邊第一個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：1，2，3，，n，

23n

三角形上邊第二個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，2，2，，2，

三角形下邊的數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：121213，242226，3832311，，

第n個(gè)三角形中的數(shù)的規(guī)律為：yn2n，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，根據(jù)題意得出：第n個(gè)三角形中的數(shù)的規(guī)律為：yn2n，是解題

的關(guān)鍵．

【類型七圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題】

例題：（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．

(1)按圖示規(guī)律完成下表：

圖形標(biāo)號(hào)①②③④⑤……

火柴棒根數(shù)59__________________……

(2)按照這種方式搭下去，搭第n個(gè)圖形需要多少根火柴棒？

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(3)搭第15個(gè)圖形需要多少根火柴棒？

【答案】(1)13，17，21

(2)4n1

(3)61

【分析】（1）根據(jù)所給的圖形進(jìn)行分析即可得出結(jié)果；

（2）由（1）進(jìn)行總結(jié)即可；

（3）根據(jù)（2）所得的式子進(jìn)行解答即可．

【詳解】（1）解：第1個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：5，

第2個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：954541，

第3個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：13544542，

第4個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：175444543，

第5個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：2154444544，

故答案為：13，17，21；

（2）解：由（1）得：搭第n個(gè)圖形需要火柴棒根數(shù)為：54(n1)4n1．

答：第n個(gè)圖形需要火柴棒根數(shù)為：4n1；

（3）解：當(dāng)n15時(shí)，4n1415161，

所以搭第15個(gè)圖形需要61根火柴棒．

【點(diǎn)睛】本題主要