函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件新人教A版選修

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)變化趨勢的重要特征。導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)變化率的工具。本節(jié)課將探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，并介紹如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)單調(diào)性的概念單調(diào)遞增在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像始終向上傾斜，即隨著自變量的增大，函數(shù)值也隨之增大。單調(diào)遞減在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像始終向下傾斜，即隨著自變量的增大，函數(shù)值也隨之減小。常函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)，函數(shù)圖像始終為一條水平線，即函數(shù)值保持不變。函數(shù)單調(diào)性的判定條件單調(diào)遞增函數(shù)定義域內(nèi)任意兩個(gè)自變量，若較大者對應(yīng)的函數(shù)值也較大，則稱函數(shù)在該定義域內(nèi)單調(diào)遞增。單調(diào)遞減函數(shù)定義域內(nèi)任意兩個(gè)自變量，若較大者對應(yīng)的函數(shù)值也較小，則稱函數(shù)在該定義域內(nèi)單調(diào)遞減。單調(diào)性判定條件利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒大于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)恒小于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)傳遞性如果函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，那么它在I的任何子區(qū)間上也單調(diào)遞增。同樣的，單調(diào)遞減也是如此。局部性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性只與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的變化趨勢有關(guān)，與函數(shù)在該區(qū)間外的變化無關(guān)。唯一性如果函數(shù)在區(qū)間I上既單調(diào)遞增又單調(diào)遞減，那么函數(shù)在區(qū)間I上為常數(shù)函數(shù)?？杉有匀绻麅蓚€(gè)函數(shù)在同一區(qū)間上都單調(diào)遞增（或遞減），那么它們的和函數(shù)也單調(diào)遞增（或遞減）。函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。例如，在物理學(xué)中，可以利用函數(shù)的單調(diào)性分析物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以利用函數(shù)的單調(diào)性分析商品的價(jià)格變化趨勢。通過函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，可以解決很多實(shí)際問題，例如，求函數(shù)的最值，判斷函數(shù)的增減性，以及分析函數(shù)的圖像等。函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念1函數(shù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，反映了函數(shù)在該點(diǎn)處的變化趨勢。2導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)定義為：lim△x→0[f(x0+△x)-f(x0)]/△x3幾何意義函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上代表了函數(shù)曲線在某一點(diǎn)的切線的斜率。切線的斜率反映了函數(shù)在該點(diǎn)變化的快慢程度，也即函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的加減法性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則f(x)±g(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)導(dǎo)數(shù)的乘法性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則f(x)g(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)導(dǎo)數(shù)的除法性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且g(x)≠0，則f(x)/g(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))2導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)函數(shù)u=g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且y'=f'(u)g'(x)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1基本公式法利用基本導(dǎo)數(shù)公式，直接求導(dǎo)。常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)，求導(dǎo)。和差法則積法則商法則鏈?zhǔn)椒▌t3其他方法利用隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)等方法。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)是指由兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。例如，函數(shù)y=(x^2+1)^3，其中x^2+1和x^3都是函數(shù)，它們復(fù)合在一起形成了復(fù)合函數(shù)y。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是指復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它可以用來求解復(fù)合函數(shù)的極值、單調(diào)性等問題。例如，我們可以用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)y=(x^2+1)^3的極值。1鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2求解步驟1.確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)。2.求解內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.求解外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4.將內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘。3實(shí)際應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如，可以用來求解物體的速度、加速度等問題。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)是指無法用顯式表達(dá)式表示y=f(x)的函數(shù)，通常用方程的形式表示。例如，圓的方程x2+y2=1，其中y是x的隱函數(shù)。1方程兩邊求導(dǎo)對隱函數(shù)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，因此要使用鏈?zhǔn)椒▌t。2整理將導(dǎo)數(shù)整理成y'的表達(dá)式。3求解根據(jù)需要解出y'的值，得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。隱函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于將y看作x的函數(shù)，并應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo)，最后整理得到y(tǒng)'的表達(dá)式。高階導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)是其n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也稱為高階導(dǎo)數(shù)。求法對函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)，每次求導(dǎo)的階數(shù)增加1，即n階導(dǎo)數(shù)。符號用f^(n)(x)表示函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在物理、化學(xué)、工程等領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如在計(jì)算運(yùn)動(dòng)軌跡、分析曲線性質(zhì)等。函數(shù)的最值問題最大值在函數(shù)定義域內(nèi)，函數(shù)取得的最大值。最小值在函數(shù)定義域內(nèi)，函數(shù)取得的最小值。極值函數(shù)在定義域的某個(gè)鄰域內(nèi)取得的最大值或最小值，稱為函數(shù)的極值。最值問題求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值，是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的應(yīng)用問題。函數(shù)的單調(diào)性和極值單調(diào)性與極值的關(guān)系函數(shù)的單調(diào)性與極值之間存在密切聯(lián)系。當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值時(shí)，其單調(diào)性會發(fā)生改變。例如，函數(shù)在極大值點(diǎn)處，單調(diào)性由增變?yōu)闇p，而在極小值點(diǎn)處，單調(diào)性由減變?yōu)樵?。極值的概念函數(shù)的極值是指函數(shù)在某點(diǎn)取得的最大值或最小值，稱為該點(diǎn)的極大值或極小值。函數(shù)的極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值的點(diǎn)。函數(shù)圖像的描繪利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)等性質(zhì)，可以描繪函數(shù)的圖像。通過圖像可以直觀地了解函數(shù)的性質(zhì)，例如：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等。利用圖像可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的某些規(guī)律，例如：函數(shù)的周期性、對稱性等。在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)圖像的描繪可以幫助我們理解和分析函數(shù)的行為。函數(shù)的凹凸性凹函數(shù)圖形向上彎曲二階導(dǎo)數(shù)小于0凸函數(shù)圖形向下彎曲二階導(dǎo)數(shù)大于0凹凸性判定通過二階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷點(diǎn)的極值性質(zhì)1極大值點(diǎn)函數(shù)在極大值點(diǎn)處，其導(dǎo)數(shù)為零，或?qū)?shù)不存在。2極小值點(diǎn)函數(shù)在極小值點(diǎn)處，其導(dǎo)數(shù)也為零，或?qū)?shù)不存在。3導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系函數(shù)的極值點(diǎn)可能是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。4應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可以幫助我們找到函數(shù)的極值點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的極值。拐點(diǎn)及其判定1拐點(diǎn)的定義拐點(diǎn)是指函數(shù)圖像上曲線的凹凸性發(fā)生改變的點(diǎn)，它表示函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)或從負(fù)變正。2拐點(diǎn)判定的條件二階導(dǎo)數(shù)在拐點(diǎn)處等于零或不存在二階導(dǎo)數(shù)在拐點(diǎn)處變號3拐點(diǎn)判定的方法通過求解函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，找到二階導(dǎo)數(shù)等于零或不存在的點(diǎn)，并判斷二階導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)附近的符號變化來確定拐點(diǎn)。微分中值定理基本概念微分中值定理描述了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均變化率與該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。重要性它是微積分學(xué)中一個(gè)重要的定理，是許多其他定理的基礎(chǔ)，例如泰勒公式和積分中值定理。應(yīng)用微分中值定理在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如證明函數(shù)的性質(zhì)、求函數(shù)的最值和估計(jì)函數(shù)的值。羅爾定理定理?xiàng)l件在一個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處取值相等。定理結(jié)論在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。幾何解釋羅爾定理表明，如果一個(gè)函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處取值相等，則在函數(shù)圖像的兩個(gè)端點(diǎn)之間至少存在一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)的切線平行于x軸。Lagrange中值定理定理內(nèi)容如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)直觀上，Lagrange中值定理表明，在一段連續(xù)的曲線上的某一點(diǎn)處，切線的斜率等于該曲線兩端點(diǎn)連線的斜率。幾何意義Lagrange中值定理的幾何意義是，在函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)A(a,f(a))和B(b,f(b))之間，存在一點(diǎn)C(ξ,f(ξ))，使得過點(diǎn)C的切線平行于過A、B兩點(diǎn)的割線。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求解函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，可以應(yīng)用于優(yōu)化問題，如求解最優(yōu)生產(chǎn)方案、最大利潤、最小成本等。研究函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性導(dǎo)數(shù)可以幫助我們分析函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，從而描繪函數(shù)圖像，并預(yù)測函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)的行為。解決實(shí)際問題導(dǎo)數(shù)可以應(yīng)用于物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域，解決諸如運(yùn)動(dòng)學(xué)、經(jīng)濟(jì)增長、材料強(qiáng)度等實(shí)際問題。探索函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)可以揭示函數(shù)的性質(zhì)，例如函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等，幫助我們深入理解函數(shù)的本質(zhì)。常用初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式冪函數(shù)對于任何實(shí)數(shù)n，(x^n)'=nx^(n-1)指數(shù)函數(shù)(a^x)'=a^x*ln(a)對數(shù)函數(shù)(log_a(x))'=1/(x*ln(a))三角函數(shù)(sin(x))'=cos(x),(cos(x))'=-sin(x),(tan(x))'=sec^2(x)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，物理學(xué)中用導(dǎo)數(shù)來描述速度、加速度、動(dòng)量等物理量。經(jīng)濟(jì)學(xué)中用導(dǎo)數(shù)來分析成本、利潤、需求等經(jīng)濟(jì)問題。在工程學(xué)中，導(dǎo)數(shù)可以用來優(yōu)化設(shè)計(jì)、控制系統(tǒng)、預(yù)測結(jié)果等。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用使我們能夠更深入地理解和解決實(shí)際問題。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用實(shí)例11.速度與加速度導(dǎo)數(shù)可用于計(jì)算物體的速度和加速度，這是物理學(xué)中的重要概念。22.最優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)可用于找到函數(shù)的最大值和最小值，例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以使用導(dǎo)數(shù)來找到利潤最大化或成本最小化的生產(chǎn)水平。33.經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)數(shù)可用于分析經(jīng)濟(jì)模型，例如，可以用于計(jì)算邊際成本、邊際收益和邊際利潤。44.其他領(lǐng)域?qū)?shù)在許多其他領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)和化學(xué)。函數(shù)的優(yōu)化問題函數(shù)優(yōu)化問題函數(shù)優(yōu)化問題是指在給定條件下尋找函數(shù)的最值問題。函數(shù)優(yōu)化問題在工程、經(jīng)濟(jì)、管理等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。解決優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和極值概念解決函數(shù)優(yōu)化問題。通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值，可以找到函數(shù)的最值。優(yōu)化問題的解決思路1.建立目標(biāo)函數(shù)根據(jù)實(shí)際問題，確定要優(yōu)化的量，并將其表示為一個(gè)函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。2.確定約束條件根據(jù)實(shí)際問題，確定目標(biāo)函數(shù)的定義域，即自變量的取值范圍，以及其他限制條件。3.求解目標(biāo)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)方法，求出目標(biāo)函數(shù)的最值，即最大值或最小值。4.驗(yàn)證解的合理性將求得的最值代入實(shí)際問題中，檢驗(yàn)其是否滿足所有約束條件，并判斷其是否符合實(shí)際意義。函數(shù)圖像描繪綜合案例函數(shù)圖像描繪需要綜合運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)等知識，這是一個(gè)非常重要的應(yīng)用領(lǐng)域。通過結(jié)合實(shí)際案例，我們可以更深入地理解和運(yùn)用這些知識。函數(shù)圖像描繪可以幫助我們更好地理解函數(shù)的性質(zhì)，并能將其應(yīng)用到實(shí)際問題中。函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)知識總結(jié)11.函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性描述函數(shù)值隨自變量變化趨勢。單調(diào)遞增函數(shù)值隨自變量增大而增大，單調(diào)遞減函數(shù)值隨自變量增大而減小。22.導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率，反映函數(shù)在某一點(diǎn)的變化趨勢。導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)。33.應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，以及函數(shù)圖像的凹凸性、拐點(diǎn)等，廣泛應(yīng)用于實(shí)際問題求解中。復(fù)習(xí)與思考本節(jié)課學(xué)習(xí)了函數(shù)的