2022年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步2立體圖形的直觀圖練習(xí)（含解析）

立體圖形的直觀圖【基礎(chǔ)全面練】(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(2021·海淀高一檢測(cè))如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以下說法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等邊三角形【解析】選C.因?yàn)镺′C′＝O′A′＝2O′B′，所以原圖形△ABC中，OC＝OA＝OB，且OB⊥AC，所以△ABC是等腰直角三角形．2．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖O′A′B′C′的面積為4，則該平面圖形的面積為()A．eq\r(2)B．4eq\r(2)C．8eq\r(2)D．2eq\r(2)【解析】選C.由已知直觀圖O′A′B′C′的面積為4，所以原來圖形的面積S＝4×2eq\r(2)＝8eq\r(2).【加固訓(xùn)練】(2021·武漢高一檢測(cè))如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′A′＝1，那么原三角形ABO的面積是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)D．2eq\r(2)【解析】選B.由斜二測(cè)直觀圖還原原圖形如圖所示，因?yàn)檫匫′B′在x′軸上，所以在原圖形中對(duì)應(yīng)的邊應(yīng)在x軸上，且長(zhǎng)度不變；O′A′在y′軸上，所以在原圖形中對(duì)應(yīng)的邊應(yīng)在y軸上，且長(zhǎng)度增大到2倍；因?yàn)镺′A′＝1，所以O(shè)′B′＝eq\f(\r(2),2)，所以O(shè)A＝2，OB＝eq\f(\r(2),2)；所以△AOB的面積為S△AOB＝eq\f(1,2)×OB×OA＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×2＝eq\f(\r(2),2).3．如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝2，AB，BC分別與y′軸、x′軸平行，則△ACD在原圖中的對(duì)應(yīng)三角形的面積為()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．2D．8【解析】選C.因?yàn)槿切蔚闹庇^圖中點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝2，AB，BC分別與y′軸、x′軸平行，所以S直觀圖ABC＝eq\f(1,2)×2×2×sin45°＝eq\r(2)，又因?yàn)镾原圖＝2eq\r(2)·S直觀圖＝2eq\r(2)×eq\r(2)＝4，所以△ACD在原圖中的對(duì)應(yīng)三角形的面積為：eq\f(1,2)S原圖＝2.4．(2021·成都高一檢測(cè))把四邊形ABCD按斜二測(cè)畫法得到平行四邊形A′B′C′D′(如圖所示)，其中B′O′＝O′C′＝2，O′D′＝eq\r(3)，則四邊形ABCD一定是一個(gè)()A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形【解析】選A.把平行四邊形A′B′C′D′還原回原圖形，過程如下：在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上截取BC＝4，且使O為BC的中點(diǎn)，在y軸上截取OD＝2eq\r(3)，過D向左作x軸的平行線段DA，使DA＝4，連接AB，CD，可得平行四邊形ABCD.因?yàn)镺C＝2，OD＝2eq\r(3)，所以CD＝eq\r(22＋（2\r(3)）2)＝4.所以平行四邊形ABCD為菱形．二、填空題(每小題5分，共10分)5．如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，由斜二測(cè)畫法，畫出這個(gè)梯形的直觀圖O′A′B′C′，則在直觀圖中梯形的高為________．【解析】按斜二測(cè)畫法，得梯形的直觀圖O′A′B′C′，如圖所示，原圖形中梯形的高CD＝2，在直觀圖中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′軸于E′，則C′E′＝C′D′·sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)6．(2021·贛州高一檢測(cè))某水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形，它是底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則該平面圖形的周長(zhǎng)為________．【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；原來的平面圖形是直角梯形，上底是1，下底是1＋eq\r(2)，高是2，另一腰長(zhǎng)是eq\r(2＋4)＝eq\r(6)，所以它的周長(zhǎng)是1＋2＋1＋eq\r(2)＋eq\r(6)＝4＋eq\r(2)＋eq\r(6).答案：4＋eq\r(2)＋eq\r(6)三、解答題7．(10分)如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，試畫出它的直觀圖．【解析】(1)如圖甲所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖乙所示，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.(2)在圖甲中，過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E.在x′軸上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝eq\f(3\r(3),2)cm；過點(diǎn)E′作E′D′∥y′軸，使E′D′＝eq\f(1,2)ED＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝0.75(cm)，再過點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC＝2cm.(3)連接A′D′，B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖丙所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖．【綜合突破練】(15分鐘30分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長(zhǎng)方體，且四棱錐的底面與長(zhǎng)方體的上底面尺寸一樣，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為20m，5m，10m，四棱錐的高為8m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱錐的高分別為()A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．2cm，0.5cm，1cm，0.8cm【解析】選C.由比例尺可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高分別為4cm，1cm，2cm和1.6cm，再結(jié)合斜二測(cè)畫法，可知直觀圖的相應(yīng)尺寸應(yīng)分別為4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.2．(多選題)下列關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖的說法中正確的有()A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．菱形的直觀圖是菱形D．正方形的直觀圖是正方形【解析】選AB.由斜二測(cè)畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以A正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以B正確；根據(jù)x′軸y′軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不是菱形，所以C錯(cuò)誤；根據(jù)平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度減半知，正方形的直觀圖不是正方形，所以D錯(cuò)誤．二、填空題(每小題5分，共10分)3．如圖所示，Rt△A′B′C′為水平放置的△ABC的直觀圖，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝2，則△ABC的面積是________．【解析】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示：由題意知，BC＝B′C′＝4，OA＝2O′A′＝2eq\r(2)×2＝4eq\r(2)，所以△ABC的面積是S△ABC＝eq\f(1,2)BC·OA＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)4．如圖所示，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點(diǎn)，梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積為________．【解析】在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD和下底AB的長(zhǎng)度都不變，在直觀圖中，O′D′＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(1,2)，所以梯形的高為eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).答案：eq\f(3\r(2),8)三、解答題5．(10分)畫出一個(gè)上、下底面邊長(zhǎng)分別為1cm，2cm，高為2cm的正三棱臺(tái)的直觀圖．【解析】(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫下底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段AB，使AB＝2cm，在y軸上取線段O