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文檔簡介
4.6反證法年級:八年級學(xué)科:初中數(shù)學(xué)(浙教版)
問題1:判斷命題“如圖,在△ABC中,中線BE,CF交于點(diǎn)O,且點(diǎn)G,H分別是OB,OC的中點(diǎn),則EF∥GH”結(jié)論是否正確,你的推理方法是什么?一、情境創(chuàng)設(shè)問題2:你能提煉出該命題的已知條件和結(jié)論是什么嗎?ABCEFOHG
中國古代有一個叫《路邊苦李》的故事:王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動.有人問王戎為什么,王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取李子嘗了一下,果然是苦李.
思考1:請同學(xué)們閱讀書本100—101頁第一段,想一想王戎是如何推出“道在路邊必苦李”的?思考2:圈畫出反證法的定義,并試著歸納反證法的基本步驟.二、探究新知卻因“樹在道邊而多子”假設(shè)“李子甜”樹在道邊則少子與已知條件發(fā)生矛盾假設(shè)“李子甜”不成立
原命題正確二、探究新知王戎的推理方法:但是與已知條件、定義、定理、基本事實(shí)等發(fā)生矛盾假設(shè)結(jié)論不成立根據(jù)假設(shè)推理得結(jié)論假設(shè)不成立
原命題結(jié)論成立反證法的步驟:反設(shè)推理矛盾假設(shè)不成立原命題成立
問題3:將9個球分別染成紅色或黑色,那么無論怎樣分配染色,至少有5個球是同色的.分析并思考結(jié)論是否正確?三、應(yīng)用新知要么是4個黑色,要么是4個紅色,與球的總數(shù)9個發(fā)生矛盾假設(shè)沒有5個球是同色則最多只有4個球同色假設(shè)不成立
原命題結(jié)論成立
歸納:運(yùn)用反證法證明的第一步先否定結(jié)論,第二步進(jìn)行推理導(dǎo)致矛盾,第三步再確認(rèn)假設(shè)不成立,肯定原命題成立.思考:上述問題1中的命題能否也用反證法來證明呢?請你按照反證法的基本步驟寫一寫推理過程.三、應(yīng)用新知但是與“?”發(fā)生矛盾假設(shè)“EF∥GH”不成立根據(jù)假設(shè)推理得EF與GH相交假設(shè)不成立
原命題結(jié)論成立引導(dǎo):想一想,如果EF與GH相交,設(shè)它們的交點(diǎn)為M,那么過這一個交點(diǎn)M的兩條直線與BC是什么關(guān)系?你能畫出這樣的兩條直線嗎?
歸納:經(jīng)過點(diǎn)M有兩條直線和BC平行,這與“過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線和已知直線平行”相矛盾,所以EF與GH不可能相交.求證:四邊形中至少有一個角是鈍角或直角.已知:四邊形ABCD.求證:四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角.四、例題學(xué)習(xí)想一想:“至少有一個”的含義是什么?梳理命題的條件和結(jié)論,選擇合適的證明方法寫出你的推理步驟.“至少有一個”說明肯定有一個角是直角或鈍角,也有可能有兩個、三個.其反義是四個內(nèi)角中沒有鈍角和直角,所以選擇反證法,可以假設(shè)所有角都是銳角,根據(jù)“四邊形內(nèi)角和360°”推出矛盾.分析:證明:假設(shè)四邊形ABCD中沒有一個角是鈍角或直角,即∠A<90°,∠B<90°,∠C<90°,∠D<90°,于是∠A+∠B+∠C+∠D<360°.這與“四邊形的內(nèi)角和為360°”矛盾.所以四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角.已知:四邊形ABCD.求證:四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角.四、例題學(xué)習(xí)提升:請?jiān)诒砀裰刑钜惶钕铝幸谆煜幕榉穸ǖ谋硎龇绞?表述至少有一個至多有一個大于小于否定表述四、例題學(xué)習(xí)一個也沒有至少有兩個小于或等于大于或等于練習(xí):
用反證法證明命題“三角形中至少有一個角是銳角”時,首先應(yīng)該假設(shè)這個三角形中()A.每一個角都是鈍角
B.每一個角都是銳角C.每一個角都是直角
D.沒有一個角是銳角D四、例題學(xué)習(xí)練習(xí):
若用反證法證明下列命題,該如何假設(shè)?(1)已知a,b是實(shí)數(shù),且滿足ab=0.求證:a,b中至少有一個是0.(2)求證:一個三角形中至多有一個鈍角.(3)求證:等腰三角形的底角一定不是鈍角.假設(shè)a,b沒有一個為0,即假設(shè)a≠0,且b≠0.假設(shè)一個三角形中有兩個或三個鈍角.假設(shè)等腰三角形的底角是鈍角.
相信本節(jié)課大家都學(xué)有所獲,請整理一下所學(xué)內(nèi)容,理一理反證法的基本步驟.五、課堂回眸但是與
等發(fā)生矛盾假設(shè)
不成立根據(jù)
推理得結(jié)論所以
.
原命題結(jié)論成立(1)我掌握的概念
;(2)我掌握的證明方法
;(3)我還懂得了
.反證法直接證法證明已知:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3與l1相交于點(diǎn)P.求證:l3與l2相交.假設(shè)____________,那么_________.因?yàn)橐阎猒________,所以過直線l2外一點(diǎn)P,有___________
和l2平行,所以___________,即求證的命題正確.這與“_______________________________________________”矛盾.l1l2l3Pl3與l2不相交.l3∥l2l1∥l2兩條直線假設(shè)不成立
經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線平行于已知直線六、課堂練習(xí)六、課堂練習(xí)閱讀下列文字,回答問題.題目:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,所以AC≠BC.證明:假設(shè)AC=BC,因?yàn)椤螦≠45°,∠C=90°,所以∠A≠∠B.所以AC≠BC,這與假設(shè)矛盾,所以AC≠BC.上面的證明有沒有錯誤?若沒有錯誤,指出其證明的方法;若有錯誤,請予以糾正.∠A=∠B與“∠A≠45°”矛盾六、課堂練習(xí)閱讀下列文字,回答問題.題目:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,所以AC≠BC.證明:假設(shè)AC=BC,因?yàn)椤螦≠45°,∠C=90°,所以∠A≠∠B.所以AC≠BC,
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