廣東省清遠市清新區(qū)四校2024-2025學年高三上學期期末聯考試題 數學（含答案）

1PAGE第14頁清新區(qū)2024-2025學年高三上學期12月期末四校聯考數學試題滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復數等于它共軛復數的倒數的充要條件是（）A. B. C. D.3.在等比數列中，，則（）A.4 B. C.8 D.54.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.5.已知F1，F2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.6.過圓上一點作圓兩條切線，切點分別為，，若，則實數（）A. B. C. D.7.甲、乙、丙等5名同學參加政史地三科知識競賽，每人隨機選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加概率為（）A. B. C. D.8.已知函數在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分．每題至少兩項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9.在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結論正確的是（）A. B.平面C.平面 D.與所成角是10.下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則11.已知圓，圓分別是圓與圓上的點，則（）A若圓與圓無公共點，則B.當時，兩圓公共弦所在直線方程為C.當時，則斜率的最大值為D.當時，過點作圓兩條切線，切點分別為，則不可能等于12.已知函數，，其中且．若函數，則下列結論正確的是（）A.當時，有且只有一個零點B.當時，有兩個零點C.當時，曲線與曲線有且只有兩條公切線D.若為單調函數，則三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13.第二屆廣東自由貿易試驗區(qū)一聯動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數，則______.14.函數是奇函數，則__________.15.已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．16.如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱內運動，，則的最小值為______．四、解答題（本題共6小題，共70分）17.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的最小值.18.設是等比數列且公比大于0，其前項和為是等差數列，已知，．（1）求的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求滿足的最大整數的值．19.在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面夾角正弦值．20.甲?乙兩隊進行籃球比賽，采取五場三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束）.根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”，設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立．（1）在比賽進行4場結束的條件下，求甲隊獲勝的概率；（2）賽事主辦方需要預支球隊費用萬元．假設主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預支球隊費用）的期望高于萬元？21.拋物線：，雙曲線：且離心率，過曲線下支上的一點作的切線，其斜率為.（1）求的標準方程；（2）直線與交于不同的兩點，，以PQ為直徑的圓過點，過點N作直線的垂線，垂足為H，則平面內是否存在定點D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點D的坐標；若不存在，請說明理由.22.已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．（1）求雙曲線的方程；（2）設過點的直線與曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數？若存在，求出點的坐標及此常數的值；若不存在，說明理由．清新區(qū)2024-2025學年高三上學期12月期末四校聯考數學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分．每題至少兩項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9.【答案】ABD10.【答案】AD11.【答案】BC12.【答案】BCD三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13.【答案】##14.【答案】115.【答案】（答案不唯一）16.【答案】四、解答題（本題共6小題，共70分）17.【解析】【分析】（1）根據正弦定理邊角互化可得，進而可求解，（2）根據面積公式以及余弦定理，結合基本不等式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理得：，又，，，；【小問2詳解】，，由余弦定理得：，當且僅當時等號成立，，即的最小值為.18.【解析】【分析】（1）利用等差和等比數列的通項公式求解；（2）先拆項分母得，再利用裂項相消法求和，進而解不等式求滿足的最大整數的值.【小問1詳解】設的公比為，因為，所以，即，解得或（舍），所以，設的公差為，因，所以，所以，解得，所以．故，.【小問2詳解】，即.所以.，化簡得，又，解得.所以滿足的最大整數.19.【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，可證平面，則為四棱錐的高，利用錐體體積公式求解即可；（2）建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和平面的法向量，線面角的正弦值即為直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值，求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，，因為，所以，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱錐的體積為；【小問2詳解】過作交于，則，結合（1）中平面，故可建如圖空間直角坐標系：則，，，D0,1,0，故，，，設平面法向量為，則，故，取，則，，所以，設直線與平面夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為.20.【解析】【分析】（1）先求出比賽4場結束的概率，然后利用條件概率公式即可解答；（2）先由題意列出比賽收入的分布列，從而求出期望值，進而根據題意確定的值.【小問1詳解】記事件為“比賽進行4場結束”；事件為“甲最終獲勝”，事件表示“第場甲獲勝”，事件為“比賽進行4場結束甲獲勝”；事件為“比賽進行4場結束乙獲勝”．則，因為各場比賽結果相互獨立，所以，，因為互斥，所以．又因為，所以由條件概率計算公式得.【小問2詳解】設主辦方本次比賽總收入為萬元，由題意：的可能取值為：．，，，則隨機變量的分布列為：3005007000.260.370.37所以．設主辦方本次比賽獲利為萬元，則，所以，由題意：，所以預支球隊的費用應小于261萬元．21.【解析】【分析】（1）寫出切線方程并與拋物線方程聯立求出點M坐標，再結合離心率求出雙曲線方程作答.（2）當直線PQ不垂直于y軸時，設出直線方程并與的方程聯立，借助韋達定理及向量數量積求出直線PQ過定點E，直線PQ垂直于y軸，驗證也過定點E，取線段EN中點即可作答.【小問1詳解】切線方程為，即，由消去y并整理得：，則，解得，即，由離心率得，即，雙曲線，則，所以雙曲線的標準方程為：.【小問2詳解】當直線PQ不垂直于y軸時，設直線方程為，，，由消去x并整理得：，有，，，，，因以為直徑的圓過點，則當P，Q與N都不重合時，有，，當P，Q之一與N重合時，成立，于是得，則有，即，整理得，即，因此，解得或，均滿足，當時，直線：恒過，不符合題意，當時，直線：，即恒過，符合題意，當直線PQ垂直于y軸時，設直線，由解得，因以為直徑的圓過點，則由對稱性得，解得，直線過點，于是得直線過定點，取EN中點，因于H，從而，所以存在定點D，使得為定值，點.22.【解析】【分析】（1）根據已知可求出，，即可求出雙曲線的方程；（2）設，，.設出直線方程，與雙曲線方程聯立得到，根據韋達定理求出，用點的坐標表示出，整理得到，因為該式為常數，所以有，求出，代入即可求出常數.【小問1詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點，.則到漸近線，即的距離為