《傳感器原理及應(yīng)用》課件1第2章

2.1傳感器的靜態(tài)響應(yīng)特性2.2傳感器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性思考題第2章傳感器的一般特性

2.1傳感器的靜態(tài)響應(yīng)特性

傳感器的靜態(tài)響應(yīng)特性是指輸入不隨時(shí)間變化的特性，它表示傳感器在被測量的各個(gè)值處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的輸入、輸出的關(guān)系。傳感器靜態(tài)特性的主要指標(biāo)有線性度、靈敏度、重復(fù)性、

遲滯、分辨率、漂移、穩(wěn)定性等。2.1.1線性度

人們總希望傳感器的輸入與輸出成唯一的對應(yīng)關(guān)系，而且最好呈線性關(guān)系。但一般情況下，大多數(shù)傳感器的輸出、輸入或多或少地存在非線性關(guān)系。在不考慮遲滯、蠕變、不穩(wěn)

定性等因素的情況下，傳感器的靜態(tài)特性可用下列多項(xiàng)式代數(shù)方程表示：

(2-1)

式中:

y——輸出量；

x——輸入量；

a0——當(dāng)輸入為0時(shí)的輸出量；

a1，a2，…，an——非線性項(xiàng)系數(shù)。各項(xiàng)系數(shù)的不同，決定了特性曲線的具體形式。靜態(tài)特性曲線可通過實(shí)際測量獲得，獲得特性曲線之后，為了標(biāo)定和數(shù)據(jù)處理的方便，希望得到線性關(guān)系。這時(shí)可采用各種方法進(jìn)行線性化處理。一般在非線性誤差不太大的情況下，常采用直線擬合的辦法來線性化。標(biāo)定的特性曲線與擬合直線的偏離程度就是線性度，或稱為非線性誤差，通常用γL來表示，即

(2-2)

式中:ΔYmax——線性誤差；

YFS——滿量程輸出。由此可見，非線性誤差的大小是以一定的擬合直線為基準(zhǔn)直線而得出的。擬合直線不同，非線性誤差也不同。所以，選擇擬合直線的主要出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)是獲得最小的非線性誤差。另外，還應(yīng)考慮使用是否方便、計(jì)算是否簡便。擬合直線該如何確定，目前國內(nèi)外還無統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，較常用的是最小二乘法。如圖2-1所示，采用最小二乘法擬合時(shí)，設(shè)擬合直線方程為

y=kx+b

(2-3)

若實(shí)際校準(zhǔn)測試點(diǎn)有n個(gè)，則第i個(gè)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)與擬合直線上響應(yīng)值之間的差為

Δi=yi-(kxi+b)

(2-4)

最小二乘法擬合直線的原理就是使圖2-1最小二乘法擬合方法為最小值,從而求出k和b的表達(dá)式為

(2-5)

(2-6)

在獲得k和b之值后,代入式(2-3)即可得到擬合直線，然后按式(2-4)求出差的最大值,即為非線性誤差。2.1.2靈敏度

傳感器輸出的變化量與引起該變化量的輸入變化量之比即為其靜態(tài)靈敏度，即

(2-7)如圖2-2所示，對具有線性特性的傳感器，輸出曲線的斜率就是其靈敏度K，即K=Δy/Δx，K為一常數(shù)，與輸入量大小無關(guān)，斜率越大，其靈敏度就越高。具有非線性特性的傳感器，其靈敏度為變量，輸入量不同，靈敏度就不同，即K=dy/dx，其大小等于對應(yīng)的最小二乘法擬合直線的斜率。靈敏度的量綱由輸入和輸出的量綱決定。當(dāng)傳感器或檢測系統(tǒng)各

組成環(huán)節(jié)的靈敏度分別為K1、K2、K3、…、Kn時(shí)，該傳感器或檢測系統(tǒng)的總靈敏度為K=K1K2K3…Kn。靈敏度表示傳感器對被測量變化的反應(yīng)能力。一般地，傳感器的靈敏度越高越好，但靈敏度高就易受外界干擾的影響，使傳感器的穩(wěn)定性變差。圖2-2傳感器的靈敏度(a)輸入/輸出關(guān)系為線性；(b)輸入/輸出關(guān)系為非線性由于某種原因，會(huì)引起靈敏度變化，產(chǎn)生靈敏度誤差。靈敏度誤差用相對誤差表示，即

(2-8)

式中：ΔK——靈敏度變化量；

K——靈敏度。2.1.3遲滯

實(shí)際測試裝置在輸入量由小增大和由大減小的測試過程中，對應(yīng)于同一個(gè)輸入量往往有不同的輸出量，稱為遲滯現(xiàn)象。產(chǎn)生遲滯現(xiàn)象的原因有多種，如裝置內(nèi)部有彈性元件、磁性元件有滯后特性以及機(jī)械部分有摩擦、間隙、灰塵積塞等。遲滯特性如圖2-3所示，它一般由實(shí)驗(yàn)方法測得。遲滯的大小可用遲滯誤差表示，遲滯誤差也叫回程誤差。對應(yīng)于每一輸入信號，傳感器在正行程及反行程中輸出信號差值的最大值為回程誤差，一般以與滿量程輸出之比的百分?jǐn)?shù)表示，即

(2-9)

式中:Δmax——正、反行程輸出的最大偏差；

YFS——滿量程輸出。圖2-3傳感器的遲滯特性2.1.4重復(fù)性

重復(fù)性是指傳感器在同一工作條件下，輸入量按同一方向作全量程連續(xù)多次變動(dòng)時(shí)所得特性曲線不一致的程度。重復(fù)性的好壞可用重復(fù)性誤差來衡量。

圖2-4所示為輸出曲線的重復(fù)特性，如正行程的最大重復(fù)性偏差為Δmax1，反行程的最大重復(fù)性偏差為Δmax2，則重復(fù)性誤差為取這兩個(gè)偏差之中較大者與滿量程輸出YFS之比的百分?jǐn)?shù)表示，即

(2-10)圖2-4傳感器的重復(fù)特性2.1.5靜態(tài)響應(yīng)特性的其他描述

測試裝置的靜態(tài)響應(yīng)特性還有其他一些描述，現(xiàn)分述如下。

1.分辨力

分辨力是指能引起輸出量發(fā)生變化的輸入量的最小變化量，表明測試裝置分辨輸入量微小變化的能力。當(dāng)輸入量連續(xù)變化時(shí)，有些傳感器的輸出量只作階梯變化，則分辨力就是輸

出量的每個(gè)“階梯”所代表的輸入量的大小。分辨力用絕對值表示，它與滿量程之比的百分?jǐn)?shù)表示稱為分辨率。在傳感器輸入零點(diǎn)附近的分辨力稱為閾值。

2.精度

精度是與傳感器產(chǎn)生的測量誤差大小有關(guān)的指標(biāo)，它表示測量結(jié)果的可靠程度。傳感器設(shè)計(jì)與出廠檢驗(yàn)時(shí)確定的精度等級，表示傳感器測量的最大允許誤差。

3.穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是指在一定工作條件下，當(dāng)輸入量不變時(shí)，輸出量隨時(shí)間變化的程度。測試時(shí)先將傳感器輸出調(diào)至零點(diǎn)或某一特定點(diǎn)，相隔一定的時(shí)間后，再讀出輸出值，前后兩次輸出值之差即為穩(wěn)定性誤差。穩(wěn)定性誤差可用相對誤差表示，也可用絕對誤差表示。

4.溫漂

溫漂是指外界溫度變化對傳感器輸出的影響程度。測試時(shí)先將傳感器置于一定溫度，將其輸出調(diào)至零點(diǎn)或某一特定點(diǎn)，使溫度上升或下降一定的度數(shù)，再讀出輸出值，前后兩次輸

出值之差即為溫度穩(wěn)定性誤差。溫度穩(wěn)定性誤差用溫度每變化若干攝氏度的絕對誤差或相對誤差表示。每一攝氏度引起的傳感器誤差又稱為溫度誤差系數(shù)。

2.2傳感器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

傳感器的動(dòng)態(tài)特性是指輸入隨時(shí)間變化的特性，它表示傳感器對隨時(shí)間變化的輸入量的響應(yīng)特性。很多傳感器要在動(dòng)態(tài)條件下檢測，輸出變化是否能真實(shí)地反映輸入變化，取決于它的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。當(dāng)然，傳感器的動(dòng)態(tài)特性一方面取決于傳感器本身，另一方面也與被測量的形式有關(guān)。因此，在對傳感器動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析時(shí)，采用最基本的正弦信號和階躍信號作為

標(biāo)準(zhǔn)輸入信號。單位階躍輸入信號規(guī)定為

同時(shí)設(shè)傳感器的初始狀態(tài)為零，即t<0時(shí)，y(t)=0。

動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性一般通過系統(tǒng)傳遞函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)等數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行研究。2.2.1傳遞函數(shù)

線性測量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸入x(t)和動(dòng)態(tài)輸出y(t)之間的關(guān)系可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，即

(2-11)對此微分方程求解，便可得到傳感器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。微分方程是傳感器動(dòng)態(tài)特性的一般數(shù)學(xué)模型。大多數(shù)傳感器的輸入、輸出關(guān)系可用零階、一階和二階微分方程來描述，即

零階微分方程：

(2-12)

一階微分方程:

(2-13)二階微分方程:

(2-14)

有時(shí)直接考察微分方程的特性比較困難，如果對微分方程兩邊取拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)，建立與其對應(yīng)的傳遞函數(shù)的概念，就可以更簡便、有效地描述傳感器的特性與輸入、輸出的關(guān)系。拉普拉斯變換是為簡化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換

來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上要容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解

的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡化。若定義傳遞函數(shù)為H(s)=Y(s)/X(s)，則有

(2-15)

如果輸入一定，則輸出的特性完全由傳遞函數(shù)決定。傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)本質(zhì)，與輸入信號及相應(yīng)的輸出信號的形式無關(guān)。傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。兩個(gè)變量間具有線性關(guān)系且在零初始條件下才能求取其傳遞函數(shù)。對于非零初始條件，傳遞函數(shù)并不能完全描述系統(tǒng)的特性。

傳遞函數(shù)是一種運(yùn)算函數(shù)，如果測試系統(tǒng)是由若干個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)或并聯(lián)組成，也可求出總的等效傳遞函數(shù)。如圖2-5所示，由兩傳遞函數(shù)H1(s)和H2(s)的串聯(lián)而成的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-16)圖2-5系統(tǒng)環(huán)節(jié)的串聯(lián)一般地，對由n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)，有

(2-17)

如圖2-6所示，由兩傳遞函數(shù)H1(s)和H2(s)并聯(lián)而成的系統(tǒng)的傳遞函

數(shù)為

(2-18)

一般地，對由n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)而成的系統(tǒng)，有

(2-19)圖2-6系統(tǒng)環(huán)節(jié)的并聯(lián)2.2.2頻率響應(yīng)特性

如果知道傳遞函數(shù)和輸入量，便可求出輸出量的拉氏變換式，再將其作拉普拉斯反變換就可得到輸出響應(yīng)。但當(dāng)要分析某個(gè)參數(shù)的改變對性能的影響時(shí)，得反復(fù)計(jì)算，這就顯得十分繁瑣，于是工程上常用頻率特性法來分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

頻率響應(yīng)特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，只要將傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用純虛數(shù)jω代替，就可以得到頻率響應(yīng)特性，因此由式(2-15)可得到其頻率響應(yīng)特性為

(2-20)其指數(shù)形式為

(2-21)

其中,

,為幅頻特性；,

為相頻特性。

幅頻特性和相頻特性合稱為頻率特性，以頻率ω為橫坐標(biāo)，以A(ω)和φ(ω)為縱坐標(biāo)所繪的圖形分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性圖與相頻特性圖，如圖2-7所示。圖2-7系統(tǒng)的幅頻特性圖與相頻特性圖2.2.3典型環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性

1.零階傳感器

由式(2-12)可得零階傳感器的輸出為

(2-22)

當(dāng)輸入單位階躍信號時(shí)，其輸出響應(yīng)(見圖2-8)為

(2-23)

式中,，為靜態(tài)靈敏度。圖2-8零階傳感器的單位階躍響應(yīng)傳遞函數(shù)和頻率特性為

(2-24)

零階傳感器的輸出正比于輸入，與頻率無關(guān)，因此不產(chǎn)生幅值和相位失真，具有理想的動(dòng)態(tài)特性，其頻率特性如圖2-9所示。圖2-9零階傳感器的頻率特性

2.一階傳感器

對于式(2-13)的微分方程，設(shè)為時(shí)間常數(shù)，

為靜態(tài)靈敏度，則式(2-13)可寫為

(2-25)

其拉氏變換式為

(2-26)傳遞函數(shù)為

(2-27)

當(dāng)輸入單位階躍信號時(shí)，其輸出響應(yīng)為

(2-28)如圖2-10所示，當(dāng)t=τ時(shí)，y(τ)=K(1-e-1)=0.632K，因此時(shí)間常數(shù)τ是決定一階傳感器的響應(yīng)速度的重要參數(shù)。

其頻率響應(yīng)函數(shù)為

(2-29)

幅頻特性為

(2-30)圖2-10一階傳感器的單位階躍響應(yīng)相頻特性為

(2-31)

一階傳感器的頻率特性如圖2-11所示，當(dāng)ωτ<<1時(shí)，A(ω)≈K，φ(ω)≈-ωτ，,因此時(shí)間常數(shù)τ越小，頻率響應(yīng)特性就越好。圖2-11一階傳感器的頻率特性

3.二階傳感器

對式(2-14)的微分方程取拉氏變換得

(a2s2+a1s+a0)Y(s)=b0X(s)

(2-32)

可寫出其傳遞函數(shù)為

(2-33)

式中:K=b0/a0——靜態(tài)靈敏度；

——無阻尼固有角頻率；

——阻尼比。二階傳感器對階躍信號的響應(yīng)如圖2-12所示，它在很大程度上取決于阻尼比和固有頻率。固有頻率由傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，當(dāng)它確定后，傳感器的響應(yīng)取決于阻尼比。按阻尼比的不同，二階傳感器的階躍響應(yīng)可分為下列幾種情況：當(dāng)ξ=0時(shí)為無阻尼，輸出響應(yīng)為等幅振蕩，輸出不穩(wěn)定；當(dāng)0<ξ<1時(shí)為欠阻尼，輸出響應(yīng)為衰減振蕩，達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間隨阻尼比的減小而加長；當(dāng)ξ=1時(shí)為臨界阻尼，輸出響應(yīng)為單調(diào)上升曲線，能達(dá)到穩(wěn)定，但達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間較長；當(dāng)ξ>1時(shí)為過阻尼，輸出響應(yīng)也為單調(diào)上升曲線，不過其達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間較臨界阻尼更長。一般取阻尼比ξ=0.7~0.8為最好。圖2-12二階傳感器的單位階躍響應(yīng)2.2.4傳感器的動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)

這里以二階傳感器階躍響應(yīng)為例，來說明其動(dòng)態(tài)性能，如圖2-13所示。圖2-13二階傳感器單位階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

1.響應(yīng)時(shí)間ts

響應(yīng)時(shí)間指從開始輸入到輸出進(jìn)入穩(wěn)定值所規(guī)定的允許誤差范圍內(nèi)所需要的時(shí)間。誤差范圍一般取穩(wěn)態(tài)值的2%~5%。

2.上升時(shí)間tr

上升時(shí)間是指輸出量從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。顯然ts、tr是衡量傳感器響應(yīng)快慢的指標(biāo)，它們越小，傳感器對輸入的響應(yīng)越快。

3.超調(diào)量σ%

超調(diào)量用單位階躍響應(yīng)曲線超過穩(wěn)態(tài)值的最大數(shù)值與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù)來表示。σ%與阻尼比ξ有關(guān)，對于二階傳感器，它們的關(guān)系為

(2-34)

上式表明，超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)，而與其他參數(shù)無關(guān)，ξ越大，σ%越小，傳感器穩(wěn)定性相對越高。

4.衰減度ψ

衰減度指兩個(gè)相鄰波峰(或波谷)幅值衰減的速度，即