人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課件

1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式，并會(huì)用向量的坐標(biāo)解決一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)

[討論交流]

問(wèn)題1．如何用坐標(biāo)來(lái)表示空間向量的運(yùn)算？問(wèn)題2．如何用坐標(biāo)來(lái)表示空間向量平行和垂直的條件、模和夾角的計(jì)算公式？問(wèn)題3．空間兩點(diǎn)間的距離公式是什么？[自我感知]

經(jīng)過(guò)認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫(huà)出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算探究問(wèn)題1設(shè)平面向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a＋b，a－b，λa，a·b的運(yùn)算結(jié)果分別是什么？[提示]

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；a－b＝(a1－b1，a2－b2)；λa＝(λa1，λa2)；a·b＝a1b1＋a2b2.探究問(wèn)題2你能由平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示類(lèi)比得出空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示嗎？若能，請(qǐng)嘗試證明．[提示]

設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．證明如下：設(shè){i，j，k}為空間的一個(gè)單位正交基底，則a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝λ(a1i＋a2j＋a3k)＝λa1i＋λa2j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3(由數(shù)量積的分配律及i·i＝j(luò)·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0得)．[新知生成]1．設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3

【教用·微提醒】

(1)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．減去(x2－x1，y2－y1，z2－z1)

(－5，2，3)

(1，2，1)

反思領(lǐng)悟

空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定．(2)直接計(jì)算問(wèn)題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入公式計(jì)算．(3)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量或點(diǎn)的坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，通過(guò)解方程(組)，求出其坐標(biāo)．

探究2空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示及應(yīng)用探究問(wèn)題3設(shè)平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b，a⊥b的充要條件分別是什么？對(duì)于空間向量是不是也有類(lèi)似的結(jié)論？[提示]

a∥b?x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．對(duì)于空間向量也有類(lèi)似結(jié)論．[新知生成]設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb?_______________________________垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?_____________________(a，b均為非零向量)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

2．本例中，若點(diǎn)G是A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)H在平面Dxy上，且GH∥BD1，試判斷點(diǎn)H的位置．

反思領(lǐng)悟

判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解．[學(xué)以致用]

2．已知A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，點(diǎn)P(x，y，1)，若PA⊥平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________．

(0，1，1)【鏈接·教材例題】例2如圖1.3-8，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證EF⊥DA1.考向2

向量的平行、垂直關(guān)系在立體幾何證明中的應(yīng)用

[典例講評(píng)]

3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD．

反思領(lǐng)悟

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明平行或垂直，要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明．

(1)求AM的長(zhǎng)．(2)求BE1與DF1所成角的余弦值．

[典例講評(píng)]

4．(源自湘教版教材)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CF；(2)求CE的長(zhǎng)；(3)求EF與CG所成角的余弦值．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角和距離問(wèn)題的基本思路是什么？[提示]

(1)根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量表示相關(guān)元素．(3)通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和距離．

[解]

如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA，CB，CC′所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

應(yīng)用遷移23題號(hào)41

√

23題號(hào)412．已知向量a＝(1，2，1)，b＝(1，－1，m)，且a·b＝－2，則m＝(

)A．－1

B．1C．－2

D．2√A

[由題意，可得a·b＝1×1＋2×(－1)＋1×m＝－2，解得m＝－1.故選A．]23題號(hào)41

√23題號(hào)41

23題號(hào)414．與a＝(2，－1，2)共線且滿足a·b＝－9的向量b＝_______________．

(－2，1，－2)

1．知識(shí)鏈：(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算．(2)向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用．2．方法鏈：直接法，類(lèi)比、轉(zhuǎn)化，待定系數(shù)法．3．警示牌：(1)由兩向量共線直接得到兩向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的比相等．(2)求異面直線所成的角時(shí)易忽略范圍，討論向量夾角易忽略向量共線的情況．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．如何用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示平行、垂直、模及夾角？

2．你是如何用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)研究平行、垂直、夾角和距離的？[提示]

(1)根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量表示相關(guān)元素；(3)通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算研究平行、垂直、夾角和距離．課時(shí)分層作業(yè)(六)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示題號(hào)1352468791011121314

√

題號(hào)1352468791011121314題號(hào)13524687910111213142．在平行四邊形ABCD中，A(1，－1，－3)，B(2，2，4)，C(0，3，6)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)A．(－1，3，3)

B．(1，0，－1)C．(3，－1，2)

D．(－1，0，－1)√題號(hào)1352468791011121314

題號(hào)3524687910111213141

√√題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

√

題號(hào)3524687910111213141

√題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

2

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141三、解答題9．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c與b＋c所成角θ的余弦值．

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

√√

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141題號(hào)3524687910111213141

√題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

√題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213141

題號(hào)3524687910111213