人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第五章5-3-1第2課時(shí)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用課件

第2課時(shí)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．進(jìn)一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．能求簡(jiǎn)單的含參的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

[討論交流]

問題1．若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(或遞減)，則f′(x)滿足什么條件？問題2．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的充要條件嗎？[自我感知]經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)

反思領(lǐng)悟

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．

[解]

f′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，且x∈(－∞，＋∞)．當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝x2≥0，此時(shí)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a＜0，x∈(－∞，a)時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；x∈(a，－3a)時(shí)，f′(x)＜0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；x∈(－3a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，(－3a，＋∞)；函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，－3a)．

探究2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍探究問題1如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)有什么特點(diǎn)？[提示]

f′(x)≥0，但f′(x)不可以恒為0.探究問題2如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f′(x)有什么特點(diǎn)？[提示]

f′(x)＞0有解．[新知生成]導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)在某區(qū)間D上，若f′(x)＞0?函數(shù)f(x)在D上__________；在某區(qū)間D上，若f′(x)＜0?函數(shù)f(x)在D上__________．(2)若函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增?f′(x)≥0；若函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞減?_______________．需要檢驗(yàn)f′(x)＝0不能恒成立．(3)若函數(shù)f(x)在D上存在單調(diào)遞增區(qū)間?f′(x)＞0有解．若函數(shù)f(x)在D上存在單調(diào)遞減區(qū)間?___________________．單調(diào)遞增單調(diào)遞減f′(x)≤0f′(x)＜0有解【教用·微提醒】

(1)單調(diào)區(qū)間可以寫成閉區(qū)間，我們習(xí)慣上寫成開區(qū)間．(2)注意以下區(qū)別：若單調(diào)遞增，則f′(x)≥0恒成立；若存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f′(x)＞0能成立．[典例講評(píng)]

2．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

[解]

由已知得f′(x)＝3x2－a，因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立．因?yàn)?x2≥0，所以只需a≤0.又因?yàn)閍＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0且不恒為0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0.[母題探究]

1．若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，求a的值．

2．若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

3．若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，常用方法如下：1函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增?_______________在區(qū)間D上恒成立2函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減?_______________在區(qū)間D上恒成立3函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不單調(diào)?f′(x)在區(qū)間D上存在變號(hào)______f′(x)≥0f′(x)≤0零點(diǎn)4函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增區(qū)間??x0∈D，使得________________成立5函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞減區(qū)間??x0∈D，使得________________成立6若已知f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性，區(qū)間D上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令D是其單調(diào)區(qū)間的__________，從而求出參數(shù)的取值范圍f′(x0)>0f′(x0)<0非空子集[學(xué)以致用]

2．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋3(4－a)x.(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線與直線x－3y＝0垂直，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，4)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

√

√

反思領(lǐng)悟

(1)在比較兩數(shù)(式)的大小關(guān)系時(shí)，首先要判斷所給函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．(2)在解一些不等式時(shí)，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性脫去f，即可得到變量的大小關(guān)系．[學(xué)以致用]

3．(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋sinx，則(

)A．f(1)＞f(2) B．f(1)＜f(2)C．f(1)＝f(2) D．以上都不正確(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且連續(xù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，若f

(lg

x)＞f(1)，則x的取值范圍是________．√

243題號(hào)1應(yīng)用遷移√1．若函數(shù)f(x)＝－cosx＋ax為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)B

[由題意可得，f′(x)＝sinx＋a≥0恒成立，故a≥－sinx恒成立，因?yàn)椋?≤－sinx≤1，所以a≥1.故選B.]23題號(hào)14

√

23題號(hào)413．函數(shù)f(x)＝x3－mx2＋m－2的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，3)，則m＝________．

243題號(hào)1

(－3，－1)∪(0，1)1．知識(shí)鏈：(1)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．(3)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．2．方法鏈：分類討論、數(shù)形結(jié)合．3．警示牌：求參數(shù)的取值范圍時(shí)容易忽略對(duì)端點(diǎn)值的討論．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一般有哪幾種情況？如何解決這幾種情況？[提示]

利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常遇到三種情況：①區(qū)間端點(diǎn)大小不確定型由于函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式中的區(qū)間端點(diǎn)大小不定，因此需根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的大小確定參數(shù)的范圍，再分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．②區(qū)間端點(diǎn)與定義域關(guān)系不確定型此類問題一般會(huì)有定義域限制，解函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式的區(qū)間端點(diǎn)含參數(shù)，此端點(diǎn)與函數(shù)定義域的端點(diǎn)大小不確定，因此需分類討論．③最高次項(xiàng)系數(shù)不確定型此類問題一般要對(duì)最高次項(xiàng)的系數(shù)a，分a＞0，a＝0，a＜0進(jìn)行討論．2．總結(jié)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法有哪幾種？[提示]

①可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，根據(jù)已知條件，求出參數(shù)的取值范圍，