人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章4-4數(shù)學(xué)歸納法課件

4.4*數(shù)學(xué)歸納法第四章數(shù)列整體感知[學(xué)習(xí)目標]

1．借助教材實例了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．(數(shù)學(xué)抽象)2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．(邏輯推理)3．能歸納猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)(教師用書)中國過去有個習(xí)俗，子女從父親的姓氏，如父親姓王，其子女都姓王．假設(shè)我們知道一個男子姓王，假設(shè)他每一代后代都有男子，而且嚴格按照我國過去的習(xí)俗，那么他的兒子姓什么？孫子呢？玄孫呢？……如果他有32代孫，你能確定他的32代孫的姓嗎？如果他有無限代孫呢？為了保證各代孫輩都姓王，必須嚴格按照中國過去的習(xí)俗，否則無法遞推下去，也就是說要保證第n代孫姓王能推出第n＋1代孫也姓王，當(dāng)然要求第1個人必須姓王了．思考：通過這個例子，你能得到什么啟示呢？[討論交流]問題1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的原理是什么？問題2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟之間有什么關(guān)系？[自我感知]

經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1數(shù)學(xué)歸納法的理解探究問題1如果你從袋子里拿出5個小球，發(fā)現(xiàn)全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？[提示]

不能．通過考察部分對象，得到一般的結(jié)論的方法，叫不完全歸納法．不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確．探究問題2在學(xué)校，我們經(jīng)常會看到這樣一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一位同學(xué)不小心將第一輛自行車弄倒了，那么整排自行車就會倒下．試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？這種現(xiàn)象對你有何啟發(fā)？[提示]

需要具備的條件：(1)第一輛自行車倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下．這種現(xiàn)象使我們想到一些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．[新知生成]1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)歸納奠基：證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)歸納遞推：以“當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)__________時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．n＝k＋12．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題，可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)P(n0)為真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，則P(k＋1)也為真．結(jié)論：P(n)為真．3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示【教用·微提醒】

初始值n0不一定是1，要結(jié)合具體的結(jié)論而定．

√②(1)D

(2)②

[(1)顯然當(dāng)n＝1時，21＞12，而當(dāng)n＝2時，22＝22，A錯誤；當(dāng)n＝3時，23＜32，B錯誤；當(dāng)n＝4時，24＝42，C錯誤；當(dāng)n＝5時，25＞52，符合要求，D正確．(2)本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符．]探究2用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第二步要證明的是一個以“當(dāng)n＝k時，①式成立”為條件，得出“當(dāng)n＝k＋1時，①式也成立”的命題，證明時必須用上上述條件．

反思領(lǐng)悟

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時應(yīng)關(guān)注的三點(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；(2)弄清從n＝k到n＝k＋1，等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；(3)證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標的表達式變形．[學(xué)以致用]

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝2×(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3.則當(dāng)n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立．探究3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【鏈接·教材例題】例4設(shè)x為實數(shù)，且x＞－1，x≠0，n為大于1的正整數(shù)，記數(shù)列x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…的前n項和為Sn，試比較Sn與nx的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．分析：該問題中涉及兩個字母，x是大于－1且不等于零的實數(shù)，n是大于1的正整數(shù)．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關(guān)系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出Sn，再通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關(guān)系后作出猜想．兩種做法都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明得到的猜想．解法1：由已知可得Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1.當(dāng)n＝2時，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得S2＞2x；當(dāng)n＝3時，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得S3＞3x.由此，我們猜想，當(dāng)x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1時，Sn＞nx.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．

(1)當(dāng)n＝2時，由上述過程知，猜想成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥2)時，不等式成立，即Sk＞kx，則Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k.①當(dāng)x＞0時，因為k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以x(1＋x)k＞x.②當(dāng)－1＜x＜0時，0＜1＋x＜1，且x2＞0.又因為k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x，可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x.綜合①②可得，當(dāng)x＞－1且x≠0時，Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k＞kx＋x＝(k＋1)x，所以，當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立．由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx對任何大于1的正整數(shù)n都成立．

(1)當(dāng)n＝2時，由上述過程知，猜想成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥2)時，不等式Sk＞kx成立，即(1＋x)k－1＞kx，亦即(1＋x)k＞1＋kx.由x＞－1，得x＋1＞0.又因為k＞1，x≠0，所以kx2＞0.于是Sk＋1＝(1＋x)k+1－1＝(1＋x)k(1＋x)－1＞(1＋kx)(1＋x)－1＝kx2＋(k＋1)x＞(k＋1)x.所以，當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立．由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx對任何大于1的正整數(shù)n都成立．

[思路引導(dǎo)]按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過程可應(yīng)用放縮技巧，使問題簡單化．

反思領(lǐng)悟

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵點用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求證f(k＋1)＞g(k＋1)時應(yīng)注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點：(1)先湊假設(shè)，作等價變換；(2)瞄準當(dāng)n＝k＋1時的遞推目標，有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論．

探究4歸納—猜想—證明【鏈接·教材例題】例3已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，試猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

[典例講評]

3．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差數(shù)列．(1)計算S1，S2，S3的值；(2)根據(jù)以上計算結(jié)果猜測Sn的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

反思領(lǐng)悟

“歸納—猜想—證明”的一般步驟

【教用·備選題】

(源自北師大版教材)用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N*)．[證明]

(1)當(dāng)n＝1時，x2－y2＝(x＋y)(x－y)．故x2－y2能被x＋y整除，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，x2k－y2k能被x＋y整除．那么，當(dāng)n＝k＋1時，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k. *把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入*得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假設(shè)知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．所以當(dāng)n＝k＋1時，命題成立．綜上，對于n∈N*，原命題成立．

243題號1應(yīng)用遷移√

C

[當(dāng)n＝1時，左邊＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2.]23題號14

√23題號14C

[根據(jù)等式左邊的特點，各數(shù)是先遞增再遞減，當(dāng)n＝k時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，①當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，②所以②－①得，等式左邊應(yīng)添加的式子是(k＋1)2＋k2.]23題號41√3．某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時，該命題不成立，那么可以推得(

)A．n＝6時該命題不成立

B．n＝6時該命題成立C．n＝4時該命題不成立

D．n＝4時該命題成立C

[假設(shè)n＝4時該命題成立，由題意可得n＝5時，該命題成立，而n