2025年高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷試題（含答案解析）

年普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)90分鐘。注意事項(xiàng)： 1. 答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效?？忌仨毐３执痤}卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。選擇題（本大題共12題，每小題6分，共計(jì)72分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知且，則“為質(zhì)數(shù)”是“為合數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在中，，則（

）A．1 B． C． D．24．在中，三個(gè)角所對(duì)的邊分別是，若，則（

）A． B． C． D．5．已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．6．向量，若，則（

）A． B．C． D．7．樹(shù)人中學(xué)七年級(jí)有500人?八年級(jí)有600人?九年級(jí)400人，為了解該?！半p減”政策落實(shí)情況?按年級(jí)進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為150的樣本.則八年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為（

）A．30 B．40 C．50 D．608．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．3 B． C．4 D．9．在等比數(shù)列中，若，則（

）A．4 B．8 C． D．10．已知二次方程的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（

）A． B． C．2 D．411．在平面四邊形中，，，，，則（

）A． B． C． D．12．若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．2填空題（本題共6小題，每小題6分，共計(jì)36分）13．已知直線(xiàn)，，若，則.14．實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程，則的最小值為.15．如果，那么的最小值是．16．在等比數(shù)列中，若，是方程的兩根，則.17．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.18．已知點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．三、解答題（本題共4小題，第19,20,21題各10分，第22題12分，共42分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．在銳角中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿(mǎn)足．(1)求角B的大小；(2)若，求面積的取值范圍．20．已知函數(shù)；(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．21．半程馬拉松是一項(xiàng)長(zhǎng)跑比賽項(xiàng)目，長(zhǎng)度為21.0975公里，為全程馬拉松距離的一半.20世紀(jì)50年代，一些賽事組織者設(shè)立了半程馬拉松，自那時(shí)起，半程馬拉松的受歡迎程度大幅提升.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“半程馬拉松”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡的人舉辦了一次“半程馬拉松”知識(shí)競(jìng)賽，將參與知識(shí)競(jìng)賽者按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)參與知識(shí)競(jìng)賽者的平均年齡；(2)現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“半程馬拉松”宣傳使者.若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選為宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選為組長(zhǎng)的概率；(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計(jì)年齡在內(nèi)的所有參與知識(shí)競(jìng)賽者的年齡的平均數(shù)和方差.22．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，分別在棱上，平面.(1)若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的余弦值；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.．參考答案1．A【分析】先確定集合中的元素，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】由題意，又，∴，故選：A．2．A【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)，合數(shù)的概念，結(jié)合特殊值法可判斷.【詳解】若為質(zhì)數(shù)，由，得必為奇數(shù)，則為大于2的偶數(shù)，所以為合數(shù)．取9，則為合數(shù)，但9不是質(zhì)數(shù)．故“為質(zhì)數(shù)”是“為合數(shù)”的充分不必要條件．故選：A.3．A【分析】借助余弦定理計(jì)算即可得.【詳解】由余弦定理可得.故選：A.4．C【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得到，即，得到，又，所以，故選：C.5．A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及特殊值法逐項(xiàng)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于A(yíng)，根據(jù)不等式的性質(zhì)知，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：A.6．C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意可得，所以，則．故選：C.7．D【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求出抽樣比，按此比例求出八年級(jí)的人數(shù)即可.【詳解】依題意，抽樣比為，故八年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故選：D8．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得公差為，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，則，所以.故選：D9．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義求出公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以.故選：A10．A【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可求另外一根．【詳解】設(shè)另一根為x，由韋達(dá)定理可知，，即，故選：A．11．B【分析】連接，在中分別利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】在四邊形中，連接，如圖，

在中，由余弦定理得，由，得，又，因此，在中，由正弦定理得，即.故選：B12．A【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程即可求解.【詳解】若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則.故選：A.1．A【分析】先確定集合中的元素，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】由題意，又，∴，故選：A．2．A【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)，合數(shù)的概念，結(jié)合特殊值法可判斷.【詳解】若為質(zhì)數(shù)，由，得必為奇數(shù)，則為大于2的偶數(shù)，所以為合數(shù)．取9，則為合數(shù)，但9不是質(zhì)數(shù)．故“為質(zhì)數(shù)”是“為合數(shù)”的充分不必要條件．故選：A.3．A【分析】借助余弦定理計(jì)算即可得.【詳解】由余弦定理可得.故選：A.4．C【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得到，即，得到，又，所以，故選：C.5．A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及特殊值法逐項(xiàng)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A(yíng)，根據(jù)不等式的性質(zhì)知，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：A.6．C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意可得，所以，則．故選：C.7．D【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求出抽樣比，按此比例求出八年級(jí)的人數(shù)即可.【詳解】依題意，抽樣比為，故八年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故選：D8．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得公差為，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，則，所以.故選：D9．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義求出公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以.故選：A10．A【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可求另外一根．【詳解】設(shè)另一根為x，由韋達(dá)定理可知，，即，故選：A．11．B【分析】連接，在中分別利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】在四邊形中，連接，如圖，

在中，由余弦定理得，由，得，又，因此，在中，由正弦定理得，即.故選：B12．A【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程即可求解.【詳解】若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則.故選：A.13．【分析】利用直線(xiàn)垂直斜率之積為即可得解.【詳解】因?yàn)榈男甭蕿?，，即的斜率為，又，所以，解?故答案為：.14．8【分析】根據(jù)所求可轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)與直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)的距離的平方，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求解即可.【詳解】令，則的最小值為圓與直線(xiàn)相切時(shí)的圓的半徑的平方，所以，即的最小值為8.故答案為：815．【分析】直接利用基本不等式求和的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：.16．【分析】利用韋達(dá)定理可得，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)若，則，可得．【詳解】若，是方程的兩根，則∵數(shù)列為等比數(shù)列，則故答案為：．17．【分析】應(yīng)用向量法求點(diǎn)線(xiàn)距離即可.【詳解】由題設(shè)，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.故答案為：18．【分析】利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離的向量公式直接求解即可.【詳解】由題意，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：.故答案為：.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積定義可得，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合角C的范圍即可得以及面積的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，則，整理可得，利用正弦定理可得，又因?yàn)?，則，可得，即，且，所以.（2）由正弦定理，可得，由題意可知：，解得，則，可得，即，又因?yàn)槊娣e，所以面積的取值范圍為.20．(1)或(2)【分析】（1）通過(guò)解一元二次不等式來(lái)求得正確答案.（2）根據(jù)分離常數(shù)，然后利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求得正確答案.【詳解】（1）∵，∴．∴，即，解得或．故不等式的解集為或．（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立．∵，∴，令，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的取值范圍為．21．(1)31.75(2)(3)平均數(shù)為38，方差為.【分析】（1）由頻率分布直方圖的平均數(shù)算法可得；（2）根據(jù)古典型概念公式確定基本事件總數(shù)與符合的事件總數(shù)即可得所求；（3）根據(jù)分層抽樣平均數(shù)和方差公式可得．【詳解】（1）設(shè)參與知識(shí)競(jìng)賽者的平均年齡為，則（歲）.（2）由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為（甲），，，，第五組應(yīng)抽取人，記為（乙），，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，，設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，所以.（3）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，則，，據(jù)此估計(jì)第四組和第五組所有人的年齡的平均數(shù)為38，方差為.22．(1).(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線(xiàn)面角的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（2）