2024-2025學(xué)年上海市松江區(qū)高三上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市松江區(qū)高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合，，則______2.已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為_________________．3.曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________．4.某老年健康活動(dòng)中心隨機(jī)抽取了6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)，分別為120，96，153，146，112，136，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為______5.二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______6.關(guān)于x的方程的解集為______7.已知，，，則的最小值為______8.《九章算術(shù)》卷第五《商功》中，有“假令芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假設(shè)一個(gè)芻童，上底面寬1尺，長(zhǎng)2尺：下底面寬3尺，長(zhǎng)4尺，高1尺（如圖，芻童為上下底面為相互平行的不相似長(zhǎng)方形，兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體）”.若該幾何體所有頂點(diǎn)在一球體的表面上，則該球體的表面積為_______.9.意大利著名畫家、自然科學(xué)家、工程師達(dá)芬奇在繪制作品《抱銀貂的女人》時(shí)，曾仔細(xì)思索女人脖子上黑色項(xiàng)鏈的形狀，這就是著名的懸鏈線形狀問(wèn)題.后續(xù)的數(shù)學(xué)家對(duì)這一問(wèn)題不斷研究，得到了一類與三角函數(shù)性質(zhì)相似的函數(shù)：雙曲函數(shù).其中雙曲正弦函數(shù)為，并且雙曲正弦函數(shù)為奇函數(shù)，若將雙曲正弦函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，并且數(shù)列滿足條件，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和______10.已知橢圓，點(diǎn)和分別是橢圓左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，則內(nèi)切圓半徑的最大值為______11.在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，則的值為______.12.已知關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)很，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分.）13.設(shè)，則是的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要14.在中，，為中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.15.已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，記，且，，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）①；②圖象關(guān)于對(duì)稱；③；④.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)16.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減B.當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.某市數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽結(jié)束后，為了解競(jìng)賽成績(jī)情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，得到他們的成績(jī)，將數(shù)據(jù)分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）若只有前的學(xué)生能進(jìn)決賽，則入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分？（2）采用分層隨機(jī)抽樣方法從成績(jī)?yōu)榈膶W(xué)生中抽取容量為的樣本，再?gòu)脑摌颖局须S機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)為其中達(dá)到分及以上的學(xué)生的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.18.已知函數(shù)y=fx是定義在?1,1上的奇函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)y=fx（2）求關(guān)于x的不等式的解集.19.如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線．（1）求證：直線平面；（2）若直線上存在一點(diǎn)（與都在的同側(cè)），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．20.已知點(diǎn)G是圓T:上一動(dòng)點(diǎn)（T為圓心），點(diǎn)H的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)R，動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）M，N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率分別為和，且，則的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)P為曲線C上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)至Q，使，點(diǎn)Q軌跡為曲線E，過(guò)點(diǎn)P的直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值.21.已知函數(shù)的表達(dá)式為.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：2024-2025學(xué)年上海市松江區(qū)高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合，，則______【正確答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式求解集合元素，結(jié)合交集【詳解】由，則.故答案為.2.已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為_________________．【正確答案】【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義及計(jì)算公式直接可得解.【詳解】由已知，，則則在方向上數(shù)量投影為，故答案.3.曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________．【正確答案】【分析】直接求導(dǎo)得，代入求得斜率即可.【詳解】由，則，所以，所以在點(diǎn)0,1處的切線方程為，即．故答案為.4.某老年健康活動(dòng)中心隨機(jī)抽取了6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)，分別為120，96，153，146，112，136，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為______【正確答案】120【分析】先將6個(gè)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，再根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解步驟即可求解.【詳解】6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)從小到大排列為：96，112，120，136，146，153，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為120.故120.5.二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______【正確答案】【分析】先求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0即可求解.【詳解】由題得二項(xiàng)式通項(xiàng)公式為：，令，所以二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.故答案為.6.關(guān)于x的方程的解集為______【正確答案】【分析】分類討論的范圍，去絕對(duì)值解方程即可.【詳解】關(guān)于x的方程，若，則，可得，解得，不合題意；若，則，可得，解得，不合題意；若，則，可得，解得，符合題意；若，則，可得，解得，不合題意；綜上所述：方程的解集為.故答案為.7.已知，，，則的最小值為______【正確答案】9【分析】將轉(zhuǎn)化為，再由展開后利用基本不等式，即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)?，，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故9.8.《九章算術(shù)》卷第五《商功》中，有“假令芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假設(shè)一個(gè)芻童，上底面寬1尺，長(zhǎng)2尺：下底面寬3尺，長(zhǎng)4尺，高1尺（如圖，芻童為上下底面為相互平行的不相似長(zhǎng)方形，兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體）”.若該幾何體所有頂點(diǎn)在一球體的表面上，則該球體的表面積為_______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意可得球心在幾何體的外部，設(shè)球心到幾何體下底面的距離為，從而可得，解方程可得，再利用球的面積公式即可求解.【詳解】由已知得球心在幾何體的外部，設(shè)球心到幾何體下底面的距離為，則，解得，，該球體表面積.故本題考查了幾何體的外接球問(wèn)題，需熟記球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.9.意大利著名畫家、自然科學(xué)家、工程師達(dá)芬奇在繪制作品《抱銀貂的女人》時(shí)，曾仔細(xì)思索女人脖子上黑色項(xiàng)鏈的形狀，這就是著名的懸鏈線形狀問(wèn)題.后續(xù)的數(shù)學(xué)家對(duì)這一問(wèn)題不斷研究，得到了一類與三角函數(shù)性質(zhì)相似的函數(shù)：雙曲函數(shù).其中雙曲正弦函數(shù)為，并且雙曲正弦函數(shù)為奇函數(shù)，若將雙曲正弦函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，并且數(shù)列滿足條件，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和______【正確答案】4048【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，即，即可求解.【詳解】由于為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，即，因此，,因此,故10.已知橢圓，點(diǎn)和分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，則內(nèi)切圓半徑的最大值為______【正確答案】【分析】利用等面積法即可求解，根據(jù)取時(shí)最大求解.【詳解】如圖所示，由橢圓定義，，，則，故，要使最大，則，故故11.在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，則的值為______.【正確答案】2023【分析】由已知可利用余弦定理轉(zhuǎn)化為新的關(guān)系式，再由已知可用切化弦思想及正弦定理的邊角互化思想就可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由余弦定理得，所以，所以，?023.12.已知關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)很，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【正確答案】【分析】原方程可化為，令，，即得在有兩個(gè)不相等的實(shí)根，再轉(zhuǎn)化為和，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象得到結(jié)果即可.詳解】由，可得方程可化為，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故時(shí)，值域?yàn)?方程可化為，當(dāng)時(shí)，方程可化為，不成立，故，故原方程可化為，由已知在有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即和，有兩個(gè)不同的交點(diǎn).，當(dāng)和時(shí)，，即在上遞減，在上遞減；當(dāng)時(shí)，，在遞增.另外，時(shí)，；時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，根據(jù)以上信息，函數(shù)，大致圖象如下，當(dāng)時(shí)，和，的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).所以的取值范圍是.故答案為.方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)或已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分.）13.設(shè)，則是的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【正確答案】B【分析】由“”不能推出“”，“”能推出“”，據(jù)此可判斷選項(xiàng).【詳解】令，則，但，故“”不能推出“”.設(shè)，由得，，故“”能推出“”.綜上得，是的必要非充分條件.故選：B.14.在中，，為中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意作圖，根據(jù)圖象，利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：則，，由為的中點(diǎn)，則，.故選：A.15.已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，記，且，，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）①；②的圖象關(guān)于對(duì)稱；③；④.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【正確答案】B【分析】對(duì)于①，根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算，利用賦值法，可得答案；對(duì)于②，取關(guān)于已知對(duì)稱中心的兩個(gè)點(diǎn)，代入函數(shù)解析式建立方程組，整理等式，結(jié)合題意，可得答案；對(duì)于③，根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算，結(jié)合題目中的等式，可得答案；對(duì)于④，根據(jù)等式可得函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合對(duì)稱性可得點(diǎn)的坐標(biāo)，可得等差數(shù)列，可得答案.【詳解】對(duì)于①，由等式，兩邊求導(dǎo)可得，則，令，則，解得，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，易知點(diǎn)關(guān)于0,2的對(duì)稱點(diǎn)為，假設(shè)該點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，可得，消去可得，整理可得，故②正確；對(duì)于③，由等式，兩邊求導(dǎo)可得，則，顯然與題意不符，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由等式，可得函數(shù)的對(duì)稱中心為0,2，由等式，可得函數(shù)的對(duì)稱中心為1,0，點(diǎn)0,2關(guān)于1,0的對(duì)稱點(diǎn)為也是對(duì)稱中心，點(diǎn)1,0關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為3,?4也是對(duì)稱中心，歸納可得函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，由數(shù)學(xué)歸納法，則，所以函數(shù)圖象對(duì)稱點(diǎn)為，則，易知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故④正確.故選：B.16.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減B.當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，【正確答案】D【分析】構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析fx,gx的單調(diào)性和大小關(guān)系，利用遞推法分析數(shù)列【詳解】設(shè)，可知fx,gx在構(gòu)建，則，可知Fx在0,+∞當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；可得fx對(duì)于選項(xiàng)AC：若，則，且，可得，若，則，且，可得，依此類推，可得，可知數(shù)列單調(diào)遞增，且，即不存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故AC錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BD：若，則，且，可得，若，則，且，可得，依此類推，可得，可知數(shù)列單調(diào)遞減，且，所以存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，（只需即可），故B錯(cuò)誤，D正確；故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)建，分析兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性哈大小關(guān)系，結(jié)合圖象分析數(shù)列性質(zhì).三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.某市數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽結(jié)束后，為了解競(jìng)賽成績(jī)情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，得到他們的成績(jī)，將數(shù)據(jù)分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）若只有前的學(xué)生能進(jìn)決賽，則入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分？（2）采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?yōu)榈膶W(xué)生中抽取容量為的樣本，再?gòu)脑摌颖局须S機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)為其中達(dá)到分及以上的學(xué)生的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.【正確答案】（1）分（2）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖，可得答案；（2）寫出變量的可能取值，分別求得概率，寫出分布列，利用期望公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】成績(jī)?cè)趨^(qū)間的比例為：；成績(jī)?cè)趨^(qū)間的比例為：，因此分位數(shù)位于區(qū)間；因此入圍分?jǐn)?shù)為：，因此入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為分.【小問(wèn)2詳解】在這六個(gè)人中，有兩人的分?jǐn)?shù)在分及以上，因此，，，，變量的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望為.18.已知函數(shù)y=fx是定義在?1,1上的奇函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)y=fx（2）求關(guān)于x的不等式的解集.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)，再根據(jù)為奇函數(shù)求解當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即；因?yàn)?，所?因此；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，因此有在上嚴(yán)格單調(diào)遞增；而當(dāng)時(shí)，因此有在上嚴(yán)格單調(diào)遞增；原不等式可化為：；而是定義在上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以；因此不等式的解集為.19.如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線．（1）求證：直線平面；（2）若直線上存在一點(diǎn)（與都在的同側(cè)），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證明，再證明平面，從而得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后再求出相關(guān)平面的法向量，最后用夾角公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】證明：∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，則平面．【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，過(guò)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得：A2,0,0，，，，，∴，，設(shè)，則．依題意可得：，即：又與都在的同側(cè)，所以，即于是：，設(shè)平面的法向量為則，取，可得再設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，取，得于是所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．20.已知點(diǎn)G是圓T:上一動(dòng)點(diǎn)（T為圓心），點(diǎn)H的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)R，動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）M，N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率分別為和，且，則的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)P為曲線C上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)至Q，使，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E，過(guò)點(diǎn)P的直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值.【正確答案】（1）（2）為定值，（3）【分析】（1）由已知得，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，然后求出即可得解；（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出△的面積，利用