2024-2025學(xué)年重慶市南開區(qū)高三上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市南開區(qū)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．7 B．14 C．21 D．422．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C．1 D．03．已知直線和，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知圓：，直線：，則當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為，則的取值為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，其右頂點(diǎn)為A，若橢圓上一點(diǎn)P，使得，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．47．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．18 B．16 C．6 D．48．設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（

）A．不可能有無數(shù)個(gè)元素B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)元素C．當(dāng)只有2個(gè)元素時(shí)，這2個(gè)元素的乘積有可能為D．當(dāng)時(shí)，最多有個(gè)元素，且這個(gè)元素的和為0二、多選題（本大題共3小題）9．在數(shù)列和中，，，，下列說法正確的有（

）A． B．C．36是與的公共項(xiàng) D．10．已知橢圓，不經(jīng)過原點(diǎn)、斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與垂直B．若點(diǎn)M坐標(biāo)為，則直線方程為C．若直線方程為，則點(diǎn)M坐標(biāo)為D．若直線方程為，則11．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，曲線.下列說法正確的是（

）A．當(dāng)直線l與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為B．當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值共有4個(gè)C．當(dāng)直線l與曲線有4個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為D．存在定點(diǎn)Q，使得過Q的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)都不可能為2三、填空題（本大題共3小題）12．過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A在第一象限，且，則直線AB的傾斜角為.13．已知圓，直線，直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為．14．橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)M為其上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C的半徑為1，圓心既在直線上又在直線上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程．16．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).求雙曲線的方程；以為中點(diǎn)作雙曲線的一條弦，求弦所在直線的方程.17．某研發(fā)團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)需要了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額，該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).經(jīng)對(duì)歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖.令，計(jì)算得到如下數(shù)據(jù).

2066770200144604.200.30821500(1)設(shè)變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)與相關(guān)性較強(qiáng)的模型.(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量.附：；樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中.18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，且四邊形的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率不為0的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)且與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn)M，N.求證：M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.19．已知函數(shù)．(1)若曲線和直線相切，求a的值；(2)若存在兩個(gè)不同的a，使得的最小值為0，求證：．

答案1．【正確答案】B【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：2a4＝a2+a6，又，解得a4＝2，而S77a4＝14故選B．2．【正確答案】B【詳解】，所以故選：B3．【正確答案】A驗(yàn)證時(shí)，是否成立；當(dāng)時(shí)，是否成立結(jié)合充分必要條件判定即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，可以推出；當(dāng)時(shí)，可得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．4．【正確答案】C【分析】由直線過定點(diǎn)，結(jié)合圓的對(duì)稱性以及勾股定理得出的取值.【詳解】直線：恒過點(diǎn)，由于直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為，即當(dāng)直線與直線垂直時(shí)（為原點(diǎn)），弦長(zhǎng)取得最小值，于是，解得.故選C.5．【正確答案】B【詳解】由題意，，，，由正弦定理得，又，所以，，又，可得，所以橢圓的離心率.故選B.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】根據(jù)題意求得、，再由正弦定理以及橢圓的定義，可算得與的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.6．【正確答案】A【詳解】如圖，因?yàn)殡p曲線，所以，由雙曲線的對(duì)稱性知，所以，由雙曲線定義可得，所以，又，所以，即，所以,故，故選：A7．【正確答案】B【詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以由拋物線的定義可得.故選:B.8．【正確答案】D【分析】對(duì)于，選項(xiàng)，可取特殊數(shù)列驗(yàn)證即可；對(duì)于可假設(shè)成立，結(jié)合圖象推出與已知矛盾；對(duì)于，結(jié)合正弦函數(shù)的周期，即可判斷.【詳解】選項(xiàng)，取，則，由，因?yàn)槭菬o窮等差數(shù)列，正弦函數(shù)是周期為的函數(shù)，所以在每個(gè)周期上的值不相同，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，取，即，則，只有一個(gè)元素，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，假設(shè)只有2個(gè)元素，，這2個(gè)元素的乘積為，如圖可知當(dāng)?shù)扔诨驎r(shí)，顯然不是等差數(shù)列，與已知矛盾，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，當(dāng)時(shí),，，，，，，，所以最多有個(gè)元素，又因?yàn)檎液瘮?shù)的周期為，數(shù)列的公差為，所以把周期平均分成份，所以個(gè)元素的和為0，故正確.故選:.方法點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列與正弦函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合，采用特例法，數(shù)形結(jié)合的方法判斷.9．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，符合條件，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，解得(負(fù)值舍去)，所以，令，解得(負(fù)值舍去)，所以，所以，即是與的公共項(xiàng)，故正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故正確；故選：ACD.10．【正確答案】BD【詳解】當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，直線與橢圓相交于不同A，B兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，對(duì)于橢圓，有熟知的結(jié)論，（證明過程參見點(diǎn)睛），于是對(duì)于本題，有.對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知線段的中點(diǎn)在軸上，直線與垂直，當(dāng)直線的斜率時(shí)，根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)，而當(dāng)兩直線的斜率存在且不為零時(shí)，它們垂直的充分必要條件是斜率之積為-1，故直線與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都不在坐標(biāo)軸上，可知直線的斜率存在且不為零，根據(jù)，，所以，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線方程為，即，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若直線方程為，點(diǎn)M，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去,得到，整理得：，解得，所以，所以D正確；故選：BD.11．【正確答案】ACD【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式逐項(xiàng)進(jìn)行分析驗(yàn)證即可求解.【詳解】由，得，即，即，所以曲線表示以，為圓心，為半徑的兩個(gè)圓，如圖所示.

設(shè)過點(diǎn)A且與圓N相切的直線方程為，則點(diǎn)N到該直線的距離，解得，，即圖中直線AC的斜率為1，直線AD的斜率為.直線AO的斜率為.直線AC的方程為，點(diǎn)M到直線AC的距離，則直線AC與圓M相切于點(diǎn)B.在直線l繞著點(diǎn)從直線AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線AO的過程中，直線l與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)都為4（不包括直線AC與直線AO的位置）；在直線l繞著點(diǎn)從直線AO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線AD的過程中，直線l與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)也都為4（不包括直線AO與直線AD的位置）.所以當(dāng)直線l與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為4時(shí)，直線l斜率的取值范圍為.故選項(xiàng)C正確；設(shè)過點(diǎn)A且與圓M相切的直線方程為，則點(diǎn)M到該直線的距離，解得，，由圖可知，當(dāng)直線l與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為.故選項(xiàng)A正確；由圖可知，直線AO與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，直線AD與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)也為3，直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，所以當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值共有3個(gè)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)檫^原點(diǎn)O的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1或3，所以存在定點(diǎn)Q（Q與O重合），使得過Q的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)都不可能為2，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.12．【正確答案】【分析】設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)已知等式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋灾本€AB存在斜率，設(shè)為，拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以直線AB的方程為：，與拋物線聯(lián)立為：，設(shè)，，所以有，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，且，所以，因此有，設(shè)直線AB的傾斜角為，所以，解得：故13．【正確答案】【分析】先求出直線過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)與直線垂直時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，求出最短弦長(zhǎng).【詳解】變形為，故直線過定點(diǎn)，故當(dāng)與故直線垂直時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，其中的圓心為，半徑為2，此時(shí)弦長(zhǎng)為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)，焦點(diǎn)，.因?yàn)闉殁g角，所以，即.整理得.因?yàn)辄c(diǎn)Mx,y在橢圓上，代入得解得又因?yàn)椋渣c(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.故答案為.15．【正確答案】（1）；（2）和【詳解】（1）聯(lián)立，得，則圓C的圓C坐標(biāo)為．因?yàn)閳AC的半徑為1，所以圓的方程為：．（2）如果不存在，則方程為，是圓的切線；如果斜率存在，設(shè)切線方程為：，即．運(yùn)用距離公式，解得．方程為．綜上所述切線方程為：和．16．【正確答案】

根據(jù)橢圓的方程和題意，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出，再由等軸雙曲線的性質(zhì)，以及，即可求出結(jié)果；先討論所在直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)題意，可直接排除；再討論所在直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由已知橢圓得雙曲線的焦點(diǎn)為，即，由等軸雙曲線的性質(zhì)及，則所求雙曲線的方程為當(dāng)所在直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知，中點(diǎn)不可為，故此時(shí)不滿足題意;當(dāng)所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線的方程為，聯(lián)立方程組得

①點(diǎn)在所在的直線上，即

②.聯(lián)立①②兩式，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，直線方程即為所求.17．【正確答案】(1)模型中與的相關(guān)性較強(qiáng).(2)（i）；（ii）27.1億元.【詳解】（1）由題意知.因?yàn)?，所以，故從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，模型中與的相關(guān)性較強(qiáng).（2）（i）由，得，即.因?yàn)椋?，故關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，即,所以.（ii）將代入得.，故得，解得，故預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量是27.1億元.18．【正確答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，且.

所以，由橢圓定義與勾股定理知，所以，所以，所以.又，解得.所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，所以可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組，消去x化簡(jiǎn)并整理得.設(shè)，，可得，.因?yàn)锳?2,0，所以直線的方程為y=y設(shè)點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別為，，令，可得，同理可得.所以.所以M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.【方法總結(jié)】利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為（或）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由，則，設(shè)切點(diǎn)為x1,fx1，則又，即，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由，即.綜上所述，.（2）證明：由，則，令，則，