湖北省市級(jí)示范高中智學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖北省市級(jí)示范高中智學(xué)聯(lián)盟2024年秋季高二年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：大冶實(shí)驗(yàn)高中命題人：馮江華審題人：吳玲玲陳銘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先要對(duì)所給的復(fù)數(shù)進(jìn)行整理，再分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，把得到復(fù)數(shù)虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即可得到共軛復(fù)數(shù).【詳解】，共軛復(fù)數(shù)為：.故選：C2.已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系，及兩點(diǎn)求斜率確定傾斜角的大小.【詳解】直線斜率，又因?yàn)橹本€傾斜角的范圍是，所以直線傾斜角為.故選：D3.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由焦點(diǎn)構(gòu)成正方形可得橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而可得，求解即可.【詳解】由橢圓，可得橢圓的焦點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的焦點(diǎn)為，所以，解得.故選：B.4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行得到直線方程的系數(shù)關(guān)系，從而可求參數(shù)的值，故可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)且，解得，當(dāng)時(shí)，兩條直線方程分別為：，，此時(shí)，故是的充要條件.故選：C5.如圖，在正四面體中，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】記的中點(diǎn)為，根據(jù)正四面體和正三角形性質(zhì)可得，然后由空間向量的線性運(yùn)算可得.【詳解】記的中點(diǎn)為，由正四面體的性質(zhì)可知，為正的重心，所以所以.故選：B6.已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離，得出的表達(dá)式，再根據(jù)題中不等關(guān)系得到、的齊次式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式，進(jìn)而得到離心率的范圍.【詳解】焦點(diǎn)到漸近線即的距離，所以，因?yàn)?，即，所?解得，即，又因?yàn)殡p曲線中，所以.故選：C7.已知圓，直線，若直線被圓截得的弦長的最大值為，最小值為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線過定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)結(jié)合幾何性質(zhì)求出最短弦和最長弦即可得解.【詳解】直線可化為，則直線過定點(diǎn)，點(diǎn)代入圓中：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長最短，即，當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長，即，所以.故選：A8.雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，.是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2，是面積為5的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由所給條件可轉(zhuǎn)化為中角的正弦值，利用正弦定理由正弦值之比得出邊長之比，再由面積求出邊長，利用雙曲線定義求得解.【詳解】如圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，，由，求得，因，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，，由得，則，，，，由雙曲線定義可得：，，，所以雙曲線的方程為.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的部分得分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.若和外離，則或B若和外切，則C.當(dāng)時(shí)，和內(nèi)含D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一條直線與和均相切【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，從而求出圓心距，再由兩圓的位置關(guān)系得到圓心距與半徑的和、差的關(guān)系得到不等式(或方程)，即可判斷.【詳解】由題知，，，，.對(duì)于A，若和外離，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若和外切，則，解得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則和相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則和內(nèi)切，有且只有一條公切線，故D正確.故選：BD.10.已知曲線的方程為，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線為圓B.當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C.當(dāng)時(shí)，曲線可能為焦點(diǎn)在軸上的橢圓D.當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其焦距為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為：，表示圓，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為：，表示雙曲線，漸近線方程為：，故B正確，對(duì)選項(xiàng)C，若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為：，表示橢圓，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知四棱柱的底面是邊長為6的菱形，平面，，，點(diǎn)滿足，其中，，，則（）A.當(dāng)為底面的中心時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，長度的最小值為C.當(dāng)時(shí)，長度的最大值為6D.當(dāng)時(shí)，為定值【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)空間向量線性運(yùn)算分析求解即可；對(duì)于BC：分析可知點(diǎn)在及內(nèi)部，利用等體積法求最小值，取端點(diǎn)驗(yàn)證最大值；對(duì)于D：利用空間向量的數(shù)量積可得，進(jìn)而可求.【詳解】由題意可知：.對(duì)于A，當(dāng)為底面的中心時(shí)，則，即，，，所以，故A正確；對(duì)于BC，當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在及內(nèi)部，設(shè)，點(diǎn)到平面的距離為，由題意可知：為等邊三角形，且，可得，，因?yàn)?，即，解得，所以長度的最小值為，故B錯(cuò)誤；若點(diǎn)分別與重合時(shí)，長度分別為6，6，3，所以長度的最大值為6，故C正確；對(duì)于D，若，則，又因?yàn)椋瑒t，所以為定值，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______.【答案】【解析】【分析】先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上及焦點(diǎn)坐標(biāo)列方程計(jì)算求解即可.【詳解】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由已知且，解得，，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：13.已知向量，滿足，，且.則在上的投影向量的坐標(biāo)為____________.【答案】【解析】【分析】利用模的平方得到向量積，再由投影向量公式即可求解.【詳解】由兩邊平方化簡(jiǎn)得：，①因?yàn)?，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐?biāo)為.故答案為：.14.已知等腰三角形腰上的中線長為，則該三角形面積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用建立關(guān)于的等量關(guān)系，從而點(diǎn)的軌跡方程為圓，從而可得，再代入三角形面積公式即可求解.【詳解】解：中，，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，即，整理得，，即有，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知頂點(diǎn)、、.（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的2倍，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)，，即可得的中點(diǎn)及斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式可得其垂直平分線方程；（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)可直接求得直線方程；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可根據(jù)直線的截距時(shí)進(jìn)行求解.【小問1詳解】由、.可知中點(diǎn)為，且，設(shè)邊的垂直平分線的斜率為，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；【小問2詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其直線斜率，此時(shí)直線方程為，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，由過點(diǎn)，則，解得，所以直線方程為，綜上所述，直線的方程為或.16.大冶市甲、乙兩所學(xué)校之間進(jìn)行排球比賽，采用五局三勝制（先贏三局的學(xué)校獲勝，比賽結(jié)束）.約定比賽規(guī)則如下：先進(jìn)行兩局男生排球比賽，后只進(jìn)行女生排球比賽.按照以往比賽經(jīng)驗(yàn)，在男生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為；在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為.設(shè)各局比賽相互之間沒有影響且無平局.（1）求恰好比賽三局，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲校以3:1獲勝的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）就不同學(xué)校連勝3場(chǎng)分類討論后可求比賽結(jié)束的概率；（2）就前兩局甲校兩勝、一勝一負(fù)分類討論后可求甲校以3:1獲勝的概率.【小問1詳解】恰好比賽三局，比賽結(jié)束的情況如下：甲校連勝3局，概率為；乙校連勝3局，概率為.故恰好比賽三局，比賽結(jié)束的概率.【小問2詳解】甲校以3:1獲勝的情況如下：①前兩局男生排球比賽中甲校全勝，第三局比賽甲校負(fù)，第四局比賽甲校勝，概率為；②前兩局男生羽毛球比賽中甲校1勝1負(fù)，第三局比賽甲校勝，第四局比賽甲校勝，概率為.故甲校以3:1獲勝概率.17.在中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，滿足且點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示：（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)翻折可證平面，即可得，再結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【小問1詳解】因?yàn)樵谥校?，，且，所以，，則折疊后，，又，，平面，所以平面，平面，所以，又已知，，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，則，，可得.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，故，即與平面所成角的余弦值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在軸上，圓與軸正半軸的交點(diǎn)為.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為圓的動(dòng)弦，且不經(jīng)過點(diǎn)，記、分別為弦、的斜率.（ⅰ）若，求面積的最大值；（ⅱ）若，請(qǐng)判斷動(dòng)弦是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）（ⅰ）1；（ⅱ）過定點(diǎn).【解析】【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件代入求即可；（2）（i）由可得，且，根據(jù)三角形面積公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）設(shè)直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和斜率公式代入求出與的關(guān)系進(jìn)而可得定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知可得：，解得：，，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】（ⅰ）由（1）知，因?yàn)?，所以，從而直線經(jīng)過圓心，是直角三角形，且，設(shè)，，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.（ⅱ）由已知得：直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程為，，，由，消去得：，當(dāng)時(shí)，，，（※）又，即，代入（※）得：，即，解得：，或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的方程為，過定點(diǎn)（舍去），當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的方程為，過定點(diǎn)，故當(dāng)，動(dòng)弦過定點(diǎn).19.法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓的中心為圓心，（為橢圓的長半軸長，為橢圓的短半軸長）為半徑的圓，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A.已知橢圓過點(diǎn)，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線與軸所成角的正弦值等于.（1）求橢圓的蒙日?qǐng)A的方程；（2）若斜率為2的直線與橢圓相切，且與橢圓的蒙日?qǐng)A相交于，兩點(diǎn)，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（3）設(shè)為橢圓蒙日?qǐng)A上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓過的點(diǎn)和幾何關(guān)系列方程組求得，，從而利用蒙日?qǐng)A的定義求解方程即可.（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式法求得，然后根據(jù)幾何法求得弦長，即可求解面積.（3）設(shè)，，，利用判別式法求得的方程和的方程，進(jìn)一步求得的方程，讓其與橢圓聯(lián)立，韋達(dá)定理，利用弦長公式求出，再由點(diǎn)到直線的距離求出的高，得出面積表達(dá)式，換元后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而求解最值.【小問1詳解】由已知可得，①，由橢圓過點(diǎn)，得②，由①②解得，，于是，所以橢圓的蒙日?qǐng)A的方程為.【小問2詳解】由（1）知，橢圓的方程為，設(shè)直線的