第15講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題(提升訓(xùn)練)(解析版)-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)考點專題訓(xùn)練

第15講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題

【提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.若函數(shù)/(不)=,72一3/一機在區(qū)間［-2,6］有三個不同的零點，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-9,18)B.［匐。/D.卜|，18)

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)可求得了(X)在［-2,6］上的單調(diào)性、極值和最值，由零點個數(shù)可確定了(X)大致圖象，由此可得不

等關(guān)系，解不等式可求得結(jié)果.

【詳解】

v/'(x)=x2-2x-3=(x+l)(x-3),

.?.當x?-2,—l)U(3,6］時，/z(x)>0；當”￡(-1,3)時,/r(x)<0；

.?"⑴在(3,6］上單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減,

75

又〃-2)=-§一根，/(-l)=--/n,/⑶=一9一加，/(6)=18-/n,

則/(%)在區(qū)間［-2,可有三個不同的零點，則其大致圖象如下圖所示:

252525、

/.----m<0<——機，解得：——<m<—,即實數(shù)機的取值范圍為

33335a

故選：B.

【點睛】

方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后

將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)分離變量法：由〃x)=0分離變量得出〃=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=〃與函數(shù)y=g(x)的

圖象的交點問題.

2.若函數(shù)/*)=4靖一1111—x—。存在零點，則。的取值范圍為()

A.(0,1)B.[l,+oo]C.[-.e]D.P,e]

ee

【答案】B

【分析】

函數(shù)『(匯)一次'一1。內(nèi)一工一。存在零點，即旄、=lnx+x+〃有根，構(gòu)造同構(gòu)的形式，利用換元法轉(zhuǎn)化為

〃="一人利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=——/QGR)的值域即可.

【詳解】

方法一：

函數(shù)=M'-存在零點，即x/=lnx+x+a有根?

因為■=,所以**+*=Inx+%十°有根.

設(shè)，=lnx+x,則/=，+〃，即。=d-r(f￡R)

令y=/_/QwR),則y=/_i,

當x〉0時，/>0,所以y=d—f在(0,+8)上單增；

當x<0時，/<0,所以y=d-f在(-oo,0)上單減；

所以當?shù)?0時，歹有最小值1.

要使&=/一1有解，只需。之1.

故選：B.

方法二：

f,(x)=ex+xex---1=(x+\)(ex--)

xx

因為/>0,

所以x+l>0.

令(幻=/一2，因為g(x)在(0,一)上單調(diào)遞增，

x

所以肛)w(O,+8),g(Xo)=O,即/+ln%=0.

當工￡(0,用)時，尸(X)<0;當X￡(%,+8)時，f\x)>0.

所以(x)在(0,與)上單調(diào)遞減，在(X。,+8)上單調(diào)遞增.

Xi)

所以/(x)min=/(x0)=xQe-\nx0-xQ-a=\-a.

要使代/(X)存在零點，只需即4"

故選：B.

【點睛】

思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路:

，利正最值或極值研究;

□利用數(shù)形結(jié)合思想研究;

構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

x2+4x,x<0

3.已知函數(shù)f(x)=<，則函數(shù)g(x)=/[〃x)—5]的零點個數(shù)是()

e,x>0

x

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】

首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可畫出函數(shù)的草圖，從而得到f(x)的零點，則

g(x)=f[/(x)—5],轉(zhuǎn)化為/(%)—5=0或/(x)—5=T或不，數(shù)形結(jié)合即可判斷;

【詳解】

x2+4x,x<02x+4,x<0

因為/(%)=(11八，所以/'a)=1X1八，令r(x)vO,解得XV—2,所以7(X)

解:

e——,x>0卜+尸。

x

在(一8,-2)上單調(diào)遞減，令八%)>0,解得一2cx<0或x〉0,所以/(/)在(-2,0)和(0,+8)上單調(diào)

遞增，函數(shù)圖象如下所示:

當xWO時，令/(x)=o,得尤=0或x=-4：又x->0+時/(X)fYO；%-+00時/(另一>+00,

/(l)=e-l>0,所以我?0,1)使得)=0：

要使g(x)=/[/(x)-5]=0,即/(x)—5=0或f(x)-5=-4,或/(%)—5=/

即/*(。)=5或/(x)=l,或〃彳)=7+5

由函數(shù)圖象易知y=5,y=l,y=%+5與y=/(x)都有兩個交點，

故〃力=5或〃x)=l或〃力=與+5各有兩個零點，

故函數(shù)8(力=/[/(“)-5]有6個零點；

故選：D

【點睛】

本題解答的關(guān)鍵的根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的草圖，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點；

4.已知函數(shù)/。)=(2/-3%)靖，則函數(shù)y=3"(x)f+2/(x)—l零點的個數(shù)是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】

首先對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，并確定當XT-8時，0,解方程

3[/(z)f+2/(x)-l=0,求得f*)=7或/*)=§,結(jié)合函數(shù)圖象，確定每個方程根的個數(shù)，得到最

后結(jié)果.

【詳解】

/(x)=(2x2-3x)ev,f*(x)=(2x2+x-3)ex=(2x+3)(x-V)ex,

令f'(x)>0,得或4>1,

33

所以/(x)在(TO,一-)上單調(diào)遞增，在(--,1)上單調(diào)遞減，在(Lx。)上單調(diào)遞增，

22

且/(一尹3加--2,/(l)=-e,

且當Xf-oo時，y->0,

令3f/(x)]2+2/(%)-1=0得f(x)=-1或/(%)=1,

所以/。)=一1有兩個解，/(x)=g有三個解，

所以函數(shù)y=3[/(x)]2+2/(x)一1零點的個數(shù)是5個，

故選：B.

【點睛】

方法點睛：該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)的問題，解題方法如下：

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，并確定函數(shù)圖象的變化趨勢；

(2)求函數(shù)零點，就是令函數(shù)等于零，方程的根，求解二次方程，得到函數(shù)值的取值；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，確定其零點個數(shù).

/,x〉0

5.已知函數(shù)〃力=(2。1八，若函數(shù)g(x)=/(x)-丘恰好有兩個零點，則實數(shù)%等于(C

—X+2x+1,x<0

為自然對數(shù)的底數(shù))()

A.1B.2C.eD.2e

【答案】C

【分析】

令g(x)=O得出f(x)=H,做出作出y=/(x)及直線丁=去的圖象，則兩圖象有兩個交點，求出y=f(x)

的過原點的切線的斜率即可求出k的范圍.

【詳解】

解：g(x)=f(x)-丘=0./(x)=kx,

作出了(X)的圖象，及直線y=去，如圖,

□xWO時，y=—f+2x+l是增函數(shù)，1=0時，)=1,無論人為何值，直線y="與y=/W(xVO)都

有一個交點且只有一個交點，而g(x)有兩個零點，

□直線y二依與/(x)=，(x>0)只能有?個公共點即相切.設(shè)切點為(為,為)，

f'(x)=ex,/(/)=*,切線方程為y—/=e"@—x°)

,切線過原點，

□-*=_*?/，/=］，uk=/'(I)=e,

故選：C.

【點睛】

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將

零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.對于函數(shù)零點人數(shù)問題，可利用函數(shù)的值域

或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；

從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.但需注意探求

與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴格說明函數(shù)零點個數(shù).

6.已知函數(shù)/(6二一^與函數(shù)g(x)=-d+12x+l的圖象交點分別為：4(x，yJ,P(孫必)，…，

P(王，%)，(%€.),則(%+%+…+/)+())+%+???+”)=()

A.-2B.0C.2D.4

【答窠】D

【分析】

先證明函數(shù)/(x),g*)關(guān)于點(0,1)對稱，再作出兩函數(shù)的圖象分析得解.

【詳解】

t■-X

由題意化簡，f(x)=e+1>

ex-ex

x-XX.—X

因為函數(shù)y='+'-是奇函數(shù),所以函數(shù)〃力=：+'+1關(guān)于點(04)對稱.

ex-exex-ex

因為函數(shù)y=-V+12x是奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)=-/+12x+l關(guān)于點(0,1)對稱.

又門加溫廠，

所以"％)在(-8,0),(0,”)上單調(diào)遞減，

由題得g'(x)=_3(x2_4)

所以函數(shù)g(x)在(7)，—2),(2,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞減，在(一2,2)上單調(diào)遞增，

由圖象可知，/(x)與g(x)的圖象有四個交點，且都關(guān)于點(0,1)對稱，

所以％+%2=°，芻+工4=。弘+%=2,必+乂=2,

所以所求和為4,

故選：D

【點睛】

方法點睛：函數(shù)的零點問題常用的方法有：（1）方程法（解方程得解）；（2）圖象法（作出函數(shù)/（X）的圖象

即得解）;（3）方程+圖象法（令〃“尸0得ga）=%a）,分析函數(shù)g（%）,力（力得解）.

7.已知函數(shù)〃x）=Z—lnx+機在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，則實數(shù)團的取值范圍為（）

X

A.，上，十[B.（三，上〕C.（二』]D.J/+1]

Ie+12J（e+1e+\）（e+1）[2）

【答案】B

【分析】

x\nx在區(qū)間—,e）內(nèi)只有一個根，然后利用導(dǎo)數(shù)求得〃。）=普；在區(qū)間—,e）的單調(diào)

等價轉(zhuǎn)化為

x+1

性，最后簡單計算可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：等價于/n（4+l）=ln工

在區(qū)間（die）內(nèi)只有一個根

1%

即〃2='詈在區(qū)間（小1。內(nèi)只有一個根

x\nx,x+1+lnx

令A(yù)(J)=--,/z(x)=——,

x+l(x+1)

令無q)=x+l+lnx,2'(幻=1+，>0,函數(shù)y=k(x)在區(qū)間(二,?)單調(diào)遞增，4。)>%(/)=/>°，

?X

所以〃(x)>0,函數(shù)y=/j(x)在區(qū)間(e",e)單調(diào)遞增，

所以有h(e~'\<h[x)<h{e},即----<7z(x)<—^―,----<m<-^—,

'7e+1e+1e+\e+\

故選：B.

【點睛】

思路點睛：(1)等價轉(zhuǎn)為根=以竺在區(qū)間("le)內(nèi)只有一個根；(2)構(gòu)造函數(shù)力")=1竺；(3)利用

X+1+1

rInX

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)以幻=——性質(zhì)；(4)得出結(jié)果.

X+1

8.已知函數(shù)4x)=g-sinx+x-cosR,當x?-4巴4句且xwO時，方程/⑸=0的根的個數(shù)是()

X

A.7B.6C.9D.8

【答窠】D

【分析】

設(shè)g(H)='，^Cv)=sinx-xcosx,求方程/(x)=。的根的個數(shù)，即求函數(shù)y=g(x)與y=力(%)的交點

X

個數(shù)，利用函數(shù)均為奇函數(shù)求區(qū)間交點數(shù)即可.

【詳解】

設(shè)g(x)=2，^U)=sinx-xcosx,/*)與g(x)均為奇函數(shù)，

X

只需求y=g*)與y=h(x)在(0,4萬]上的交點個數(shù).

□^(x)=xsinx,所以%(x)在(0,萬)和(2/3萬)上單調(diào)遞增，在(肛2乃)和(3肛44)上單調(diào)遞減，且

〃(0)=0,〃(萬)=乃,〃(2乃)=一〃2,〃(34)=3〃,〃(4乃)=-4乃：

又g(x)=-單調(diào)遞減且g(4)=/<%(冗),g(4^-)=-^->h(4]),

口在(0,4乃］上有4個交點，故在［-4匹0)上也有4個交點，故方程/。)=0在［-4乃,44］且xwO上有8個

根，

故選：D.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：將函數(shù)拆分成兩個函數(shù)g(x)=2,h(x)=sinx-xcosx,研究它們在指定區(qū)間上的交點個數(shù).

X

9.已知函數(shù)外)=elo瞅-?口心1)沒有零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(e,+oo)B.(yfe?+8)C.(1?+oo)D.(/，+<?)

【答窠】A

【分析】

先通過令力=〃丸〉1),將/(x)=aog“x—_沒有零點轉(zhuǎn)化為g("=lOg/_"S>l)沒有零點，進一步

轉(zhuǎn)化為〃(x)=b'-Mb>D沒有零點，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，令最小值大于零解不等式可得答案.

【詳解】

x/1V)

〃x)=eIogM-〃e=log產(chǎn)一Y，令6"涼出>1),

af\J

因為，=1。8/與y="關(guān)于丁=1對稱,

所以/(x)=ek)g/_/沒有零點等價于8(力=1。8/-"3>1)沒有零點，

等價于h[x)=bx-x(b>\)沒有零點.

x

K(x)=b\nb-1,令”(x)=0得x=Iogz,——

J血

心)迎嗝島)=?、?嗨喧卜0,所以故?！?/p>

故選：A.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：將復(fù)雜函數(shù)危尸ek)g,4a；3>l)沒有零點的問題通過換元法，轉(zhuǎn)化為相對簡單的函數(shù)

〃(同="一吊。>1)沒有零點的問題是本題的關(guān)鍵.

10.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)"%)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且當/￡[0,+8)時，

/(x)sinx</,(x)cosx-ef/(x),e為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)在R上的零點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

為了利用條件/(x)sinxv/'(外以方'一4''。)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=(cosx-^)/(x)即可.

【詳解】

由f(.E)sinx</'(xJcosx-e/Xx),得(cosx-e)/(x)—/(x)sinx>0.

令g(x)=(cosx-e)f(x)，因為cosx-ewO,所以/(x)=0等價于g(x)=0.當xw[0,+8)時，g'(x)>0,

g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，又/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以g(x)=(cosx-e)f(x)也是定義在R上

的奇函數(shù)，從g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)=0,所以g(x)在R上只有1個零點，從而可得/(x)在R上

只有1個零點.

故選：B.

11.己知函數(shù)/。)=入11】4-3辦2-2”有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范用是()

A.(-oo,^2)B.(O./)c.(-oo,e-1)D.(0,巧

【答案】B

【分析】

由/'(x)=lnx—Qt—l在(0,+8)上有兩個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)丁=々與￥=電上士有兩個不同的交

X

點，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】

f,[x)=\nx-ax-l,

因為廣(%)二11一"一1在(0,笆)上有兩個小同的零點,

即lnjv—ar—l=O有兩個不同的正根，即。有兩個不同的正根,

x

即y=4與y=g二I有兩個不同的交點.

X

因為y'=2z誓，當0Vx</時，y>0,當x>e2時，y<0,

x

所以函數(shù)y=在(o,/)為增函數(shù)，在(《2,48)為減函數(shù)，

X

當工二片時-,y=4,且當x>e時，y>0,

e

在同一坐標系中作出y=a與y=魴B的圖象，如圖所示：

x

故選：B.

【點睛】

方法點睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方

面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.

12.函數(shù)/(0二/(，”-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則下列說法正確的是()

A./(X)在R上只有一個極值點B."X)在R上沒有極值點

C./(力在X=0處取得極值點D./(%)在無=一1處取得極值點

【答案】C

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)=x(xex+l+2et+,-2)的零點情況,有x=0或比7+2"“一2=0時fM存在極值點,

令g(x)=比向+2e川-2有g(shù)'(x)=6川。+3)即可確定g(x)零點分布情況，進而可判斷各選項的正誤.

【詳解】

由題意，f\x)=2x(ex+l-1)+x2ex+,=x(xex+i+2er+,-2),

□若fM=0,即x=0或xeA+l+及山一2=0，

令g(x)=1+2夕”一2,則g\x)=—+5+2-=-(x+3),

U當4>—3時，g'(x)>0；當xv-3時，g'(%)<0：

g(x)在(一8,-3)上遞減，在(-3,+8)上遞增；又g(—1)=—1<0,而g(0)=2e—2>0,故g(。在(-1,0)

上存在一個零點.

□/(力在R上至少存在兩個極值點，分別為x=0、X=XOG(-1,O).

故選：C

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究/a)的極值點，并構(gòu)造函數(shù)8(幻=加川+2d"-2確定其零點分布情況，進

而判斷f(%)極值點的個數(shù)及分布.

13.設(shè)asR,e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/(6=e“-asinx在(0,乃)內(nèi)有且僅有一個零點，則〃=()

A.e,B.-1C./D.無京

【答案】D

【分析】

f(X)=O轉(zhuǎn)化為〃=￡-.令g(x)=￡，0<X<7r,利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性、極值，及函數(shù)值的

sinxsinx

變化趨勢得出結(jié)論.

【詳解】

由產(chǎn)一asinx=O得，asinx=e，.因為，所以sinx>0.因此。二=一只有一解，

sinx

人/\e*八e、er(sinx-cosx)」，/、八㈤冗

令g(》)=----,Ovxv兀,則g(x)=-------；------.由g(力=。得天二:

sinxsin-x4

當0<X<；■時，g'(x)vo；當.VXV不時，g'(x)>o,所以g(x)min=g.

X—0或Xf4時，都有g(shù)(x)fy,

因此0=加?

故選：D.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，函數(shù)零點即方程的解轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)

圖象交點個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的單調(diào)性、極值，即函數(shù)的變化趨勢，從而得出結(jié)論.

14.已知wR,若函數(shù)/*)=〃]一以存在兩個零點不，x2,且%>0,則下列結(jié)論可能成立的

是().

A.ae>b>0B.ae>O>bC.b>0>aeD.0>ae>b

【答案】D

【分析】

hpx、x

根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為方程2=幺在(0,+?)上有兩個實數(shù)根，進而令8(力=幺P,%€(0,+8)，再研究

函數(shù)g(X)的單調(diào)性得g>e>0,進而分a>0和。<0討論即可得答案.

【詳解】

解:當。=0時，函數(shù))(力只有一個零點，故。工0,

因為函數(shù)/(x)=ae'-bx存在兩個零點內(nèi)，x2,且馬〉谷〉。

所以方程2=ex

在（。,+?）上有兩個不相等的實數(shù)根.

ax

令g(H=J”(0，+0°)，g<x)="'

XX

所以當XG(L+<?)時g'(x)>0,xw(O,l>4g'(x)vO,

故函數(shù)g(X)=C,X?0,+8)在(1,+?)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減;

所以g(x)min=g(l)=e，所以：>e>0,

當?！?時，b>ae>0,當〃<0時，b<ae<0

故選：D.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為方程幺ex

在(0,+?)上有兩個不相

ax

等實數(shù)根，進而令g")研究函數(shù)的單調(diào)性即可.考查運算求解能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

15.若函數(shù)/(幻=。-一/一2。有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,+co)B.(2,4-QO)C.(0,+oo)D.(-l,+oo)

【答案】C

【分析】

函數(shù)=-功的導(dǎo)函數(shù)r(x)=a"-l,對。進行分析可知，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,

可知當々W0時，函數(shù)/(%)在R上單調(diào)，不可能有兩個零點；

當a〉0時，函數(shù)“X)在18,In：)上單調(diào)遞減，在(哈+8)上單調(diào)遞增，要使函數(shù)〃元)有兩個零點,

只需/（力的最小值小于零即可，由此即可求出結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)/（力二。/一工一功的導(dǎo)函數(shù)/'（力=4，-1.

當aWO時，/'（同40恒成立，函數(shù)/（“在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點；

當〃>0時，令r（x）=0,得x=ln；,

,1上單調(diào)遞減，在（lnL,+oo]上單調(diào)遞增,

函數(shù)“X）在-00,In—

kci/

ii

所以『（x）的最小值為/=1-In--2?=1+Intz-2^.

令g（Q）=]+】nq.2^（a>0）,則g'（a）=——2.

a

當a￡（O,g時，g（a）單調(diào)遞增；當〃€（：,+<?卜寸，g（a）單調(diào)遞減，

所以g（°）皿=g（：）=一如2<0,

所以“力的最小值為/卜￡|<0,函數(shù)/（冗）=。/一工一勿有兩個零點.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍

是（0,+8）.

故選：C

【點睛】

方法點晴：將函數(shù)零點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)圖象和橫軸交點個數(shù)問題求解.

16.下列命題為真命題的是（）

A.若a<b<0,則一v—

ab

t4

B.3x0€/?,e">與”的否定是“W/WR，。"<與"

C.函數(shù)/（6=-T-%-l（xwR）有兩個零點

D.號函數(shù)），=（〃/一加一1）/32吁3在無?0,轉(zhuǎn)）上是減函數(shù)，則實數(shù)加=T

【答案】C

【分析】

作差可判斷A；寫出命題的否定可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值可判斷C；根

abab

據(jù)新函數(shù)的定義可判斷D.

【詳解】

對于A,---=———,因為a<Z?vO,所以b-a>0,ab>0,

abab

所以1一!>0,->y,錯誤；

abab

對于B,“3X0￡R,e">與”的否定是“VXWR,錯誤；

對于C,函數(shù)/（力=01-1一1（%￡尺）.

f（x）=ex-l-\,當/'（x）>0得x>l,當/'（X）〈。得xvl,

所以/（力在x>l是單調(diào)遞增函數(shù)，在xvl是單調(diào)遞減函數(shù)，

所以“可在1=1時有最小值，即/（1）=6°-1-1=-1<0,

/（-2）=e-3+2-l=e-3+l>0,

所以7（x）有兩個零點，正確；

對于D,由已知得〈,.八，無解，

m~-2m-3<0

幕函數(shù)>=（>一〃7-1）--2吁3在不?0"）上是減函數(shù)，則實數(shù)加=一],錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題是一道綜合題，對于零點的判斷，可以利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合極值情況進行判斷，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)

知識、基本技能的掌握情況.

17.若關(guān)于x的方程方x-or=x2在（0,十？）上有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.（9,-1]B.（-oo,-l）C.[-1,-K?）D.（-l,4-oo）

【答案】B

【分析】

通過分離參數(shù)變成a=工土-x，構(gòu)造函數(shù)，(力=出一不，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間和值域，數(shù)形結(jié)合寫出

XX

。的取值范圍.

【詳解】

lnx-ca=x1故a=

x

…、Inx

則/(%)=------x

X

1-Inx1-lnx-x2

x-1=2

f\)=XT工一

設(shè)g(左)=l-x>o

故g(x)=」_2x<0

g(x)=l—Inx一/在(0,+?)上為減函數(shù)，g(l)=o.

故X￡(O,1)時/(x)>0；X￡。,+<?)時/(1)<0.

InV

故/(力=——一X在(0,1)上為增函數(shù)，在(1,+?)上為減函數(shù).

X

〃X)3=〃1)=T，

且x->(),時/(尤)f-00；x->+00,時/(x)->-00

Inx

丁=。與，(工)=-----X的圖象要有兩個交點

X

則。的取值范圍為(Y0,-l).

故選：B

【點睛】

方程在某區(qū)間上有解的問題，可通過分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求該區(qū)間上單調(diào)區(qū)間和值域，得出參

數(shù)的取值范圍.

18.已知f(x)=ln(d+i)—；x2,若/(力=&有四個不等的實根，則女的取值范圍為()

A.(0,ln2—B.卜co,In2一；

C.+D.(ln2+g,+oo

【答窠】A

【分析】

判斷函數(shù)可知為偶函數(shù)，通過求導(dǎo)求得函數(shù)極值，畫出大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.

【詳解】

/(x)=ln(x2+l)—)=/(%),則/(x)為偶函數(shù)，

由/得x=0或x=l或1=一1,

xe(o,1),r(x)>0,XG(1,+OO),/f(x)<0,

由偶函數(shù)可知，可知/(x)在x=0處取極小值，x=l或％=—1處取極大值.

因/(0)=0,/(±l)=ln2-1,

所以0vA<ln2—；時，/(%)=上有四個不等的實根.

方法點睛：本題考查由函數(shù)零點求參數(shù)問題，解答時要先將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程有根的問題，再運

用函數(shù)思想將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象的性質(zhì)和最大最小值的問題，考查了分析問題解決問題的能力.

19.若函數(shù)/(x)=x-lnx+/T+"Z+m有零點，則實數(shù)用的取值范圍是()

A.(YO,-3]B.(-oo,-l]C.[-1,+<?)D.[3,-t-oo)

【答案】A

【分析】

設(shè)8。)=A-ln八十ex-'+e-r+,,則函數(shù)/(X)=人—加X十+小』十小有零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的圖象與直線

y=-m有交點、,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，即可求出.

【詳解】

設(shè)g(i)=x—Inx+e'T+/用，定義域為(0,+8),則g'(x)=l—g+ei—仁叫易知g'(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

且"(1)=0,所以當工￡(0,1)時，g'(x)<0,g(x)遞減；當xe(l,+8)時，g'(x)>0,g(x)遞增，所

以g(x)NgQ)=3,所以一機23,即加《—3.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查根據(jù)函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.已知函數(shù)/(為是定義域為R的奇函數(shù)，且當x<0時，函數(shù)/")=xe"+2,若關(guān)于x的函數(shù)

/。)="*)]2+(〃-2)/(幻一2。恰有2個零點，則實數(shù)。的取值范圍為().

A.(口一一2B.(f-2)U(2,+o))

C.f-2,—2)<J(2—,2)D.1—2,2—

【答案】C

【分析】

由/(x)=0得/(幻=2或/5)=一。，而兀<0時，/(x)=2無解，需滿足了(幻=一。有兩個解.利用導(dǎo)數(shù)

求得/(幻在x<0時的性質(zhì)，由奇函數(shù)得x>0時的性質(zhì)，然后可確定出。的范圍.

【詳解】

/(X)=[/(X)-2][/(x)+6f]=0,/(X)=2或f(x)=-a,

x〈0時，f(x)=xex+2<2,f(x)=(x+\)ex,

xv—l時，/V)<0,/")遞減：—IvxvO時，//(x)>0,/3)遞增，

/(力的極小值為f(-1)=2-士，又/*)v2,因此f(x)=2無解.

此時/（幻=一。要有兩解，則2--＜一。＜2,

e

又人工）是奇函數(shù)，□]＞（）時，/。）=2仍然無解，

f（x）=-a要有兩解，則一

e

綜上有ae（_2,g_2）U（2_},2.

故選：C.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.首先方程化為/。）=2或/（幻=-。，

然后用導(dǎo)數(shù)研究x＜0時/"）的性質(zhì)，同理由奇函數(shù)性質(zhì)得出工＞0時/（冷的性質(zhì)，從而得出/。）=2無解,

/。）=-4有兩解時。范圍.

21.已知函數(shù)/（幻=§/+5/+。有3個不同的零點，則c的取值范圍是（）

A.（一"1，°）B.卜8,一g。（0,+8）

C.D.18,一？50,+8）

【答案】A

【分析】

求出三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負情況分析單調(diào)性和極值，圖象要與X軸三個交點，據(jù)此得出取值范

圍.

【詳解】

由條件得f\x）=x2+3x=x（x+3）,

令尸（幻＞0,可得解集為（-00,-3）50,+oo）

令/'（x）vO,可得解集為（一3,0）

9

-+C

則/⑶在（F,-3）和（0,+00）上單調(diào)遞增，在（-3,0）上單調(diào)遞減，又/（一3）2-/(0)=c，要使f(x)

99

有3個不同的零點，則cvO＜一+c,所以一一＜c＜0.

22

故選：A

【點睛】

導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注

意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處

理.

22.已知函數(shù)2sinx在0,^上有兩個不同的零點，則實數(shù)/的取值范圍是()

3冗冗、(713萬］(7tn\(n7t\

A.------,——B.—,—C.—D.——,——

L44)(44」U2)I24)

【答案】A

【分析】

/*)=0有兩解變形為屋=正小有兩解，設(shè)8(幻=0'2工,利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值,

ex/

結(jié)合g(x)的大致圖象可得結(jié)論.

【詳解】

由f(x)=缶—2sinx得，?叵叱，設(shè)8(幻=叵辿，則8，*)=受竺竺二包

exexex

易知當0cxe￡時，/(幻＞0,g(x)遞增，當時，g'*)＜0,g(x)遞減，

444

g(0)=0,=&(個)=號，如圖是g*)的大致圖象，

由,=后sinx有兩解得士K*＜士,所以一學(xué)工“＜一］.

/1/44

故選：A.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的零點問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化.函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的解，再用分離參數(shù)變

形為=問題轉(zhuǎn)化為g*)=的圖象與直線y=有兩個交點,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

g。)的單調(diào)性、極值后可得.

23.函數(shù)/(幻=雙2一2上工一1有兩個不同零點，則。的取值范圍為()

A.(-<?,e)B.(0,e)C.(0,1)D.(fl)

【答案】C

【分析】

先令/0)=0,分離參數(shù)得到4=21令g(x)=2譬比根據(jù)函數(shù)有兩個不同零點,可得y=a與

XX

g(x)=2m：+i的圖象有兩個不同交點,對g(x)求導(dǎo)，判定其單調(diào)性，得出最值，畫出大致圖象，結(jié)合

?X

圖象，即可得出結(jié)果.

【詳解】

因為函數(shù)/(幻=以2一2111X一1有兩個不同零點，

所以方程ar?—2inx—1=0有兩不同實根，即。=有兩個不同的零點,

21nx+12mx+1

令g(、)=---j-,%>0,則得丁=。與g(x)=----j-的圖象有兩個不同交點,

X入

因為，(一(21n”+l>2[_41nx,由/(力=0可得x=l,

gW=7

當x?0,l)時,g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增;

當X?l,+8)時，g[X)<0,則g")單調(diào)遞減；

所以g(X)x=g(D=l，

又由g(x)=21?+1〉0可得由g(x)=21nJ+1<0可得0Vxe9,

畫出g(x)=21二+1,的大致圖象如下:

y

由圖像可得，當0<々<1時，y=。與8（尤）二生詈■的圖象有兩個不同交點,

X

即原函數(shù)有兩個不同零點.

故選：C.

【點睛】

思路點睛：

利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)零點個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)問題時，一般需要先分離參數(shù)，根據(jù)分離后的

結(jié)果，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)最值，利月數(shù)形結(jié)合的方法求解.

24.已知函數(shù)/（力=1+1一2|1+,，若/2（X）="X-2020）的零點都在（。,。）內(nèi)，其中mb均為整數(shù)，

當人一〃取最小值時，則力+。的值為（）

A.4039B.4320C.1D.0

【答案】A

【分析】

由導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在性定理得出函數(shù)/（蛇只有一個零點，且零點在區(qū)間（-1,0）內(nèi)，再由平移變換確定函數(shù)

/?（司=/（工一2020）只有一個零點且零點落在區(qū)間（2019,2020）內(nèi)，進而確定a,b,得出答案.

【詳解】

（1\2Q

f（x）=\-x+x2=x--+->0,則函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增

<2）4

因為f（o）=i>o，/（-i）=i-i-l-l=-1<o

所以函數(shù)/（X）只有一個零點，且零點在區(qū)間（-1,0）內(nèi)

因為函數(shù)力（x）=/（X—2020）是由函數(shù)j（x）向右平移2020個單位得到的

所以函數(shù)力（力=〃%一2020）只有一個零點且零點落在區(qū)間（2019,2020）內(nèi)

因為。,匕均為整數(shù)，所以當。=2019/=2020時?，力一。取最小值，即b+a=4039

故選：A

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)、零點存在性定理確定函數(shù)Ax)零點的個數(shù)以及所在區(qū)間，再由

平移變換確定函數(shù)〃(%)的零點以及所在區(qū)間.

25.已知函數(shù)/(x)=(l-a)lnx+]%2+(a2_d_Qx+Z?(x>0,aGR,Z?GR).若函數(shù)f(x)有三個零點,

則()

A.a>\,b<0B.0<a<1,b>0

C.a<0,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】B

【分析】

首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，要使函數(shù)/(X)有三個零點，則/'(x)=o必定有兩個正實數(shù)根，即可求出參數(shù)。

的取值范圍，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到了(1一a)〉0,即可判斷匕的范圍；

【詳解】

解：因為/(x)=(1-4)lnx+]x2+(/一〃一1卜+6(/>o,aGR,Z?eR)

由I”「，/\(1-。)/&+(/-(ar-1)(x4-4/-1)

所以/[x)=A——L+奴+(。2_。_])=-----1-------1__1——L=1-------------L

JCXX

1-41>0

要使函數(shù)〃力有三個零點，則/'(力=0必定有兩個正實數(shù)根，即為=2，x2=\-a,所以h解

a—>0

得Ovacl，此時百=1>1,Xj=l-a<l,

a

i(\\

令《f(x)>0,解得0cxvl—a或％>一，即函數(shù)在(0,1—。)和一,+8上單調(diào)遞增，令f'(x)<0,解

a\a7

得l-acxv,或x>，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，

aaVaJ

所以在冗=1一。處取得極大值，在x=’處取得極小值；

因為當Xf0時，/（x）^-OO;當x—>+00時，/（%）->+00,要使函數(shù)函數(shù)/（力有三個零點，則

〃?)>0,噌卜。

即/(1—4)=(1_々)111(1_4)+微(1_々)-+(42_々_1)(]_々)+/?

/、/、(a-2](a+\),八

=(1-67)ln(l-?)+^------——L+Z?>0