9.4.4 菱形的判定 習題練

第9章中心對稱圖形——平行四邊形菱形的判定9.4.4B1234567答案呈現(xiàn)溫馨提示：點擊進入講評89如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形，則a的值為(

)A．1B．2C．3D．41【點撥】易證得四邊形ECDF為平行四邊形，當CE＝CD＝4時，?ECDF為菱形，此時a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.【答案】B[2023·沈陽]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，點E在DA的延長線上，連接BE，過點C作CF∥BE交AD的延長線于點F，連接BF，CE.求證：四邊形BECF是菱形．2【證明】∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，F(xiàn)B＝FC.∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD.∵DB＝CD，∴△EBD≌△FCD(AAS)，∴BE＝FC，∴EB＝BF＝FC＝EC，∴四邊形BECF是菱形．【點方法】判定菱形的方法1．若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；2．若用邊進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等．小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學小潔交流．3若你贊成小惠的證法，請在第一個方框內(nèi)打“√”；若你贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD．∴四邊形ABCD是菱形.小潔：這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才能證明.【解】我贊成小潔的說法，補充條件：OA＝OC，證明如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形．(補充的條件不唯一)[2023·懷化]如圖，矩形ABCD中，過對角線BD的中點O作BD的垂線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn).4(1)求證：△BOF≌△DOE；【證明】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO.∵點O是BD的中點，∴DO＝BO.又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE(ASA)．(2)連接BE，DF，求證：四邊形EBFD是菱形．【證明】由(1)得△BOF≌△DOE，∴BF＝DE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BF.∴四邊形EBFD是平行四邊形．∵EF⊥BD，∴四邊形EBFD是菱形．5[2023·齊齊哈爾]如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點O.請?zhí)砑右粋€條件：_________________，使四邊形ABCD成為菱形．AD∥BC(答案不唯一)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．6(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若BC＝3，DC＝2，求四邊形OCED的面積．[2022·北京]如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，AE＝CF.7(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；【證明】在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF.∴OE＝OF，∴四邊形EBFD是平行四邊形．(2)若∠BAC＝∠DAC，求證：平行四邊形EBFD是菱形．【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC.∵OA＝OC，∴DB⊥EF，∴平行四邊形EBFD是菱形．[2022·廣元]如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB的中點，連接CE.8(1)求證：四邊形AECD為菱形；【證明】∵E為AB的中點，∴AB＝2AE＝2BE.∵AB＝2CD，∴CD＝AE.又∵AE∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC.∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠EAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴AD＝CD.∴四邊形AECD是菱形．(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．【點方法】(1)由一組對邊平行且相等可證四邊形AECD是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證AD＝CD，可得結(jié)論．(2)由菱形的性質(zhì)可得AE＝CD＝CE＝2，由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)等可求BC，AC的長，進而可求解．如圖，在?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分別在邊BC