復(fù)習(xí)清單04 幾何圖形初步（原卷版）

清單04幾何圖形初步（知識(shí)導(dǎo)圖、知識(shí)清單、素養(yǎng)提升、中考聚焦）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一、柱、錐、球立體圖形：有些幾何圖形（圓柱、圓錐、球、長(zhǎng)方體、正方體等）各部分不在一個(gè)平面內(nèi)，這樣的圖形叫立體圖形。棱柱、棱錐是常見的立體圖形。生活中常見的物體都是立體圖形.【例1】（2022秋?甘井子區(qū)校級(jí)期末）下列四個(gè)幾何體中，是棱柱的是（）A． B． C． D．【變式】（2022秋?洛江區(qū)期末）三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形如圖擺放，則陰影部分的周長(zhǎng)（）A．只與a，b有關(guān) B．只與a、c有關(guān) C．只與b、c有關(guān) D．與a，b、c有關(guān)考點(diǎn)二.正方體的表面展開圖正方形展開圖的知識(shí)要點(diǎn)：1.正方體的表面展開圖一共有11種可能。第一類：有6種。特點(diǎn)：是4個(gè)連成一排的正方形，其兩側(cè)各有一個(gè)正方形.簡(jiǎn)稱“141型”第二類：有3種。特點(diǎn)：是有3個(gè)連成一排的正方形，其兩側(cè)分別有1個(gè)和兩個(gè)相連的正方形;簡(jiǎn)稱“132型”第三類：僅有一種。特點(diǎn)：是兩個(gè)連成一排的正方形的兩側(cè)又各有兩個(gè)連成一排的正方形；簡(jiǎn)稱“222型”第四類：僅有1種，三個(gè)連成一排的正方形的一側(cè)，還有3個(gè)連成一排的正方形，可簡(jiǎn)稱“33型”注：正方體展開圖中不能出現(xiàn)“7”字，“凹”字，“田”字形，如下圖：2.正方體展開圖找相對(duì)面的方法：（1）中間隔“一”是對(duì)面：中間相隔一個(gè)正方形的兩個(gè)正方形是相對(duì)面；（2）“Z”字兩端是對(duì)面：呈“Z”字形排列的四個(gè)正方形首尾兩個(gè)正方形是相對(duì)面；（3）間二、拐角鄰面知：中間隔兩個(gè)正方形的兩個(gè)正方形是相鄰面，呈拐角形狀的三個(gè)小正方形，只有一個(gè)相鄰正方形的兩個(gè)正方形是相鄰面?！纠?】（2022秋?靈寶市期末）如圖所示的正方體的展開圖是（）A． B． C． D．【變式】（2022秋?洪山區(qū)期末）下列圖形中，能夠折疊成一個(gè)正方體的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)三.其他立體圖形的展開圖常見的幾何體的展開圖有圓柱、圓錐、棱柱、正方體、棱錐。特殊：球沒(méi)有展開圖①圓柱的表面展開圖是兩個(gè)圓（作底面）和一個(gè)長(zhǎng)方形（作側(cè)面）。②圓錐的表面展開圖是一個(gè)圓（作底面）和一個(gè)扇形（作側(cè)面）③棱柱的表面展開圖是兩個(gè)完全相同的多邊形（作底面）和幾個(gè)長(zhǎng)方形（作側(cè)面）【例3】（2022秋?廣陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示為幾何體的平面展開圖，則從左到右，其對(duì)應(yīng)的幾何體名稱分別為（）A．圓柱，圓錐，四棱柱，正方體 B．四棱錐，圓錐，正方體，圓柱 C．圓柱，圓錐，正方體，三棱錐 D．圓柱，圓錐，三棱柱，正方體【變式】．（2022秋?靈寶市期末）下列四張正方形硬紙片，分別將陰影部分剪去后，再沿虛線折疊，其中可以圍成一個(gè)封閉長(zhǎng)方體包裝盒的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)四.點(diǎn)、線、面、體之間的轉(zhuǎn)化1.幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.2.線分為直線和曲線，面分為平面和曲面.3.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系：點(diǎn)動(dòng)成線，線與線相交成點(diǎn)；線動(dòng)成面，面與面相交成線；面動(dòng)成體，體是由面組成.【例4】（2022秋?磁縣期末）下列幾何體中可以由平面圖形繞某條直線旋轉(zhuǎn)一周得到的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)五、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別注意：表示直線和線段的兩個(gè)大寫字母可以交換位置.【例5】（2023春?東平縣期末）平面上有三點(diǎn)A、B、C，如果AB＝10，AC＝7，BC＝3，那么（）A．點(diǎn)C在線段AB上 B．點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上 C．點(diǎn)C在直線AB外 D．點(diǎn)C可能在直線AB上，也可能在直線AB外【變式】（2022秋?淥口區(qū)期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述相符的是（）A．如圖1所示，延長(zhǎng)線段BA到點(diǎn)C B．如圖2所示，射線CB不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A D．如圖4所示，射線CD和線段AB沒(méi)有交點(diǎn)考點(diǎn)六、計(jì)數(shù)問(wèn)題1.平面上有個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線上，則最多確定的直線條數(shù)為：．2.若在線段AB上增加一點(diǎn)，則增加2條線段，此時(shí)線段總條數(shù)為1＋2；若再增加一點(diǎn)，則又增加了3條線段，此時(shí)線段總條數(shù)為1＋2＋3；…；當(dāng)線段AB上增加到n個(gè)點(diǎn)(即增加n－2個(gè)點(diǎn))時(shí)，線段的總條數(shù)為.用到類似知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題：?jiǎn)窝h(huán)比賽場(chǎng)數(shù)問(wèn)題、雙循環(huán)比賽場(chǎng)數(shù)問(wèn)題、握手次數(shù)問(wèn)題、多邊形對(duì)角線條數(shù)問(wèn)題、車站設(shè)計(jì)票價(jià)問(wèn)題等.【例6】．如圖，線段上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有3條；如果線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有6條；如果線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有10條；……（1）當(dāng)線段上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有______條；（2）當(dāng)線段上有個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有多少條？（用含的代數(shù)式表示）【變式】已知線段MN，在MN上逐一畫點(diǎn)（所畫點(diǎn)與M、N不重合），當(dāng)線段上有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有3條線段，當(dāng)線段上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有6條線段；當(dāng)線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有10條線段；直接寫出當(dāng)線段上有20個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有線段條．考點(diǎn)七、基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．細(xì)節(jié)剖析①本知識(shí)點(diǎn)可用來(lái)解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)間的距離.【例7】．（2022秋?衡東縣期末）平面上有不同的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫直線，一共可以畫（）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或3條【變式1】．（2022秋?梅里斯區(qū)期末）在平面內(nèi)，過(guò)（）點(diǎn)可以確定一條直線．A．一 B．兩 C．三 D．四【變式2】．（2022秋?許昌期末）如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常用細(xì)繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上，這樣做蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（）A．過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．線段是直線的一部分【例8】．（2022秋?衡南縣期末）如圖，把彎曲的河道改直，能夠縮短航程．這樣做根據(jù)的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．兩點(diǎn)之間，直線最短 D．兩點(diǎn)確定一條線段【變式】（2022秋?東洲區(qū)校級(jí)期末）如圖，一只螞蟻外出覓食，它與食物間有三條路徑，從上到下依次記為①，②，③，則螞蟻選擇第②條路徑的理由是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線 D．兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離【例9】．（2022秋?綏寧縣期末）如圖，AB＝12，C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，則DB的長(zhǎng)度為（）A．4 B．6 C．8 D．10【變式】．（2022秋?武陵區(qū)期末）如圖，C為線段AD上一點(diǎn)，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，且AD＝8cm，BD＝2cm，求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)八.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：【例10】．（2022秋?梁山縣期末）如圖，已知線段a、b、c，用直尺和圓規(guī)畫圖（保留畫圖痕跡）．（1）畫一條線段，使它等于a+b；（2）畫一條線段，使它等于a﹣c；并用字母表示出所畫線段．考點(diǎn)九．線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較：比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：細(xì)節(jié)剖析①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn).【例11】（2022秋?陽(yáng)曲縣期末）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段的長(zhǎng)短，其中正確的是（）A．A'B'＞A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＜A'C' D．不能確定【例12】如圖：點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，AB＝40，則MN＝_____．【變式】已知：如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是中點(diǎn)，．求線段長(zhǎng)【例13】如圖，C為線段AB上的一點(diǎn)，AC：CB＝3：2，D、E兩點(diǎn)分別為AC、AB的中點(diǎn)，若線段DE為2cm，則AB的長(zhǎng)為多少？考點(diǎn)十．角的度量（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.（2）.平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．(3)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：細(xì)節(jié)剖析①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義；②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來(lái)表示.（4）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.細(xì)節(jié)剖析①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.（5）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（6）畫一個(gè)角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個(gè)角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.【例14】．（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）下列四個(gè)圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【變式】．（2022秋?甘肅期末）如圖所示，∠AOC＝90°，點(diǎn)B，O，D在同一直線上，若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為（）A．118° B．108° C．62° D．152°【例15】．（2022秋?婁星區(qū)期末）把8.32°用度、分、秒表示正確的是（）A．8°3′2″ B．8°30′20″ C．8°18′12″ D．8°19′12″【變式】．（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一個(gè)三角板60°角的頂點(diǎn)與另一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)重合，∠1＝26°18'，則∠2的度數(shù)是（）A．26°18' B．52°20' C．56°23' D．56°18'【例16】如圖，△ABC中，用尺規(guī)作圖法作∠ABD＝∠C，與邊AC交于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不用寫作法）【變式】如圖所示，已知銳角∠AOB及一點(diǎn)P．（1）過(guò)點(diǎn)P作OA、OB的垂線，垂足分別是M、N；（只作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）猜想∠MPN與∠AOB之間的關(guān)系，并證明．考點(diǎn)十一．角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.【例17】．（2022秋?渠縣校級(jí)期末）如圖，射線OC，OD分別在∠AOB的內(nèi)部、外部，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC【變式】．（2022秋?欒城區(qū)期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起．（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數(shù)為；（2）若∠ACB＝144°42′，則∠DCE的度數(shù)為；（3）猜想∠ACB與∠DCE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【例18】．（2022秋?達(dá)川區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠AOC的角平分線，∠COB＝42°，則∠DOC的度數(shù)是（）A．59° B．60° C．69° D．70°【變式】．（2022秋?建平縣期末）如圖，OC平分∠AOB，若∠AOC＝27°32′，則∠AOB＝．【例19】．（2022秋?平泉市校級(jí)期末）把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，則∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°【變式】．（2022秋?道縣期末）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，則∠BOE的度數(shù)為（）A．360°﹣4α B．180°﹣4α C．α D．270°﹣3α考點(diǎn)十二．角的互余互補(bǔ)關(guān)系余角補(bǔ)角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.細(xì)節(jié)剖析①余角(或補(bǔ)角)是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱其為余角(或補(bǔ)角).②一個(gè)角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無(wú)關(guān)．④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角”.【例20】．（2022秋?靈寶市期末）已知∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，則（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠2＝∠3【變式1】．（2022秋?綿陽(yáng)期末）若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【變式2】．（2022秋?陽(yáng)西縣期末）一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的3倍少10°，這個(gè)角為（）A．20° B．30° C．40° D．50°考點(diǎn)十三.鐘面角鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°.技巧：鐘面角問(wèn)題一般可以看做是行程問(wèn)題里的追擊問(wèn)題.【例21】．（2022秋?宜城市期末）某一時(shí)刻，時(shí)鐘上顯示的時(shí)間是9點(diǎn)30分，則此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是（）A．75° B．90° C．105° D．120°【變式】．（2022秋?九龍坡區(qū)期末）當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成60°的角，此時(shí)是（）A．9點(diǎn)鐘 B．10點(diǎn)鐘 C．4點(diǎn)鐘或8點(diǎn)鐘 D．2點(diǎn)鐘或10點(diǎn)鐘考點(diǎn)十四．方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.細(xì)節(jié)剖析（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測(cè)繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.【例22】．（2022秋?漢臺(tái)區(qū)期末）如圖，A地和B地都是海上觀測(cè)站，A地在燈塔O的北偏東30°方向，∠AOB＝100°，則B地在燈塔O的（）A．南偏東40°方向 B．南偏東50°方向 C．南偏西50°方向 D．東偏南30°方向【變式】．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）如圖，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．OA方向是北偏東30° B．OB方向是北偏西15° C．OC方向是南偏西25° D．OD方向是東南方向【核心素養(yǎng)提升】1.分類討論思想1.以∠AOB的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)引射線OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，則∠AOC=______．2.如圖，點(diǎn)在直線上，．在中，，．先將一邊與重合，然后繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)與重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)在與之間，且時(shí)，則______°．（2）試探索：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與大小的差是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)差值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在△ODE的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，試求的大?。?.直觀想象-運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問(wèn)題3．（1）特例感知：如圖1，OC、OD是內(nèi)部的兩條射線，若，，則°．（2）知識(shí)遷移：如圖2，OC是內(nèi)部的一條射線，若OM、ON分別平分和，且，則的值為．（3）類比探究：如圖3，OC、OD是內(nèi)部的兩條射線．若OM、ON分別平分和，且，求的值．3.數(shù)學(xué)建模4.平面內(nèi)有n條直線（n≥2