高考數(shù)學真題分類練習專題16 平面向量數(shù)量積及其應用

專題16平面向量數(shù)■積及其應用

十年大數(shù)據(jù)*全景展示

年份題號考點考查內(nèi)容

利用平面向量數(shù)量積計算向量夾角與模問題及命題

理10平面向量的綜合應用

2011課標真假的判定

文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用利用平面向量數(shù)量積處理向量垂直問題

理13平面向量的定義及利用平面向量數(shù)量積處理向量模

2012課標平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用

問題

文15

理13平面向量數(shù)量積的概念及其

卷1平面向量數(shù)量積的概念及運算法則

幾何意義

文13

2013

理13平面向量數(shù)量積的概念及其

?佳2平面向量數(shù)量積的運算法則

幾何意義

文14

平面向量數(shù)量積的概念及其

隹1理15中點公式的向量形式及向量的夾角的概念

幾何意義

2014

文4

卷2平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用利用平面向量數(shù)量積處理向量模問題

理3

卷1理5平面向量的綜合應用主要與雙曲線結合考查平面向量數(shù)量積的坐標運算

2015平面向量數(shù)量積的概念及其

卷2文4平面向量的坐標運算、平面向量數(shù)量積

幾何意義

卷1理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用平面向量的坐標運算及平面向量模公式

2016平面向量的坐標運算及利用平面向量數(shù)量積處理垂

卷2理3平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用

直問題

平面向量數(shù)量積的概念及其平面向量的數(shù)量積的坐標運算及利用平面向量數(shù)量

卷3理3文3

幾何意義積求夾角

平面向量的坐標運算及利用平面向量數(shù)量積處理垂

卷1文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用

直問題

卷1理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用利用平面向量數(shù)量積計算模

理2理12平面向量的綜合應用與平面圖形有關的平面向量數(shù)量積的最值問題

利用平面向量數(shù)量積的坐標運算及利用向量數(shù)量積

卷1文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用

處理垂直問題

2017

卷2文4平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用利用平面向量數(shù)量積的模

卷3理12平面向量的粽合應用向量的坐標運算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)

平面向量的坐標運算及利用平面向量數(shù)量積處理

卷3文13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用

垂直問題

平面向量數(shù)量積的概念、幾

2018卷2理4文4平面向量的數(shù)量積及其運算律

何意義及其運算律

理7

卷1平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用平面向量數(shù)量積處理垂直與夾角問題

文8

2019卷2理3平面向量的綜合應用平面向量的減法運算、模公式、平面向量數(shù)量積

卷3理13平面向量的綜合應用平面向量數(shù)量積處理模與夾角問題

卷3理13平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用平面向量坐標的模公式及夾角公式

理14平面向量數(shù)量積及其運算向量模長的計算

卷1

平面向量垂直充要條件的坐標形式，平面向量數(shù)量積

文14平面向量數(shù)量積的應用

的應用

2020

理13平面向量數(shù)量積的應用向量夾角公式，應用向量數(shù)量枳處理垂直問題

卷2

平面向量數(shù)量積定義及性質(zhì)

文15平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)，應用平面向量數(shù)

量積處理向量垂直

平面向量夾角，公式，平面向量數(shù)量積的計算以及向量

卷3理6平面向量數(shù)量積及其運算

模長的計算

大數(shù)據(jù)分析*預測高考

考點出現(xiàn)頻率2021年預測

考點51平面向量數(shù)量積的概念及其

7/242021年高考仍將重點單獨或與平面圖形等知識結合

幾何.意義

重點平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及應用平面向量數(shù)

考點52平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用9/24量積計算夾角、模、垂直等問題，難度為基礎題、中

檔題或難題，題型為選擇或填空.

考點53平面向量的綜合應用8/24

十年試題分類*探求規(guī)律

考點51平面向量數(shù)量積的概念、其幾何意義及其運算律

1.（2020全國in理6）已知向量滿足同=5,同=6,。/=-6,則8s（。，0+方）=（）

n19-17、19

A.且B.---C.—D.—

35353535

【答案】D

【思路導引】計算出7R+很）、B+4的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出cos<2￡+另〉的值.

【解析】?.，4=5,|同=6,￡石=-6，「?々,（a+B）=W-^=52-6=19.

2

+2ab+b=225—2x6+36=7，因此

___a\a+b\1919

cos<a,a+b>==——=—.故選D.

忖.1+15x735

2.（2020山東7）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDfiF內(nèi)的一點，則Q通的取值范圍是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）C.（-2,4）D.（-4,6）

【答窠】A

【思路導引】首先根據(jù)題中所給的條件，結合正六邊形的特征，得到Q在而方向上的投影的取值范圍是

(-1,3),利用向量數(shù)量積的定義式，求得結果.

【解析】解法一：血的模為2,根據(jù)正六邊形的特征，可以得到而在而方向上的投影的取值范圍是

(-1,3).結合向量數(shù)量積的定義式，可知存.存等于標的模與存在而方向上的投影的乘積，所以

Q.通的取值范圍是(一2,6),故選：A.

解法二：如圖，建立平面直角坐標系A-xy,由題意知A(0,0),B(2,0),C(3,石),廣(一1,6),設P(x,y),

則一1<X<3,；4P,AB=(x,y)?(2,0)=2x,???一2<2x<6,???/.福的取值范圍是(一2,6).

3.(2018?新課標II,理4)已知向量。，5滿足|萬|=1,①5=-1,則濟(2。-5)=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】向量［滿足|=La?b=-l,則彳〈2日一〃)=21一日石=2+1=3,故選8.

uuv1Jiuin'J31

4.（2016新課標，理3）已知向量期=（］,空-）”8C=（-^-，5）,貝I］/ABC=

(A)30°(B)45°?(C)60°(D)120°

【答案】A

15/35/31

,^7抑萬一x----+-----x-fz

【解析】由題意，得cosNA3C=絲上=2_2_2_2.=組，所以NA3C=30。，故選A.

\BA\\BC\1x12

5.(2017北京)設%〃為非零向量，則“存在負數(shù)4,使得機=為1”是“〃八〃〈0”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因為帆,〃為非零向量，所以帆〃=|機||〃|cosv/n,〃>v0的充要條件是cosv〃z,〃>v0.因為

2<0,則由=可知肛〃的方向相反，<m,n>=180,所以cosv/w,〃x0,所以“存在負數(shù)人,

使得wi=2〃”可推出“機?〃v0”；而“2?〃<0可推出cos<m,w><0,但不一定推出，制,n的方向相反，

從而不一定推得“存在負數(shù);I，使得旭=幾鹿、'，所以“存在負數(shù)2,使得雁二/〃''是"加力<0''的充分而不

必要條件.

6.(2013湖北)已知點A(-1,1)、8(1,2)、。(-2,-1)、0(3,4),則向量通在歷方向上的投影為

3>/23x/15「3五門3屈

AA.-----BD.-------C.--------D.---------

2222

【答案】A

【解析】AB=(2,1),CD=(5,5),則向量而在向量方方向上的射影為

…二卒畢=畢詠書塔"

|CD|J52+525V22

7.(2011遼寧)已知向量”=(2,1),b=(-l,k),a\2a-b)=0,貝：無=

A.-12B.-6C.6D.12

【答案】D

【解析】???2。-6=(5,2—攵)，由。(2?—〃)=0,得(2,1)?(5,2—攵)=0,??.10+2—4=0,解得&=12.

8.(2015山東)已知菱形ABC。的邊長為*ZABC=60\則麗?麗=

32323232

A.——aB.——aC.—aD.—a

2442

【答案】D

【解析】由菱形ABC。的邊長為a,48C=6O°可知N8AD=180—600=120',

BDCD=(AD-AB)?(-AB)=-ABAD+ABLS120+/=/

9.(2015四川)設四邊形ABC。為平行四邊形，|福|二6,|而|=4.若點M,N滿足

麗=3碇，麗=2耐則麗晨兩=()

A.20B.15C.9D.6

【答案】C

【解析】AM=AB+」AD,NM=CM—CN=一一AD+-AB,所以=

443

^-(471B+3AD)-(4AB-3AD)=^(16JB2-9AD2)=-^(16X36-9X16)=9,選C.

10.(2014天津)已知菱形ABC。的邊長為2,?BAD120',點瓦廠分別在邊8C,DC上，BE=ZBC,

DF=/.iDC.若通?而1,CEiCF-則丸+〃二

1c2_5>7

A.-B.-C.-D.—

23612

【答案】C

【解析】因為？BAD120'，所以福?而|4|舸|COS120。=-2,因為5石=/BC,所以

AE=AB+lADtAF=niAB+ADf因為冠？而1,所以(而+/而興"詞AD)=1,即

325

21+2m-Im--①，同理可得/m-I-tn=---②，①+②得/+m=—.

236

11.(2012天津)在△ABC中，/A=90°,48=1,設點P,Q滿足衣=/1血，Ag=(l-/l)AC,.若

BQCP=-2,WU=()

A.-B.—C.-D.2

333

【答案】B

【解析】如圖，設通=瓦/=工，則忖=1,，=24.￡=0,又麗=BA+AQ=-5+(1-2)C,

CP=CA+AP=-c+Ab,???麗?麗=[-^+(l-Z)c]*(-c+2b)=(2-l)|c|2-2|S|2=

2

4(2-l)-2=-2,即34=2,4=一，選B.

3

12.(2020全國I文14)設向量°=(1,一1),力=(/n+l,2加一4),若a上b,則加二

【答案】5

【思路導引】根據(jù)向量垂直，結合題中所給的向量的坐標，利用向量垂直的竺標表示，求得結果.

【解析】由°JLb可得2石=0,XVa=(l,-l),5=(m+l,2m-4),

??ab=\-(m+1)+(-1)-(2m-4)=0,即機=5,故答案為：5?

13.12020全國H理13)已知單位向量的夾角為45°,Aa-A與。垂直，則4=

【答案】叵

2

【思路導引】首先求得向量的數(shù)量積，然后結合向量垂直的充分必要條件即可求得實數(shù)2的值.

【解析】由題意可得：H=lxlxcos45=白，由向量垂直的充分必要條件可得：(工一。二=0,

即：k/二X=k電=b，解得：k上,故答案為：—.

222

14.(2020全國I理14)設°,方為單位向量，且|。+目=1,貝ij|a-4=.

【答案】G

【思路導引】整理已知可得：\a+b\=yl(a+b)2，再”利用31為單位向量即可求得加包=—1，對|。-可變

形可得：|…=一%.力十時,問題得解.

【解析】???。，6為單位向量，???同=網(wǎng)=1,

:.十］=+2a?b+=d2+2ab=1，解得：2a-b=~1.

,一司=J(a_b)~=J同?-2a+=y/3’故答案為：石｝.

15.(2019?新課標HI,文13)已知向量4=(2,2),5=(—8,6),則cosv),b>=.

【答案】—立

10

【解析】由J題知，d石=2x(—8)+2x6=T,|d|=JF萬"=2應，|1|=/守+6?=10,

r-4^2

cos<a,b>=-T=------=--------.

2V2xJ010

16.(2014新課標I,理15)已知A,B,C是圓O上的三點，若4。=耳(48+AC),則48與AC的夾

角為.

【答案】90°

【解析】???Z0=L(而+/)，JO為線段BC中點，故BC為。。的直徑，

2

???N6AC=90°,???福與恁的夾角為90°.

17.(2013新課標I,理13文13)已知兩個單位向量a,b的夾角為60。，。=〃+(1—1)萬，若"c=0,則后.

【答案】2

【解析】b*c=b?|/a+(l-r)b]=ra?b+U-f)〃2=—f+l-，=l——r=0,解得，=2.

22

18.(2013新課標U,理13文14)已知E方形ABC的邊長為2,E為CD的中點，則亞?麗=.

【答案】2

【解析】AE.BD=(AD+-^B)*(AD-AB)=|AD|2--|^B|2=4-2=2.

22

19.(2011江蘇)已知勺，％是夾角為:江的兩個單位向量，。=4-20，b=kei+e2,若Q-b=0,

則2的值為.

【答案】-

4

【解析】由題意知ab=(el-2e2)(ke^e2)=0,即如：+馬0-2?遂？-2嬉=0,即

A:+cos--2^cos--2=0,化簡可求得％二』.

334

20.(2017天津)在八48。中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若詼=2反，

AE=AAC-AB(AeR),且而?荏=-4,則4的值為.

3

【答案】—

11

.一-1-2___1-2一一一

【解析】AB-AC=3x2xcos60(,=3,AD=-AB+-AC,則通而=(-AB+-AC)(AAC-AB)

3333

=^x3+—x4--x9--x3=-4,解得；l=±.

333311

21.（2014天津）已知菱形43。。的邊長為2,/84。=120。，點石，F(xiàn)分別在邊BC、DC上,BC=3BE,

DC=ADF.若亞?酢=1,則;l的值為.

【答案】2

【解析】因為?BAD120°,菱形的邊長為2,所以AB2AD-2.因為

AE2AF氟+g而崎萬J通，由赤?"八所以2+1一2（1+5）=1'解得a二2.

考點52平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應用

1.（2020全國II文5）已知單位向量。4的夾角為60。，則在下列向量中，與b垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【思路導引】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷

即可.

【解析】由已知可得：?J>=|a||Z||cos600=lxlxl=l.

A：:（a+2b）=〃?力+2b~='+2x1=2工0,.,.本選項不符合題意；

22

8：:（2?+8）1=2。?〃+/=2X~^+1=2工0,，本選項不符合題意：

2

,13

C：*.*（a—2b）b=ab—2b"=—2x1=—w0,，本選項不符合題意；

22

D：V（2b-b）b=2ab-b2=2xl-l=0,J本選項符合題意.故選D.

2

2.（2019?新課標I,理7文8）已知非零向量1,〃滿足|m=2出|,且5-5）_15,則萬與b的夾角為（）

【答案】B

--2—>2

22

［解析】(d—5)J_5,，(a-b)?b-a?b-b=\a||/?|cos<a,b>-b=0,..cos<ayb>=叱L="'I=-,

I〃I聞2|■可2

v<a,b>G［0,^］,/.<a,b>=—,故選B.

3

3.(2017?新課標II,文4)設非零向量1,5滿足|〃+5|=|口-加則()

A.albB.\a\=\b\C.allbD.\a\>\b\

【答案】A

【解析】?.?非零向量B滿足|。+5|=|江一5|,「.3+5)2=(萬一5尸，BPa2+b2+2ab=a2+P-2ab,：.

a^b=0)aYb,故選A.

4.(2016新課標，理3)已知向量。=(1,機)，6=(3,-2),且(a+6)_Lb,則席=()

(A)-8(B)-6(C)6(D)8

【答案】D

【解析】由題知/b=(4,加一2),所以S+b)?人4x3-2(〃L2)=0,解得m=8,故選D.

5.(2014新課標H,理3文4)設向量,石滿足|0+在|=J記，\a-h\=46,則展()

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

22

［解析］:|a+5|=Vi5,\a-b\=y/bf/.(a+b)=10...①，(a-b)=6....②.

由①-②得：ab=\,故選A.

6.（2018北京）設Q,力均為單位向量，則1a—3司=|3a+b|”是的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】??1。-3瓦=的+砧???（"3加2=（3。+力了，6a.6+?2=

9a2-^6ab+b2,又|。|二|"=1,，。力二。，??.a_L〃：反之也成立，故選C.

7.(2016年山東)已知非零向量雁滿足4|〃”=3|〃|,cos<m,w>=^.若+則實數(shù)，的

值為()

99

A.4B.—4C.—.D.—

44

【答案】B

【解析】由n±(tm+n)可得n-(tm+n)=0,即tinn+n2=0,所以

t/Jw21?|2&1〃1&丫4

t=--------=------------------------------=------------------z-=—3-----=—3x—=—4.故選B.

w3

mn|m|-|n|cos<m,n>|m|x|/r|x-Il

8.（2015重慶）若非零向量Q,8滿足同二—^瓦且（。-〃）J_（%+2力），則。與力的夾角為（）

【答案】A

【解析】由題意0—楊?（3￡+%）=3『一￡/一涕2=0,即3同一同歸際夕一2停=0,所以

20、2&V24

3x（—）2一一—cos<9-2=0,cos6>=—,6>=-,選A.

3324

9.（2015陜西）對任意向量。溥，下列關系式中不恒成立的是

A.B.|a—5日|。|一|川|

C.（a+b）2=|a+|2D.（a+b）（a-b）=a2-b2

【答案】B

【解析】對于A選項，設向量。、力的夾弟為凡?..|a/|二|Q||》|coseW|0|S|,，A選項正確；對于B

選項，???當向量。、方反向時，|。-川2||。|一傳||,???B選項錯誤；對于C選項，由向量的平方等于向量

模的平方可知，C選項正確；對于D選項，根據(jù)向量的運算法則，可推導出（。+3-（。-切=/-『，故

D選項正確，綜上選B.

10.（2015安徽）A48c是邊長為2的等邊三角形，已知向量。，力滿足方=〃，AC=2a+b,則下歹U

結論正確的是（）

A.|4=1B.aLbC.ab=\D.（4a-b）_L8c

【答案】D

【解析】如圖由題意，BC=AC-AB=（2a+b）-2a=bf故|引=2,故A錯誤；［23|二2|￡|=2,所

以|3|二1,XABAC=2a（2a+^）=4|a|2+2^=2x2cos60°=2,所以-1,故氏C錯誤；設

氏。中點為。，則通+*=2而，且而J_而，所以（45+5）1.阮，故選D.

D

11.（2014山東）已知向量。=（l,、/5）,b=（3,〃7）.若向量的夾角為王，則實數(shù)，"=（）

6

A.2yliB.6C.0D.一百

【答案】B

【解析】由題意得立=cos￥="3：、勵，兩邊平方化簡得6鬲=18,

262X\/9+AW2

解得加=JJ,經(jīng)檢驗符合題意.

12.（2014重慶）已知向量。二（2,3）,1=（1,4）,c=（2,l）,且（2。一3》）_Lc,則實數(shù)女=

915

A.----B.0C.3D.—

22

【答案】C

【解析】???〃—3b=（2攵-3,-6）,（2a-3b）1c,所以（2?！?b）-c=2（22—3）—6=0.解得2=3,選

C

13.（2012陜西）設向量（1,cos。）與b=（-1,2cos6＞）垂直，則8s2。等于

V21

A.—B.-C.0D.-1

22

【答案】C

【解析】???G?L瓦.,.￡石=0,.,.-l+2cos2e=0,.?.cos20=28s26-l=o.正確的是c.

14.（2012浙江）設。，力是兩個非零向量

A.若|a+b|=|a|—|W，則。_1〃

B.若。工b,則用+b|=|a|-|b|

C.若|。+川=|。|一|力|,則存在實數(shù);I,使得6=及

D.若存在實數(shù)4,使得）二為，則|。+川=|。|—|b|

【答案】C

【解析】因為|。+川二|。|一|川二>|?！?2aHS|2=m『-2|a|s|+s|2,而=-|a||b伊0,所以。，力不

垂直，A不正確，同理B也不正確：因為?！?-|。||力|,則cosv〃,b>=-l,所以。,力共線，故存在實數(shù)

4,使得辦二勿，C正確；若6二。，則;1=1,此時|。+6|=2|。隹0,。|—|例，所以D不正確.

15.（2019?新課標HI,理13）已知萬，B為單位向量，且日石=0,^c=2a-\f5h,則cosvl,c>=.

【答案】-

3

【解析】Va?c=a*（2a-y[5b）=2a2-45a*b=2,c2=（2a-\[5b）2=4a2-4y/5a?b+5b2=9,

lIo-a?c2

：]C\=3?/.cos<cr,c>------=—.

\a\\c\3

16.（2017?新課標I,理13）已知向量萬，B的夾角為60。，|川=2,出|=1,則|d+力|=___.

【答案】2G

【解析】向量4，5的夾角為60。，且|。|=2,|川=1,（〃+涕）2=12+413+4戶

=22+4x2xlxcos600+4xl2=12,：\a^2b\=2y/3.

17.（2017?新課標I,文13）已知向量1=（一1,2）,b=（m,l）,若向量M+B與不垂直，則加=.

【答案】7

【解析】?.?向量1=（一1,2）,5=（加,1）,,+5=（-1+肛3）,?.?向量a+B與a垂直,

/.（a+b）?d=（-1+m）x（-1）+3x2=0,解得TM=7.

18.（2017?新課標川，文13）已知向量"=（一2,3）,5=（3,a）,且則機=

【答案】2

【解析】,向量值二（一2,3）,5=（3,〃。，且MJ_5,萬石=-6+3/〃=0,解得帆=2.

19.（2016新課標,理13）設向量。=（m，1）,M1，2）,且|0+即=同2+肝，貝叫=.

【答案】-2

【解析】由|。+例2=|@2+仍產(chǎn)得，0.6=（）,所以6+2=0,解得機=一2.

20.（2016?新課標I,文13）設向量日=（x,x+l）,3=（1,2）,且則X=.

【答案】-2

3

-_2

【解析】?;d工5,a?b=0,即x+2（x+1）=0,x=——.

21.（2012課標，理13）已知向量a,方夾角為45°,且|a|=l,|2a—加二麗，則|。|=.

【答案13&

【解析】平方得4，一4。訪+〃=]o,即2|2-20仍|-6=0,解得|b|=3夜或一五

（舍）

22.（2011新課標，文13）已知〃與方為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù),若向量a+b與向量垂

直，貝|」女=.

【答案】1

【解析】與力為兩個不共線的單位向量,1=1,I。1=1,且。與力夾角。不為0也不為乃，:.cos6w±l,

又二,向量〃與向量?力垂直，二（a+b）?（ka?b）=ka2+（k—1）a?b-b2=A:—1+（A：-1）cos0-

（々一1）（1+cos0）=0,AA:-1=0,：,k=\.

23.（2017山東）已知G，e?是互相垂直的單位向量，若與G+&2的夾角為60,則實數(shù)；I的值

是.

【答案】—

3

[解Ur](5/3^1—^2)*(e[+^^2)=+y/3Aci,€->—C],0一=>/3—A,

22

|\/3ei—e21=yj(y/3ei—e2)=yj3e^-2\/3el-e2+e2=2,

222

I%+Ae21=J(q+&2)2={e：+2Ae}-e2+2e2=x]\+A,,

V3-2=2xVl+/t2xcos600=V14-22,解得：2=—.

3

24.(2015湖北)己知向量礪_L而，|麗|=3,則35.麗=.

【答案】9

【解析】因為礪JL礪，1礪1=3,所以礪?麗=3?(蘇+麗=|蘇f+E?麗=|蘇|2=32=9.

25.(2014四川)平面向量。=(1,2),6=(4,2),c=ma+b(mwR),且。與。的夾角等于。與力的夾

角，貝ij加=.

【答案】2

【解析11?=(m+4,2m4-2),因為cos(2,、)=-「，cos(2,1)=="一,所以-」=一」”,

'/\c\-\a\\/?網(wǎng)\c\-\a\\c\-\b\

又|行|二2141,所以2c?〃=c?B,即2Km+4)+2(2m+2)]=4(/n+4)+2(2/n+2)n加=2

26.(2013北京)已知向量。，》夾角為45",月|2a—b|=Ji6“則|b|=—.

【答案】忖二3五

【解析】|22一5卜屈=(2￡-坂)2=1004+|邛-4慟cos45°=100。卜3夜

27.(2012湖北)已知向量2:(1,0),b=(1,1),則

:I)與2a+b同向的單位向量的坐標表示為______

(II)向量力一3a與向量。夾角的余弦值為________

【答案】(I)岑取，嚕[(][)-乎

【解析】(I)由0=(1,0)1=(1,1),得2°+〃=(3,1).設與2/z+〃同向的單位向量為c=（%y）,則

_3>/io

f+/=i、八獻汨x~io'功(3>/i(‘‘嚕）.即與2a同向的單位向量的坐標為

〈且x,y>0,解得<,_故。=

[3y-x=0,V10110

y=---.

U10

’3715M、

io7io.

\/

(II)由0=(1,0),6=(1』),得b-3a=(-2,1).設向量b-3a與向量a的夾角為。，則

(八3〃卜。_(-2,1)4,0)2石

同一V5X1-5-

28.(2012安徽)若平面向量%力滿足：|2a—^W3；則〃/的最小值是______.

9

【答案】

【解析】|2?-/?|<3<=>4?2+V<9+4a?b,

4a+b?>4|^||/?|>-4a?b=>9+4a*b>-Aa*b=a*b>.￡

-8

29.(2011安徽)已知向量a,〃滿足3+2。>3-仍=-6,且問=1.，網(wǎng)=2,則a與b的夾角為_____.

【答案】-

3

【解析】設0與b的夾角為。，由題意有（。+2切?（。-?=/+。/-2川=—7+2以對夕=-6,所以

cos(9=-,因此owew乃，所以。=￡.

23

考點53平面向量的綜合應用

1.(2019?新課標II,理3)已知通=(2,3),AC=(3,r),|BC|=1,則福?配=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【解析】?.?麗=(2,3),AC=(3j),BC=AC-Al=(lj-3),v|5C|=l-3=0即而=(1,0),則

福?前=2,故選C.

2.(2017?新課標H,理12)已知AABC是邊長為2的等邊三角形，尸為平面ABC內(nèi)一點，貝lj西?(而+前)

的最小值是()

34

A.-2B.--C.--D.-1

23

【答案】B

【解析】建立如圖所示的坐標系，以BC中點為坐標原點，則40,"),B(-l,0),C(l,0),

設P(x,y)，則PA=(-x,y/3-y),PB=(-\-x,-y),PC=(l-A：,-y),則

PA^PB+PC)=2x2-20y+2y2=2[x2+(y-爭.?.當％=(),y=，時，取得最小值2x(~)=~,

故選3.

3.(2017?新課標HI,理12)在矩形中，AB=\,4)=2,動點P在以點C為圓心且與5。相切的

圓上.若麗=2而+〃而，則4+〃的最大值為()

A.3B.2夜C.x/5D.2

【答案】A

【解析】如圖：以A為原點，以AB,AQ所在的直線為x,y軸建立如圖所示的坐標系，

則A(O,O),B(1,O),ZX0,2),C(l,2),?.?動點P在以點C為圓心且與班>相切的圓上，

設圓的半徑為r,?.BC=2,8=1,=弄=6，：BC?CD=：BD?r,:/=忑，

二圓的方程為@一1)2+()，—2尸=1，設點P的坐標為(^cosd+l,竽sinJ+2),

vAP=AAB+^AD,「.(平cosS+l,孚sin夕+2)="1,0)+〃(0,2)=(2,2從)，

2y2^/52>/5

：.—5^―cos^+1=A,—^―sin。+2=2//，，4+〃二—cos0+-^-sin0+2=sin(0+e)+2,其中tan0=2,

1<2+//<3故；〃的最大值為故選

v-l<sin(6>+^)<ltA,1+3,A.

4.(2015新課標I,理5)已知M(xo，yo)是雙曲線C：'一丁二1上的一點，后、F?是C上的兩個焦點,

若班?MF2<0,則yo的取值范圍是()

，202近、小、/2石2石、

【C)(------,-----)(D)(-----?-----)

3333

【答案】A

【解析】由題知片(一百,0),名(8,0),日一義=1，所以砥?麗二(一石一毛，一片)?(百一天,一%)

=片+￥-3=3火-1<0,解得邛<%<當,故選A.

5.(2011新課標，理10)已知。與方均為單位向量，其中夾角為。，有下列四個命題

：\a+b\>\<=>^e[0,)p2：\a+b\>\<=>^e(^,乃]

p3：\a-b\>\<=>^eio,y)p4：\a-b\>]<=>^e(y,TC]

其中真命題是

(A)P],p4(B)Pi，p3(C)生，P3(D)P3,p4

【答案】A

【解析】由|。+川>1得，/+2。?》+。2>1,即Q?b>一1,即85。=絲2>-2,

2\a\\b\2

2

V6>e[0,乃],J?！闧0,-y),

由I。一R>1得，/+即即cos9=*<1,乃］,????！?三，乃］,

2\a\\b\23

故選A.

6.(2016年天津)已知AA3C是邊長為1的等邊三角形，點RE分別是邊A