第04講 有理數(shù)的加法（2個知識點+5個考點+易錯分析）原卷版

第04講有理數(shù)的加法

（2個知識點+5個考點+易錯分析）

模塊一思維導圖串知識1.掌握有理數(shù)加法的運算法則,能熟練進行有理數(shù)的加

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）法運算,體會分類和歸納的思想方法，

模塊三核心考點舉一反三2.理解并靈活運用有理數(shù)的加法運算律簡化運算

模塊四小試牛刀過關測3.在利用有理數(shù)的加法解決實際問題的過程中,提高分

析問題和解決問題的能力

知識點1.有理數(shù)的加法法則（重點）

①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．

②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)

的兩個數(shù)相加得0．

③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．

（在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法

則．在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）

【例1】下列說法中正確的是（）

A．兩數(shù)相加，其和大于任何一個加數(shù)

B．異號兩數(shù)相加，其和小于任何一個加數(shù)

C．絕對值相等的異號兩數(shù)相加，其和一定為零

D．兩數(shù)相加，取較小一個加數(shù)的符號作為結果的符號

方法總結：本題主要考查有理數(shù)加法的知識，熟練掌握有理數(shù)加法是解題的關鍵．

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【變式1-1】若兩個有理數(shù)的和等于零，則這兩個有理數(shù)必定（）

A．相等B．都是零

C．互為相反數(shù)D．有一個數(shù)是零

【變式1-2】兩數(shù)相加，其和小于每個加數(shù)，那么這兩個數(shù)一定是（）

A．同號且為正B．互為相反數(shù)C．異號D．同號且為負

【例2】計算：

51

(1)(－0.9)＋(－0.87)；(2)(＋4)＋(－3)；

62

1

(3)(－5.25)＋5；(4)(－89)＋0.

4

方法總結：兩數(shù)相加時，應先判斷兩數(shù)的類型，然后根據(jù)所對應的法則來確定和的符號與絕對值．

【變式2-1】下列各式計算正確的是（）

A．(?3)+(?3)=0B．0+(?5)=?5

C．(?10)+(+7)=+17D．(?3)+(?7)=?4

【變式2-2】計算：

?1??2?

(1)(+20)+(+12)；(2)?-÷+?-÷；(3)(+2)+(-11)；

è2?è3?

(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．

【例3】已知|a|＝5，b的相反數(shù)為4，則a＋b＝________．

方法總結：本題涉及絕對值和相反數(shù)的定義，在解決絕對值問題時要注意考慮全面，避免造成漏解．

【變式3-1】若一個數(shù)的絕對值等于2，另一個數(shù)是?1的相反數(shù)，則這兩個數(shù)的和是（）

A．3B．?1C．3或?1D．±3或±1

【變式3?2】|?|=5，|?|=3，且?<?，則?+?的值為______．

知識點2.有理數(shù)加法的運算律（難點）

交換律：a+b＝b+a；結合律（a+b）+c＝a+（b+c）．

【例4】運用加法交換律和結合律計算：

（1）3+(?10)+7=3________7________(?10)=_________；

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（2）(?6)+12+(?3)+(?5)=[(?6)_______(?3)_______(?5)]_______12=_______．

方法總結：本題主要考查了有理數(shù)的加法運算規(guī)律，熟記有理數(shù)的加法交換律和結合律是解決本題的關鍵．

【變式】利用加法的交換律和結合律，將＋2＋－1－1寫成

4-137155737

_____________________________________，可以使運算簡便．

【變式4-2】在()里寫出每一步變形過程的依據(jù)．

(－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2)

＝(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2)(_______)

＝[(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)]

(________)

＝(－19)＋(＋21)(________)

＝2．(________)

【例5】計算：

(1)31＋(－28)＋28＋69；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)；

3222

(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)．

5353

方法總結：合理地運用有理數(shù)的加法運算律可使計算簡化．在進行多個有理數(shù)相加時，在下列情況下一般可

以用加法交換律和加法結合律簡化運算：①有些加數(shù)相加后可以得到整數(shù)時，可以先行相加；②有互為相反

數(shù)的兩數(shù)可以互相消去，和為0，可以先行相加；③有許多正數(shù)和負數(shù)相加時，可以先把符號相同的數(shù)相加，

即正數(shù)和正數(shù)相加，負數(shù)和負數(shù)相加，再把一個正數(shù)和一個負數(shù)相加．

3

【變式5-1】計算6+?51+?63+(+1.2)+(?2.75)+1.8，所得的結果是()

444

A．－3B．3C．－5D．5

【變式5-2】計算：

32

(1)(?3)+12+(?17)+(+8)(2)2+5+(?2.75)+?51

433

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易錯點：拆分帶分數(shù)時出現(xiàn)符號錯誤

【例6】閱讀下面文字：

5231

對于(-5)＋(-9)＋17＋(-3)，

6342

可以按如下方法計算：

5231

原式＝[(-5)+(-)]＋[(－9)＋(-)]＋(17+)＋[(-3)+(-)]

6342

5231

＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[(-)＋(-)＋＋(-)]

6342

1

＝0＋(-1)

4

1

＝－1.

4

上面這種方法叫拆項法．

521

仿照上面的方法，請你計算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.

632

【變式6-1】拆項法計算：

?5??2?2?1?

?-2000÷+?-1999÷+4000+?-1÷

è6?è3?3è2?

?7??5??1?

【變式6-2】拆項法．計算：?-2022÷+?-2021÷+?-1÷+4044．

è24?è8?è6?

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?3??2?2?1?

【變式6-3】折項法計算：?-55÷+?-44÷+100+?-1÷．

è4?è3?3è4?

考點1：利用數(shù)軸信息進行有理數(shù)的加法運算

1．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a+b___0．（填“＞”、“＜”或“＝”）

2．小明寫作業(yè)時不慎將墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中的數(shù)值，判定墨跡蓋住部分的整數(shù)的和是．

3．（2023秋·浙江·七年級專題練習）如圖所示，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A，B，C，其中點A

到點B的距離為3，點B到點C的距離為8，設點A，B，C所對應的數(shù)的和是m．

(1)若以點A為原點，則數(shù)軸上點B所表示的數(shù)是__________；若以點B為原點，則m=_________；

(2)若原點O在圖中數(shù)軸上，且點B到原點O的距離為4，求m的值．

考點2：有理數(shù)與相反數(shù)、絕對值的綜合考查

4．（2023秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）已知a是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，|b+4|=2，且

|c-5|+|d-3|=0．式子a-b-c+d的值為__________．

12

5．（1）求3的相反數(shù)與-2的絕對值的和；

33

（2）若|a-2|與|b+5|互為相反數(shù)，求a+b的值．

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6．以1厘米為1個單位長度用直尺畫數(shù)軸時，數(shù)軸上的點A，B，C剛好對著直尺上的刻度2，刻度8和刻

度10，如圖所示．設點A，B，C所表示的數(shù)的和是p，該數(shù)軸的原點為O．

(1)若點A所表示的數(shù)是-1，則點C所表示的數(shù)是___________；

(2)若點A，B所表示的數(shù)互為相反數(shù)，則數(shù)軸的原點O對應直尺上的刻度為___________，此時p的值為

___________；

(3)若點C，O之間的距離為4，求p的值；

(4)該數(shù)軸的單位長度不變，在（2）的基礎上移動原點O．

①將原點沿數(shù)軸向左移動1厘米，p的值為___________，再將原點O向左移動1厘米，p的值為

___________；

②猜想原點O沿著數(shù)軸每向左移動1厘米，p的值將會如何變化．

考點3：有理數(shù)的加法在實際生活中的應用

7.某公路養(yǎng)護小組乘車沿南北方向巡視維修，某天早晨他們從A地出發(fā)，晚上最后到達B地，約定向北為

正方向，當天的行駛記錄如下．(單位：km)

＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.

(1)B地在A地何方，相距多少千米？

(2)若汽車行駛1km耗油aL，求該天耗油多少L?

方法總結：解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反

意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示，其次是要正確理解題目意圖，選擇正確的方式解

答．

8.某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定往東為正，往西為負．某天自A地出發(fā)到收工時所走路線（單

位：千米）為：-10，-3，+4，+7，-8，+13，-2，-12，+8，+5．

(1)問收工時距A地多遠？在哪個方向？

(2)若每千米路程耗油m升，問從A地出發(fā)到收工共耗油多少升？

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9.小蟲從點O出發(fā)在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負，爬行的各段

路程依次為：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（單位：cm）

(1)小蟲最后是否回到出發(fā)地O？為什么？

(2)小蟲離開O點最遠時是多少？

(3)在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵1粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？

10.在抗洪搶險中，人民解放軍的沖鋒舟沿東西方向的河流搶救災民，早晨從A地出發(fā)，晚上到達B地，約

定向東為正方向，當天的航行路程記錄如下（單位：千米）：14，-9，+8，-7，13，-6，+10，-5，

(1)B地在A地的哪邊？距A地多少千米？

(2)救災過程中，最遠處離出發(fā)點A有多遠？

(3)若沖鋒舟每千米耗油0.5升，油箱原油量為29升，求途中還需補充多少升油？

考點4：幻方計算題

11．在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m這9個數(shù)中，m代表一個數(shù)，你認為m是多少時，能夠使這9

個數(shù)分別填入圖中的9個空格內，使每行的3個數(shù)、每列3個數(shù)、斜對角3個數(shù)個數(shù)相加均為零．

(1)我認為m＝_______．

(2)按要求將這9個數(shù)填入如圖的空格內．

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12．如圖是3×3的三階幻方，將2、4、6、8、10、12、14、16、18這九個數(shù)分別填入下列兩個方格中，使

得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等．

(1)方格正中間位置的數(shù)是_______．

(2)將兩個幻方補充完整．

13．（1）如圖1，請你在圓圈內填上恰當?shù)牟煌欣頂?shù)，使每條線上的3個數(shù)和為0．

（2）如果將中心處的0改為-5，使每條線上的3個數(shù)之和為-15呢？請在圖2中試一試．

考點5：新定義運算

14.設x表示不超過x的最大整數(shù)，計算：?é-2.3+6.5?ù=______．

15．（23-24七年級上·福建南平·階段練習）對于有理數(shù)a，b定義新運算：“V”，a△b=b，則關于該運算，

下列說法正確的是．（請?zhí)顚懻_說法的序號）

①-5V7=-5；②5V7=-9V7；③若a△b=b△a，則a=b；④該運算滿足交換律．

16．（23-24七年級上·陜西寶雞·期末）數(shù)學課上，老師說：“我定義了一種新的運算*，叫做‘星加’運算．”

然后老師寫出了一些按照“星加”運算法則進行運算的算式：(+3)*(+6)=(+9)；(+5)*(-3)=(-8)；

(-2)*(+4)=(-6)；(-4)*(-3)=(+7)；0*(+8)=8；(-6)*0=6．根據(jù)上述材料，回答下列問題：

(1)歸納“*”運算的運算法則：兩數(shù)進行“*”運算時，______特別地，0和任何數(shù)進行“*”運算，或任何數(shù)和0

進行“*”運算，______；

(2)計算(-7)*0*(-2)=______；

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(3)我們知道加法有交換律，試判斷這種新運算“*”是否具有交換律？并舉例驗證你的結論．（寫出一個例子

即可）

一、單選題

1．（23-24七年級上·海南省直轄縣級單位·期中）絕對值大于2而小于5的所有整數(shù)的和是（）

A．-7B．0C．7D．10

2．（22-23七年級上·內蒙古巴彥淖爾·階段練習）氣溫由-5°C上升2°C后是（）

A．1°CB．3°CC．-3°CD．-7°C

3．（23-24七年級上·新疆伊犁·期中）如果a+b的值是負數(shù)，則a與b的值（）

A．一定都是正數(shù)B．一定都是負數(shù)

C．一定是一個正數(shù)，一個負數(shù)D．至少有一個是負數(shù)

4．（23-24七年級上·浙江·期末）計算-7+3的結果是（）

A．-4B．-10C．4D．10

5．（23-24七年級上·廣東潮州·期中）若兩個數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)（）

A．都是正數(shù)B．只有一個正數(shù)

C．至少有一個是正數(shù)D．以上都不對

6．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習）如果|x-3+y+1|＝0，那么x+y等于（）

A．-4B．4C．2D．-2

7．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）如圖，數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別是a，b，且滿足a+b=2，則下

列各式的值一定是正數(shù)的是（）

A．aB．bC．-aD．-b

8．（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習）如果a>0，b<0，a+b<0，則下列各式中大小關系正確的是

（）

A．-b<-a<b<aB．-a<b￡a<-b

C．b<-a<-b<aD．b<-a<a<-b

二、填空題

9．（22-23七年級上·吉林·期末）比-8大2的數(shù)是．

10．（22-23七年級上·河南鄭州·階段練習）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，則a+b的值

0（填“大于”、“小于”或“等于”）．

11．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）愛動腦筋的小明同學設計了如圖所示的“幻方”游戲圖，將1，-2，

3，-4，5，-6，7，-8分別填入圖中的圓圈內，使得橫、豎以及內外兩個正方形的4個數(shù)字之和都相等，

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他已經(jīng)將-4、5、7、-8這四個數(shù)填入了圓圈，則圖中a+b的值為．

12．（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習）用符號a,b表示a，b兩數(shù)中的較大者，用符號a,b表示a，b

é1ù?3?

兩數(shù)中的較小者，則-1,-+?0,-÷的值為．

?ê2?úè2?

13．（23-24七年級上·北京昌平·期中）絕對值小于2023的所有整數(shù)的和為．

14．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習）計算

1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+L+2013+(-2014)+(-2015)+2016+2017+(-2018)=．

15．（23-24七年級上·四川成都·階段練習）a、b、c三個數(shù)的位置如圖所示：則a+b0，b+c0(填>

或<)

三、解答題

16．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）計算

?1??1?

(1)-2.2+3.8；(2)?-÷+?-÷．

è2?è3?

17．（23-24七年級上·河北邢臺·階段練習）用適當方法計算：

(1)-51++12+-7+-11++36

?5??3??3?

(2)?-4÷+7.75+?-1÷+?-2÷

è8?è