第07講 有理數(shù)的乘方（人教版）（解析版）

第07講有理數(shù)的乘方

【人教版】

·模塊一乘方的意義

·模塊二有理數(shù)的混合運(yùn)算

·模塊三課后作業(yè)

模塊一乘方的意義

有理數(shù)的乘方:

（1）求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.

（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0.

（3）a2是重要的非負(fù)數(shù)，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0.

【考點(diǎn)1有理數(shù)的乘方的意義】

【例1.1】（2023七年級·全國·課堂例題）算式6×6×?×6可以表示為（）

10個6

A．610B．6×10C．6+10D．106

【答案】A

【分析】根據(jù)乘方的表示形式解答．

【詳解】解：算式6×6×?×6可以表示為610．

10個6

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的定義，乘方的表示方法，底數(shù)、指數(shù)的定義，熟記乘方的定義是解題的關(guān)鍵．

【例1.2】（2023七年級·河北廊坊·階段練習(xí)）(?3)5表示的意義是（）

A．?5乘3B．5個?3相乘C．5個?3相加D．3個?5相乘

【答案】B

【分析】本題考查的是乘方的意義，n個相同的因數(shù)a相乘，記作??，則(?3)5的表示的意義是5個?3相

乘．

第1頁共26頁.

【詳解】解：(?3)5的表示的意義是5個?3相乘．

故選：B．

3333

【例1.3】（七年級全國課堂例題）把×××寫成乘方的形式為，讀

2023··4444

作．

4

【答案】33的次方或3的次冪

44444

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義解答．

44

33333333

【詳解】解：×××=，讀作的次方或的次冪，

4444444444

4

故答案為：3，3的次方或3的次冪．

44444

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解乘方是乘法的特例是解題的關(guān)鍵．

【變式1.1】（2023七年級·天津北辰·期中）對于算式(?3)4，正確的說法是（）

A．3是底數(shù)，4是指數(shù)B．3是底數(shù)，4是冪

C．﹣3是底數(shù)，4是冪D．﹣3是底數(shù)，4是指數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)??n中底數(shù)是a，指數(shù)是n，進(jìn)行判斷便可．

【詳解】解：在(?3)4中，?3是底數(shù)，4是指數(shù)，(?3)4是冪，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方，熟記有理數(shù)乘方表達(dá)式中各部分名稱是解題的關(guān)鍵

【變式1.2】（2023七年級·陜西渭南·期中）冪?43中的底數(shù)是s，指數(shù)是t，則??2?的值為．

【答案】?2

【分析】本題主要考查了冪的定義．根據(jù)“??中，a稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)”，即可求解．

【詳解】解：∵冪?43中的底數(shù)是s，指數(shù)是t，

∴?=4,?=3，

∴??2?=4?2×3=?2．

故答案為：?2

【變式1.3】（2023七年級·河南信陽·期末）求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，事實(shí)上乘方的計(jì)算也

是轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算，將式子?53寫成乘法算式的形式為．

【答案】?5×5×5

【分析】利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算與乘法運(yùn)算的互化．

第2頁共26頁.

【詳解】解：?53=?5×5×5．

故答案為：?5×5×5．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法與有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法與有理數(shù)的乘方運(yùn)算

法則．

【考點(diǎn)2有理數(shù)乘方的運(yùn)算】

【例2.1】（2023·浙江杭州·二模）?33=（）

A．?9B．9C．?27D．27

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解乘方運(yùn)算的意義．根據(jù)乘方運(yùn)算的法則，即得

答案．

【詳解】?33=?27．

故選C．

2

【例2.2】（2023七年級·遼寧營口·期末）在?(?2)，?32，?|?4|，?2，(?1)2024中，負(fù)數(shù)共有個．

5

【答案】3

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類、絕對值及乘方，化簡各數(shù)后即可求解.

24

【詳解】解：∵?(?2)=2，?32=?9，?|?4|=?4，?2=?，(?1)2024=1，

55

∴負(fù)數(shù)共有3個

故答案為：3

【例2.3】2023七年級·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)(?1)2023=；

(2)(?0.2)2=；

2

1

=；

(3)?2

4

1

=．

(4)?12

【答案】(1)?1

(2)0.04

1

(3)4

81

(4)16

第3頁共26頁.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：(?1)2023=?1；

故答案為：?1；

（2）解：(?0.2)2=0.22=0.04；

故答案為：0.04；

22

111

（）解：==；

3?224

故答案為：1；

4

444

11381

（）解：===．

4?1212216

故答案為：81．

16

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【變式2.1】（2023七年級·安徽蕪湖·期中）不超過(?2.1)2的最大整數(shù)是．

【答案】4

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，計(jì)算出(?2.1)2的結(jié)果即可得到答案．

【詳解】解；∵(?2.1)2=4.41，

∴不超過(?2.1)2的最大整數(shù)是4，

故答案為：4．

【變式2.2】（2023七年級·四川德陽·階段練習(xí)）下列計(jì)算中正確的是（）

233

382426327

A．?2=?B．??=C．?=D．?=?

327393275125

【答案】D

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．

38

【詳解】解：A、?2=?，原式計(jì)算錯誤，不符合題意；

33

2

24

、?=?，原式計(jì)算錯誤，不符合題意；

B?39

3

28

、?=?，原式計(jì)算錯誤，不符合題意；

C327

3

327

、?=?，原式計(jì)算正確，符合題意；

D5125

故選：D．

第4頁共26頁.

【變式2.3】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）火眼金睛（尋找錯誤并糾正）

3

計(jì)算：4．

3

【陷阱】________．

【答案】見解析

【分析】利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則即可求解．

【詳解】沒有正確分清底數(shù)，導(dǎo)致出錯．

34×4×464

【正解】4==．

333

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)3利用計(jì)算器計(jì)算有理數(shù)的乘方】

【例3.1】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）用計(jì)算器求25的值時，按鍵順序是()

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】先按底數(shù)2，再按xy鍵，接著按指數(shù)，最后按等號即可．

【詳解】解：在計(jì)算器中，先按2，再按xy鍵，接著按5，最后按=即可．

故答案為B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用計(jì)算器進(jìn)行數(shù)的乘方，掌握運(yùn)用計(jì)算器求冪的方法是正確解答本題的關(guān)鍵．

【例3.2】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）利用計(jì)算器，按照下列步驟按鍵，顯示結(jié)果為()

A．?10B．?32C．?2.5D．?7

【答案】B

【分析】本題要求同學(xué)們能熟練應(yīng)用計(jì)算器，會用科學(xué)記算器進(jìn)行計(jì)算．

【詳解】解：由圖可得出，(?2)5=?32．

第5頁共26頁.

故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算求值，解題的關(guān)鍵是知道負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．

【例3.3】（2023七年級·河北唐山·期中）通過計(jì)算器計(jì)算發(fā)現(xiàn)：112=121，1112=12321，11112

=1234321……，按照以上的規(guī)律計(jì)算11111112的結(jié)果是（）

A．123454321B．1234564321

C．1234567654321D．123456787654321

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件可以得到這樣的規(guī)律：對于由1組成的數(shù)字，當(dāng)平方后最中間的數(shù)字是幾，這個數(shù)

字就是由幾個1組成．

【詳解】解：根據(jù)已知條件可以得到這樣的規(guī)律：11的平方是121，中間的數(shù)字是2，111的平方是

12321，中間的數(shù)字是3，……由此可以推斷出：對于由1組成的數(shù)字，當(dāng)平方后最中間的數(shù)字是幾，這個

數(shù)字就是由幾個1組成；所以11111112的結(jié)果是1234567654321，

故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了觀察式子找規(guī)律，找到對于由1組成的數(shù)字，當(dāng)平方后最中間的數(shù)字是幾，這個

數(shù)字就是由幾個1組成的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

【變式3.1】（2023七年級·山東煙臺·期中）若用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下，則計(jì)算結(jié)果是．

【答案】36

【分析】本題考查了計(jì)算器計(jì)算，根據(jù)題意，得(?6)2=36，解答即可．

【詳解】根據(jù)題意，得(?6)2=36，

故答案為：36．

【變式3.2】（2023·山東臨沂·一模）用型號為“大雁牌???570”的計(jì)算器計(jì)算(?2)10，按鍵順序正確的是

（）

A．((?)2)10=B．((?)2)×10=

C．(?)2??10=D．((?)2)??10=

【答案】D

【分析】本題考查了計(jì)算器，解答本題的關(guān)鍵是明確計(jì)算器的按鍵順序．

根據(jù)題意，寫出正確的按鍵順序，從而可以解答本題．

【詳解】解：由題意知，按鍵順序正確的是((?)2)??10，

第6頁共26頁.

故選：D．

【變式3.3】（2023七年級·全國·專題練習(xí)）用計(jì)算器計(jì)算：

（1）(?11)6；（2）167；（3）8.43；（4）(?5.6)3．

【答案】（1）1771561；（2）268435456；（3）592.704；（4）?175.616．

【分析】直接用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，即可求解．

【詳解】解：（1）(?11)6=1771561；

（2）167=268435456；

（3）8.43=592.704；

（4）(?5.6)3=?175.616．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握計(jì)算器的功能，懂得操作，并注意有理數(shù)的乘方時的符

號問題是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)4冪的性質(zhì)】

【例4.1】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）任何一個有理數(shù)的偶次冪必是（）

A．負(fù)數(shù)B．零或正數(shù)C．正數(shù)D．零或負(fù)數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)偶次方的非負(fù)性即可得出結(jié)論．

【詳解】解：任何一個有理數(shù)的偶次冪必是零或正數(shù)

故選B．

【點(diǎn)睛】此題考查的是有理數(shù)的乘方，掌握偶次方的非負(fù)性是解決此題的關(guān)鍵．

【例4.2】（2023七年級·陜西咸陽·期中）在(?5)4,(?5)5,?(?5)6,?|?(?5)7|中，負(fù)數(shù)有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】根據(jù)乘方及絕對值確定各式的符號即可求解．

【詳解】(?5)4=54，是正數(shù)；

(?5)5=?55，是負(fù)數(shù)；

?(?5)6=?56，是負(fù)數(shù)；

?|?(?5)7|=?57，是負(fù)數(shù)．

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)乘方的符號，掌握負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)是關(guān)鍵．

第7頁共26頁.

【例4.3】（2023七年級·江蘇南京·階段練習(xí)）已知?為正整數(shù)，計(jì)算(?1)2??(?1)2?+1的結(jié)果是（）

A．1B．-1C．0D．2

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：(?1)2??(?1)2?+1=1+1=2，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則以及乘方的符號規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．

【變式4.1】（2023七年級·河南漯河·階段練習(xí)）當(dāng)整數(shù)?為時，(?1)?=?1；若?是正整數(shù)，則

(?1)?+(?1)?+1=．

【答案】奇數(shù)0

【分析】?1的奇次方為?1，?1的偶次方為1；再分類討論即可得到答案．

【詳解】解：當(dāng)整數(shù)?為奇數(shù)時，(?1)?=?1；

當(dāng)整數(shù)?為奇數(shù)時，則?+1為偶數(shù)，

∴(?1)?+(?1)?+1=?1+1=0，

當(dāng)整數(shù)?為偶數(shù)時，則?+1為奇數(shù)，

(?1)?+(?1)?+1=1?1=0；

故答案為：奇數(shù)，0

【點(diǎn)睛】本題考查的是負(fù)1的奇次方與偶次方，熟記乘方的含義與乘方的符號確定方法是解本題的關(guān)鍵．

【變式4.2】（2023七年級·山東臨沂·階段練習(xí)）l米長的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，

如此下去，第5次后剩下的小棒長為（）米

．1．1．1．1

A12B32C64D128

【答案】B

【分析】根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果．

11

【詳解】解：根據(jù)題意知第次后剩下的小棒長為（）5＝，

5232

故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．

【變式4.3】（2023七年級·山東淄博·階段練習(xí)）已知a＝110，b＝（﹣2）6，c＝（﹣3）5，則a，b，c的大

小關(guān)系為（）

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A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b

【答案】D

【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘方的運(yùn)算化簡，然后再比較大小即可．

【詳解】解：∵a＝110＝1，b＝（﹣2）6＝26，c＝（﹣3）5＝﹣35，

∴c＜a＜b．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號規(guī)律成為解答本題的關(guān)鍵．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級·浙江杭州·期末）如果?2013+?2013=0，那么下列等式一定成立的是（）

A．(?+?)2013=0B．(???)2013=0C．(???)2013=0D．(|?|+|?|)2013=0

【答案】A

【分析】先判斷出a、b互為相反數(shù)，再根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0解答．

【詳解】解：∵a2013+b2013=0，

∴a、b互為相反數(shù)，

∴a+b=0，

∴（a+b）2013=0．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，根據(jù)題意判斷出a、b互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵

【題型2】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）（1）計(jì)算0.12,12,102,1002，觀察這些結(jié)果，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左

（右）移動一位時，平方數(shù)小數(shù)點(diǎn)有什么移動規(guī)律？

（2）計(jì)算0.13,13,103,1003．觀察這些結(jié)果，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動一位時，立方數(shù)小數(shù)點(diǎn)有什么移

動規(guī)律？

（3）計(jì)算0.14,14,104,1004．觀察這些結(jié)果，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動一位時，四次方數(shù)小數(shù)點(diǎn)有什么

移動規(guī)律？

【答案】（1）0.12=0.01,12=1,102=100,1002=10000．可以發(fā)現(xiàn)，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動一位

時，平方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動兩位．

（2）0.13=0.001,13=1,103=1000,1003=1000000．可以發(fā)現(xiàn)，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動一位時，

立方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動三位．

（3）0.14=0.0001,14=1,104=10000,1004=100000000．可以發(fā)現(xiàn)，底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動一位

第9頁共26頁.

時，四次方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動四位．

【分析】（1）計(jì)算出平方數(shù)，觀察底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律與平方數(shù)小數(shù)點(diǎn)移動的規(guī)律即可完成；

（2）計(jì)算出立方數(shù)，觀察底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律與立方數(shù)小數(shù)點(diǎn)移動的規(guī)律即可完成；

（3）計(jì)算出四次方數(shù)，觀察底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律與四次方數(shù)小數(shù)點(diǎn)移動的規(guī)律即可完成；

【詳解】（1）0.12=0.01,12=1,102=100,1002=10000，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)讛?shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（右）移動一位

時，平方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)則向左（右）移動丙位；

（2）0.13=0.001,13=1,103=1000,1003=1000000．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)讛?shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（右）移動一位時，

立方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動三位．

（3）0.14=0.0001,14=1,104=10000,1004=100000000．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)讛?shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（右）移動一位

時，四次方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動四位．

【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的計(jì)算，觀察與歸納能力，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．

【題型3】（2023七年級·全國·課堂例題）求出下列各組中兩個算式的值，找出兩個算式之間的關(guān)系．

33

11

（）×3與；

1222×2

33

11

（）×3與；

2?34?3×4

（3）(?1)4×24與(?1×2)4；

（4）(?5)2×42與(?5×4)2．

利用所得規(guī)律計(jì)算：(?0.25)2023×42024．

【答案】見解析

【分析】先分別求出各個式子，再根據(jù)結(jié)果即可總結(jié)出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得出答案．

3333

1111

【詳解】解：（）×3=1,=1,×3=．

1222×2222×2

3333

16416411

（）×3=?，=?，×3=．

2?3427?3×427?34?3×4

（3）(?1)4×24=16,(?1×2)4=16，(?1)4×24=(?1×2)4．

（4）(?5)2×42=400,(?5×4)2=400，(?5)2×42=(?5×4)2．

由上述可得，兩個數(shù)的相同次冪的積等于這兩個數(shù)乘積的相同次冪，即??·??＝(??)?(m為正整數(shù))．

∴(?0.25)2023×42024=(?0.25)2023×42023×4=(?0.25×4)2023×4=?4．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)冪的計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級·全國·專題練習(xí)）下列各數(shù)中，數(shù)值相等的有（）

第10頁共26頁.

216

①32與23；②?23與(?2)3；③?(?0.1)3與0.001；④?22與(?2)2；⑤?32與(?3)2；⑥4與；⑦(?1)11

525

與?1．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則即可求出答案．

【詳解】解：①32=9，23=8，故①不符合題意，

②?23=(?2)3=?8，故②符合題意，

③?(?0.1)3=0.001，故③符合題意，

④?22=?4，(?2)2=4，故④不符合題意，

⑤?32=?9，(?3)2=9，故⑤不符合題意，

21616

⑥4=≠，故⑥不符合題意，

5525

⑦(?1)11=?1，故⑦符合題意，

綜上所述，符合題意的有三個．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則．

【題型2】（2023七年級·黑龍江齊齊哈爾·期中）如果n是正整數(shù)，那么?[1?(?1)?]的值（）

A．一定是零B．一定是正偶數(shù)C．一定是正奇數(shù)D．是零或正偶數(shù)

【答案】D

【分析】分為兩種情況當(dāng)n是偶數(shù)時，當(dāng)n是奇數(shù)時，求出即可．

【詳解】解：當(dāng)n是偶數(shù)時，原式=?(1?1)=0，

當(dāng)n是奇數(shù)時，原式=??(1+1)=2?，是正偶數(shù)．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．

【題型3】（2023七年級·河南開封·期末）式子：|?|，?+1，?2?1，?2，?2+1，(???)3的值一定為正數(shù)的

有（）

A．1個B．2個C．3個D．以上答案都不對

【答案】A

【分析】根據(jù)絕對值和偶次方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)，有理數(shù)的乘方的定義以及大于0的數(shù)是正數(shù)進(jìn)行判斷即可．

第11頁共26頁.

【詳解】當(dāng)?=0時，|?|=0，0不是正數(shù)．

當(dāng)?≤?1時，?+1不是正數(shù)．

當(dāng)?1≤?≤1時，?2?1≤0不是正數(shù)．

當(dāng)?=0時，?2=0，0不是正數(shù)．

∵?2≥0

∴?2+1＞0是正數(shù)．

當(dāng)???＜0時，(???)3＜0

∴一定為正數(shù)的有1個．

故本題選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)以及絕對值，掌握絕對值和偶次方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)是解答

模塊二有理數(shù)的混合運(yùn)算

有理數(shù)的混合運(yùn)算:

混合運(yùn)算的順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號，先做括

號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.

【考點(diǎn)1有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算】

【例1.1】（2023七年級·山東聊城·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙，丙、丁四位同學(xué)分別做了一道有理

數(shù)運(yùn)算題，你認(rèn)為做對的同學(xué)是（）

甲：9?32÷8=0÷8=0

乙：24?(4×32)=24?4×6=0

3222

丙：÷=×=36×?12×=16

(36?12)2(36?12)333

2

?。?÷×3=9÷1=9

(?3)3

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，據(jù)甲乙丙丁的式子計(jì)算出正確的結(jié)果，從而解答本題即可．

963

【詳解】解：9?2÷8=9?9÷8=9?=，故甲的做法是錯誤的；

388

第12頁共26頁.

24?(4×32)=24?4×9=24?36=?12，故乙的做法是錯誤的；

3222

÷=×=36×?12×=24?8=16，故丙的做法正確；

(36?12)2(36?12)333

2381

2÷×3=9××3=，故丁的做法錯誤；

(?3)322

綜上分析，做的對的是丙同學(xué)．

故選：C．

【例1.2】（2023七年級·河北滄州·期中）右面是一個“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的示意圖．若?=4，則輸出結(jié)果為

（）

A．?80B．?75C．85D．?85

【答案】B

【分析】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)計(jì)算程序列式計(jì)算即可，正確理解計(jì)算程序圖是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由題意得42×(?5)+5=?80+5=?75

故選：B．

1

【例1.3】（七年級山東濰坊期中）如圖，把面積為的正方形進(jìn)行分割，觀察其規(guī)律，可得算式+

2023··12

23478

11111

+++…++再加上（）后，結(jié)果就是．

222221

1111

A．B．C．D．

25262728

【答案】D

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、規(guī)律性，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的特點(diǎn)，利用數(shù)形

結(jié)合的思想解答．

234??

111111

根據(jù)圖形可知+++…++=1

222222

【詳解】解：由圖可知，

第13頁共26頁.

234788

1111111

+++…++在加上后，結(jié)果就是

22222221

故選：D

【變式1.1】（2023七年級·山西朔州·階段練習(xí)）在式子“?23○(?1)2中”的“○”內(nèi)填入下列運(yùn)算符號，計(jì)算后

結(jié)果最大的是（）

A．+B．-C．×D．÷

【答案】A

【分析】

分別按各選項(xiàng)求出結(jié)果，然后比較即可．

【詳解】

解：∵?23=?8，(?1)2=1

∴-8+1=-7，-8-1=-9，-8×1=-8，-8÷1=-8，

∵-7＞-8=-8＞-9，

∴計(jì)算結(jié)果最大的是-7．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方和混合運(yùn)算，掌握??表示n個a相乘是解題的關(guān)鍵．

2

49

【變式1.2】（七年級陜西商洛期末）計(jì)算：?3+×?(?3.2)÷0.4．

2023··334

【答案】?15

【分析】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘除運(yùn)算，最后加減運(yùn)算即可.

2

49

【詳解】解：?3+×?(?3.2)÷0.4

334

169

=?27+×+8

94

=?27+4+8

=?15

5

【變式1.3】（七年級廣東廣州開學(xué)考試）一段鐵絲，第一次剪下全長的，第二次剪下的長度與第一

2023··9

次剪下的長度的比是9:20，還剩7米，這段鐵絲全長（）

A．12米B．24米C．32米D．36米

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，正確理解第二次剪下的長度在全長的占比是解題關(guān)鍵．根據(jù)

第14頁共26頁.

559151

題意可知，第一次剪下全長的，第二次剪下全長的×=，則此時還剩下全長的1??，據(jù)此列式即可

9920494

得出答案．

【詳解】解：7÷559

1?9?9×20

51

=7÷1??

94

7

=7÷

36

=36（米）

即這段鐵絲全長36米，

故選：D．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級·北京·期末）按如圖所示的程序進(jìn)行計(jì)算，如果把第一次輸入的數(shù)是20，而結(jié)果不

大于100時，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進(jìn)行第二次運(yùn)算，直到符合要求為止，請求出最后輸出的結(jié)果．

【答案】320

【分析】本題考查程序流程圖與有理數(shù)的計(jì)算．根據(jù)流程圖列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可．掌握的列出算式，

是解題的關(guān)鍵．

2

1111

【詳解】解：把20代入程序中得：20×÷=20×÷=?40，

|?2|??22?4

21

把?40代入程序中得：?40×1÷1=?40×÷1=80，

|?2|??22?4

2

1111

把80代入程序中得：80×÷=80×÷=?160，

|?2|??22?4

21

把?160代入程序中得：?160×1÷1=?160×÷1=320>100，

|?2|??22?4

則最后輸出的結(jié)果為320．

【題型2】（2023·四川達(dá)州·七年級期末）在我國古書《易經(jīng)》中有“上古結(jié)繩而治”的記載，它指“結(jié)繩記事”

或“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿6進(jìn)1，用來記錄他所放牧的羊的

只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（）

第15頁共26頁.

A．1234B．310C．60D．10

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)計(jì)數(shù)規(guī)則可知，從右邊第1位的計(jì)數(shù)單位為60，右邊第2位的計(jì)

數(shù)單位為61，右邊第3位的計(jì)數(shù)單位為62，右邊第4位的計(jì)數(shù)單位為63，……，依此類推，可求出結(jié)果．

【詳解】解：根據(jù)題意得：

1×63+2×62+3×61+4×60=310（只），

答：他所放牧的羊的只數(shù)是310只．

故選：B．

【題型3】（2023七年級·全國·課堂例題）觀察下面三行數(shù)：

第一行數(shù)：2,?4,8,?16,32,?64,?；

第二行數(shù)：0,?6,6,?18,30,?66,?；

第三行數(shù)：1,?2,4,?8,16,?32,?．

(1)第一行數(shù)按什么規(guī)律排列？

(2)第二行、第三行數(shù)與第一行數(shù)分別有什么關(guān)系？

(3)取每行數(shù)的第8個數(shù)，計(jì)算這三個數(shù)的和．

【答案】(1)第一行數(shù)是?(?2),?(?2)2，?(?2)3,?(?2)4,?

(2)第二行的每個位置上的數(shù)是第一行相應(yīng)位置上的數(shù)減2得到的，第三行的每個位置上的數(shù)是第一行相應(yīng)

位置上的數(shù)除以2得到的

(3)?642

【分析】（1）根據(jù)第一行數(shù)可知，后一個數(shù)是前一個數(shù)的?2倍，即可解答；

（2）根據(jù)兩行數(shù)之間對比即可得到關(guān)系；

（3）利用（1）（2）的規(guī)律列式計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：第一行數(shù)是?(?2),?(?2)2，?(?2)3,?(?2)4,?．

（2）解：第二行的每個位置上的數(shù)是第一行相應(yīng)位置上的數(shù)減2得到的，第三行的每個位置上的數(shù)是第一

行相應(yīng)位置上的數(shù)除以2得到的．

第16頁共26頁.

（3）解：第一行的第8個數(shù)是?(?2)8=?256，故每行數(shù)的第8個數(shù)的和為?256+(?256?2)+(?256÷2)

=?256?258?128=?642．

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的規(guī)律運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握各數(shù)之間的關(guān)系并利用關(guān)系解決問

題是解題的關(guān)鍵．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級·新疆克孜勒蘇·期末）現(xiàn)定義兩種新運(yùn)算“△”和“⊙”，對任意有理數(shù)a，b，規(guī)定：

?△?=?+??1，?⊙?=????2，例如：1△(?1)=1+(?1)?1=?1，1⊙(?1)=1×(?1)?12=?2，

那么(2)⊙[8△(3)]=．

【答案】16

【分析】本題主要考查定義新運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意中的

新定義計(jì)算即可得到答案．

【詳解】解：∵?△?=?+??1，?⊙?=????2，

∴(2)⊙[8△(3)]=2⊙[8+3?1]

=2⊙10

=2×10?22

=20?4

=16．

故答案為：16．

【題型2】（2023七年級·山東聊城·期中）閱讀材料：求1+2+22+23+24+?+22013的值．

解：設(shè)?=1+2+22+23+24+?+22012+22013，將等式兩邊同時乘2得：

2?=2+22+23+24+25+?+22013+22014

將下式減去上式得2???=22014?1即?=22014?1

即1+2+22+23+24+?+22013=22014?1

請你仿照此法計(jì)算：

(1)1+2+22+23+24+?+22024

(2)1+3+32+33+34+?+3?（其中?為正整數(shù)）．

【答案】(1)22025?1

1?+1

(2)2(3?1)

第17頁共26頁.

【分析】本題考查的是探索運(yùn)算規(guī)律題，根據(jù)已知材料中的方法，探索出運(yùn)算規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)?=1+2+22+23+24+?+22024，兩邊乘以2后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出

所求式子的值；

（2）設(shè)?=1+3+32+33+34+?+3?，兩邊乘以3后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出所

求式子的值．

【詳解】（1）解：設(shè)?=1+2+22+23+24+?+22024，

將等式兩邊同時乘2得：2?=2+22+23+24+?+22024+22025，

將下式減去上式得：2???=22025?1，即?=22025?1，

則1+2+22+23+24+?+22024=22025?1；

（2）解：設(shè)?=1+3+32+33+34+?+3?①，

兩邊同時乘3得：3?=3+32+33+34+?+3?+3?+1②，

1

得：3???=?+1?1，即2?=?+1?1，則?=?+1

②-①332(3?1)

1

則1+3+2+3+4+?+?=?+1．

33332(3?1)

【題型3】（2023七年級·浙江·專題練習(xí)）閱讀下列材料，并解決后面的問題．

材料：一般地，?個相同的因數(shù)?相乘：?·?...?記為??．如23=8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為

?

?個

?

log28（即log28=3)．一般地，若?=?(?>0且?≠1，?>0)，則?叫做以?為底?的對數(shù)，記為log??（即

4

log??=?)．如3=81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（即log381=4)．

問題：

(1)計(jì)算以下各對數(shù)的值：log24=；log216=；log264=．

(2)通過觀察（1），請直接寫出log24、log216、log264之間滿足的等量關(guān)系是．

(3)請你求出log696+log681的值：

【答案】(1)2，4，6

(2)log24+log216=log264

(3)5

【分析】此題考查定義新運(yùn)算，掌握運(yùn)算的方法，找出計(jì)算的規(guī)律解決問題．

（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；

（2）認(rèn)真觀察，不難找到規(guī)律：4×16=64，log24+log216=log264；

第18頁共26頁.

（3）利用（2）得出結(jié)論：log??+log??=log?(??)，進(jìn)一步計(jì)算得出答案即可．

【詳解】（1）解：∵22=4，

∴l(xiāng)og24=2，

∵24=16，

∴l(xiāng)og216=4，

∵26=64，

∴l(xiāng)og264=6；

（2）解：∵4×16=64，log24=2，log216=4，log264=6；

∴l(xiāng)og24+log216=log264；

（3）解：log696+log681=log696×81=log67776；

∵65=7776，

∴l(xiāng)og67776=5．

∴l(xiāng)og696+log681=5．

模塊三課后作業(yè)

1．（2023七年級·安徽安慶·期末）下列說法正確的是（）

A．?28的底數(shù)是?2B．25表示5個2相加

3

C．(?3)3與?33意義相同D．?2的底數(shù)是2

3

【答案】D

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方．根據(jù)乘方的意義，進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：A、∵?28的底數(shù)是2，∴此選項(xiàng)的說法錯誤，故不符合題意；

B、∵25表示5個2相乘，∴此選項(xiàng)的說法錯誤，故不符合題意；

C、∵(?3)3表示3個(?3)相乘，?33表示3個3相乘的相反數(shù)，∴它們表示的意義不同，故不符合題意；

3

D、∵?2的底數(shù)是2，∴此選項(xiàng)的說法正確，故此選項(xiàng)符合題意，

3

故選：D．

2．（2023七年級·全國·課堂例題）當(dāng)?＜0時，下列式子：①?2023<0；②?2023=?(??)2023；③?2024=

(??)2024；④?2023=??2023中，成立的有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

【答案】A

第19頁共26頁.

【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶次冪是正數(shù)即可解答．

【詳解】解：當(dāng)?＜0時，

?2023是負(fù)數(shù)，故①正確；

?(??)2023=?2023，(??)2023=??2023故②正確，④錯誤；

?2024=(??)2024，故③正確；

綜上所述，①②③正確．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號規(guī)律，掌握有理數(shù)乘方的符號規(guī)律：一個負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，

一個負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．

3．（2023七年級·浙江溫州·期中）小明的????文檔中有一個如圖1的實(shí)驗(yàn)中學(xué)????，他想在這個????文

檔中用1000個這種????，設(shè)計(jì)出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復(fù)制?粘貼”（用鼠標(biāo)選中????，右鍵點(diǎn)

擊“復(fù)制”，然后在本????文檔中“粘貼”)的方式完成，則他需要使用“復(fù)制?粘貼”的次數(shù)至少為（）

A．9次B．10次C．11次D．12次

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)復(fù)制粘貼呈2倍的速度增加，所以求2

的冪運(yùn)算．

【詳解】解：∵210=1024>1000，29=512<1000，

故選：B

2

．（廣東梅州一模）計(jì)算：2×?4÷(?2)=（）

42023··(?3)3

A．?8B．8C．?4D．4

【答案】B

【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)運(yùn)算，先計(jì)算乘方，再按照有理數(shù)運(yùn)算順序計(jì)算即可．

2

【詳解】解：原式=9×+2=8

3

故選：B．

5．（2023七年級·湖南郴州·期末）按下列程序計(jì)算，如果輸入?1，則輸出的結(jié)果是（）

第20頁共26頁.

A．4B．5C．?8D．?4

【答案】A

【分析】本題考查了程序流程圖與有理數(shù)混合運(yùn)算；

先根據(jù)程序流程圖列出算式，再根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和法則計(jì)算即可．

【詳解】解：輸入?1時，

可得(?1+3)×(?2)÷(?1)3

=2×(?2)÷(?1)

=?4÷(?1)

=4，

故選：A．

6．（2023七年級·上?！るA段練習(xí)）計(jì)算：(?1)100?110+(?2)2+(?22)=．

【答案】0

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，先計(jì)算乘方，再計(jì)算加減法即可得到答案．

【詳解】解：(?1)100?110+(?2)2+(?22)

=1?1+4+(?4)

=1?1+4?4

=0，

故答案為：0．

7．（2023七年級·四川成都·期中）已知a，b滿足2?=?3=64，那么?+?=．

【答案】10

【分析】本題考查有理數(shù)的乘方等知識．利用有理數(shù)的乘方求出?，?的值，再代入計(jì)算即可求解．

【詳解】解：∵2?=?3=64，

∴?=6，?=4，

∴?+?=10．

故答案為：10．

3

．（七年級上海專題練習(xí)）底數(shù)是，指數(shù)是的冪寫成．

82023··52

2

【答案】3

5

第21頁共26頁.

【分析】本題考查了冪的概念，根據(jù)冪的書寫規(guī)則即可求解．注意分?jǐn)?shù)為底時，需要把底數(shù)加括號．

2

【詳解】解：底數(shù)為3，指數(shù)為，寫成3，

525

2

故答案為：3．

5

9．（2023七年級·河北石家莊·期中）若（x+1）2+|y﹣2020|＝0，則2020﹣xy＝．

【答案】2019

【分析】直接利用絕對值和偶次方的性質(zhì)得出x，y的值，代入計(jì)算即可得出答案．

【詳解】解：∵(x+1)2+|y-2020|=0，

∴x+1=0，y-2020=0，

解得：x=-1，y=2020，

所以2020-xy=2020-(-1)2020=2020-1=2019．

故答案為：2019．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，能夠正確得出x，y的值是解題的關(guān)鍵．

10．（2023七年級·上海黃浦·期中）若規(guī)定用[?]表示不超過?的最大的整數(shù)，如[3.27]=3，[?1.4]=?2，

3

計(jì)算：?+×3．

[4.6][?3]14[?0.5]

【答案】6

【分析】本題主要考查了新定義，含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，根據(jù)新定義得到?+3×3

[4.6][?3]14[?0.5]

=4?(?3)+1×(?0.125)，據(jù)此計(jì)算求解即可。

【詳解】解：∵規(guī)定用[?]表示不超過?的最大的整數(shù)，

∴?+3×3

[4.6][?3]14[?0.5]

=4?(?3)+1×(?0.125)

=4+3+1×(?1)

=7?1

=6，

故答案為：6．

11．（2023七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）計(jì)算：

(1)?12÷2?2×(?3)+(?1)2024

(2)(?3)2×5?(?2)3÷8

第22頁共26頁.

【答案】(1)1

(2)46

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．

（1）先運(yùn)算有理數(shù)的乘方，然后運(yùn)算有理數(shù)的乘除，最后運(yùn)算加減計(jì)算即可；

（2）先運(yùn)算有理數(shù)的乘方，然后運(yùn)算有理數(shù)的乘除，最后運(yùn)算加減計(jì)算即可

【詳解】（1）解：?12÷2?2×(?3)+(?1)2024

=?6?(?6)+1

=?6+6+1

=1；

（2）(?3)2×5?(?2)3÷8

=9×5?(?8)÷8

=45?(?1)

=46

12．（2023七年級·全國·課后作業(yè)）判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：

（1）(?6)12；

（2）(?0.0033)9；

（3）?58；

11

（）2．

4?5

【答案】（1）正；（2）負(fù)；（3）負(fù)；（4）負(fù)

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的符號規(guī)律解答即可．

【詳解】解：（1）(?6)12的指數(shù)是12，為偶數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，可知(?6)12的結(jié)果為正；

（2）(?0.0033)9的指數(shù)是9，為奇數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，可知(?0.0033)9的結(jié)果為負(fù)；

（3）?58表示的是58的相反數(shù)，根據(jù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，可知58的結(jié)果為正，所以?58的結(jié)果為負(fù)；

1111

（）2的指數(shù)是，為奇數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，可知2的結(jié)果為負(fù)．

4?511?5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號規(guī)律，掌握負(fù)數(shù)的偶次冪為正、奇次冪為負(fù)成為解答本題的關(guān)

鍵．