專題2.2 有理數的減法【十大題型】（舉一反三）（人教版2024）（原卷版）

專題2.2有理數的減法【十大題型】

【人教版2024】

【題型1有理數的減法概念理解】........................................................................................................................1

【題型2有理數的減法運算】................................................................................................................................2

【題型3有理數的加減混合運算】........................................................................................................................2

【題型4有理數的加減中的簡便運算】................................................................................................................3

【題型5根據有理數的加減法法則判斷不等關系】............................................................................................4

【題型6有理數的加減混合運算的實際應用】....................................................................................................5

【題型7有理數加減法中的規(guī)律問題】................................................................................................................6

【題型8有理數的加減運算與相反數、絕對值等的綜合應用】........................................................................7

【題型9有理數加減運算中的新定義問題】........................................................................................................7

【題型10由有理數的加減運算解決數軸上兩點間的距離問題】........................................................................8

知識點1：有理數的減法

1.定義：已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法。

注意：（1）任意兩個數都可以進行減法運算。

（2）幾個有理數相減，差仍為有理數，差由兩部分組成：①性質符號；②數的絕對值。

2.法則：減去一個數，等于加這個數的相反數，即有：a-b=a+(-b)。

注意：將減法轉化為加法時，注意同時進行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數變?yōu)樗南喾磾怠?/p>

將加減法統(tǒng)一成加法運算，適當應用加法運算律簡化計算.

【題型1有理數的減法概念理解】

【例1】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習）已知?,?兩個有理數，那么a+b與a必定是（）

A．?+?>?B．?+?<?C．?+?<??D．以上都不對

【變式1-1】（23-24七年級·江蘇無錫·階段練習）下面說法中，正確的是（）

A．兩個有理數的和一定比這兩個有理數的差大；

B．兩個有理數的差一定小于被減數；

C．零減去一個有理數等于這個有理數的相反數；

第1頁共9頁.

D．絕對值相等的兩數之差為零．

【變式1-2】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習）?、?是有理數，如果|?+?|=???，那么對于結論：（1）

?一定不是負數；（2）?可能是負數，其中（）．

A．只有（1）正確B．只有（2）正確

C．（1）、（2）都正確D．（1）、（2）都不正確

【變式1-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）給出下列結論：①若?<0,?>0，則???<0；②若

?>0,?<0，則???>0；③若?<0,?<0，則??(??)>0；④若?<0,?<0，且|?|>|?|，則???<0．其

中正確的是．（填序號）

【題型2有理數的減法運算】

【例2】（23-24七年級·新疆烏魯木齊·階段練習）下列算式正確的是（）

A．(?4)?5=?1B．0?(?3)=3C．(?5)?(?5)=?10D．|5?3|=?(5?3)

【變式2-1】（23-24·山西呂梁·模擬預測）計算(?3)?(?2)的結果是（）

A．1B．?1C．5D．?5

【變式2-2】（23-24七年級·新疆烏魯木齊·階段練習）若等式(?2)□(?1)=?2+1成立，則□中應填入的運

算符號是（）

A．+B．?C．×D．÷

【變式2-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）已知3與一個數的差為?5，則這個數為．

知識點2：有理數的加減混合運算

1）根據有理數減法法則，將減法全部轉化為加法；

2）觀察式子是否可以運用加法運算律進行簡便計算；

3）根據有理數加法法則進行計算得出結果。

注意：1）減法轉化為加法的時候注意符號的改變；2）多利用運算律，能使計算更加簡便。

【題型3有理數的加減混合運算】

【例3】（23-24·廣西柳州·三模）大約公元前2200年在我國出現(xiàn)的“洛書”中就有關于幻方的記錄．在如圖

所示的三階幻方中，填寫了一些數和漢字（其中每個漢字都表示一個數）．若處于每行、每列及每條對角

線上的3個數之和都相等，則“中”“國”“夢”這三個字表示的數之和是（）

第2頁共9頁.

A．3B．1C．0D．?1

【變式3-1】（23-24七年級·陜西渭南·期中）數軸上某一個點表示的數為a，若將這個點先向右移動4個單

位，再向左移動5個單位，此時這個點表示的數為?2，則a的值為()

A．?1B．?2C．1D．2

13321

【變式3-2】（23-24七年級·河北滄州·階段練習）已知?=3?2?，?=?2?1，?=??，

141516141516141516

則下列判斷正確的是（）

A．?=?=?B．?=?≠?C．?≠?=?D．?≠?≠?

【變式3-3】（23-24七年級·江蘇宿遷·階段練習）如圖，數軸上有一個動點從原點出發(fā)，沿數軸跳動，每次

向正方向或負方向跳1個單位，經過5次跳動，該動點落在表示數3的點上（允許重復過此點），則質點

的不同運動方案共有（）

A．2種B．3種C．4種D．5種

【題型4有理數的加減中的簡便運算】

11111111

【例4】（23-24七年級·廣東深圳·期中）+++++++再加上（）后，結果就是1．

248163264128256

．1．1．1．1

A64B128C256D512

【變式4-1】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）在正整數中，前50個偶數的和減去前50個奇數的和所得的結

果是（）

A．50B．?50C．100D．?100

【變式4-2】（23-24七年級·河南南陽·階段練習）計算

41

(1)?31++5+(?0.5)++3；

2656

(2)(?8)?(?15)+(?9)?(?12)；

第3頁共9頁.

(3)15?+55?+33+?21?+64；

6767

(4)?41+3.25+(?6)+41

|2|2

【變式4-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算．

1111111

(1)2004?2003+2002?2001+?+2?1+

2323232

(2)2023?2020+2017?2014+2011?2018+……+16?13+10?7+4

【題型5根據有理數的加減法法則判斷不等關系】

【例5】（23-24七年級·江蘇鹽城·期末）實數a、b在數軸上的對應點位置如圖所示，下列結論中不正確的

是（）

A．?<?2B．|?|>?C．???>0D．?+?>0

【變式5-1】（23-24·福建泉州·二模）如圖，數軸上兩點M、?所對應的實數分別為?、?，則?+?的結果

可能是（）．

1

A．1B．C．0D．－1

2

【變式5-2】（23-24·山東濰坊·三模）實數a在數軸上的對應點的位置如圖所示，若實數b滿足??<?<?，

則b的值不可以是（）

A．?2B．?1C．0D．1

【變式5-3】（23-24七年級·河北廊坊·期中）如圖，將數軸上?4與8兩點間的線段六等分，五個等分點所

對應的數依次為?1，?2，?3，?4，?5，則下列結論不正確的是（）

第4頁共9頁.

A．?3>0B．|?1|=|?3|C．?1+?5=0D．?1+?2+?3+?4+?5>0

【題型6有理數的加減混合運算的實際應用】

【例6】（23-24七年級·廣東茂名·階段練習）某年，某河流發(fā)生流域性洪水，將其水位下降記為負，上漲

記為正，甲地和乙地的七日水位變化情況如下表所示（單位；m）

時間

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

地區(qū)

甲地+0.72+4.11?2.55?2.05?0.83?0.40?0.57

乙地?0.29?0.19+0.51+0.02?1.15+1.29?0.91

下列說法中正確的是（）

A．在第四天時，乙地的水位達到七天中的最高峰

B．乙地第七天后的最終水位比初始水位高

C．這七天內，甲地的水位變化比乙地小

D．甲地第七天后的最終水位比初始水位低

【變式6-1】（23-24七年級·江西吉安·期末）一輛公交車上原有14人，經過3個站點時乘客上、下車情況

如下（上車人數記為正，下車人數記為負，單位：人）：此時

公交車上有人．

【變式6-2】（23-24七年級·江蘇鹽城·階段練習）如圖是某品牌鞋服店推出的優(yōu)惠活動，小明看中了一雙鞋

子和一雙原價80元的襪子，若購買這雙鞋子和這雙襪子所付的費用與單獨購買這雙鞋子所付的費用相同，

則這雙鞋子的原價可能是（）．

A．269元B．369元C．569元D．669元

【變式6-3】（23-24七年級·全國·競賽）有一架天平，刻度模糊不清，其他性能均正常．有1克，2克，5

克，10克砝碼各一個，那么可以稱出不同整克數的物體共有多少種？請分類說明理由．

第5頁共9頁.

【題型7有理數加減法中的規(guī)律問題】

【例7】（23-24七年級·福建漳州·階段練習）一只小球落在數軸上的某點?0，第一次從?0向左跳1個單位

到?1，第二次從?1向右跳2個單位到?2，第三次從?2向左跳3個單位到?3，第四次從?3向右跳4個單位到

?4…，若小球按以上規(guī)律跳了2?次時，它落在數軸上的點?2?所表示的數恰好是?+2，則這只小球的初始

位置點?0所表示的數是．

【變式7-1】（23-24七年級·江蘇淮安·階段練習）【信息提取】

在有些情況下，不需要計算出結果也能把絕對值符號去掉．例如：|6+7|=6+7，|6?7|=7?6，

|7?6|=7?6，|?6?7|=6+7．

【初步體驗】

（1）根據上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式(不要計算出結果)：

①|7?21|=；

②7?7=．

|1718|

【拓廣應用】

（2）計算：1?1+1?1+1?1+?+1?1+1?1

|32||43||54||20212020||20222021|

【變式7-2】（23-24七年級·江蘇常州·期中）小明同學將2B鉛筆筆尖從原點?開始沿數軸進行連續(xù)滑動，

先將筆尖沿正方向滑動1個單位長度完成第一次操作，再沿負方向滑動2個單位長度完成第二次操作；又

沿正方向滑動3個單位長度完成第三次操作；再沿負方向滑動4個單位長度完成第四次操作，…，以此規(guī)

律繼續(xù)操作，經過第99次操作后筆尖停留在點?處，則點?對應的數是（）．

A．0B．?10C．?25D．50

【變式7-3】（23-24七年級·河北邢臺·階段練習）下面是按一定規(guī)律得到的一列數．

111

第1個數：?1+1=?1；第2個數：?1?1=?；

22333

11

第3個數：?1+1=?1；第4個數：?1?1=___________；

4455

11

第5個數：?1+1=?1；第6個數：?1?1=___________；

6677

(1)將上述內容進行填空；

(2)按照以上規(guī)律，用算式表示出第7，第8和第10個數；

第6頁共9頁.

(3)將（2）中的三個數用“<”連接起來．

【題型8有理數的加減運算與相反數、絕對值等的綜合應用】

【例8】（23-24七年級·河北邢臺·階段練習）已知a的相反數是它本身，b是最大的負整數，則a，b的絕

對值的和比a，b的和（）

A．大1B．小1C．大2D．小2

211

【變式8-1】（23-24七年級·全國·單元測試）列式計算：1的相反數與的和的絕對值，加上?3，和是多

324

少？

【變式8-2】（23-24七年級·安徽合肥·期末）若|?|=4，|?|=2，且?+?的絕對值與它的相反數相等，則?+?

的值是（）

A．?2B．?6C．?2或?6D．2或6

【變式8-3】（23-24七年級·安徽池州·期末）已知a是最大的負整數的相反數，|?+4|=2，且

|??5|+|??3|=0．式子?????+?的值為．

【題型9有理數加減運算中的新定義問題】

【例9】（23-24七年級·山西太原·階段練習）已知：[?]表示不超過x的最大整數．例：[4.8]=4，[?0.8]

=?1．現(xiàn)定義：{?}=??[?]，例：{1.5}=1.5?[1.5]=0.5，則{2.1}+{?3.6}?{5}=．

【變式9-1】（23-24七年級·江西南昌·階段練習）對數學有興趣的狗蛋兒，心血來潮之際私下規(guī)定了一種新

的數學運算符號“”，并定義“么么噠”運算：??=(?+?)?(???)，那么根據狗蛋兒的規(guī)則，求出1314

520=．

【變式9-2】（23-24七年級·河南平頂山·期末）探究規(guī)律，完成相關題目

小明說：“我在有理數內定義了一種新的運算，叫*（加乘）運算．”

然后他寫出了一些按照*（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：

(+5)*(+2)=+7;(?3)*(?5)=+8;

(?3)*(+4)=?7;(+5)*(?6)=?11;

0*(+8)=8;(?6)*0=6

小紅看了這些算式后說：“我知道你定義的*（加乘）運算的運算法則了．”

聰明的你也明白了嗎？請完成以下問題：

第7頁共9頁.

(1)歸納*（加乘）運算的運算法則：

兩數進行*（加乘）運算時，__________

特別地，0和任何數進行*（加乘）運算，或任何數和0進行*（加乘）運算，__________

(2)計算：(?2)*[0*(?1)]=__________．（括號的作用與有理數運算中的作用一致）

(3)我們知道加法有交換律和結合律，這兩種運算律在有理數的*（加乘）運算中還適用嗎？請你任選一個運

算律，判斷它在*（加乘）運算中是否適用，并舉例驗證．（舉一個例子即可）

(4)若有理數?滿足等式?*(?1)=4，則?的值為__________．

【變式9-3】（23-24七年級·重慶渝中·期末）對于一個四位正整數，若滿足百位數字與十位數字之和是個位

數字與千位數字之和的兩倍，則稱該四位正整數為“希望數”，例如：四位正整數3975，百位數字與十位數

字之和是16，個位數字與千位數字之和8，而16是8的兩倍，則稱四位正整數3975為“希望數”，類似的，

四位正整數2934也是“希望數”．

根據題中所給材料，解答以下問題：

（1）請寫出最小的“希望數”是________；最大的“希望數”是_______；

（2）對一個各個數位數字均不超過6的“希望數m，設?=????，若個位數字是千位數字的2倍，且十位

數字和百位數字均是2的倍數，定義：?(?)=|(?+