2025屆河北省張家口一中高三沖刺模擬數(shù)學試卷含解析

2025屆河北省張家口一中高三沖刺模擬數(shù)學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學趣味．著名數(shù)學家傅立葉研究了樂聲的本質，他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學表達式來描述，它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項是基本音，其余的為泛音．由樂聲的數(shù)學表達式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)構成樂音的是（）A． B． C． D．2．已知集合，，則()A． B． C． D．3．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D．去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元4．設是等差數(shù)列的前n項和，且，則()A． B． C．1 D．25．已知，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．6．若，則“”的一個充分不必要條件是A． B．C．且 D．或7．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點橫坐標的和為（）A． B． C． D．9．函數(shù)在上的最大值和最小值分別為（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-210．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．311．過直線上一點作圓的兩條切線，，，為切點，當直線，關于直線對稱時，（）A． B． C． D．12．下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域為的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)滿足約束條件，設的最大值與最小值分別為，則_____．14．已知全集，集合則_____．15．在矩形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動點，且滿足，則的最大值為________.16．等腰直角三角形內(nèi)有一點P，，，，，則面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.（1）求直線和圓的普通方程；（2）已知直線上一點，若直線與圓交于不同兩點，求的取值范圍.18．（12分）的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，點為邊的中點，且，求的面積.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當時，要使恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.（1）求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程；（2）設與，軸交于，兩點，且線段的中點為.若射線與，交于，兩點，求，兩點間的距離.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.22．（10分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.2、D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.3、D【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質，對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.4、C【解析】

利用等差數(shù)列的性質化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，，.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質，屬于基礎題.5、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數(shù)，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.6、C【解析】，∴，當且僅當時取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C．7、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則化簡可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結果.【詳解】由題可知原式為，該復數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【點睛】本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的分類，屬基礎題.8、B【解析】

根據(jù)兩個函數(shù)相等，求出所有交點的橫坐標，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標的和，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).9、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對值，所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象，結合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意，，作出函數(shù)的圖象如下所示；由函數(shù)圖像可知，當時，有最大值，當時，有最小值.故選：B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎題.10、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項公式,進而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當時,取最大即可求得結果.【詳解】因為，所以，即，又，所以公差，所以，即，因為函數(shù)，在時，單調(diào)遞減，且；在時，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.11、C【解析】

判斷圓心與直線的關系，確定直線，關于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質求出，得，從而得．【詳解】如圖，設圓的圓心為，半徑為，點不在直線上，要滿足直線，關于直線對稱，則必垂直于直線，∴，設，則，，∴,．故選：C．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查直線的對稱性，解題關鍵是由圓的兩條切線關于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．12、B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結果.【詳解】對于，圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則在定義域上單調(diào)遞增，且值域為，正確；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)單調(diào)遞增，但值域為，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫出可行域，平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得最大值以及最小值，進而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當直線過點時，取得最大值7；過點時，取得最小值2，所以.【點睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫出可行域；其次是求得線性目標函數(shù)的基準函數(shù)；接著畫出基準函數(shù)對應的基準直線；然后通過平移基準直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)補集的定義求解即可.【詳解】解：．故答案為．【點睛】本題主要考查了補集的運算,屬于基礎題.15、【解析】

利用平面直角坐標系，設出點E，F(xiàn)的坐標，由可得，利用數(shù)量積運算求得，再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標系，如圖（1）所示：設，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當直線經(jīng)過點時，取得最大值.故答案為：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼担瑢儆诨A題.16、【解析】

利用余弦定理計算，然后根據(jù)平方關系以及三角形面積公式，可得結果.【詳解】設由題可知：由，，，所以化簡可得：則或，即或由，所以所以故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，仔細觀察，細心計算，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】分析：（1）用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程，由公式可化極坐標方程為直角坐標方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，其中參數(shù)的絕對值表示直線上對應點到的距離，因此有，，直接由韋達定理可得，注意到直線與圓相交，因此判別式＞0，這樣可得滿足的不等關系，由此可求得的取值范圍.詳解：（1）直線的參數(shù)方程為，普通方程為，將代入圓的極坐標方程中,可得圓的普通方程為，（2）解：直線的參數(shù)方程為代入圓的方程為可得：（*），且由題意，,.因為方程（*）有兩個不同的實根，所以，即，又，所以.因為，所以所以.點睛：（1）參數(shù)方程化為普通方程，一般用消參數(shù)法，而消參法有兩種選擇：一是代入法，二是用公式；（2）極坐標方程與直角坐標方程互化一般利用公式；（3）過的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）中參數(shù)具有幾何意義：直線上任一點對應參數(shù)，則.18、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因為為的中線,所以,兩邊同時平方可得,故.因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用,屬于中檔題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（Ⅱ）構造函數(shù)，對參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，得，即恒成立.令，則.①當時，因為，不合題意.②當時，令，得，，顯然.令，得或；令，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.當時，，，所以，只需，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，以及利用導數(shù)研究恒成立問題，屬綜合中檔題.20、（1），；（2）1.【解析】

（1）利用正弦的和角公式，結合極坐標化為直角坐標的公式，即可求得曲線的直角坐標方程；先寫出曲線的普通方程，再利用公式化簡為極坐標即可；（2）先求出的直角坐標，據(jù)此求得中點的直角坐標，將其轉化為極坐標，聯(lián)立曲線的極坐標方程，即可求得兩點的極坐標，則距離可解.【詳解】（1）：可整理為，利用公式可得其直角坐標方程為：，：的普通方程為，利用公式可得其極坐標方程為（2）由（1）可得的直角坐標方程為，故容易得，，∴，∴的極坐標方程為，把代入得，.把代入得，.∴，即，兩點間的距離為1.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的轉化，涉及參數(shù)方程轉化為普通方程，以及在極坐標系中求兩點之間的距離，屬綜合基礎題.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）通過證明面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）根據(jù)面，將問題轉化為求到面的距離，利用等體積法求點面距離即可.【詳解】（1）因為棱柱是直三棱柱，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點所以//即