專題2.1 認識無理數(shù)+平方根-重難點題型（學生版）-八年級數(shù)學上冊舉一反三系列（北師大版）

專題2.1認識無理數(shù)+平方根-重難點題型【北師大版】【知識點1無理數(shù)的概念】無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).常見類型：①特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．②含有π的絕大部分數(shù)，如2π．【題型1無理數(shù)的概念】【例1】（2020秋?太平區(qū)期末）下列各數(shù)：﹣1，π3，1.1212212221…（每兩個1之間增加1個2），﹣3.1415，227，﹣0.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2020秋?鼓樓區(qū)校級月考）在314，π，13，﹣0.23，1.131331333133331…（兩個1之間依次多一個3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】（2020秋?張家港市期中）下列一組數(shù)：﹣8，2.7，312，π2，-0.6?，0，2，0.010010001A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1-3】（2020秋?梁溪區(qū)期中）在-74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型2無理數(shù)的應用】【例2】（2020春?寧城縣期末）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫直角△ABC，使點C在格點上，且另外兩條邊長均為無理數(shù)，滿足這樣條件的點C共個．【變式2-1】（2020秋?城陽區(qū)校級期末）假設如圖的方格紙中，每個小正方形的面積是2，則圖中的四條線段中，長度是無理數(shù)的有（）條．A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-2】（2020秋?建鄴區(qū)期中）下列正方形中，邊長為無理數(shù)的是（）A．面積為0.25的正方形 B．面積為2的正方形 C．面積為94的正方形 D．面積為16【變式2-3】公元前500多年前，數(shù)學各學派的學者都認為世界上的數(shù)只有整數(shù)和分數(shù)，直到有一天，大數(shù)學家畢達哥拉斯的一個名叫希帕索斯的學生，在研究1和2的比例中項時（若1：x＝x：2，那么x叫1和2的比例中項），他怎么也想不出這個比例中項值．后來，他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x，于是由畢達哥拉斯定理x2＝12+12＝2，他想x代表對角線的長，而x2＝2，那么x必定是確定的數(shù)，這時他又為自己提出了幾個問題：（1）x是整數(shù)嗎？為什么不是？（2）x可能是分數(shù)嗎？是，能找出來嗎？不是，能說出理由嗎？親愛的同學，你能幫他解答這些問題嗎？【知識點2平方根的概念及表示】①定義：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也稱為②表示方法：正數(shù)a的正的平方根記作a，負的平方根記作-a，正數(shù)a的兩個平方根記作±負根號a，其中a叫做被開方數(shù).【題型3平方根的概念及表示】【例3】（2021春?景縣月考）“49的平方根是±2A．49=±23 B．49=23 C．±【變式3-1】（2020秋?惠山區(qū)校級月考）下列語句正確的是（）A．10的平方根是100 B．100的平方根是10 C．﹣2是﹣4的平方根 D．49的平方根是±【變式3-2】（2020春?潮南區(qū)期末）實數(shù)1﹣3a有平方根，則a可以取的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式3-3】（2021?九龍坡區(qū)期中）若﹣2xay與5x3yb的和是單項式，則（a+b）2的平方根是（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【知識點3平方根的性質(zhì)】一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．【題型4平方根的性質(zhì)】【例4】（2021春?陽谷縣月考）已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正數(shù)a的平方根，則a的值是（）A．3 B．64 C．3或-15 D．64【變式4-1】（2020春?孟村縣期中）已知正實數(shù)x的兩個平方根是m和m+b．（1）當b＝8時，m的值是；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，則x＝．【變式4-2】（2020春?高新區(qū)校級期中）已知2x﹣y的平方根為±3，﹣4是3x+y的一個平方根，求x﹣y的平方根．【變式4-3】（2021春?東城區(qū)校級期中）已知正實數(shù)x的平方根是n和n+a（a＞0）．（1）當a＝6時，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．【知識點4開平方】求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方．【題型5利用開平方解方程】【例5】（2021春?巴楚縣月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣5=4（2）3x2﹣15＝0；（3）2（x+1）2＝128．【變式5-1】（2021春?岷縣月考）求下列各式中x的值．（1）（2x﹣1）2＝25．（2）x2-12149【變式5-2】（2020秋?甘州區(qū)校級期中）求滿足下列各式的未知數(shù)x．（1）（x﹣1）2﹣49＝0；（2）18(x-2)2-【變式5-3】（2020春?中山區(qū)期末）定義：等號兩邊都是整式，只含有?個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的?程，叫做?元?次?程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是?元?次?程．根據(jù)平?根的特征，可以將形如x2＝a（a≥0）的?元?次?程轉(zhuǎn)化為?元?次?程求解．如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±9，可得x1＝3，x2＝﹣3．解決問題：（1）解方程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±4，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝．∴x1＝4，x2＝．（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．【知識點5算術(shù)平方根的概念】正數(shù)a有兩個平方根±a，我們把正數(shù)a的正的平方根a，叫做a的算術(shù)平方根【題型6算術(shù)平方根的概念】【例6】（2021春?紅橋區(qū)期中）8116的算術(shù)平方根是【變式6-1】（2021春?鄖西縣月考）下列說法正確的是（）A．﹣4是（﹣4）2的算術(shù)平方根 B．±4是（﹣4）2的算術(shù)平方根 C．16的平方根是﹣2 D．﹣2是16的一個平方根【變式6-2】（2021春?巴南區(qū)期中）已知99225=315，x=3.15，則A．9.9225 B．0.99225 C．0.099225 D．0.0099225【變式6-3】（2020秋?玄武區(qū)期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分別為a，b，且a＞b，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)是5的平方根 B．b是5的平方根 C．a(chǎn)﹣1是5的算術(shù)平方根 D．b﹣1是5的算術(shù)平方根【知識點6算術(shù)平方根的性質(zhì)】①正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0；②負數(shù)沒有算術(shù)平方根.當a≥0時，a2③算術(shù)平方根具有雙重非負性：a≥0；a≥0【題型7算術(shù)平方根的非負性】【例7】（2021春?安寧市校級期中）若x-1+（y+2）2＝0，則（x+y）2021等于【變式7-1】（2021春?浦東新區(qū)月考）若x-1與|2x+y﹣6|互為相反數(shù)，則（x+y）2的平方根是．【變式7-2】（2021春?海淀區(qū)校級期中）當x＝時，代數(shù)式x-2+1取最小值為【變式7-3】（2021春?蜀山區(qū)校級期中）若a，b，c為實數(shù)，且|a+1|+b-1+（c﹣1）2＝0，則（abc）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【題型8算術(shù)平方根的應用】【例8】（2021春?武昌區(qū)期中）如圖，用兩個邊長為5cm的小正方形拼成一個大的正方形．（1）求大正方形的邊長；（2）若沿此大正方形邊長的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：3，且面積為48cm2？【變式8-1】（2021春?越秀區(qū)校級期中）如圖，有一個面積為400cm2的正方形．（1）正方形的邊長是多少？（2）若沿此正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為5：4，且面積為360cm2？若能，試求出剪出的長方形紙片的長與寬；若不能，試說明．【變式8-2】（2021春?天心區(qū)月考）某市在招商引資期間，把已倒閉的油泵廠出租給外地某投資商，該投資商為減少固定資產(chǎn)投資，將原來的400m2的正方形場地改建成300m2的長方形場地，且其長、寬的比為5：3．（1）求原來正方形場地的周長．（2）如果把原來的正方形場地的鐵柵欄圍墻全部利用，圍成新場地的長方