專題12 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題 帶解析

2022-2023學(xué)年華師大版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題12反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2023九上·雙流期末）如圖，直線與x軸相交于點A，與函數(shù)的圖象交于點B，C，點B的橫坐標(biāo)是8，點C的橫坐標(biāo)是，則不等式組的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【規(guī)范解答】解：觀察圖象可得，當(dāng)時，直線位于軸的上方、函數(shù)圖象的下方，不等式組的解是.故答案為：B.【思路點撥】根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，且在x軸上方部分所對應(yīng)的x的范圍即可.2．（2分）（2022九上·包頭期末）已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點．如圖，過點B作直線與函數(shù)的圖象交于點A，與x軸交于點C，且，過點A作直線，交x軸于點F，則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】D【規(guī)范解答】解：∵圖象過點，代入，∴，，∴反比例函數(shù)解析式為，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，則，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴．∴把代入，∴．∴，設(shè)直線解析式為，把，代入解析式得，?k+b=6?3k+b=2解得：，∴直線解析式為，當(dāng)時，，解得：，∴，，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，解得：．故答案為：D．

【思路點撥】由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，直接利用待定系數(shù)法求解即可；過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，則，證出，得出點A的坐標(biāo)，由，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得解。3．（2分）（2022八下·灌云期末）如圖，一次函數(shù)、為常數(shù)，與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，m），B（n，2）兩點，與坐標(biāo)軸分別交于，兩點．則△AOB的面積為（）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】A【規(guī)范解答】解：把A（1，m），B（n，2）分別代入y=，得m=4，n=2，∴A（1，4），B（2，2），將點A（1，4）和B（2，2）代入一次函數(shù)y=kx+b，得，解得．∴一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=-2x+6，令x=0，則y=-2x+6=6，∴M（0，6），∴S△AOB=S△BOM-S△AOM=×6×2-×6×1=3，故答案為：A．

【思路點撥】先求出點A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線解析式，再求出點M的坐標(biāo)，最后利用割補(bǔ)法求出△AOB的面積即可。4．（2分）（2022八下·東營期末）如圖，點A在x軸正半軸上，點B在第二象限內(nèi)，直線AB交y軸于點F，軸，垂足是C，反比例函數(shù)的圖象分別交BC，AB于點，E，若，則△ABC的面積為（）A． B．8 C．9 D．10【答案】C【規(guī)范解答】解：∵點D（-4，1）在反比例函數(shù)的圖象上，BC⊥x軸，∴k=-4×1=-4，C（-4，0），∴，OC=4，過點E作EH⊥x軸于H，則EH∥BC∥y軸，∴OA：OH：HC=AF：EF：BE，∵，OC=4，∴OA=OH=HC=2，即AC=6，∴點E的橫坐標(biāo)為-2，又點E在反比例函數(shù)的圖象上，將x=-2代入得y=2，∴EH=2，∵EH∥BC，∴∠AHE=∠ACB，又∠EAH=∠BAC，∴△AHE∽△ACB，∴即，∴BC=3，∴△ABC的面積為×3×6=9，故答案為：C.【思路點撥】先求出AC=6，再求出△AHE∽△ACB，最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可。5．（2分）（2022九上·鎮(zhèn)海區(qū)開學(xué)考）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，以為邊作矩形ABCD，點在軸上．雙曲線經(jīng)過點，與直線交于點，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意，直線與x軸交于C，與y軸交于D，分別令，，得，，即，，又AD⊥CD且過點D，所以直線AD所在函數(shù)解析式為：，令，得，即，作BH⊥AC于H，四邊形ABCD是矩形，，，在和中∴△AOD≌△CHB（AAS），，，，∴B點的坐標(biāo)為又B在雙曲線雙曲線上，，解得，，，直線CD的解析式為，解，得和，故點的坐標(biāo)為.故答案為：D.【思路點撥】易得C（2m，0），D（0，m），直線AD的解析式為y=2x+m，令y=0，求出x的值，可得點A的坐標(biāo)，作BH⊥AC于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC，∠DAO=∠BCH，證明△AOD≌△CHB，得到BH=OD=m，CH=OA=m，然后求出OH，表示出點B的坐標(biāo)，代入雙曲線解析式中可得m的值，然后聯(lián)立直線CD的解析式與雙曲線的解析式求出x、y，進(jìn)而可得點E的坐標(biāo).6．（2分）（2022八下·樂山期末）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點，與軸，軸分別相交于、兩點，連接、．過點作軸于點，交于點．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．若，則的值為（）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【規(guī)范解答】解：過點B作BN⊥x軸于點N，過點A作AM⊥y軸于點M，

∵一次函數(shù)y=-x+b與反比例函數(shù)的圖象都關(guān)于直線y=x對稱，

∴AD=BC，OD=OC，

∴DM=AM=BN=CN，

∴S矩形AMOE=4，

∴S△AOE=2=S△AOF+S△OEF，

設(shè)S△AOF=s，

∴S△OEF=2-s；

∵，

∴S四邊形EFBC=4-s，

∴△OBC和△OAD的面積都為6-2s，

∴△ADM的面積為2（2-s），

∴S△ADM=2S△OEF，

∵由對稱性易證△AOM≌△BON，

∵DM=AM=BN=CN，

∴EF=AM=NB，

∴EF是△NBO的中位線，

∴點N（2，m，0），

將點B（2m，）代入y=-x+m+得

，

整理得m=（取正值）.

故答案為：B.

【思路點撥】過點B作BN⊥x軸于點N，過點A作AM⊥y軸于點M，可得到一次函數(shù)y=-x+b與反比例函數(shù)的圖象都關(guān)于直線y=x對稱，利用對稱性可知AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，利用反比例函數(shù)的幾何意義可得到矩形AMOE的面積，可推出S△AOE=2=S△AOF+S△OEF，設(shè)S△AOF=s，可表示出△OEF的面積，四邊形EFBC，△OBC，△ADM的面積，由此可推出S△ADM=2S△OEF；由對稱性易證△AOM≌△BON，再證明EF是△NBO的中位線，可表示出點N，B的坐標(biāo)；然后將點B（2m，）代入y=-x+m+，可得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值.7．（2分）（2022八下·海州期末）兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點在的圖象上，軸于點，交的圖象于點，軸于點，交的圖象于點，軸于點，當(dāng)點在圖象上運動時，以下結(jié)論：①與始終平行；②與始終相等；③四邊形的面積不會發(fā)生變化；④的面積等于四邊形的面積.其中一定正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【規(guī)范解答】解：①正確；∵A，B在上，∴S△AOC=S△BOE∴OC?AC=OE?BE，∴OC?AC=OE?BE，∵OC=PD，BE=PC，∴PD?AC=DB?PC，∴∴AB//CD，故此選項正確；②錯誤，不一定，只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時滿足PA=PB；③正確，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA面積為定值，則四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化，故此選項正確；④正確，∵△ODB的面積=?OCA的面積=，∴△ODB與△OCA的面積相等，同理可得：S△ODB=S△OBE，∵△OBA的面積=矩形OCPD的面積-S△ODB-S△BAP-S△AOC，四邊形ACEB的面積=矩形OCPD的面積-S△ODB-S△BAP-S△OBE.∴△OBA的面積=四邊形ACEB的面積，故此選項正確，故一定正確的是①③④故答案為：C【思路點撥】①根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義得S△AOC=S△BOE，于是OC·AC=OE·BE，根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形可得四邊形OCPD是矩形，由矩形的性質(zhì)可得OC=PD，BE=PC，于是可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得AB∥CD；

②由題意可知，只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時滿足PA=PB，其它時候不成立；

③根據(jù)四邊形PAOB的面積的構(gòu)成S四邊形PAOB=S矩形OCPD-S△BOD-S△OCA；而S矩形OCPD、S△BOD、S△OCA為定值，所以可得四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；

④根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義得S△AOC=S△BOE，所以可得S△AOB=S四邊形ACBE.8．（2分）（2022·鎮(zhèn)海區(qū)模擬）如圖，反比例函數(shù)圖象的表達(dá)式為（），圖象與圖象關(guān)于直線對稱，直線與交于，兩點，當(dāng)為中點時，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【規(guī)范解答】解：由對稱性可得函數(shù)l2的解析式為：，令，整理得，k2x2?2k2x＋k1＝0，設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m，點B的橫坐標(biāo)為n，則m和n是k2x2?2k2x＋k1＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出m＋n＝2①，mn＝，∵點A是OB的中點，∴2m＝n②，由①②可知，m＝，n＝，∴mn＝，故A正確.故答案為：A.【思路點撥】由對稱性可得函數(shù)l2的解析式為，聯(lián)立可得方程k2x2?2k2x＋k1＝0，設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m，點B的橫坐標(biāo)為n，則m和n是k2x2?2k2x＋k1＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出m＋n＝2①，mn＝，由點A是OB的中點可得2m＝n②，聯(lián)立①②可求出m、n的值，從而求出結(jié)論.9．（2分）（2021·南通）平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線相交于A，B兩點，其中點A在第一象限.設(shè)為雙曲線上一點，直線，分別交y軸于C，D兩點，則的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【規(guī)范解答】解：∵直線與雙曲線相交于A，B兩點，∴聯(lián)立可得：解得：或∵點A在第一象限，∴，.∵為雙曲線上一點，∴.解得：.∴.設(shè)直線AM的解析式為，將點與點代入解析式可得：解得：∴直線AM的解析式為.∵直線AM與y軸交于C點，∴.∴.∴.∵，∴.設(shè)直線BM的解析式為，將點與點代入解析式可得：解得：∴直線BM的解析式為.∵直線BM與y軸交于D點，∴.∴.∴.∵，∴.∴=4.故答案為：B.【思路點撥】聯(lián)立與為方程組，求解即得A、B坐標(biāo)，將代入中，可得，利用待定系數(shù)法求出AM解析式，從而求出點C坐標(biāo)，即得OC的長，利用待定系數(shù)法求出BM解析式，從而求出點D坐標(biāo)，即得OD的長，從而求出OC-OD的值.10．（2分）（2021八下·遂寧期末）如圖，直線與軸、軸相交于，兩點，與的圖象相交于，兩點，連接，.下列結(jié)論：①；②不等式的解集是或；③；④.其中正確的結(jié)論是（）A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】C【規(guī)范解答】解：①由圖象可知：，∴，故正確；②從圖象上觀察可得，不等式的解集是或，故錯誤；④將，兩點代入得：，即：，則，故正確；③將，代入得：，解得：，∵，∴，令，解得：，令，解得：，∴，，，，∴，，，故正確；∴正確的有：①③④故答案為：C.【思路點撥】利用函數(shù)圖象可知，可對①作出判斷；由點A，B的橫坐標(biāo)，觀察函數(shù)圖象可得到不等式的解集，可對②作出判斷；將點A，B的坐標(biāo)代入兩函數(shù)解析式，可得到，可對④作出判斷；同時可得到，由x=0求出對應(yīng)的y的值，由y=0求出對應(yīng)的x的值，可得到點P，Q的坐標(biāo)，即可得到OQ，OP的長；然后利用三角形的面積公式分別求出△AOP和△BOQ的面積，比較大小，可對③作出判斷；綜上所述可得到正確結(jié)論的序號.閱卷人二、填空題(共10題；共20分)得分11．（2分）（2023九上·通川期末）如圖，正比例函數(shù)，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象在同一直角坐標(biāo)系中，若，則自變量的取值范圍是.【答案】x＜-1或0＜x＜1【規(guī)范解答】解：由圖象可知，當(dāng)或時，雙曲線落在直線上方，且直線落在直線上方，即，所以若，則自變量x的取值范圍是x＜-1或0＜x＜1故答案為：x＜-1或0＜x＜1【思路點撥】根據(jù)圖象，找出雙曲線在直線y1的上方，且直線y1在直線y2上方部分所對應(yīng)的x的范圍即可.12．（2分）（2022九上·成都月考）已知一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點P（a，b），則的值是．【答案】【規(guī)范解答】解：∵一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點P（a，b），

∴，

∴2b-a=-4，ab-3，

∴.

故答案為：

【思路點撥】將兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)分別代入兩函數(shù)解析式，可得到2b-a=-4，ab-3；再將分式通分可得到，然后整體代入求值.13．（2分）（2022八上·嘉定期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點為直線和雙曲線的一個交點，點B在軸負(fù)半軸上，且點B到軸的距離為3，如果在直線上有一點，使得，那么點的坐標(biāo)是．【答案】或或或【規(guī)范解答】過點B作軸，∵點為直線和雙曲線的一個交點，，直線解析式為，雙曲線的解析式為，∵點B在軸負(fù)半軸上，且點B到軸的距離為3，∴，，，，∵點，，，，設(shè)，①當(dāng)點P在A點左側(cè)時，由題意得，解得，點的坐標(biāo)是；②當(dāng)點P在A點左側(cè)時，由題意得，解得，點的坐標(biāo)是；故答案為：或．

【思路點撥】先利用待定系數(shù)法得出兩函數(shù)的解析式，再根據(jù)中心對稱性得出直線和雙曲線的一個交點，由對稱性得出OA=OC，分兩種情況：①當(dāng)點P在A點左側(cè)時，②當(dāng)點P在A點左側(cè)時，分別列出方程求解即可得出點的坐標(biāo)。14．（2分）（2022九上·歷城期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，．當(dāng)時，x的取值范圍是．【答案】x＜0或1＜x＜4【規(guī)范解答】解：由圖象知，當(dāng)和在之間時，，，當(dāng)時，的取值范圍是x＜0或1＜x＜4故答案為：x＜0或1＜x＜4．

【思路點撥】由圖象知，當(dāng)和在之間時，據(jù)此即可求解.15．（2分）（2022九上·鎮(zhèn)海區(qū)開學(xué)考）如圖，直線與雙曲線的圖象在第一象限內(nèi)交于點，過點的另一直線交雙曲線于第三象限內(nèi)的點，則不等式的解集是．【答案】x＜-4或0＜x＜2【規(guī)范解答】解：直線與雙曲線的圖象在第一象限內(nèi)交于點A，A點的橫坐標(biāo)是，把代入解析式，解得，則A的坐標(biāo)是．把代入，解得，在中，令，則，即B的坐標(biāo)是：．根據(jù)圖象得到：不等式的解集是x＜-4或0＜x＜2故答案為：x＜-4或0＜x＜2.【思路點撥】將x=2代入y=x中求出y的值，得到點A的坐標(biāo)，將點A的坐標(biāo)代入y=中求出k的值，得到反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)中令y=-1，求出x的值，得到點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)y=mx+n的圖象在反比例函數(shù)圖象下方部分所對應(yīng)的x的范圍即可.16．（2分）（2022八下·柯橋期末）如圖，平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于A，C兩點與x軸交于B，D兩點，連接AC，點A，B對應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD＝2，S△AOC=5，則點C的坐標(biāo)是.【答案】(6，2)【規(guī)范解答】解：如圖，設(shè)OC交AB于點H，

∵點A，B對應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD＝2，

∴AB=5-2=3，

∵平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于A，C兩點與x軸交于B，D兩點，

設(shè)點A，

∵BD=2

∴，

∴點C

設(shè)OC的函數(shù)解析式為y=kx，

∴

解之：

∴

當(dāng)時，

∴H

∴

∵S△AOC=5

∴即

解之：

∴

解之：m=12

經(jīng)檢驗m=12是方程的解；

∴

∴點C（6，2）.

故答案為：（6，2）.

【思路點撥】設(shè)OC交AB于點H，利用已知可得到AB的長，由此設(shè)點A，可得到OD的長，利用反比例函數(shù)解析式表示出點C的坐標(biāo)；設(shè)OC的函數(shù)解析式為y=kx，利用待定系數(shù)法表示出k的值，可得到正比例函數(shù)解析式，再求出點H的坐標(biāo)，可求出AH的長；利用已知S△AOC=5，可求出AH的長，由此可得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，可得到點C的坐標(biāo).17．（2分）（2022八下·諸暨期末）反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=mx+n的圖象交于兩點（a，a-1），（a-7，-a），則不等式>mx+n的解集為【答案】或【規(guī)范解答】解：由題意得：a(a-1)=-a(a-7)，

解得：a=4，

∴圖象交于兩點（4，3），（-3，-4），

∴k=3×4=12，

∴反比例函數(shù)y=，

∵一次函數(shù)y=mx+n，

∴，

解得：，

∴y=x，

則y=x，

如圖，

.

當(dāng)或時，

雙曲線在直線的上方，

∴不等式>mx+n的解集為：或.

故答案為：或.

【思路點撥】根據(jù)反比例函數(shù)的坐標(biāo)特點xy=k求出反比例函數(shù)式，從而求出交點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)式，則可在同一坐標(biāo)系中畫出兩個圖象，根據(jù)圖象得出雙曲線在直線的上方時x的范圍即可.18．（2分）（2022九上·溫州開學(xué)考）函數(shù)y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的圖象如圖所示，則以下4個結(jié)論：①兩函數(shù)圖象的交點A的坐標(biāo)為（2，2）；②當(dāng)x＞2時，y2＞y1；③直線x＝1與y1，y2依次交于C，B兩點，則BC＝3；④當(dāng)x逐漸增大時，y1隨著x的增大而增大y2隨著x的增大而減?。渲姓_結(jié)論的序號是．【答案】①③④【規(guī)范解答】解：①∵兩個函數(shù)圖象的交點為A，令y1＝y(tǒng)2，∴x＝，∴x＝2，代入y1＝x（x≥0），得：y＝2，∴A（2，2），故本選項正確；②當(dāng)x＞2時，y1＞2，y2＜2，故本選項錯誤；③當(dāng)x＝1時，y1＝1，y2＝4，∴BC＝y(tǒng)2﹣y1＝4﹣1＝3，故本選項正確；④根據(jù)圖象可知，y1隨x的增大而增大，y2隨x的增大而減小，故本選項正確．所以①③④正確.故答案為：①③④.【思路點撥】令y1＝y(tǒng)2求出x、y的值，得到點A的坐標(biāo)，據(jù)此判斷①；根據(jù)圖象以及點A的坐標(biāo)可判斷②；令x=1，求出y1、y2的值，進(jìn)而判斷③；根據(jù)圖象可直接判斷④.19．（2分）（2022八下·嘉興期末）如圖，直線l1：y交反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象于點A，交y軸于點B，將直線l1向下平移個單位后得到直線l2，l2交反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象于點C．若△ABC的面積為，則k的值為．【答案】6【規(guī)范解答】解：如圖，作BH⊥l2于H，

y向下平移個單位后得到直線l2：y，

∵直線l1：y交y軸于點B點，

∴B（），

∵將直線l1向下平移個單位后得到直線l2，

∴BM=，

∴BH=BMsin∠BMH=×=，

設(shè)A（m，），（m>0），

∴AB=，

∴S△ABC=AB·BH=，

則，

解得：m=，

∴，

∴A，

∴k=×4=6.

故答案為：6.

【思路點撥】作BH⊥l2于H，先求出l1與y軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)直線的幾何變換得出BM的長，再根據(jù)三角函數(shù)求出BH，設(shè)A（m，），根據(jù)兩點間距離公式把AB長表示出來，再根據(jù)△ABC的面積為建立方程求出m值，從而求出A點坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)的坐標(biāo)特點求k值即可.20．（2分）（2022·上思模擬）以矩形OABC的頂點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，使點A、C分別在x、y軸的正半軸上，雙曲線的圖象經(jīng)過BC的中點D，且與AB交于點E，過OC邊上一點F，把△BCF沿直線BF翻折，使點C落在矩形內(nèi)部的一點處，且，若點的坐標(biāo)為（2，4），則直線BF的解析式為.【答案】【規(guī)范解答】解：連接OD、OE，設(shè)BC＝BC′＝m，則EC′＝m﹣2.∵CD＝BD，∴S△CDO＝＝S矩形ABCO，∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCO，∴AE＝EB，∵C′(2，4)，∴AE＝EB＝4，在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，∴m2＝42+(m﹣2)2，∴m＝5，∴E(5，4)，∴B(5，8)，則BC＝5，延長EC′交y軸于G，則EG⊥y軸，∴C′G＝2，CG＝4，∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即(4﹣FG)2＝22+FG2，∴FG＝，∴OF＝4+＝，F(xiàn)(0，)設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，則解得∴故答案為：.【思路點撥】連接OD、OE，設(shè)BC＝BC′＝m，則EC′＝m﹣2，由題意和反比例函數(shù)的k的幾何意義可得S△CDO＝=S矩形ABCD＝S△AOE，于是AE=BE，在Rt△BEC′中，用勾股定理可得關(guān)于m的方程，解方程求得m的值，可得B、E兩點的坐標(biāo)；延長EC′交y軸于G，則EG⊥y軸，在Rt△FGC′中，用勾股定理可得關(guān)于FG的方程，解方程求得FG的值，則易得點F的坐標(biāo)，設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法可求解.閱卷人三、解答題(共8題；共60分)得分21．（5分）（2022八下·長沙競賽）設(shè)為非零實數(shù)，兩個函數(shù)與的圖象相交于，兩點，若，求的值.【答案】解：由題意可令，整理得：，∴，解得：，由韋達(dá)定理可得：，∴，解得：.【思路點撥】聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式可得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合△≥0可得k的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-2，x1x2=-k，則|x1-x2|===，求解可得k的值.22．（5分）（2019八下·寬城期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于點，軸于點B．平移直線，使其經(jīng)過點B，得到直線l，求直線l所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【答案】解：將代入中，，∴∵軸于點B，．將代入中，，解得∴設(shè)直線l所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．將代入上式，得，解得．∴直線l所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．故答案為：．【思路點撥】求出A點的坐標(biāo)，求出B點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)的解析式，最后求出一次函數(shù)的解析式即可．23．（7分）（2018九上·深圳期中）如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線與直線y=?x?(k+1)在第二象限的交點，AB⊥x軸于B且S△ABO=。（1）（3分）求這兩個函數(shù)的解析式。（2）（4分）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標(biāo)和△AOC的面積。【答案】（1）解：由得，，由圖象在第二、四象限得，k=?3。因此，反比例：；一次函數(shù)：y=?x+2。（2）解：依題意得，解這個方程組得。因此。綜上，A(-1，3)，C(3，-1)，△AOC的面積是4?！舅悸伏c撥】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義，結(jié)合△ABD的面積即可得出k的值，進(jìn)而即可得出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析四；

（2）將反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式組合成方程組，求出x和y的值，即可得出兩個交點A和C的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式求出面積即可.24．（7分）（2023九上·漢臺期末）如圖，在矩形中，A，C兩點分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于B，D兩點，已知點D的橫坐標(biāo)為2.（1）（3分）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）（4分）在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點P，使得，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）解：∵在雙曲線上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為：，當(dāng)時，，∴；∵，在直線上，∴，解得：，∴；（2）解：存在；∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則：，∵，∴，解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴存在點或，使.【思路點撥】（1）將B（-1，2）代入y=中可求出m的值，據(jù)此可得反比例函數(shù)的解析式，令x=2，求出y的值，可得點D的坐標(biāo)，然后將B（-1，2）、D（2，-1）代入y=kx+b中求出k、b的值，據(jù)此可得一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合點B的坐標(biāo)可得A（-1，0）、C（0，2），則AB=2，BC=1，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，根據(jù)S△PAB=4S△BCD結(jié)合三角形的面積公式可求出a的值，然后代入反比例函數(shù)解析式中求出y的值，據(jù)此可得點P的坐標(biāo).25．（9分）（2023九上·成華期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點.（1）（2分）求k與m的值；（2）（3分）點為x軸正半軸上的一點，且的面積為，求a的值.（3）（4分）在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在一點Q，使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；不存在，請說明理由.【答案】（1）解：將代入一次函數(shù)得，，解得：，∴，將代入得，，將代入反比例函數(shù)得，，故答案為：3，6；（2）解：當(dāng)時，，∴，由題意可得，，解得：；（3）解：存在，坐標(biāo)為或或【規(guī)范解答】解：（3）由（2）得，，，，當(dāng)是對角線時，根據(jù)對角線互相平分可得，，，∴；當(dāng)是對角線時，根據(jù)對角線互相平分可得，，，∴；當(dāng)是對角線時，根據(jù)對角線互相平分可得，，，∴；綜上所述Q的坐標(biāo)為：或或.【思路點撥】（1）將C（-4，0）代入y=kx+2中可求出k的值，據(jù)此可得一次函數(shù)的解析式，然后將A（2，n）代入求出n的值，得到點A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式中就可求出m的值；

（2）令x=0，求出y的值，可得點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式以及面積間的和差關(guān)系就可求出a的值；

（3）易得點A、B、P的坐標(biāo)，然后分AB是對角線、AP是對角線、BP是對角線，根據(jù)對角線互相平分進(jìn)行解答.26．（9分）（2023九上·雙流期末）如圖，點和點是反比例函數(shù)圖象上的兩點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，連接.已知與的面積滿足.（1）（2分）求的面積和的值；（2）（3分）求直線的表達(dá)式；（3）（4分）過點的直線分別交軸和軸于兩點，，若點為的平分線上一點，且滿足，請求出點的坐標(biāo).【答案】（1）解：∵一次函數(shù)y2=ax+2與y軸交于C，∴C(0，2)，∴OC=2，∴，∵，∴，∵點B在反比例函數(shù)上，∴；（2）解：∵點A(1，m)在反比例函數(shù)上，∴m=3，∴A(1，3)，將A(1，3)代入一次函數(shù)y2=ax+2得，a+2=3，∴a=1，∴一次函數(shù)（3）解：設(shè)B(a，b)，當(dāng)點N在y軸正半軸上時，作BH⊥y軸于H，∴BH∥OM，∴△NBH∽△NMO，∴，∵NB=2MB，∴，∴，ON=3b，∵OP2=OM·ON，∴，∵點P為∠MON的平分線上一點，∴∠MON=90°，∴點P到x軸和y軸的距離相等為，∴，當(dāng)點N在y軸負(fù)半軸上時，如圖，同理可得，，ON=OH=b，∴，∵點P為∠MON的平分線上一點，∴∠MON=90°，∴點P到x軸和y軸的距離相等為，∴綜上所述，或.【思路點撥】（1）令一次函數(shù)解析式中的x=0，求出y的值，可得點C的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求出S△OAC，結(jié)合已知條件可得S△OBD，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得k的值；

（2）將A（1，m）代入反比例函數(shù)解析式中可得m的值，據(jù)此可得點A的坐標(biāo)，然后代入一次函數(shù)解析式中可求出a的值，進(jìn)而可得直線AC的解析式；

（3）設(shè)B(a，b)，當(dāng)點N在y軸正半軸上時，作BH⊥y軸于H，證明△NBH∽△NMO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OM=a，ON=3b，根據(jù)OP2=OM·ON可得OP的值，求出點P到x軸和y軸的距離，進(jìn)而可得點P的坐標(biāo)；當(dāng)點N在y軸負(fù)半軸上時，同理解答即可.27．（9分）（2022九上·成都月考）如圖，已知直線與反比例函數(shù)（，）的圖象分別交于點A和點，與軸交于點，與軸交于點，且點A坐標(biāo)為.（1）（2分）求直線與反比例函數(shù)的解析式；（2）（3分）若點是軸上一點，當(dāng)面積為6時，求點的坐標(biāo).（3）（4分）將直線向右平移2個單位得到直線，將雙曲線位于下方部分沿直線翻折，若翻折后的圖像（圖中虛線部分）與直線有且只有一個公共點，求的值.【答案】（1）解：將代入得，直線解析式為，（2）解：聯(lián)立，解得，點坐標(biāo)為，，把代入得，把代入得，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為為等腰直角三角形，過點作的平行線交軸于點，作于點，則，，，為等腰直角三角形，，點坐標(biāo)為，設(shè)解析式為，將代入得：，解得，直線解析式為，令解得，把代入得，把代入得，點坐標(biāo)為或.（3）解：將直線向右平移2個單位后解析式為，直線，反比例函數(shù)關(guān)于直線對稱，如圖，作直線，交雙曲線于點，交直線于點，交直線于點，令，解得，點坐標(biāo)為，令，解得，點坐標(biāo)為，令，解得(舍)或，點坐標(biāo)為，由題