專題11.9 三角形章末重難點(diǎn)突破（學(xué)生版）2022年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（人教版）

專題11.9三角形章末重難點(diǎn)突破【人教版】【考點(diǎn)1三角形的三邊關(guān)系】【例1】（2021春?沙坪壩區(qū)校級期末）一個三角形兩邊長分別為3，7，若它的周長是小于16的整數(shù)，則第三邊的長為（）A．1 B．3 C．5 D．7【變式1-1】（2021春?九江期末）小明現(xiàn)有兩根4cm、9cm的木棒，他想以這兩根木棒為邊釘一個三角形木框，現(xiàn)從5cm，7cm，9cm，11cm，13cm，17cm的木棒中選擇第三根（木棒不能折斷），則小明有三種選擇方案．【變式1-2】（2021春?西城區(qū)校級期中）長度為20厘米的木棍，截成三段，每段長度為整數(shù)厘米，請寫出一種可以構(gòu)成三角形的截法，此時三段長度分別為，能構(gòu)成三角形的截法共有種．（只考慮三段木棍的長度）【變式1-3】（2021春?嵩縣期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)BD，請判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)2三角形的穩(wěn)定性】【例2】（2021春?長春期末）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【變式2-1】（2021春?道里區(qū)期末）工程師設(shè)計屋頂時通常把鋼架屋頂設(shè)計成三角形，這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是．【變式2-2】（2021春?洛江區(qū)期末）要使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，至少要再釘2根木條．【變式2-3】（2021秋?岳池縣期末）如圖這是一個由七根長度相等木條釘成的七邊形木框．為使其穩(wěn)定，請用四根木條（長短不限）將這個木框固定不變形，請你設(shè)計出三種方案．【考點(diǎn)3三角形中三線的應(yīng)用】【例3】（2021春?遷安市期末）如圖，在△ABC中，AD，AE分別是邊CB上的中線和高，AE＝6cm，S△ABD＝12cm2，則BC的長是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式3-1】（2021春?貴陽期末）如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．若△ABC的面積為60，BD＝5，則△BDE的BD邊上的高是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-2】（2021春?寬城區(qū)期末）如圖，△ABC的面積為30，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EF⊥BC于點(diǎn)F．（1）求△BDE的面積．（2）若EF＝5，求CD的長．【變式3-3】（2021春?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交CD、CA于點(diǎn)F、E．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）說明：∠CEF＝∠CFE．（3）若AC＝3CE、AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面積分別表示為S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝36，則S△CEF﹣S△BDF＝（僅填結(jié)果）．【考點(diǎn)4三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】【例4】（2021春?道里區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，BD，CE相交于點(diǎn)F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，則∠EFD的度數(shù)是（）A．115° B．120° C．135° D．105°【變式4-1】（2021春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點(diǎn)N，將紙片沿著BN對折一次使得點(diǎn)A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點(diǎn)C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°【變式4-2】（2021春?興隆縣期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，可以與C重合但不與點(diǎn)B重合，AD平分∠BAP，BD平分∠ABP．（1）當(dāng)點(diǎn)P與C重合時，求∠ADB的度數(shù)；（2）當(dāng)AP⊥BC時，直接寫出∠ADB的度數(shù)；（3）直接寫出∠ADB的取值范圍．【變式4-3】（2021春?鐵西區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，點(diǎn)P是邊AB上的一個動點(diǎn)，（1）如圖，若∠ACB＝90°，①當(dāng)∠DPE＝75°時，求∠ADP+∠BEP的度數(shù)；②當(dāng)∠DPE＝60°時，則∠ADP+∠BEP＝°；（2）若∠ACB＝m，當(dāng)∠DPE＝n時，請直接用含m，n的式子表示∠ADP+∠BEP的度數(shù)．【考點(diǎn)5直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用】【例5】如圖，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，垂足為P，如果∠A＝α，那么∠ABP和∠PCD分別等于多少？【變式5-1】如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD與∠DHE的度數(shù)．【變式5-2】（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判斷△ADE的形狀是什么？為什么？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，點(diǎn)C，B，E在同一直線上，∠A與∠D有什么關(guān)系？為什么？【變式5-3】（2021春?興化市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于點(diǎn)F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度數(shù)；（2）求證：∠CEF＝∠CFE．【考點(diǎn)6三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】【例6】（2021春?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，連接AP，若∠BPC＝40°，則∠NAP的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式6-1】（2021春?曲周縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝48°，點(diǎn)I是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)．（1）∠BIC＝．（2）若點(diǎn)E是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACD的平分線的交點(diǎn)，則∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系為；（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠ACB＝時，CE∥AB．【變式6-2】（2021春?沙坪壩區(qū)期中）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點(diǎn)E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度數(shù)；（2）證明：∠BAC＝∠B+2∠E．【變式6-3】（2021春?寬城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，∠AEB＝∠ABC．（1）如圖1，作∠BAC的平分線交CB、BE于D、F兩點(diǎn)．求證：∠EFD＝∠ADC．（2）如圖2，作△ABC的外角∠BAG的平分線，交CB的延長線于點(diǎn)D，延長BE、DA交于點(diǎn)F，試探究（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．【考點(diǎn)7多邊形的內(nèi)角與外角綜合】【例7】（2021春?溧陽市期末）若多邊形的每個內(nèi)角都相等，且它的每一個外角是它的鄰補(bǔ)角的15A．十邊形 B．十二邊形 C．十五邊形 D．十六邊形【變式7-1】（2021春?寶豐縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點(diǎn)O，則∠AOG的度數(shù)為（）A．144° B．126° C．120° D．108°【變式7-2】（2020秋?東川區(qū)期中）一個多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍少180°，求（1）這個多邊形的邊數(shù)；（2）該多邊形共有多少條對角線．【變式7-3】（2020秋?大武口區(qū)期末）如果一個多邊形的各邊都相等且各角也都相等，那么這樣的多邊形叫做正多邊形，如正三角形就是等邊三角形，正四邊形就是正方形，如下圖，就是一組正多邊形，（1）觀察上面每個正多邊形中的∠α，填寫下表：正多邊形邊數(shù)3456…n∠α的度數(shù)…（2）根據(jù)規(guī)律，計算正八邊形中的∠α的度數(shù)；（3）是否存在正n邊形使得∠α＝21°？若存在，請求出n的值，若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)8角度計算探究題】【例8】（2021春?遷安市期末）嘉琪在學(xué)習(xí)過程中，對教材的一個有趣的問題做如下探究：【習(xí)題回顧】已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝40°，角平分線BO、CO交于點(diǎn)O．求∠BOC的度數(shù)．（1）請直接寫出∠BOC＝．【變式思考】（2）若∠A＝α，請猜想∠BOC與α的關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）已知：如圖2，在△ABC中，角平分線BO、CO交于點(diǎn)O，OD⊥OB，交邊BC于點(diǎn)D，作∠ABE的平分線交CO的延長線于點(diǎn)F．若∠F＝β，猜想∠BAC與β的關(guān)系，并說明理由．【變式8-1】（2021春?橋西區(qū)期末）請認(rèn)真思考，完成下面的探究過程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分線，∠B＝60°，∠C＝40°．【解決問題】如圖1，若AD⊥BC于點(diǎn)D，求∠DAE的度數(shù)；【變式探究】如圖2，若F為AE上一個動點(diǎn)（F不與E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D時，則∠DFE＝10°；【拓展延伸】如圖2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y(tǒng)°，（且∠B＞∠C），若F為線段AE上一個動點(diǎn)（F不與E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D時，試用x，y表示∠DFE的度數(shù)，并說明理由．【變式8-2】（2020春?福山區(qū)期中）直線在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧！【問題探究】（1）如圖1，請直接寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）將圖1變形為圖2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請寫出證明過程；（3）將圖1變形為圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請寫出證明過程．【變式拓展】（4）將圖3變形為圖4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是．【變式8-3】（2020春?江都區(qū)期中）【知識回顧】：如圖①，在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，我們知道∠A+∠B+∠C＝180°．如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D為BC延長線上一點(diǎn)，則∠ACD為△ABC的一個外角．請寫出∠ACD與∠A、∠B的關(guān)系，直接填空：∠ACD＝．【初步運(yùn)用】：如圖③，點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC延長線上一點(diǎn)．（1）若∠A＝70°，∠DBC＝150°，則∠ACB＝°．（直接寫出答案）