2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識清單

第一章集合與常用邏輯用語、不等式一、集合1.集合的含義與表示(1)集合的概念把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合.集合三要素:確定性、互異性、無序性.(2)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集,N*或N+表示正整數(shù)集,Z表示整數(shù)集,Q表示有理數(shù)集,R表示實數(shù)集.(3)集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是a∈M,或者a?M,兩者必居其一.(4)集合的表示法①自然語言法:用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法:把集合的所有元素一一列舉出來,寫在花括號內(nèi)表示集合.③描述法:{x|x具有的性質(zhì)},其中x為集合的代表元素.④圖示法:用數(shù)軸或Venn圖來表示集合.(5)集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含任何元素的集合叫做空集().2.集合間的基本關(guān)系(1)子集、真子集、集合相等名稱記號意義子集A?B(或B?A)A中的任一元素都屬于B真子集AB(或BA)A?B,且B中至少有一元素不屬于A集合相等A=BA中的任一元素都屬于B,B中的任一元素都屬于A(2)已知集合A有n(n≥1)個元素,則它有2n個子集,2n-1個真子集,2n-1個非空子集,2n-2個非空真子集.3.集合的基本運算(1)并集:一般地,由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作A∪B.(2)交集:一般地,由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B.(3)補集:?UA={x|x∈U,且x?A}.二、常用邏輯用語1.充分條件、必要條件與充要條件的概念(若A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q})若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件A?Bp是q的充分不必要條件p?q且qpABp是q的必要不充分條件pq且q?pBAp是q的充要條件p?qA=Bp是q的既不充分也不必要條件pq且qp—2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題:?x∈M,p(x),它的否定:?x∈M,﹁p(x).(2)存在量詞命題:?x∈M,p(x),它的否定:?x∈M,﹁p(x).全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.三、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1.兩個實數(shù)比較大小的方法作差法a-2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性:如果a=b,那么b=a;性質(zhì)2傳遞性:如果a=b,b=c,那么a=c;性質(zhì)3可加(減)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性質(zhì)4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性質(zhì)5可除性:如果a=b,c≠0,那么ac=b3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性:a>b?b<a;性質(zhì)2傳遞性:a>b,b>c?a>c;性質(zhì)3可加性:a>b?a+c>b+c;性質(zhì)4可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;性質(zhì)5同向可加性:a>b,c>d?a+c>b+d;性質(zhì)6同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0?ac>bd;性質(zhì)7同正可乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2).四、基本不等式1.基本不等式:ab≤a+(1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0.(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.(3)其中a+b2叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),ab2.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)ba+ab≥(3)ab≤(a+b2(4)a2+b22≥以上不等式等號成立的條件均為a=b.3.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正數(shù),如果積xy等于定值P,那么當(dāng)x=y時,和x+y有最小值2P.(2)已知x,y都是正數(shù),如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時,積xy有最大值14S2注意:利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.五、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),頂點坐標為(m,n).(3)零點式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點.2.三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實根x1,x2(x1<x2)有兩相等實根x1=x2=-b沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠-b2Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}3.分式不等式與整式不等式(1)f(x)g((2)f(x)g((3)f(x)g(x4.簡單的絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集為(-a,a).第二章函數(shù)一、函數(shù)的概念及其表示1.函數(shù)的概念(1)函數(shù):設(shè)A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.(2)一個函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則稱這兩個函數(shù)相等.2.函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示方法:解析法、圖象法、列表法.3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).4.常用結(jié)論(1)直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有1個交點.(2)在函數(shù)的定義中,非空數(shù)集A,B,A即為函數(shù)的定義域,值域為B的子集.(3)分段函數(shù)雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函數(shù)的值域的并集.二、函數(shù)的基本性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義①增函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.②減函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)?x1,x2∈I且x1≠x2,有f(x1)-f(x2)x1-x2.函數(shù)的最值一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足:(1)?x∈D,都有f(x)≤M,(2)?x0∈D,使得f(x0)=M.那么稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值;類比定義可得y=f(x)的最小值.3.函數(shù)的奇偶性(1)偶函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).(2)奇函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).(3)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱.4.周期性(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.5.對稱性(1)對稱軸:f(a+x)=f(a-x)?f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱,f(a+x)=f(b-x)?對稱軸x=a+(2)對稱中心:f(a+x)+f(a-x)=2b?f(x)圖象關(guān)于點(a,b)對稱,f(a+x)+f(b-x)=0?對稱中心(a+b2(3)對稱性的四個常用結(jié)論①若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.②若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱.③若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+特別地,當(dāng)a=b,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)時,y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.④若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b,則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱.特別地,當(dāng)b=0,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0時,y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.6.常用結(jié)論(1)在公共定義域內(nèi),增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù).(2)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=1f(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:同增異減.(4)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(5)函數(shù)周期性的常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:①若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).②若f(x+a)=1f③若f(x+a)=-1f三、冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).2.常見的五種冪函數(shù)的圖象3.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義.(2)當(dāng)α>0時,冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(3)當(dāng)α<0時,冪函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減.(4)當(dāng)α為奇數(shù)時,y=xα為奇函數(shù);當(dāng)α為偶數(shù)時,y=xα為偶函數(shù).四、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)與指數(shù)運算(1)根式的性質(zhì)①(na)n=a(a使n②當(dāng)n是奇數(shù)時,nan=a;當(dāng)n是偶數(shù)時,na(2)分數(shù)指數(shù)冪的意義①amn=na②a-mn=1am③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.(3)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):ar·as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r,s∈R).2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)項目0<a<1a>1圖象性質(zhì)定義域:R值域:(0,+∞)過定點(0,1)當(dāng)x>0時,0<y<1;當(dāng)x<0時,y>1當(dāng)x>0時,y>1;當(dāng)x<0時,0<y<1在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)3.常用結(jié)論(1)指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(0,1),(1,a),(-1,1a)(2)如圖所示是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則c>d>1>a>b>0,即在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象越高,底數(shù)越大.五、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),記作lgN.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),記作lnN.2.對數(shù)的性質(zhì)與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì):loga1=0,logaa=1,aloga(2)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①loga(MN)=logaM+logaN;②logaMN=logaM-logaN③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)對數(shù)換底公式:logab=log3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)項目a>10<a<1圖象定義域(0,+∞)值域R性質(zhì)過定點(1,0),即x=1時,y=0當(dāng)x>1時,y>0;當(dāng)0<x<1時,y<0當(dāng)x>1時,y<0;當(dāng)0<x<1時,y>0在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.5.常用結(jié)論(1)logab·logba=1,logambn=nm(2)如圖給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象,則b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.(3)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(1,0),(a,1),(1a,-1)六、函數(shù)的應(yīng)用1.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對稱變換①y=f(x)y=-f(x).②y=f(x)y=f(-x).③y=f(x)y=-f(-x).④y=ax(a>0,且a≠1)y=logax(a>0,且a≠1).(3)翻折變換①y=f(x)y=|f(x)|.②y=f(x)y=f(|x|).2.函數(shù)的零點與方程的解(1)函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.(4)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個零點.(5)二分法對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.3.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0)4.常用結(jié)論(1)連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.(2)左右平移僅僅是相對x而言的,即發(fā)生變化的只是x本身,利用“左加右減”進行操作.如果x的系數(shù)不是1,需要把系數(shù)提出來,再進行變換.第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的概念及意義、導(dǎo)數(shù)的運算1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)記作f′(x0)或y′|xf′(x0)=limΔx→0(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))記作f′(x)或y′.f′(x)=y′=limΔx2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f′(x)=0f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f′(x)=αxα-1f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f′(x)=axlnaf(x)=exf′(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f′(x)=1f(x)=lnxf′(x)=14.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f′(x),g′(x)存在,則有[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);[f(x)g([cf(x)]′=cf′(x).5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=yu′·ux′,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.6.常用結(jié)論區(qū)分在某點處的切線與過某點的切線(1)在某點處的切線,該點一定是切點,切線有且僅有一條.(2)過某點的切線,該點不一定是切點,切線至少有一條.二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減f′(x)=0f(x)在區(qū)間(a,b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步,確定函數(shù)的定義域;第2步,求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點;第3步,用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間,列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負,由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.3.常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x∈(a,b)時,f′(x)≥0恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則當(dāng)x∈(a,b)時,f′(x)≤0恒成立.(2)若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則當(dāng)x∈(a,b)時,f′(x)>0有解;若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則當(dāng)x∈(a,b)時,f′(x)<0有解.三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點處的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,則a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點處的函數(shù)值都大,f′(b)=0;而且在點x=b附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,則b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.3.常用結(jié)論對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f′(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.第四章三角函數(shù)、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向不同分為(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.2.弧度制的定義和公式(1)定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度單位用符號rad表示.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|=lr角度與弧度的換算①1°=π180rad;②1rad=(180π弧長公式l=|α|r扇形面積公式S=12lr=123.任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)α是一個任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y),則sinα=y,cosα=x,tanα=yx(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣):設(shè)P(x,y)是角α終邊上異于頂點的任意一點,其到原點O的距離為r,則sinα=yr,cosα=xr,tanα=(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號:一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.常用結(jié)論(1)象限角(2)軸線角二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.(2)商數(shù)關(guān)系:sinαcosα=tanα(α≠kπ+π2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(下表中k∈Z)公式一sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanα公式二sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα公式三sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα續(xù)表公式五sin(π2-α)cos(π2-α)公式六Sin(π2+α)cos(π2+α)溫馨提示:誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“奇變偶不變,符號看象限”,其中的奇、偶是指π2三、三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.

(2)cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ.

(3)tan(α±β)=tanα2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα.

(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)tan2α=2tanα3.補充公式(1)輔助角公式:一般地,函數(shù)f(α)=asinα+bcosα(a,b為常數(shù))可以化為f(α)=a2+b2sin(α+)(其中tan=ba)或f(α)=a2+b2cos(α-)((2)降冪公式:cos2α=1+cos2α2,sin2α=(3)升冪公式:1-cosα=2sin2α2,1+cosα=2cos2α(4)半角公式:sinα2=±1-cosα2,costanα2=±1-cosα1+cos四、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR{x|x∈R,且x≠kπ+π2值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)增區(qū)間[2kπ-π22kπ+π2[2kπ-π,2kπ](kπ-π2kπ+π2減區(qū)間[2kπ+π2,2kπ+3π[2kπ,2kπ+π]無對稱中心(kπ,0)(kπ+π2,0(kπ2對稱軸方程x=kπ+πx=kπ無2.用“五點法”畫y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖時,要找五個關(guān)鍵點ωx+0ππ3π2πx0ππ3π2y=Asin(ωx+)0A0-A03.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的圖象的兩種途徑4.常用結(jié)論(1)對稱性與周期性①正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是12個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是1②正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是12(2)奇偶性若f(x)=Asin(ωx+)(A,ω≠0),則①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是=π2+kπ(k∈Z).②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是=kπ(k∈Z).(3)函數(shù)y=Asin(ωx+)圖象的對稱軸由ωx+=kπ+π2,k∈Z確定;對稱中心由ωx+=kπ,k∈Z確定其橫坐標.五、余弦定理和正弦定理1.余弦、正弦定理的內(nèi)容及其變形在△ABC中,若內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC的外接圓半徑,則定理余弦定理正弦定理內(nèi)容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosCasinA=bsin變形cosA=b2cosB=c2cosC=a(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(3)a+b+2.三角形常用面積公式(1)S=12a·ha(ha(2)S=12absinC=12acsinB=1(3)S=123.常用結(jié)論在△ABC中,常有以下結(jié)論:(1)a>b?A>B?sinA>sinB,cosA<cosB.(2)三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.(3)三角形的面積S=p(p-a)(p第五章平面向量、復(fù)數(shù)一、平面向量的概念及線性運算1.向量的有關(guān)概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小稱為向量的長度(模).(2)零向量:長度為0的向量,記作0.(3)單位向量:長度等于1個單位長度的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共線向量,規(guī)定:零向量與任意向量平行.(5)相等向量:長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算定義法則(或幾何意義)運算律加法:求兩個向量和的運算(1)交換律:a+b=b+a;(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法:求兩個向量差的運算.向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差a-b=a+(-b)數(shù)乘:求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|=|λ||a|;(2)當(dāng)λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時,λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb(λ,μ為實數(shù))3.常用結(jié)論(1)一般地,首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量,即A1A2→+A2A3(2)若F為線段AB的中點,O為平面內(nèi)任意一點,則OF→=12(OA→(3)若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點,則PA→+PB→+PC→=0?P為△ABC的重心,AP→=13(4)對于任意兩個向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.二、平面向量基本定理及坐標表示1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.(2)基底:若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.2.向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算的坐標表示及向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x1(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即為向量的坐標.②設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則AB→=(x2-x1,y2-y1|AB→|=(3.平面向量共線的坐標表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),若b≠0,則a,b共線?x1y2-x2y1=0.4.常用結(jié)論已知P為線段AB的中點,若A(x1,y1),B(x2,y2),則點P的坐標為(x1+x22,y1+y22);已知△ABC的頂點A(x1,y△ABC的重心G的坐標為(x1+x2三、平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用1.向量的夾角已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作OA→=a,OB→=b,那么∠AOB稱為向量a與b的夾角,向量夾角的取值范圍是2.投影向量如圖,設(shè)a,b是兩個非零向量,AB→=a,CD→=b,考慮如下變換:過AB→的起點A和終點B,分別作CD→所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1B1→3.平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a,b,θ為a,b的夾角,那么數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b.4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若e是單位向量,則a·e=e·a=|a|cosθ(θ為a,e的夾角).(2)a⊥b?a·b=0.(3)當(dāng)向量a,b同向時,a·b=|a||b|,當(dāng)向量a,b反向時,a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2或|a|=a·(4)cosθ=a·(5)|a·b|≤|a||b|.5.平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律:a·b=b·a;(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;(3)對任意λ∈R,(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).6.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標運算若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(θ為a,b的夾角),則:(1)a·b=x1x2+y1y2;(2)a⊥b?x1x2+y1y2=0;(3)cosθ=a·b|7.常用結(jié)論有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論(1)若a與b的夾角為銳角,則a·b>0;若a·b>0,則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角,則a·b<0;若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角或π.四、復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位,a,b分別是它的實部和虛部.當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,a+bi為實數(shù);當(dāng)b≠0時,a+bi為虛數(shù);當(dāng)a=0且b≠0時,a+bi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).(4)復(fù)數(shù)的模:設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),向量OZ→的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模或絕對值,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b);(2)復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量OZ→.3.復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.(2)復(fù)數(shù)加法的運算律:設(shè)z1,z2,z3∈C,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運算律:①交換律:z1+z2=z2+z1;②結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)復(fù)數(shù)乘法的運算律:設(shè)z1,z2,z3∈C,則復(fù)數(shù)乘法滿足以下運算律:①交換律:z1z2=z2z1;②結(jié)合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);③乘法對加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.4.常用結(jié)論(1)(1±i)2=±2i;1+i1-i(2)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).(3)關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程(不等式)在復(fù)平面上表示的圖形①a≤|z|≤b表示以原點O為圓心,以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);②|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.第六章數(shù)列一、數(shù)列的概念1.數(shù)列的定義一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.2.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.3.數(shù)列的遞推公式(1)如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.(2)由遞推公式求通項的常用方法:方法轉(zhuǎn)化過程適合題型累加法(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an-a1an+1-an=f(n),f(n)可求和累乘法a2a1×a3a2×…an+1構(gòu)造法由an+1=pan+q化為an+1+m=p(an+m),構(gòu)造{an+m}為等比數(shù)列,其中m=q(p≠1)an+1=pan+q4.數(shù)列的前n項和數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,則an=S二、等差數(shù)列1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表示為an+1-an=d(n∈N*),d為常數(shù).(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是A=a+b22.等差數(shù)列的有關(guān)公式等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.(1)通項公式:an=a1+(n-1)d.當(dāng)d≠0時,等差數(shù)列{an}的通項公式an=dn+(a1-d)是關(guān)于n的一次函數(shù).(2)前n項和公式:Sn=na1+n(n-1)2d=n(a1+an)2.當(dāng)d≠0時,等差數(shù)列{an3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差數(shù)列,公差為m2d.(5)若數(shù)列{an},{bn}均為等差數(shù)列且其前n項和分別為Sn,Tn,則anbn(6)關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)①若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,S奇S偶②若項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶4.【常用結(jié)論】(1)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.(2)在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,則Sn存在最大值;若a1<0,d>0,則Sn存在最小值.三、等比數(shù)列1.等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(顯然q≠0),定義的表達式為an(n∈N*);(2)等比中項:如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.即G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數(shù)列?G2=ab.2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式:an=a1qn-1.(2)前n項和公式:Sn=n3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則有ak·al=am·an.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數(shù)列,公比為qm.(3)當(dāng)q≠-1,或q=-1且n為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3n-S4.【常用結(jié)論】(1)等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成an=cqn,這里c≠0,q≠0.(2)等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).(3)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn是其前n項和.①若a1·a2·…·an=Tn,則Tn,T2nT②若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n,則S偶S奇=q;若項數(shù)為2n+1,則S四、數(shù)列求和數(shù)列求和的基本方法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項和公式Sn=n(a1+an)②等比數(shù)列的前n項和公式Sn=n(2)分組求和法:一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的,則求和時可用分組求和法,分別求和而后相加減.(3)裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消(注意消項規(guī)律),從而求得前n項和.(4)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解.(5)倒序相加法:如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.(6)并項求和法:一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.第七章立體幾何與空間向量一、立體圖形及其直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點延長線交于一點—軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓續(xù)表名稱圓柱圓錐圓臺球側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)—2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規(guī)則是:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩相互垂直,直觀圖中,x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°),z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段,直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺側(cè)=π(r′+r)l4.空間幾何體的表面積與體積公式幾何體名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=13S底·續(xù)表幾何體名稱表面積體積臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13h(S上+S下+S球S=4πR2V=43πR5.【常用結(jié)論】(1)與體積有關(guān)的幾個結(jié)論①一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.②底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理).(2)直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系:S直觀圖=24S原圖形,S原圖形=22S直觀圖二、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1.平面的基本事實(1)基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.(2)基本事實2:如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).(3)基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.2.基本事實1,2的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.3.空間兩直線的位置關(guān)系共面直線4.異面直線所成的角(1)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a,b′∥b,把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:(0°,90°].5.基本事實4和等角定理基本事實4(平行公理):平行于同一條直線的兩條直線平行.等角定理:如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.6.【常用結(jié)論】(1)過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.(2)分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.三、空間直線、平面的平行1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)a?α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)l?l∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)a∥β性質(zhì)定理兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行α∥β3.【常用結(jié)論】(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.四、空間直線、平面的垂直1.直線與平面垂直(1)定義:如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,則直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.(2)判定定理與性質(zhì)定理項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直a,b性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行a⊥α2.直線和平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,它們所成的角是90°,一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),它們所成的角是0°.(2)范圍:[0°,90°].3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.②二面角的平面角:過二面角棱上的任一點,在兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.③二面角的平面角α的范圍:[0°,180°].(2)判定定理與性質(zhì)定理項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直l?β續(xù)表定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直α⊥β4.【常用結(jié)論】(1)三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.(2)三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.(3)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.五、空間向量及空間位置關(guān)系1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中,具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量長度相等而方向相反的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理:對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積非零向量a,b的數(shù)量積a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).項目向量表示坐標表示數(shù)量積a·ba1b1+a2b2+a3b3共線a=λb(b≠0,λ∈R)a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3垂直a·b=0(a≠0,b≠0)a1b1+a2b2+a3b3=0模|a|a夾角余弦值cos<a,b>=a(a≠0,b≠0)cos<a,b>=a4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合,則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n,平面α的法向量為m,l?αl∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m=05.【常用結(jié)論】(1)三點共線:在平面中A,B,C三點共線?OA→=xOB→+y(2)四點共面:在空間中P,A,B,C四點共面?OP→=xOA→+yOB→六、空間向量的應(yīng)用1.向量法求空間角(1)異面直線所成的角若異面直線l1,l2所成的角為θ,其方向向量分別是u,v,則cosθ=|cos<u,v>|=|u(2)直線與平面所成的角如圖,直線AB與平面α相交于點B,設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,則sinθ=|cos<u,n>|=|u·n|u(3)平面與平面的夾角如圖,平面α與平面β相交,形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α,β的法向量分別是n1和n2,則平面α與平面β的夾角即向量n1和n2的夾角或其補角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=|n1·n22.向量法求距離(1)點到直線的距離如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點,P是直線l外一點,設(shè)AP→=a,則向量AP→在直線l上的投影向量AQ→=(a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ=|(2)點到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是AP→在直線l上的投影向量QP→的長度,因此PQ=|AP→·n|n||=第八章平面解析幾何一、直線與方程1.直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)規(guī)定:當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°.(3)范圍:直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義:我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα.

(2)計算公式①經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率k=y2②設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直線l上的兩點,則向量P1P2→=(x2-x1,y2-y1)以及與它平行的非零向量都是直線的3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y=kx+b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y-y0=k(x-x0)兩點式過兩點y-y與兩坐標軸均不垂直的直線續(xù)表名稱幾何條件方程適用條件截距式縱、橫截距xa+y不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直線4.兩條直線的位置關(guān)系直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線,l2與l4是同一條直線)的位置關(guān)系如表:位置關(guān)系l1,l2滿足的條件l3,l4滿足的條件平行k1=k2,且b1≠b2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0垂直k1·k2=-1A1A2+B1B2=0相交k1≠k2A1B2-A2B1≠05.三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件:點P1(x1,y1),P2(x2,y2).②結(jié)論:|P1P2|=(x③特例:點P(x,y)到原點O(0,0)的距離|OP|=x2(2)點到直線的距離點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=|A(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0間的距離d=|C6.【常用結(jié)論】(1)“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值,它可正,可負,也可以是零,而“距離”是一個非負數(shù).應(yīng)注意過原點的特殊情況是否滿足題意.(2)直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一個方向向量a=(-B,A).(3)直線系方程①與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).②與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).③過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.(4)幾種常用對稱關(guān)系①點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為(y,x),關(guān)于直線y=-x的對稱點為(-y,-x).②點(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點為(2a-x,y),關(guān)于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).③點(x,y)關(guān)于點(a,b)的對稱點為(2a-x,2b-y).二、圓1.圓的方程(1)標準方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心:(a,b),半徑:r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心:(-D2,-E2半徑:122.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0,y0)與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2之間存在著下列關(guān)系:(1)|MC|>r?M在圓外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2?M在圓外.(2)|MC|=r?M在圓上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2?M在圓上.(3)|MC|<r?M在圓內(nèi),即(x0-a)2+(y0-b)2<r2?M在圓內(nèi).3.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r)項目相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ=0Δ>0幾何觀點d>rd=rd<r4.圓與圓的位置關(guān)系(☉O1,☉O2的半徑分別為r1,r2,d=|O1O2|)項目圖形量的關(guān)系外離d>r1+r2外切d=r1+r2相交|r1-r2|<d<r1+r2內(nèi)切d=|r1-r2|續(xù)表項目圖形量的關(guān)系內(nèi)含d<|r1-r2|5.直線被圓截得的弦長(1)幾何法:弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形,弦長|AB|=2r2(2)代數(shù)法:設(shè)直線y=kx+m與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于點M,N,聯(lián)立,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,則|MN|=1+k2·6.【常用結(jié)論】(1)以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(2)圓的切線方程常用結(jié)論①過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.②過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.(3)兩圓相交時,其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.(4)兩個圓系方程①過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);②過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圓C2,所以注意檢驗C2是否滿足題意,以防丟解).三、橢圓1.橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程x2a2y2a2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|=2c離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2(a>c>0,a>b>0)3.橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0,y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形.如圖所示,設(shè)∠F1PF2=θ.(1)當(dāng)P為短軸端點時,θ最大,S△(2)S△F1PF2=12|PF1||PF2(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.(4)|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦點三角形的周長為2(a+c).四、雙曲線1.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2.雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)標準方程x2a2y2a2圖形性質(zhì)焦點F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c范圍x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)軸實軸:線段A1A2,長:2a;虛軸:線段B1B2,長:2b;實半軸長:a,虛半軸長:b漸近線y=±bay=±ab離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)3.【常用結(jié)論】(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點,F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.(3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦),其長為2b(4)若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點,F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,則S△PF1F2=(5)與雙曲線x2a2-y2b五、拋物線1.拋物線的概念把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦點(p2,0(-p2,0(0,p2(0,-p2準線方程x=-px=py=-py=p對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e=13.【常用結(jié)論】(1)通徑:過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.(2)拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)到焦點F(p2,0)的距離|PF|=x0+p六、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,則直線與圓錐曲線相交?Δ>0;直線與圓錐曲線相切?Δ=0;直線與圓錐曲線相離?Δ<0.特別地,①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交,有且只有一個交點.②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交,有且只有一個交點.2.弦長公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k(k≠0),則|AB|=(=1+k2|x1-x=1+或|AB|=1+1k2|y1=1+1第九章統(tǒng)計、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析一、隨機抽樣、統(tǒng)計圖表1.總體、個體、樣本調(diào)查對象的全體(或調(diào)查對象的某些指標的全體)稱為總體,組成總體的每一個調(diào)查對象(或每一個調(diào)查對象的相應(yīng)指標)稱為個體,在抽樣調(diào)查中,從總體中抽取的那部分個體稱為樣本,樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量,簡稱樣本量.2.簡單隨機抽樣(1)簡單隨機抽樣:分為放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣.(2)簡單隨機樣本:通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本.(3)簡單隨機抽樣的常用方法:抽簽法和隨機數(shù)法是比較常用的兩種方法.3.分層隨機抽樣(1)分層隨機抽樣的概念一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.(2)比例分配的分層隨機抽樣所獲得樣本的均值與方差利用比例分配的分層(兩層)隨機抽樣獲得的樣本中,第一層的樣本量為n1,均值為x1,方差為s12;第二層的樣本量為n2,均值為x2,方差為s22,則總的樣本均值x=n1n1+n2x1+n2n1+n2x2,總的樣本方差s24.統(tǒng)計圖表(1)常見的統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等.(2)作頻率分布直方圖的步驟①求極差;②決定組距與組數(shù);③將數(shù)據(jù)分組;④列頻率分布表;⑤畫頻率分布直方圖.5.【常用結(jié)論】(1)利用比例分配的分層隨機抽樣要注意按比例抽取,若各層應(yīng)抽取的個體數(shù)不都是整數(shù),可以進行一定的技術(shù)處理,比如將結(jié)果取成整數(shù)等.(2)頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距,不要和條形圖混淆.二、用樣本估計總體1.百分位數(shù)一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù):x=1n(x1+x2+…+xn(2)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列,處在最中間的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時).(3)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)).3.方差和標準差設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)為x,則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s=1n[(x1-x)2+(x(x2-x)2+…+(xn-x)2].4.【常用結(jié)論】(1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)為mx+a.(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)x1′=x1+a,x2′=x2+a,…,xn′=xn+a的方差相等,即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,那么ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為a2s2.三、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系的分類:正相關(guān)和負相關(guān).(2)線性相關(guān):一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān),而且散點落在一條直線附近,我們就稱這兩個變量線性相關(guān).一般地,如果兩個變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù)r的計算變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式如下:r=∑i(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①當(dāng)r>0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)r<0時,稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān);當(dāng)r=0時,成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系.②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1].當(dāng)|r|越接近1時,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強;當(dāng)|r|越接近0時,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.3.一元線性回歸模型(1)我們將y＾=b＾x+b(2)決定系數(shù)R2=1-∑i=1n(yi-y＾4.列聯(lián)表與獨立性檢驗(1)關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d記n=a+b+c+d,則隨機變量χ2=n((2)獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是:當(dāng)χ2≥xα?xí)r,我們就推斷H0不成立,即認為X和Y不獨立,該推斷犯錯誤的概率不超過α;當(dāng)χ2<xα?xí)r,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認為X和Y獨立.下表給出了χ2獨立性檢驗中5個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布一、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1.兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理:完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.(2)分步乘法計數(shù)原理:完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.2.兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系項目分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種數(shù)不同點分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立,不重不漏步步相依,缺一不可3.【常用結(jié)論】(1)分類加法計數(shù)原理的推廣:完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.(2)分步乘法計數(shù)原理的推廣:完成一件事需要n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.二、排列與組合1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合作為一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),用符號An(2)組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),用符號Cn3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(2)Cnm=AnmAmm性質(zhì)(1)0!=1;Ann=(2)Cnm=Cnn-m4.排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Anm=(n-m+1)(2)Anm=n(3)(n+1)!-n!=n·n!.(4)kCnk=n(5)Cnm+Cn-1m+…+三、二項式定理1.二項式定理二項式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cn(n∈N*)二項展開式的通項Tk+1=Cnkan-kbk,它表示第二項式系數(shù)展開式中各項的二項式系數(shù)為Cn2.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)Cn0=1,Cnn=1,Cn+1m=C(2)二項式系數(shù)先增后減中間項最大.當(dāng)n為偶數(shù)時,第n2+1項的二項式系數(shù)最大,最大值為Cnn2,當(dāng)n為奇數(shù)時,第n+12項和第(3)各二項式系數(shù)的和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2Cn1+Cn3+C四、隨機