（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+隨堂檢測(cè)09空間向量與立體幾何（教師版）

第第頁(yè)第09課空間向量與立體幾何考點(diǎn)01空間向量及其運(yùn)算【例1】已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）

A．B．C．D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.【變式1】已知空間向量，且，則與的夾角的余弦值為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】向量，則，由，得，解得，，因此，，，所以與的夾角的余弦值.故選：B【變式2】如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，則．

【答案】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.考點(diǎn)02空間共面向量定理【例2】已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】利用向量共面定理，設(shè)，列出方程組，即可求出實(shí)數(shù)．【詳解】，三向量共面，可設(shè)，即，，解得．故選：A．考點(diǎn)03求平面的法向量【例3】已如點(diǎn)，，者在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)出法向量，利用向量垂直得到方程組，取求出，與共線的向量也是法向量，得到答案.【詳解】由，，，得，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即,取，則，故，則與共線的向量也是法向量，經(jīng)驗(yàn)證，只有C正確..故選：C．【變式3】（多選）已知平面內(nèi)兩向量，且，若為平面的一個(gè)法向量，則（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】，由為平面的一個(gè)法向量，得，解得.故選：AC.考點(diǎn)04利用空間向量證明平行，垂直18．如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱C1D1上，且，若∥平面，則（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】如圖所示，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，可得，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，即，由，且，可得，又因?yàn)?，則，由∥平面，可得，解得.故選：C.考點(diǎn)05求空間角【例5】如圖，正三棱柱中，，，，，.

(1)試用，，表示；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算求解；（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，，，，可得，，，則，所以異面直線與角的余弦值為.考點(diǎn)06已知夾角求其他量【例6】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，則線段的長(zhǎng)為【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出的最大值，從而確定Q點(diǎn)在上的位置，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槠矫婺?，所以兩兩垂?以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,因?yàn)?設(shè)，又，則，又，從,設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為,即直線與所成角的余弦值的最大值為，而直線與所成角的范圍為，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，故此時(shí)直線與所成角最小，又因?yàn)椋?，故答案為：考點(diǎn)07求異面直線，點(diǎn)到面或者面到面的距離【例7】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線到直線的距離；（2）轉(zhuǎn)化為到平面的距離,利用點(diǎn)到平面的距離向量法可得答案.【詳解】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；（2）因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.考點(diǎn)08求點(diǎn)到線的距離【例8】如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線的距離是．【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出、，進(jìn)而可計(jì)算得出點(diǎn)到直線的距離為.【詳解】因?yàn)槠矫?，底面為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，，，，所以，，所以，的中點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.考點(diǎn)09點(diǎn)的存在性問(wèn)題【例9】圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且.

(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，直線與平面所成角的正弦值為【分析】（1）由二面角平面角定義可知是二面角的平面角，利用勾股定理可說(shuō)明，由此可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由點(diǎn)到平面距離的向量求法可構(gòu)造方程求得，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）在圖①中，連接，交于，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，，；在圖②中，相交直線均與垂直，是二面角的平面角，，，，，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖②所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，解得：，，；點(diǎn)到平面的距離，解得：或（舍），，，，直線與平面所成角的正弦值為.

空間向量與立體幾何隨堂檢測(cè)1.如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1B．C．D．【答案】C【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線距離可得.【詳解】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），設(shè)P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，設(shè)異面直線的公共法向量為，則，取x＝1，得，∴點(diǎn)P到直線AC的距離為：，點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為.故選：C.

2.設(shè)空間向量，，若，則．【答案】9【分析】先利用空間向量共線定理，得到，由此求出和的值，得到，的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，再利用向量模的計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：因?yàn)榭臻g向量，，且，所以，即，可得，解得，，所以，則，所以．故答案為：93.已知向量，若，則．【答案】【分析】設(shè)，依題意可得，再根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】設(shè)向量，，，設(shè)與的夾角為，，，.故答案為：.4.正四棱柱中，與平面所成角的正弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的正弦值求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出異面直線的夾角的余弦值.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槔庵鶠檎睦庵?，設(shè)，，則，其中平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，解得：，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，所以.故答案為：5.如圖，在四棱錐中，，，，E為PC的中點(diǎn).

(1)求證：平面PAD；(2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;;(2)【分析】（1）取CD的中點(diǎn)O，連接EO，BO，利用三角形中位線和同位角相等兩直線平行，通過(guò)證明平面平面PAD即可得證.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解即可.【詳解】（1）取CD的中點(diǎn)O，連接EO，BO，∵E為PC中點(diǎn)，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，∵，，∴，又，∴，∴,∴為等邊三角形，∴，又，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，又，平面∴平面平面PAD，而平面EOB，∴平面PAD.

（2）∵，∴.∵