（寒假）新高考數(shù)學一輪復習考點精講+隨堂檢測08空間中的平行與垂直（教師版）

第08課空間中的平行與垂直考點01 判斷平行，垂直的有關命題【例1】已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】對于A，，則可能平行、可能相交且不垂直，故A不正確；對于B，，則可能平行、可能相交且不垂直、可能異面且不垂直，故B不正確；對于C，若，根據(jù)線面垂直的性質定理可知，故C正確；對于D，若，則或異面，故D不正確．故選：C．【變式1】已知平面，直線，若且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】如下圖且，，則l//a，此時，，所以，充分性不成立；

若，因為，所以，必要性成立，

故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式2】已知是兩條不同的直線，，是兩個不重合的平面，則有下列命題①，，；

②，，；③，，；

④，.其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】①若，，，則直線沒有交點，異面或，故①不正確；②若，，，當均與，的交線平行時，可得，故②不正確；③若，，則，又，則，故③正確；④若，，則或，故④不正確.其中正確命題的個數(shù)為.故選：B.考點02 平行的判定定理【例2】下列正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能滿足平面MNP的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】對于A：連接，由圖可知，與平面相交，故不滿足平面，故A錯誤；

對于B：如圖所示，分別是所在棱的中點，連接，則平面MNP和平面為同一平面，因為，因為與平面相交，所以不滿足平面，故B錯誤；

對于C：連接，交與點，連接，因為，分別為中點，所以，由線面平行的判定定理可知，平面，故C正確；

對于D：分別是所在棱的中點，連接，，平面與平面為同一平面，取的中點為，連接，由中位線定理可知，，因為與平面相交，所以不滿足平面，故D錯誤；

故選：C【變式3】如圖，在直三棱柱中，D，F(xiàn)分別是的中點．

(1)若E為CD的中點，O為側面的中心，證明：平面；(2)若，側面為菱形，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，，證得，進而證得，結合線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，結合，利用錐體的體積公式，即可求解.【詳解】（1）證明：連接，．因為O為側面的中心，且側面為矩形，所以O是的中點．因為為的中點，所以，因為分別是，的中點，且且所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以，平面，平面，所以平面.（2）解：因為，且是的中點，且側面為菱形，所以，因為，所以，所以的面積，在直三棱柱中，底面，所以.

考點03 補全平行的條件【例3】如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.

(1)求點到平面的距離.(2)若是的中點，是上靠近點的三等分點，棱上是否存在一點使平面？證明你的結論并求的長.【答案】(1)；(2)存在滿足條件的點，且點為線段上靠近點的三等分點.證明見解析，.【分析】（1）法一：根據(jù)垂直關系分別求出以及，利用等體積轉化法可求出點到平面的距離；法二：由條件可證明平面，從而點到平面的距離即為所求，在等腰直角中可求出結果；（2）取點為線段上靠近點的三等分點，可證明平面平面，從而平面，結合三等分點即可求出結果.【詳解】（1）方法一：如圖，連接，因為平面，所以.因為平面，平面，所以，又平面PCD，所以平面，平面，所以.設點到平面的距離為，則.又因為，所以可得，得，即點到平面的距離為.方法二：因為平面，所以平面，所以點到平面的距離即點到平面的距離.作，垂足為.同方法一可知平面，所以平面平面，且交線為，又平面，所以平面，點到平面的距離即.在等腰直角中，，所以，即點到平面的距離為.

（2）存在滿足條件的點，且點為線段上靠近點的三等分點.證明如下：連接交于點，連接.因為點是的三等分點，所以為的中點，為的中點.在矩形中，為的中點，所以，平面，所以平面，因為點為的中點，所以，平面，所以平面DEF，又因為平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面，因為，所以.考點04 平行的性質定理【例4】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，M為PA的中點，E是PC靠近C的一個三等分點．

(1)若N是PD上的點，平面ABCD，判斷MN與BC的位置關系，并加以證明．(2)在PB上是否存在一點Q，使平面BDE成立？若存在，請予以證明，若不存在，說明理由．【答案】(1)，證明見解析(2)存在，證明見解析【分析】（1）．利用線面平行的性質定理可得答案；（2）當Q是PB的中點時，平面BDE成立．由線面平行的判定定理可得平面BDE、平面BDE，再由面面平行的判定定理和性質定理答案.【詳解】（1），理由如下，因為平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴．又因為，∴；（2）當Q是PB的中點時，平面BDE成立，理由如下，取PE的中點F，連接QF，又Q為PB的中點，∴．∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，連接AC交BD于點O，則O為AC的中點，又E是PC靠近C的一個三等分點，∴E為CF的中點，∴，∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，又，∴平面平面BDE，∵平面AQF，∴平面BDE．

考點05 垂直的判定定理【例5】如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點．

(1)求證：∥平面;(2)求證：平面平面．【分析】（1）取的中點，連接，，則由三角形中位線定理得∥，∥，再結合正方形的性質可得∥，則∥平面，由理∥平面，從而可證得平面∥平面，進而可證得結論；（2）由已知面面垂直可得平面，則，再由結合勾股定理逆定理可得，再由面線垂直和面面垂直的判定定理可證得結論.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連接，．，分別是和的中點，∥，∥．又四邊形為正方形，∥，從而∥．平面，平面，∥平面，同理∥平面，又，平面，平面∥平面，平面，則∥平面;

（2）為正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，∵平面，∴，設，，，∴，∴．又，，平面，平面，而平面，∴平面平面．考點06 補全垂直的條件【例6】在四棱錐中，是等邊三角形，且平面平面，，．

(1).在AD上是否存在一點M，使得平面平面，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2).若的面積為，求三棱錐的體積．【答案】(1)存在；證明見解析；(2)【分析】（1）由題可得，即在上找一點M，使平面即可；（2）設，由題目條件及的面積為，可得，即可得三棱錐的體積.【詳解】（1）存在，當M為的中點時，平面平面．證明：取AD的中點M，連接，由是等邊三角形，可得，由平面平面，平面，平面平面，可得平面，由平面，可得平面平面．（2）設，可得，則，由，可得，由.所以三棱錐P－ABC的體積為．

.

【變式5】如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，，與相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點．又．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求二面角的大??；(3)設點M在棱上，且，問為何值時，平面．【答案】(1)；(2)45°；(3)見解析.【分析】（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質得到PO⊥BD，過D做DE∥BC交于AB于E，連接PE，則∠PDE或其補角為異面直線PD與BC所成的角，利用平面幾何即可得解；（2）連接OE，由為等腰梯形，所以，且為中點，所以，又平面，∠PEO為二面角P﹣AB﹣C的平面角，然后求值即可；（3）連接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM＝，MC＝．【詳解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，又，由平面幾何可得：，過D做DE∥BC交于AB于E，連接PE，則∠PDE或其補角為異面直線PD與BC所成的角，∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB，∴又AB∥DC∴四邊形EBCD是平行四邊形．∴，∴E是AB的中點，且，又，∴PEA為直角三角形，∴在△PED中，由余弦定理得故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為；（2）連接OE，由為等腰梯形，所以，且為中點，所以，又平面，∠PEO為二面角P﹣AB﹣C的平面角，∴sin∠PE0＝，∴∠PEO＝45°，∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的大小為45°；（3）連接MD，MB，MO，∵PC⊥平面BMD，OM?平面BMD，∴PC⊥OM，在Rt△POC中，PC＝PD＝，OC＝1，PO＝，∴PM＝，MC＝，∴，故λ＝時，PC⊥平面BMD．考點07 垂直的性質定理【例7】如圖，在三棱柱中，，分別為棱BC，的中點.

(1)求證:∥平面；(2)若平面平面，，，點滿足，且，求實數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)3【分析】（1）連接MN，則可得為平行四邊形，再結合棱柱的性質可得四邊形為平行四邊形，則∥，再由線面平行的判定定理可得結論；（2）取AB的中點，連接，則，再由面面垂直的性質可得平面ABC，則，連接，則，由線面垂直的判定可得平面，則，從而可得∥，進而可得結果.【詳解】（1）連接MN，因為，分別為棱BC，的中點，所以，因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，，又∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，又因為平面，平面，所以∥平面.（2）解：取AB的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面ABC.因為平面ABC，所以.連接，因為∥，，所以.又，平面，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以，所以∥，所以為MB的中點，即，所以.

考點08 平行，垂直的綜合應用【例8】如圖所示，在多面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，，且，，分別是，的中點.

(1)證明：平面平面；(2)若平面平面，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】（1）根據(jù)條件可以證明平面，平面，進而可以證明平面平面；（2）利用條件可以求出到平面的距離，進而利用體積公式可以求出結果.【詳解】（1）因為，，是的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，從而.因為平面，平面，所以平面.同理平面，又，所以平面平面.（2）設的中點為，連接，則.

因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面，所以到平面的距離為，所以.空間中的平行與垂直隨堂檢測1.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】對于A，若，則或，錯誤；對于B，若，的位置關系不確定，可以平行、相交、異面直線，錯誤；對于C，若，則或者相交，錯誤；對于D，若，可得的方向向量分別是的法向量，因為，所以的法向量垂直，所以的方向向量垂直，則，正確.故選：D.2.在直三棱柱中，是的中點．

(1)求證：//平面；(2)求三棱錐的體積；【答案】(1)證明見解析;(2)5【分析】（1）借助題設條件運用線面平行的判定定理；（2）依據(jù)題設運用體積轉換法進行探求．【詳解】（1）設，連接，由直三棱柱性質可知，側面為矩形，

∴為中點，又∵為中點，∴在中，，又∵平面，平面，∴平面．（2）由題，∴，即，又由直三棱柱可知，側棱底面，∴.所以三棱錐的體積為53.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面ABCD，，點M是SD的中點，且交SC于點N.

(1)求證：平面ACM；(2)求證：；(3)求證：平面平面