（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講+隨堂檢測07解三角形（教師版）

第第頁第07課解三角形考點01 解三角形【例1】在中，若，則（）A． B． C．【答案】A【詳解】由題意可得，，由余弦定理可得，即，又，可得，利用正弦定理可知,所以.故選：A.【變式1】在中，分別是角所對的邊.若，的面積為，則的值為______【答案】【詳解】由，的面積為，得，所以，則，所以.故答案為：.【變式2】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系由得出，再由得出，最后根據(jù)正弦定理即可求出．【詳解】因為，所以，則，由正弦定理可得，則，故答案為：．考點02 判斷三角形解的個數(shù)【例2】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，若滿足條件的三角形有兩個，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件根據(jù)正弦定理用表示出，然后由和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，從而可求出x的取值范圍【詳解】在中，，，，由正弦定理得，得，解得，因為滿足條件的三角形有兩個，所以，所以，即，解得，即x的取值范圍為，故選：B【變式3】已知分別為三個內(nèi)角的對邊，若，則滿足此條件的三角形個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】B【詳解】因為，由正弦定理，得到，所以，又因為，故，.故選：B.考點03 三角形面積及其應(yīng)用【例3】在中，．(1)如果，且，求的值；(2)如果銳角的面積為，求的長度．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由向量的數(shù)量積的運算公式，求得，再由正弦定理得到，結(jié)合，即可求得的大小；（2）利用的面積公式求得，得到，結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】（1）解：因為，且，可得，解得，又因為，由正弦定理得，可得，又由，可得，所以為銳角，所以.（2）解：因為，所以的面積為，解得，又因為為銳角三角形，所以，由余弦定理得.【變式5】在中，.(1)求A；(2)若點D在BC邊上，，，求的面積.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由正弦定理得：，，結(jié)合余弦定理得：，且在三角形中，，.（2）,所以,D是BC的中點，，即，，且,兩式相減得：,所以，.【變式6】在中，，則邊上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理求，再得，利用的面積公式即可求邊上的高.【詳解】在中，因為，由余弦定理得因為，所以設(shè)邊上的高為，則，

所以，即邊上的高等于.故選：B.考點04 判斷三角形的形狀【例4】在中，角對邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡，根據(jù)余弦定理化簡得到即可得到答案.【詳解】因為，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故選：B【變式7】（多選）中，角，，所對的邊分別為，，，則如下命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則是等腰三角形C．若為銳角三角形，則D．若是直角三角形，則【答案】ACD【詳解】對于A：若，則，結(jié)合正弦定理得，故A正確；對于B：若，由正弦定理可得，所以，故或，即或，故三角形是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C：若三角形為銳角三角形，則，故，同理可得，，三式相加得，故C正確；對于D：若是直角三角形，不妨設(shè)為直角，則，由正弦定理可得，所以，所以，又，所以，則，同理可證或為直角時也成立，故D正確．故選：ACD．【變式8】（多選）的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則是鈍角三角形C．若，則符合條件的有兩個D．若，則為等腰三角形【答案】AB【分析】利用正弦定理?余弦定理對各個選項逐一分析，由此確定正確選項即可.【詳解】選項，在三角形中大角對大邊，所以，由正弦定理得，所以選項正確；選項，由正弦定理得，所以，又，則C為鈍角，所以B選項正確；選項，由正弦定理可得，又，則，故此三角形有唯一解，錯誤；D選項，因為，所以，所以，即，又，且，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故錯誤.故選：考點05 求外接圓半徑【例5】在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，若，則外接圓的半徑長為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】由余弦定理結(jié)合題意可得出，再由正弦定理即可求出外接圓的半徑長.【詳解】由可得，再由余弦定理可得：，故，因為，所以則.故選：B.【變式9】銳角的外接圓圓心為О，半徑為2，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】現(xiàn)根據(jù)正弦定理求得，進而結(jié)合外心的性質(zhì)求解即可.【詳解】由正弦定理得，，設(shè)中點為，連接，，，因為點為銳角的外接圓圓心，所以，即，所以.故選：C.

【變式10】在銳角中，，，若在上的投影長等于的外接圓半徑，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由題知，，進而得，即，再結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】∵是銳角三角形，在上的投影長等于的外接圓半徑，，又，，，，兩式相加得：，即，，即，又，，.故選：B.考點06 邊角互化【例6】的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足，且，；則的面積為_________.【答案】【詳解】依題意，，，由正弦定理得：，整理得，所以，所以為銳角且，同時，解得，所以，所以.故答案為：【變式11】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知條件結(jié)合正余弦定理可得，再利用三角函數(shù)恒等變換公式可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，即，所以，即，所以．即．故選：C【變式12】在銳角三角形分別為內(nèi)角所對的邊長，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】對已知等式利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡可得，然后同角三角函數(shù)的關(guān)系和正余弦定理化簡可得結(jié)果.【詳解】因為，所以由余弦定理可得，即，所以故選：B考點07 正余弦定理在幾何中的應(yīng)用【例7】在四邊形ABCD中，，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解決下列問題．(1)求BD的長；(2)求四邊形ABCD的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)選①，；選②，；(2)選①，；選②，【分析】（1）選①，利用余弦定理得到；選②，利用互補得到，結(jié)合余弦定理列出方程，求出答案；（2）選①，在（1）的基礎(chǔ)上，得到⊥，結(jié)合三角形面積公式求出和的面積，相加即可；選②，在（1）的基礎(chǔ)上求出和，利用三角形面積公式求出和的面積，相加得到答案.【詳解】（1）選①，由余弦定理得，解得，選②，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以，即，解得.（2）選①，，，故，在中，，所以⊥，故，所以四邊形ABCD的面積為；選②，，故，故，因為，所以，故，，故四邊形ABCD的面積為.【變式13】如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，則AC=___________.【答案】【分析】在中，由正弦定理可得,在中，由正弦定理可，因為，可求出，再由余弦定理可求出的值.【詳解】在中，由正弦定理可得：，所以①，在中，由正弦定理可得：，所以②，又因為，所以由①②可得：，解得：，所以在中，由余弦定理得：，解得：.考點08 正余弦定理的實際應(yīng)用【例8】位于四川省樂山市的樂山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化與自然雙重遺產(chǎn)之一．如圖，已知PH為佛像全身高度，PQ為佛身頭部高度（PQ約為15米）．某人為測量樂山大佛的高度，選取了與佛像底部在同一水平面上的兩個測量基點A，B，測得米，米，，在點A處測得點Q的仰角為48.24°，則佛像全身高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取，，）

A．56米 B．69米 C．71米 D．73米【答案】C【分析】由余弦定理可得，再由，可求得，從而可得結(jié)論.【詳解】由余弦定理可得．依題意得，則，所以，則，故佛像全身高度約為71米．故選：C.【變式14】如圖，測量河對岸的塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個基點和進行測量，現(xiàn)測得米，，在點和測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，則塔高______米．

【答案】【分析】設(shè)米，進而可得BC，BD，然后利用余弦定理求解.【詳解】設(shè)米，在中，，在中，，在中，，即，所以，解得（米）.故答案為：28.考點09 最值問題【例9】在銳角中，角，，所對的邊為，，，已知.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由給定的等式，結(jié)合余弦定理求出角作答.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合正弦定理邊化角，再利用三角變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求解作答．【詳解】（1）在中，由，得，由余弦定理得，又，解得，所以.（2）在銳角中，由（1）知，，則，解得，由正弦定理得，，即，，因此，而，有，于是，所以的取值范圍是．【變式15】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，其中，．(1)求角B的大?。?2)若，求△ABC面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）方法一：利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式即可得解；方法二：利用余弦定理化角為邊，即可得解；（2）利用余弦定理結(jié)合已知及基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）方法一：由，根據(jù)正弦定理邊化角得：，即，所以，因為，所以，又，所以，又，所以；方法二：由，根據(jù)余弦定理：得，即，因為，所以，所以，又，得；（2）由（1）及余弦定理知，所以，因為，所以，化簡得，因為，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的面積，所以面積的最大值為.解三角形隨堂檢測1.在中，已知，，，則角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】由題知，，，在中，由正弦定理可得：，即，所以，因為，所以，所以或.故選：C．2.（多選）判斷下列三角形解的情況，有且僅有一解的是（

）A．，，； B．，，；C．，，； D．，，.【答案】AD【詳解】對于A，由正弦定理得：，，，即，，則三角形有唯一解，A正確；對于B，由正弦定理得：，，，即，或，則三角形有兩解，B錯誤；對于C，由正弦定理得：，無解，C錯誤；對于D，三角形兩角和一邊確定時，三角形有唯一確定解，D正確.故選：AD3.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，的面積為，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，再根據(jù)可得，然后利用余弦定理，可得，即可解出．【詳解】因為,因為的面積為，，所以，即有.又，所以，即，所以.故選：C.4.若，且，那么是（

）A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】由，得，化簡得，所以由余弦定理得，因為，所以，因為，所以由正余弦定理角化邊得，化簡得，所以，所以為等邊三角形，故選：B5.在中，角的對邊分別為，已知，則的外接圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】已知，由余弦定理可得，由正弦定理可得，即.則的外接圓面積.故選：A.6．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.若，則______.【答案】【詳解】在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，所以為銳角，所以.故答案為：7.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．(1)求角C的大小；(2)若，且的面積為，求邊長c．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等變換求解；（2）由的面積為，得到，再結(jié)合，求得a，b，然后利用余弦定理求解.【詳解】（1）解：由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，則．（2）∵的