高考數(shù)學一輪復習-二項式定理知識點與題型復習

二項式定理知識點與題型復習一、基礎(chǔ)知識1.二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項式系數(shù)的性質(zhì)注：(1)項數(shù)為n＋1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別二項式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān).如(a＋bx)n的二項展開式中，第k＋1項的二項式系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)，而該項的系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)an－kbk.當然，在某些二項展開式中，各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的.二、考點解析eq\a\vs4\al(考點一二項展開式中特定項或系數(shù)問題)考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量例1、(1)的展開式中x4的系數(shù)為()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二項展開式中x3的系數(shù)為720，則a＝________.(3)已知的展開式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝________.eq\a\vs4\al([解題技法])求形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量(常數(shù)項、參數(shù)值、特定項等)的步驟第一步，利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，常把字母和系數(shù)分離開來(注意符號不要出錯)；第二步，根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項要求指數(shù)為零，有理項要求指數(shù)為整數(shù))先列出相應方程(組)或不等式(組)，解出r；第三步，把r代入通項公式中，即可求出Tr＋1，有時還需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量例2、(1)(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展開式中x的系數(shù)是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為0，則正實數(shù)a＝________.eq\a\vs4\al([解題技法])求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量的步驟第一步，根據(jù)二項式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開，并寫出其通項公式；第二步，根據(jù)特定項的次數(shù)，分析特定項可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開式中的哪些項相乘得到；第三步，把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關(guān)量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60(2)將展開后，常數(shù)項是________.eq\a\vs4\al([解題技法])求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關(guān)的量的步驟第一步，把三項的和a＋b＋c看成是(a＋b)與c兩項的和；第二步，根據(jù)二項式定理寫出[(a＋b)＋c]n的展開式的通項；第三步，對特定項的次數(shù)進行分析，弄清特定項是由(a＋b)n－r的展開式中的哪些項和cr相乘得到的；第四步，把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關(guān)量.跟蹤訓練1.在(1－x3)(2＋x)6的展開式中，x5的系數(shù)是________.(用數(shù)字作答)3.(x＞0)的展開式中的常數(shù)項為________.eq\a\vs4\al(考點二二項式系數(shù)的性質(zhì)及各項系數(shù)和)[典例精析](1)若的展開式中各項系數(shù)之和大于8，但小于32，則展開式中系數(shù)最大的項是()A.6eq\r(3,x)B.eq\f(4,\r(x))C.4xeq\r(6,x)D.eq\f(4,\r(x))或4xeq\r(6,x)(2)若的展開式中含x的項為第6項，設(shè)(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a1＋a2＋…＋an的值為________.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝________.[解題技法]1.賦值法的應用二項式定理給出的是一個恒等式，對于x，y的一切值都成立.因此，可將x，y設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時，令x，y等于多少，應視具體情況而定，一般取“1，－1或0”，有時也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.2.二項展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開式中(1)各項系數(shù)之和為f(1).(2)奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2).(3)偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).跟蹤訓練1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的值為________.3.已知(1＋3x)n的展開式中，后三項的二項式系數(shù)的和等于121，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為____.eq\a\vs4\al(考點三二項展開式的應用)例、設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512018＋a能被13整除，則a＝()A.0B.1C.11D.12[解題技法]利用二項式定理解決整除問題的思路(1)要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項式，然后再展開.(2)用二項式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開.但要注意兩點：①余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0，r)，r是除數(shù)，若利用二項式定理展開變形后，切記余數(shù)不能為負；②二項式定理的逆用.跟蹤訓練]1.使得多項式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然數(shù)x為()A.1B.2C.3D.4課后作業(yè)1.的展開式中的常數(shù)項為()A.－3eq\r(2)B.3eq\r(2)C.6D.－62.設(shè)(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則eq\f(a2＋a4,a1＋a3)的值為()A.－eq\f(61,60)B.－eq\f(122,121)C.－eq\f(3,4)D.－eq\f(90,121)3.若二項式的展開式的各項系數(shù)之和為－1，則含x2項的系數(shù)為()A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x)n的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A.29B.210C.211D.2125.二項式的展開式中，除常數(shù)項外，各項系數(shù)的和為()A.－671B.671C.672D.6736.在(1－x)5(2x＋1)的展開式中，含x4項的系數(shù)為()A.－5B.－15C.－25D.257.若(x2－a)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.1D.28.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實數(shù)m的值為()A.1或3