物理光學(xué)（第6版）課件 梁銓廷 第6、7章 標(biāo)量衍射的角譜理論、光的偏振與晶體光學(xué)基礎(chǔ)

第6章標(biāo)量衍射的角譜理論§6-1光波的數(shù)學(xué)描述光場隨時(shí)間的變化關(guān)系:由頻率n表征.單色光場中某點(diǎn)

P(x,y,z)在時(shí)刻t的光振動(dòng)（電場分量）可表為:

u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]振幅頻率初位相可見光:n~1014Hz光場隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在: (1)空間各點(diǎn)的振幅可能不同(2)空間各點(diǎn)的初位相可能不同光場變化的空間周期為l.光場變化的時(shí)間周期為1/n.1、光振動(dòng)的復(fù)振幅和亥姆霍茲方程光場隨時(shí)間的變化e

-j2pnt:u(P,t) =a(P)cos[2pnt-j(P)] =

e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hz,無法直接探測對(duì)于攜帶信息的光波,本課程感興趣的是其空間變化部分.故引入復(fù)振幅U(P):為了導(dǎo)出a(P)、n、j(P)必須滿足的關(guān)系，將光場用復(fù)數(shù)表示,以利于簡化運(yùn)算=

e{a(P)e

jj(P).

e

-j2pnt

}復(fù)數(shù)表示有利于將時(shí)空變量分開U(P)=a(P)e

jj(P)則u(P,t)=

e{

U(P)e

-j2pnt}光振動(dòng)的復(fù)振幅表示亥姆霍茲（Helmholtz)方程可導(dǎo)出復(fù)振幅滿足的方程為：將U(P)exp(-j2pnt)代入波動(dòng)方程

即亥姆霍茲（Helmholtz)方程-—不含時(shí)間的波動(dòng)方程

稱為波數(shù)或傳播常數(shù)，表示單位長度上產(chǎn)生的相位變化

在自由空間傳播的任何單色光擾動(dòng)的復(fù)振幅都必須滿足亥姆霍茲方程。也就是說，可以用不含時(shí)間變量的復(fù)振幅分布完善地描述單色光波場。

光振動(dòng)的復(fù)振幅表示總結(jié)說明：

U(P)是空間點(diǎn)的復(fù)函數(shù),描寫光場的空間分布,與時(shí)間無關(guān);U(P)=a(P)e

jj(P)U(P)同時(shí)表征了空間各點(diǎn)的振幅|U(P)|=|a(P)|

相對(duì)位相arg(U)=j(P)

方便運(yùn)算,滿足疊加原理

實(shí)際物理量是實(shí)量.要恢復(fù)為真實(shí)光振動(dòng):

光強(qiáng)分布:

I=UU*

光強(qiáng)是波印廷矢量的時(shí)間平均值,正比于電場振幅的平方

u(P,t)=

e{U(P)exp(-j2pnt)}即可2、球面波的復(fù)振幅表示球面波:等相面為球面,且所有等相面有共同中心的波k=|k|=2p/l,為波數(shù).表示由于波傳播,在單位長度上引起的位相變化,也表明了光場變化的“空間頻率”(P(x,y,z))0zyx源點(diǎn)S(rk設(shè)觀察點(diǎn)P(x,y,z)與發(fā)散球面波中心的距離為r,則P點(diǎn)處的復(fù)振幅:j(P)=k.rk:傳播矢量球面波:k//ra0:單位距離處的光振幅會(huì)聚球面波會(huì)聚球面波(P(x,y,z))會(huì)聚點(diǎn)S(r0zyxk球面波的等位相面:kr=c

為球面球面波:空間分布距離r

的表達(dá)若球面波中心在原點(diǎn):若球面波中心在S(x0,y0,z0):P點(diǎn)處的復(fù)振幅:取決于k與r是平行還是反平行球面波:在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為z軸,光沿z軸正方向傳播.所考察的平面垂直于z軸令點(diǎn)光源位于z=0的平面上坐標(biāo)(x0,y0)處.考察與其距離為z的x

-y平面上的光分布z球面波:近軸（旁軸）近似只考慮x

-y平面上對(duì)源點(diǎn)S張角不大的范圍,即可以作泰勒展開(1+D)1/21+D/2一級(jí)近似二級(jí)近似對(duì)振幅中r

的可作一級(jí)近似.但因?yàn)閗很大,對(duì)位相中的r須作二級(jí)近似對(duì)給定平面是常量隨x,y變化的二次位相因子球面波特征位相球面波中心在原點(diǎn):x-y

平面上等位相線方程為

:球面波:近軸（旁軸）近似3、

平面波的復(fù)振幅表示特點(diǎn)：1.等相面為平面2.這些平面垂直于光波傳播矢量k

U(P)=a(P)e

jj(P)等相平面的法線方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均為常量以k表示的等相平面方程為k

.r=const.故平面波復(fù)振幅表達(dá)式為:線性位相因子常量振幅平面波：復(fù)振幅平面波:在給定平面的分布在x-y平面上的等位相線

xcosa+ycosb=const為平行直線族在與原點(diǎn)相距為z

的平面上考察平面波的復(fù)振幅:

隨x,y線性變化的位相因子常數(shù)幅相因子,A4、平面波的空間頻率在與原點(diǎn)相距為z

的平面上考察平面波的位相分布.等位相線是平行直線族.為簡單計(jì),先看k在x-z平面內(nèi):cosb=0等位相面是平行于y軸的一系列平面,間隔為l復(fù)振幅分布:z等位相面與x-z平面相交形成平行直線等位相面與x-y平面相交形成平行于y軸的直線沿x方向的等相線間距:平面波的空間頻率復(fù)振幅分布:定義復(fù)振幅分布在x方向的空間頻率:復(fù)振幅分布可改寫為:Y=∞,fy=0對(duì)于在x-z平面內(nèi)傳播的平面波,在y方向上有:平面波的空間頻率:一般情形定義:復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為平面波的空間頻率平面波在x和y方向的空間頻率分別為:cosa,cosb

為波矢的方向余弦若波矢在x-z平面或y-z平面中,a(b)

又常用它們的余角qx(qy)表示,故:引入空間頻率概念后,單色平面波在xy平面的復(fù)振幅分布可以表示為設(shè)系統(tǒng)光軸是z軸，平面波傳播方向與z軸夾角越大，說明該平面波的空間頻率越（）大小AB提交單選題10分從空間頻率的角度解釋為什么科學(xué)家希望建設(shè)大口徑望遠(yuǎn)鏡，為什么你喜歡買大光圈的照相機(jī)？作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分下面是亥姆霍茲方程解的是PlaneWaveAiryBeamLaguerre-GaussBeamHermite-GaussBeamABCD提交多選題10分在實(shí)驗(yàn)室中，激光束在什么情況下可以被認(rèn)為是平面波？2.為了得到較寬的均勻光束我們通常對(duì)激光束采取什么操作？作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分學(xué)完平面波的空間頻率，你認(rèn)為此時(shí)的平面波復(fù)振幅函數(shù)形式與傅里葉變換中核函數(shù)相似嗎？作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分平面波的空間頻率空間頻率的單位:cm-1,mm-1,周/mm,條數(shù)/mm等空間頻率的正負(fù):表示傳播方向與x(或y)軸的夾角小于或大于90

在給定的坐標(biāo)系,任意單色平面波有一組對(duì)應(yīng)的fx和fy,它僅決定于光波的波長和傳播方向.反之,給定一組fx和fy,對(duì)于給定波長的單色平面波就能確定其傳播方向cosa=lfx,cosb=lfy

要與光的時(shí)間頻率嚴(yán)格區(qū)分開平面波的空間頻率與F.T.的聯(lián)系如果在xy平面上的復(fù)雜的復(fù)振幅分布可以分解為許多簡單的周期分布,則復(fù)雜的光振動(dòng)可以分解成許多簡單平面波的疊加.二維F.T.在光學(xué)上的意義:平面波的空間頻率這樣平面波的復(fù)振幅即平面波方程可以寫為

:三個(gè)空間頻率不能相互獨(dú)立：因此

第二章標(biāo)量衍射的角譜理論§2-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播1、復(fù)振幅分布的角譜對(duì)在z處的x-y平面上單色光場的復(fù)振幅分布U(x,y,z)作傅里葉變換:其逆變換為：即:把U(x,y,z)看作不同空間頻率的一系列基元函數(shù)exp[j2p(fxx+fyy)]之和,各分量的疊加權(quán)重是A(fx,fy,z).物理上,exp[j2p(fxx+fyy)]

代表傳播方向余弦為cosa=lfx,cosb=lfy

的單色平面波在xy平面的復(fù)振幅分布,U(x,y,z)是不同平面波分量分布的線性疊加.每個(gè)分量的相對(duì)振幅和初位相由頻譜A(fx,fy,z)決定.稱為x-y平面上復(fù)振幅分布的頻譜

1、復(fù)振幅分布的角譜

根據(jù)可將頻譜函數(shù)A(fx,fy,z)用表示各平面波傳播方向的角度為宗量：稱為xyz平面上復(fù)振幅分布的角譜,表示不同傳播方向(a,b)的單色平面波的振幅(|A|)和初位相(arg{A})角譜是xyz平面上復(fù)振幅分布U(x,y,z)的空間頻譜,其空間頻率宗量用傳播矢量的方向余弦表示

復(fù)振幅分布的角譜：例

在x-y平面上,光場復(fù)振幅分布為余弦型:可以分解為：U(x,y)的空間頻譜函數(shù):復(fù)振幅分布的角譜：例U(x,y)的空間角譜函數(shù):復(fù)振幅分布的角譜

作業(yè)P48,2.22.3第一步:寫出屏的透過率函數(shù)t(x,y):第二步:寫出入射波的復(fù)振幅分布U0(x,y,0)單位振幅的單色平面波垂直入射照明,U0(x,y,0)=1第三步:寫出緊靠屏后平面上的透射光場復(fù)振幅分布U

(x,y,0)

U

(x,y,0)=U0(x,y,0)t(x,y)=t(x,y)第四步:求出U(x,y,0)的頻譜A(fx,fy,0)第五步:利用，將A(fx,fy,0)改寫成角譜2.平面角譜的傳播孔徑平面（z=0）P(x,y,0)光場分布U0(x,y,0)觀察平面（z=z）P(x,y,z)光場分布U

(x,y,z)2.平面角譜的傳播U0(x,y,0)與U

(x,y,z)的關(guān)系如何？——傳播的問題先找到相應(yīng)的角譜A(fx,fy,0)和A(fx,fy,z)之間的關(guān)系——角譜的傳播角譜是xy平面上復(fù)振幅分布U(x,y)的空間頻譜,其空間頻率宗量用傳播矢量的方向余弦表示按角譜的觀點(diǎn):孔徑平面和觀察平面上的光場,均看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合.每一平面波的相對(duì)振幅和位相取決于相應(yīng)的角譜2.平面角譜的傳播

角譜是傳播距離z的函數(shù)在孔徑平面(x,y,

0)的光場U0(x,y,

0):傳播距離z后到達(dá)z=z平面,光場變化為U(x,y,z),

傳播的效應(yīng)體現(xiàn)為角譜由變化為A是空間頻率(角度)的函數(shù),同時(shí)是z的函數(shù).2.平面角譜的傳播

思路:找出并求解A滿足的對(duì)z的微分方程,

從而得到角譜隨z變化的函數(shù)關(guān)系

將U(x,y,z)的表達(dá)式

代入亥姆霍茲方程

(

2+k2)U(x,y,z)=0,并交換積分和微分的順序?qū)θ魏蝬,y,z

均應(yīng)成立,故2.平面角譜的傳播

角譜沿z傳播遵循的規(guī)律初始條件:z=0時(shí),

A=(孔徑平面).

微分方程的解為:

2.平面角譜的傳播

角譜沿z傳播遵循的規(guī)律

方向余弦cos2a+cos2b<1的不同平面波,傳播過程中振幅不改變,但經(jīng)受不同的相移.方向余弦cos2a+cos2b=1的平面波,g=p/2,k

在xy

平面,不沿

z

軸傳播.cos2a+cos2b>1:代表倏逝波2.平面角譜的傳播

傳播現(xiàn)象作為線性空不變系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸入表征系統(tǒng)頻譜特性的傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù):

2.平面角譜的傳播

傳播現(xiàn)象作為線性空不變系統(tǒng)

系統(tǒng)的傳遞函數(shù):1/lfxfy0把光波的傳播現(xiàn)象看作一個(gè)帶寬有限的空間濾波器。在頻率平面上的半徑為1/l的圓形區(qū)域內(nèi)，傳遞函數(shù)的模為1，對(duì)各頻率分量的振幅沒有影響。但要引入與頻率有關(guān)的相移。在這一圓形區(qū)域外，傳遞函數(shù)為零。對(duì)空域中比波長還要小的精細(xì)結(jié)構(gòu)，或者說空間頻率大于1/λ

的信息，在單色光照明下不能沿z方向向前傳遞。光在自由空間傳播時(shí)，攜帶信息的能力是有限的。3.衍射孔徑對(duì)角譜的作用孔徑的復(fù)振幅透過率：t(x0,y0)=1在∑內(nèi)0其它光場通過衍射屏后的變化：Ut(x0,y0)=Ui(x0,y0)t(x0,y0)由于卷積運(yùn)算具有展寬帶寬的性質(zhì)，因此，引入衍射孔徑使入射光波在空間上受到限制，其效應(yīng)就是展寬了光波的角譜。角譜的變化：At(fx,fy)=Ai(fx,fy)

T(fx,fy)F.T.

3.衍射孔徑對(duì)角譜的作用

例:單位振幅平面波垂直入射照明一矩孔,求角譜的變化Ai(fx,fy)=d(fx,fy)Ui(x0,y0)=1T(fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t(x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)At(fx,fy)=d(fx,fy)

T(fx,fy)

=T(fx,fy)角譜展寬Ui(x0,y0)Ut(x0,y0)孔徑限制了入射波面的范圍,展寬了入射角譜故角譜的展寬就是在出射波增加了與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。第二章標(biāo)量衍射的角譜理論§2-3標(biāo)量衍射的角譜理論注意fx=cosa/l,fy=cosb/l

，上式可寫為:從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題衍射現(xiàn)象的傳遞函數(shù)：這就是衍射現(xiàn)象的頻域（角譜）表達(dá)式。

2、基于平面波角譜的衍射理論xyz平面的光場分布的角譜與x0y00平面角譜的關(guān)系（角譜傳播）：xyz平面的光場分布的角譜與x0y00平面角譜的關(guān)系（角譜傳播）：綜合得到（注意fx=cosa/l,fy=cosb/l):xyz平面的光場分布的角譜與x0y00平面角譜的關(guān)系（角譜傳播）：2、基于平面波角譜的衍射理論2、基于平面波角譜的衍射理論xyz平面的光場分布與x0y00平面光場分布的關(guān)系：即為普遍的衍射公式。使用時(shí)需要化簡。在不同的近似條件下，可以得到菲涅耳衍射公式和夫瑯禾費(fèi)衍射公式3、菲涅耳衍射公式x0y0yxz近似條件：孔徑和觀察平面之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔徑的線度

只對(duì)軸附近的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行觀察

適合于菲涅耳衍射區(qū)3、菲涅耳衍射公式衍射公式變?yōu)椋豪酶咚购瘮?shù)的傅里葉變換和F.T.的縮放性質(zhì)：

得到菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：3、菲涅耳衍射公式：卷積形式可以寫為：其中,脈沖響應(yīng)函數(shù)為:或?qū)懗删矸e式:3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式由菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：把指數(shù)中的二次項(xiàng)展開，還可表示為

即為菲涅耳衍射的傅里葉變換表達(dá)式：3、菲涅耳衍射公式：頻域形式由衍射現(xiàn)象的頻域（角譜）表達(dá)式：

衍射現(xiàn)象的傳遞函數(shù)：在菲涅耳近似下，傳遞函數(shù)可寫為:得到菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式：菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：可以寫為：其中,脈沖響應(yīng)函數(shù)為:或?qū)懗删矸e式:FresnelDiffraction:Summary

菲涅耳衍射的三種表示U(x0,y0) *

hF

(x,y) = U(x,y)

F.T.F.T.F.T.A0(fx,fy)

HF(fx,fy) = A

(fx,fy)F.T.表達(dá)

U(x,y)F.T.空域孔徑平面 脈沖響應(yīng) 觀察平面頻域菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)

P50:2.12余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為

式中，d為光柵周期，a>b>0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)z分別取下列各數(shù)值時(shí)，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。

（式中zT稱作泰伯距離）（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式輸入頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):此傳遞函數(shù)對(duì)平面波分量只引起相移菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)

P50:2.12解：采用菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式輸入頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):此傳遞函數(shù)對(duì)平面波分量只引起相移輸出頻譜：故：菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)

P50:2.12觀察平面的復(fù)振幅分布：在泰伯距離：與原物的復(fù)振幅分布只差一個(gè)常數(shù)位相因子——自成像像強(qiáng)度分布：與原物的強(qiáng)度分布完全相同菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)

P50:2.12思考:在兩個(gè)自成像位置的中間位置,光強(qiáng)度分布如何變化?自成像發(fā)生在泰伯距離的整數(shù)倍上.泰伯距離:#原物：像：菲涅耳衍射：例題

P50:2.11單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為a的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強(qiáng)度分布。

提示:1.用F.T.表達(dá)式,并取x

=y

=0,2.用極坐標(biāo),積分可求出.圓孔的復(fù)振幅透過率軸上強(qiáng)度分布:取a=1mm,l=0.633mm,作出I(0,0)z隨z變化的曲線菲涅耳衍射：例題

P50:2.11菲涅耳衍射：例題

P50:2.11z/a>>1不滿足時(shí),菲涅耳近似失效當(dāng)時(shí),I(0,0)z=0為極小值當(dāng)時(shí),I(0,0)z=4為極大值m的最小值為0,當(dāng)時(shí),過渡到夫瑯和費(fèi)近似.#作業(yè)P502.11(要求寫出步驟)2.12(2),(3)第二章標(biāo)量衍射的角譜理論§2-4夫瑯和費(fèi)衍射與傅里葉變換

1、夫瑯和費(fèi)衍射公式及其成立的條件

夫瑯和費(fèi)衍射公式除了一個(gè)與傳播距離z及觀察面坐標(biāo)有關(guān)的位相因子以外,在給定距離z的平面上衍射場的分布正比于衍射屏透射光場的傅里葉變換,其振幅及變換的尺度與距離z有關(guān).衍射圖樣及光強(qiáng)的分布正比于孔徑透射函數(shù)的功率譜:

2.4夫瑯和費(fèi)衍射與傅里葉變換

夫瑯和費(fèi)衍射公式:討論夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)的條件苛刻例:P49,2.10題

=632.8nm

菲涅耳衍射區(qū)z>>?

夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)要求z>>?與菲涅耳衍射的關(guān)系菲涅耳衍射區(qū)包括了夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)夫瑯和費(fèi)衍射是菲涅耳衍射的進(jìn)一步近似2、一些簡單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射照明條件：振幅為A的單色平面波垂直照明孔徑：復(fù)振幅透過率孔徑函數(shù)的頻譜

t(x0,y0) T(fx,fy)F.T.屏后光場復(fù)振幅U(x0,y0)=A

t(x0,y0)衍射公式(觀察面的光場分布):我們更關(guān)心衍射圖樣的強(qiáng)度分布：

簡單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：圓孔方向嚴(yán)格沿z方向傳播的無窮大平面波,在受到孔徑限制后,角度展寬為q=0.61l/a.孔徑越小,角度展寬越大.AiryPattern第一暗環(huán)半徑：Drka/z=3.83,Dr=0.61lz/a

Dr/z=0.61l/a簡單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：矩孔中央亮斑寬度:Dx=2lz/a,Dy=2lz/b∴x,y方向的角展寬:與圓孔數(shù)量級(jí)相同.孔尺寸越小,角展寬越大若b>>a,成為單縫,可僅作一維處理ax/lzI/I(0)01-11簡單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：雙縫rect(x0/a)0a/2-a/21x0F.T.fxasinc(afx)01/aa*1x0t(x0)0d/2-d/2F.T.

2cos(pfxd)f02F.T.0d/2-d/2d(x0-d/2)+d(x0-d/2)1x0雙縫的頻譜是兩個(gè)單縫的頻譜以一定的位相關(guān)系互相干涉的結(jié)果衍射光柵

DiffractionGratings

線光柵有限縫數(shù)的線光柵復(fù)振幅透過率函數(shù):單個(gè)狹縫陣列函數(shù)有限尺寸觀察面上的復(fù)振幅分布(忽略了常數(shù)幅相因子):分立的無限細(xì)譜線,間隔為1/d(即光柵基頻）受基元孔徑衍射的調(diào)制光柵有限尺寸引起的譜線展寬寬度為1/Lx譜線的概念:comb(dfx)的周期性結(jié)構(gòu)形成譜線,∵Lx>>d,∴1/Lx<<1/d,各譜線的sinc函數(shù)互不重疊.#衍射光柵：線光柵若要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算或畫截面圖等,將comb(dfx)和卷積展開更方便強(qiáng)度分布是|T(x)|2,并附加傳播引起的振幅衰減因子衍射光柵：線光柵譜線間隔為1/d,即光柵基頻譜線寬度為1/Lx決定于光柵有限尺寸衍射光柵：余弦型振幅光柵—全息光柵復(fù)振幅透過率:m<1,稱為光柵的調(diào)制度用單位振幅的單色平面光波垂直照明該光柵，可得光柵的頻譜為：

衍射光柵：余弦型振幅光柵—全息光柵

每個(gè)sinc函數(shù)的主瓣的寬度比例于lz/l，而三個(gè)sinc函數(shù)主瓣之間的距離為f0lz.

若光柵頻率f0>>1/l，即光柵的周期比光柵的尺寸小得多(d<<l)，則三個(gè)sinc函數(shù)之間不存在交疊。夫瑯和費(fèi)衍射圖的復(fù)振幅分布為：

衍射光柵：余弦型振幅光柵—全息光柵因?yàn)槿齻€(gè)sinc函數(shù)之間不存在交疊,衍射圖的光強(qiáng)度分布為：

用平面波照明的光柵后方光能量重新分布，其能量只集中在三個(gè)衍射級(jí)上。0級(jí)與+1級(jí)衍射間的距離為f0lz

。

l傅里葉分析方法比傳統(tǒng)的光程差分析方法要簡捷得多

光柵的分辨本領(lǐng)光柵的有限的分辨本領(lǐng)是由實(shí)際光柵的有限尺寸引起的有限尺寸Lx

譜線的線形為sinc函數(shù)，其半寬度定義分辨本領(lǐng)光柵第m級(jí)譜線的位置xm對(duì)應(yīng)于陣列函數(shù)諧波頻率的位置:與使用波長有關(guān)瑞利準(zhǔn)則要求

N為在Lx范圍內(nèi)容納的光柵條紋數(shù)即#光柵的分辨本領(lǐng)光柵第m級(jí)譜線的位置xm對(duì)應(yīng)于陣列函數(shù)諧波頻率的位置:與使用波長有關(guān)dx/lzI/I(0)011瑞利準(zhǔn)則要求:即N為在Lx范圍內(nèi)容納的光柵條紋數(shù)光柵的分辨本領(lǐng)光柵的有限的分辨本領(lǐng)是由實(shí)際光柵的有限尺寸引起的高級(jí)次衍射的分辨本領(lǐng)比低級(jí)次的要高.但對(duì)相同級(jí)次的不同類型的光柵,只要使用同樣的光柵條紋數(shù),分辨本領(lǐng)相同.

光柵的空間帶寬積:本章的基本概念:光波的復(fù)振幅，平面波復(fù)振幅的空間頻率，平面波的角譜;菲涅耳衍射（三種表達(dá)形式）,夫瑯和費(fèi)衍射（復(fù)振幅分布和強(qiáng)度分布的表達(dá)式）。本章的基本技能要求：n平面波和球面波復(fù)振幅的數(shù)學(xué)描述；簡單孔徑和光柵的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的計(jì)算和畫圖;余弦型振幅光柵的傅里葉分析。作業(yè)P48：2.4,2.5提示：1.正確寫出“掩?！被颉翱讖健钡膹?fù)振幅透過率。

2.單位振幅單色平面波垂直照明，U(x,y0)=? 3.衍射圖樣強(qiáng)度分布：4.頻譜在x方向的截面圖：令fy=0

第3章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性§3.1透鏡的相位變換作用§3.1透鏡的相位變換作用

幾何光學(xué)中,透鏡是折射成像元件,將物點(diǎn)變換為像點(diǎn),物、像點(diǎn)均可在無窮遠(yuǎn)物理光學(xué)中,透鏡是實(shí)現(xiàn)位相變換的元件,其前后表面的光場復(fù)振幅分布不同.需要首先解決:透鏡的位相變換,透鏡的F.T.性質(zhì)基本假設(shè)透鏡是薄的,忽略折射引起的光線的橫向偏移透鏡無吸收,完全透明,均勻,折射率為n,不改變光場振幅,

僅改變位相透鏡孔徑為無限大(以后再考慮孔徑影響)§3.1透鏡的相位變換作用無像差的正薄透鏡對(duì)點(diǎn)光源的成像過程：P1P2qpSSSSSS’x-yO1O2z薄透鏡近似：1.忽略折射引起的光線的橫向偏移2.P1、P2面是同一x-y平面的前后表面從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)看，圖示的成像過程是點(diǎn)物成點(diǎn)像從波面變換的觀點(diǎn)看：透鏡將一個(gè)發(fā)散球面波變換成一個(gè)會(huì)聚球面波?！?.1透鏡的相位變換作用

P1P2qpSSSSSS’x-yO1O2z定義透鏡的復(fù)振幅透過系數(shù):

P1面是發(fā)散球面波分布：P2面是會(huì)聚球面波分布:略去常數(shù)位相因子透鏡的復(fù)振幅透過率或相位變換因子為：

§3.1透鏡的相位變換作用

由透鏡成像的高斯公式:

f為透鏡的像方焦距。透鏡的相位變換因子可簡單地表為此變換與入射波的復(fù)振幅無關(guān),它實(shí)現(xiàn)變換:單位振幅的平面波垂直入射，P1面上的復(fù)振幅分布Ul(x,y)=1，在平面P2上造成的復(fù)振幅分布為:正透鏡:f>0,表示一個(gè)向透鏡后方f處的焦點(diǎn)F會(huì)聚的球面波。這是一個(gè)球面波的表達(dá)式負(fù)透鏡，f<0,表示一個(gè)由透鏡前方-f處的虛焦點(diǎn)F’發(fā)出的發(fā)散球面波。與幾何光學(xué)的結(jié)果相同§3.1透鏡的相位變換作用若考慮透鏡的有限尺寸,可引入孔徑函數(shù)P(x,y),(一般是圓域函數(shù)或矩孔函數(shù)),其中P(x,y)的坐標(biāo)原點(diǎn)與透鏡中心重合則:

透鏡對(duì)光波的相位變換作用，是由透鏡本身的性質(zhì)決定的，與入射光波復(fù)振幅Ul(x,y)的具體形式無關(guān)。Ul(x,y)可以是平面波的復(fù)振幅，也可以是球面波的復(fù)振幅，還可以是某種特定分布的復(fù)振幅.只要傍軸條件滿足，薄透鏡就會(huì)以上述形式對(duì)Ul(x,y)進(jìn)行相位變換。§3.1透鏡的相位變換作用任何衍射屏,若其復(fù)振幅透過率可寫為 的形式,都可看成一個(gè)焦距為f

的透鏡屏的復(fù)振幅透過率:問:1.是否類似透鏡?2.焦距?3.成像的波長特性?例(P49,2.9題)解:#例(續(xù))設(shè)a>0,分別考察圓括號(hào)中的三項(xiàng):代表正透鏡焦距f=k/2a=p/al代表負(fù)透鏡焦距f=-k/2a=-p/al代表平鏡,焦距f=∞,無焦度,僅衰減振幅circ(r0/l)是孔徑函數(shù)P(x,y),代表直徑為l的圓孔.

§3.1透鏡的相位變換作用:例

討論

此屏類似透鏡,等效于平、凹、凸三個(gè)透鏡,可作位相變換三個(gè)透鏡的直徑為2l,焦距分別為∞,-

/a

和

/a

.當(dāng)單色平面波垂直入射時(shí),有三部分出射光束(1)直接透過,循原方向傳播(2)會(huì)聚到透鏡后焦面處,與透鏡距離為

/a

(3)從透鏡前焦點(diǎn)

/a

處發(fā)散的球面波正、負(fù)透鏡的焦距與波長有關(guān),即有很大的色差.只有用單色光照明,才能得到清晰的像三個(gè)衍射級(jí)不能完全分開#、

3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

光學(xué)系統(tǒng)的一般描述光學(xué)系統(tǒng)由孔徑和透鏡組成,光波由一個(gè)平面向另一個(gè)平面?zhèn)鞑タ讖?真實(shí)開孔,屏,透明片等用復(fù)振幅透過率t(x0,y0)描述,y0x0U0(x0,y0,0-)U0(x0,y0,0+)t(x0,y0)U0(x0,y0,0+)=U0(x0,y0,0-)t(x0,y0)Ul

(x’,y’)Ul’(x’,y’)透鏡:實(shí)現(xiàn)位相變換:透鏡光瞳函數(shù)：§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

光學(xué)系統(tǒng)的一般描述

傳播

光波由一個(gè)平面(x0,y0)向另一個(gè)平面(x,y)傳播一段距離(z).y0x0U(x,y)U0(x0,y0)yxzz有限距離的傳播用菲涅耳衍射處理.在空域有二種表達(dá)形式#

菲涅耳衍射公式

觀察平面

孔徑平面

空域

U(x,y)

U(x0,y0)F.T.表達(dá):U(x,y)

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

光學(xué)系統(tǒng)的一般描述

上述基本單元和過程組成光學(xué)系統(tǒng)ylxlU(xi,yi)U0(x0,y0)yixizy0x0UlUl’did0分析時(shí)注意：確定坐標(biāo)系：

一個(gè)特定平面用一組固定的xy坐標(biāo)描述,不要混淆正確描述入射光波復(fù)振幅U(x,y) (平面波:垂直入射或斜入射;球面波:會(huì)聚或發(fā)散)光波由左向右傳播,傳播距離標(biāo)絕對(duì)值遇到孔徑:乘上透過率函數(shù)t(x,y),遇到透鏡:乘上位相變換因子傳播過程:

看成菲涅耳衍射,采用適當(dāng)?shù)男问皆谝欢ǖ膸缀侮P(guān)系下,可以得到傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)#

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前Ul’Ulx’-y’∑p透鏡前|后平面P1

|P2qpS’Sx-yzt

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:輸入面輸出面S:

單色點(diǎn)光源發(fā)出球面波照明物體t

(x0,y0)的前表面S’:S的共軛像點(diǎn)。注意：x-y平面不是t

(x0,y0)的像平面。要證明：t

(x0,y0)的傅里葉變換T(fx,fy)出現(xiàn)在x-y平面上。

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前

t

(x0,y0)的傅里葉變換T(fx,fy)出現(xiàn)在x-y平面上Ul’Ulx’-y’∑p透鏡前|后平面P1

|P2x-yzqpS’St

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:輸入面輸出面基本思路直接寫出發(fā)散球面波復(fù)振幅分布復(fù)振幅透過率菲涅耳衍射透鏡位相變換菲涅耳衍射物像共軛關(guān)系：

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前

在傍軸近似下，單色點(diǎn)光源發(fā)出的球面波在物的前表面上形成的場分布為：透過物體，從輸入面上出射的光場為：從輸入平面出射的光場傳播到透鏡平面P1，為菲涅耳衍射：略去常數(shù)相位因子，Σ0為物函數(shù)所在的范圍

P2

平面(緊靠透鏡后)光場復(fù)振幅:透鏡的光瞳函數(shù)

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前輸出面上，即光源的共軛面上的光場分布為:

下面的步驟：

將Ul(x’,y’)的表達(dá)式代入,對(duì)位相因子進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和整理；利用物像共軛關(guān)系1/p+1/q=1/f，將位相因子進(jìn)一步化簡;先不考慮透鏡有限孔徑的影響，對(duì)∑p積分可擴(kuò)展到無窮；利用概率積分公式

完成積分§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前:結(jié)果輸入平面位于透鏡前，在光源共軛面上場分布的一般公式:

(3-2-2)照明光源和觀察平面的位置始終保持共軛關(guān)系，因此式中的q由照明光源位置p和焦距f決定。

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前:討論輸入平面位于透鏡前，在光源共軛面上場分布的一般公式:

二次位相因子F.T.的核(1)d0=f,輸入平面位于透鏡前焦面:§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前:討論(1).

d0=f,輸入平面位于透鏡前焦面:只要照明光源和觀察平面滿足共軛關(guān)系，衍射場的復(fù)振幅分布是物函數(shù)的準(zhǔn)確的傅里葉變換。觀察面上空間頻率與位置坐標(biāo)的關(guān)系始終為fx=x/lf,fy=y/lf.當(dāng)照明光源位于光軸上無窮遠(yuǎn)，即平面波垂直照明時(shí)，q=f，這時(shí)觀察平面位于透鏡后焦面。

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

1.物在透鏡前:討論(2)d0=0,輸入面緊貼透鏡:

此時(shí)，衍射物體的復(fù)振幅透過率與觀察面上的場分布，不是準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，有一個(gè)二次相位因子。觀察面上的空間坐標(biāo)與空間頻率的關(guān)系為fx=x/lq,fy=y/lq

，隨q的值而不同。也就是說，頻譜的空間尺度上能按一定的比例縮放，這對(duì)光學(xué)信息處理的應(yīng)用將帶來一定的靈活性，并且也利于充分利用透鏡孔徑。§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

2.物在透鏡后方,平面波照明∑p透鏡前|后平面P1

|P2x’-y’Ul’t

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:輸入面x-yzS’輸出面f第一步：直接寫出∑0前表面的光場分布：第二步：寫出∑0后表面的光場分布：§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

2.物在透鏡后方,平面波照明∑p透鏡前|后平面P1

|P2x’-y’Ul’t

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:輸入面x-yzS’輸出面f第三步：由x0-y0平面?zhèn)鬏數(shù)接^察平面x-y上造成的場分布為（利用Fresnel衍射的F.T.表達(dá)式，注意z=f-d0

）：§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

2.物在透鏡后方對(duì)于平面波照明，得到：

對(duì)于球面波照明，得到：

仍為物體的F.T.,但

1.仍有二次位相因子

2.頻譜面取值fx=xf/

(q-d0),fy=yf/(q-d0),隨距離d0

而變.通過調(diào)整d0,可改變頻譜的尺度

當(dāng)d0=0時(shí)，結(jié)果與物在透鏡前相同，即物從兩面緊貼透鏡都是等價(jià)的。§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都是傅里葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場都是夫瑯和費(fèi)型。透鏡的作用:透鏡將照明光波變換成會(huì)聚球面波,會(huì)聚點(diǎn)是照明點(diǎn)光源的共軛像點(diǎn).從而在此會(huì)聚點(diǎn)處(注意:不是物本身的像點(diǎn))得到物的F.T.,但比例尺度改變.§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)：小結(jié)我們特別關(guān)注物在透鏡前,q=f,d0=f

的特殊情形。此時(shí)

用單色平面波照明物體，物體置于透鏡的前焦面，則在透鏡的后焦面上得到物體的準(zhǔn)確的傅里葉變換。透鏡的后焦面稱為頻譜面?！?.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)物理解釋

后焦面上光場分布與頻譜的對(duì)應(yīng)關(guān)系物分布t

(x0,y0)是一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu),含有多種空頻成分.它調(diào)制入射的均勻平面波,使透射光場攜帶物體的信息.透射光場的角譜代表物函數(shù)的頻譜,即含有向不同方向衍射的許多平面波.其中向

角方向衍射的平面波分量經(jīng)過透鏡后聚焦到(0,yf)點(diǎn).由幾何關(guān)系易見:

yf=ftan

fsin

=fcosb

方向余弦(近軸近似)此平面波分量的空頻fy=cosb

=yf/

f后焦面上(0,yf)點(diǎn)的復(fù)振幅,對(duì)應(yīng)空頻為(fx=0,fy=yf/

f)的平面波分量的振幅和位相.推廣之,任意(xf,yf)點(diǎn)的復(fù)振幅,對(duì)應(yīng)空頻為(fx=xf/

f,fy=yf/

f)的平面波分量的振幅和位相.∴透鏡的后焦面是物體的頻譜面.#§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面透鏡后焦面上不同位置的點(diǎn),對(duì)應(yīng)物體衍射光場的不同空間頻率分量xffx2fx2>

fx1fx1fx0xffx2fx1fx2>

fx1§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面F.T.F.T.頻譜點(diǎn)出現(xiàn)在與空間條紋結(jié)構(gòu)垂直的方向上.

§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

變換的尺度問題對(duì)應(yīng)于物的同一空頻分量,變換的尺度隨波長和焦距而變f1xf=lffx,yf=lffyl1l2l2>l1f2>f1f2§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

3、透鏡的孔徑效應(yīng)透鏡光瞳函數(shù)為P(x,y)物體緊靠透鏡：有效物函數(shù)為物在透鏡后:透鏡形成會(huì)聚球面波,在物面上形成投影光瞳函數(shù):有效物函數(shù)為在頻譜面上得到有效物函數(shù)的傅里葉變換。物在透鏡前:投影光瞳函數(shù)更復(fù)雜一些，暫不討論。x’-y’∑0S’d0x-yx0-y0∑pq例題

單位振幅的單色平面波垂直照明一個(gè)直徑為5cm,焦距為80cm的透鏡。在透鏡的后面20cm的地方，以光軸為中心放置一個(gè)余弦型振幅光柵，其復(fù)振幅透過率為假定L=1cm,f0=100周/cm,l=0.6mm。畫出焦平面上沿xf軸的強(qiáng)度分布。標(biāo)出各衍射分量之間的距離和各個(gè)分量的寬度（第一個(gè)零點(diǎn)之間）的數(shù)值。x’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf例題透鏡:D=5cm,f=80cm,物體：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm解：由幾何關(guān)系可知，在物面上投影光瞳大于物體尺寸，故可不考慮透鏡孔徑的效應(yīng)。單位振幅的單色平面波垂直照明，q=f,透鏡后焦面上出現(xiàn)物體的傅里葉變換，但有一個(gè)二次位相因子。復(fù)振幅分布：x’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf強(qiáng)度分布:例題透鏡:D=5cm,f=80cm,物體：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cmx’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf強(qiáng)度分布:例題透鏡:D=5cm,f=80cm,物體：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm強(qiáng)度分布:沿fx軸:∵f0>>1/L,∴將代入,并取l=0.6mm:q=f例題透鏡:D=5cm,f=80cm,物體：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm將代入,并取l=0.6mmf0=100,l(q-d0)=3.610-30.36xf03.610-3-3.610-3-0.36I0第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性§3-4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析

目的:從單透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)入手,研究評(píng)價(jià) 透鏡成像質(zhì)量的頻域方法。物平面上小面元的光振動(dòng)為單位脈沖即δ函數(shù)時(shí)，通過透鏡產(chǎn)生的像場分布函數(shù)稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)或脈沖響應(yīng)。通常用表示。物平面上任一小面元的光振動(dòng)像平面上所造成的光振動(dòng)分布成像系統(tǒng)脈沖響應(yīng)線性疊加任何物面光場分布像面光場分布系統(tǒng)將透鏡成像看成線性不變系統(tǒng)的變換1、透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)單色光照明

緊靠物后的復(fù)振幅分布:U0(x0’,y0’)(x0’,y0’)點(diǎn)處發(fā)出的單位脈沖為；d(x0-x0’,y0-y0’)

沿光波傳播方向，逐面計(jì)算后面三個(gè)特定平面上的場分布?？勺罱K導(dǎo)出一個(gè)點(diǎn)源的輸入輸出關(guān)系。

1、透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)利用菲涅耳公式，透鏡前表面:可寫成：x0,y0

平面上的一個(gè)點(diǎn)源，在透鏡前平面上產(chǎn)生的分布。1、透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)透鏡后的透射光場復(fù)振幅:透鏡后表面

xi,yi平面:再次運(yùn)用菲涅耳衍射公式：棄去常數(shù)位相因子,物像平面的共軛關(guān)系滿足高斯公式

1、透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)簡化成：成像透鏡的橫向放大率

1、透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)于是：可以寫成的形式，即這說明，在近軸成像條件下，透鏡成像系統(tǒng)是空不變的。透鏡的脈沖響應(yīng)等于透鏡孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)處。透鏡孔徑的衍射作用,決定于孔徑線度相對(duì)于波長和像距的比例。對(duì)孔徑平面上的坐標(biāo)做如下變換：透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)表達(dá)式：|M|=di/d01、透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)表達(dá)式：當(dāng)孔徑大小比l大得多時(shí)，可認(rèn)為ldi→0，則在x-y坐標(biāo)中，此時(shí)透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)變成：這時(shí)物點(diǎn)成像為一個(gè)像點(diǎn)，即幾何光學(xué)理想像。

2、衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

理想成像：點(diǎn)物通過系統(tǒng)后形成點(diǎn)像。實(shí)際像質(zhì)受多種因素限制。衍射受限系統(tǒng)：不考慮系統(tǒng)的幾何像差，像質(zhì)僅僅受到系統(tǒng)衍射 效應(yīng)的限制，即成像光束大小的限制。成像系統(tǒng)的黑箱模型：1.物面入瞳:菲涅耳衍射3.出瞳像面:菲涅耳衍射2.透鏡系統(tǒng):黑箱.只考慮邊端(入瞳與出瞳之間)的變換關(guān)系2、衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)當(dāng)像差很小或者系統(tǒng)的孔徑和視場都不大，實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)就可近似看做衍射受限系統(tǒng)。這時(shí)物面上任一點(diǎn)源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被光組變換為出瞳上的會(huì)聚球面波。衍射效應(yīng)可以歸結(jié)為入瞳(阿貝理論）或出瞳（瑞利理論）對(duì)于成像光波的限制，本課程采用瑞利的說法。

物點(diǎn)：發(fā)出球面波，像方：以理想像點(diǎn)為中心的會(huì)聚球面波，它照明出射光瞳的 有限孔徑。在像平面（照明光波的會(huì)聚平面）產(chǎn)生以 理想像點(diǎn)為中心的出瞳孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射花樣。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為2、衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)若略去積分號(hào)前的系數(shù)，脈沖響應(yīng)就是光瞳函數(shù)的傅里葉變換，即衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，其中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn)處。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為復(fù)常數(shù)光瞳函數(shù)光瞳面到像面的距離

如果光瞳足夠大， 過渡到幾何光學(xué)的理想成像：

3、相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律相干照明:x0BAy0xiB’A’yiBlackBoxA,B兩點(diǎn)光振動(dòng)相干,則引起的以A’,B’為中心的兩個(gè)分布也相干.應(yīng)將其干涉圖樣求出后,再作模方求強(qiáng)度。非相干照明:x0BAy0xiB’A’yiBlackBoxA.B兩點(diǎn)在像面上某點(diǎn)引起的復(fù)振幅沒有確定的位相關(guān)系。觀察到的強(qiáng)度是多個(gè)像點(diǎn)強(qiáng)度的疊加，即非相干疊加本節(jié)的目的：確定在相干照明下，某一給定的物復(fù)振幅分布通過衍射受限系統(tǒng)后，在像平面上形成的像復(fù)振幅分布和光強(qiáng)分布3、相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律設(shè)物的復(fù)振幅分布為U0(x0,y0)，在相干照明下，物面上各點(diǎn)是完全相干的。由于光波傳播的線性性質(zhì)，像的復(fù)振幅分布可以表達(dá)為物的復(fù)振幅分布與脈沖響應(yīng)函數(shù)的疊加積分:

稱為U0(x0,y0)的幾何光學(xué)像——理想像

3、相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律像平面的復(fù)振幅分布：物理意義：衍射受限成像系統(tǒng)可看成線性空不變系統(tǒng)。物通過衍射受限系統(tǒng)后的像分布是的理想像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積。像的強(qiáng)度分布為:3、相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律衍射受限成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與光瞳函數(shù)的關(guān)系已經(jīng)證明了：可導(dǎo)出：并有:第五章成像系統(tǒng)§5.1衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)

衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)

在相干照明下的衍射受限系統(tǒng)，對(duì)復(fù)振幅的傳遞是線性空不變的。像的復(fù)振幅分布是的理想像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積。成像特性在空域中的描述：成像特性在頻域中的描述：

頻域中描述系統(tǒng)的成像特性的頻譜函數(shù)Hc(fx,fy)稱為衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)，記作CTF。在頻域中：在反射坐標(biāo)系中，或?qū)τ趯?duì)稱光瞳：衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)在反射坐標(biāo)系中，或?qū)τ趯?duì)稱光瞳：相干傳遞函數(shù)的函數(shù)形式就是光瞳函數(shù)。取“0”、“1”二值1:全部通過，無畸變0：全部阻塞，截止當(dāng)P(x,h)≡1(即光瞳無限大)或當(dāng)

→0,均可認(rèn)為:P(ldifx,ldifx)≡1在這些近似下，Hc(fx,fy)=1，像的頻譜是物頻譜的精確復(fù)現(xiàn)。過渡到幾何光學(xué)近似:像平面上得到幾何光學(xué)的理想像對(duì)于實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)，有一個(gè)由光瞳大小決定的有限通頻帶。比例變化(

difx,

dify)決定了截止頻率fcut.

衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)例：1.出瞳為直徑D的圓形孔徑相干傳遞函數(shù):為沿各個(gè)方向的截止頻率(像面截止頻率)物面上的截止頻率fcuto=|M|

fcut衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)2.出瞳為邊長a的正方形相干傳遞函數(shù):為沿fx軸和fy軸方向的截止頻率(像面截止頻率系統(tǒng)的最大截止頻率在與x軸成45°角方向

衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)相干傳遞函數(shù)的角譜解釋考慮像面上光軸附近很小的區(qū)域.從出瞳平面出射并能到達(dá)此區(qū)域的平面波,最大傾角為qx:在近軸近似下,sinqx≈l/2di沿x方向(fx軸)的截止頻率沿某方向的截止頻率=此方向上光瞳的總寬度2ldi(對(duì)稱光瞳)衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)M=1的相干成像系統(tǒng)

di=2f=10cm，

=10-4cm光闌縫寬l=3cm，物體的復(fù)振幅透過率:

解:相干系統(tǒng)對(duì)復(fù)振幅分布進(jìn)行線性變換像的強(qiáng)度分布

像復(fù)振幅分布

像復(fù)振幅頻譜＝幾何像復(fù)振幅的頻譜（物頻譜）×相干傳遞函數(shù)（無限窄的單縫∥y0軸的陣列，周期d=0.01mm）求像的強(qiáng)度分布衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)輸入頻譜:注意:不是余弦光柵,空頻有無限多個(gè)諧波分量.傳遞函數(shù):Hc(fx)=rect(fx/2fcut)=截止頻率只有零頻和基頻的頻譜成分能夠通過輸出頻譜:像的復(fù)振幅分布1|fx|<f00其它衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)每個(gè)狹縫產(chǎn)生會(huì)聚球面波,將孔徑(單縫)的F.T.投射到像平面上.產(chǎn)生許多位移的衍射圖樣，它們相干疊加.*=0hUi3xi-1UgfxGg0-1/d1/dfxGi0-1/d1/d0fcutfHc1

=-fcut衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)光柵線仍能分辨,但已平滑變形,并出現(xiàn)附加結(jié)構(gòu).像面具有強(qiáng)度變化(條紋結(jié)構(gòu))的必要條件是至少有兩個(gè)頻譜分量能通過.系統(tǒng)通頻帶越寬,像與物越相似.Ug幾何像復(fù)振幅Ui3xi-1d-d實(shí)際像復(fù)振幅d-d實(shí)際像強(qiáng)度分布Ii(xi)=|Ui(xi)|2衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)作業(yè)：P87:3.2

提示:1.正確寫出入射波的復(fù)振幅分布

2.至少有兩個(gè)空頻分量通過,像 面才有條紋第3章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性3.6衍射受限系統(tǒng)的非相干傳遞函數(shù)

1、非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）照明光源的相干性問題:

物理圖像相干照明:x0BAy0xiB’A’yiBlackBox非相干照明:x0BAy0xiB’A’yiBlackBoxA,B兩點(diǎn)光振動(dòng)相干,則引起的以A’,B’為中心的兩個(gè)分布也相干.應(yīng)將其干涉圖樣求出后,再作模方求強(qiáng)度。A.B兩點(diǎn)在像面上某點(diǎn)引起的復(fù)振幅沒有確定的位相關(guān)系。觀察到的強(qiáng)度是多個(gè)像點(diǎn)強(qiáng)度的疊加，即非相干疊加。本節(jié)的目的：確定在非相干照明下，某一給定的物強(qiáng)度分布通過衍射受限系統(tǒng)后，在像平面上形成的像強(qiáng)度分布。1、非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）非相干成像系統(tǒng)是光強(qiáng)度的線性空不變系統(tǒng)

在非相干照明下物像關(guān)系可以表示為（空域）:像強(qiáng)度分布實(shí)常數(shù)物強(qiáng)度分布(幾何像)強(qiáng)度脈沖響應(yīng)也稱為非相干脈沖響應(yīng)、強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，是點(diǎn)物產(chǎn)生的衍射斑的強(qiáng)度分布光強(qiáng)脈沖響應(yīng)hI(xi,yi)與復(fù)振幅點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的關(guān)系:在相干照明時(shí),復(fù)振幅變換的脈沖響應(yīng)可寫為相干成像系統(tǒng)是光場復(fù)振幅的線性空不變系統(tǒng)非相干成像系統(tǒng)是光強(qiáng)度的線性空不變系統(tǒng)1、非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度變換的線性空不變系統(tǒng).物像關(guān)系滿足卷積積分.像強(qiáng)度分布是物體上所有的點(diǎn)源產(chǎn)生的像斑按強(qiáng)度疊加的結(jié)果為了考察衍射受限系統(tǒng)在非相干照明下成像的頻率響應(yīng)特性,

可以對(duì)空域關(guān)系式作F.T.求像的頻譜.(忽略常系數(shù))1、非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）Ii(xi,yi)=Ig(xi,yi)*hI(xi,yi)Ai(fx,fy)=Ag(fx,fy).

HI(fx,fy)實(shí)際像(輸出)強(qiáng)度頻譜理想像(輸入)強(qiáng)度頻譜F.T.F.T.F.T.傳遞函數(shù)1、非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）實(shí)際上我們并不關(guān)心像的總強(qiáng)度(包括零頻分量在內(nèi)),而是關(guān)心其變化程度(即攜帶信息的那部分光強(qiáng)相對(duì)于零頻分量的比值）所以可以對(duì)以上各個(gè)頻譜函數(shù),用各自的零頻分量進(jìn)行歸一化處理.令零頻處取值為1,而變化部分(非零頻分量)取值即為相對(duì)零頻值的大小，即獲得歸一化頻譜:

ig1、非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）歸一化頻譜

Ai(fx,fy)=Ag(fx,fy).

HI(fx,fy)定義:光強(qiáng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的歸一化頻譜為光學(xué)傳遞函數(shù)

OpticalTransferFunction,OTF這些歸一化頻譜仍然滿足關(guān)系式:

i(fx,fy)=g(fx,fy).(fx,fy)OTF是比CTF用得更為廣泛的函數(shù),描述非相干成像系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)，已成為光學(xué)儀器業(yè)評(píng)價(jià)鏡頭質(zhì)量的重要手段.2.OTF與CTF的關(guān)系光學(xué)傳遞函數(shù)與相干傳遞函數(shù)分別描述同一系統(tǒng)采用非相干和相干照明時(shí)的傳遞函數(shù)，它們都決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。自相關(guān)定理帕色伐定理光學(xué)傳遞函數(shù)等于同一系統(tǒng)相干傳遞函數(shù)的歸一化自相關(guān)函數(shù)。這一結(jié)論對(duì)有像差的系統(tǒng)和沒有像差的系統(tǒng)都完全成立3.衍射受限的OTF對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，已知：

是光瞳函數(shù)

把它代入前式，得到：

對(duì)于光瞳函數(shù)只有1和0兩個(gè)值的情況，分母中的P2可以寫成P。上式表明衍射受限系統(tǒng)的OTF是光瞳函數(shù)的自相關(guān)歸一化函數(shù)。3.衍射受限的OTF：幾何解釋兩個(gè)錯(cuò)開光瞳的相對(duì)位置,與指定空頻分量相對(duì)應(yīng)光瞳為簡單函數(shù)時(shí),OTF可以直接計(jì)算,復(fù)雜情況時(shí)要用面積儀或計(jì)算機(jī).3.衍射受限的OTF例1.出瞳為邊長l

的正方形:fcut:相干截止頻率OTF的截止頻率是CTF的兩倍3.衍射受限的OTF例2:出瞳是直徑為D的圓形孔徑沿fx軸計(jì)算:cosq=ldifx/DD以上兩例都可以看出,OTF的截止頻率是相同光瞳的CTF截止頻率的二倍3.衍射受限的OTF：OTF的一般性質(zhì)1．(0,0)=1由于(fx,fy)是光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)函數(shù)，定義本身保證了這一性質(zhì)的成立。2．|(fx,fy)|≤|(0,0)|

這一結(jié)論很容易從兩個(gè)光瞳錯(cuò)開后重疊的面積小于完全重疊面積得出。3.(fx,fy)有一截止頻率。當(dāng)fx,fy足夠大，兩光瞳完全分離時(shí)，重疊面積為零。此時(shí)(fx,fy)=0，即在截止頻率所規(guī)定的范圍之外，光學(xué)傳遞函數(shù)為零，像面上不出現(xiàn)這些頻率成分。調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）

(fx,fy)一般為復(fù)函數(shù),可寫為

(fx,fy)=m(fx,fy)exp[jf(fx,fy)]其中m(fx,fy)(即OTF的模)稱為調(diào)制傳遞函數(shù)MTF（ModulationTransferFunction）相應(yīng)地,f(fx,fy)稱為相位傳遞函數(shù)。描寫了系統(tǒng)對(duì)各頻率分量對(duì)比度的傳遞特性描述了系統(tǒng)對(duì)各頻率分量施加的相移對(duì)于中心對(duì)稱的光瞳(光瞳函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)),OTF是實(shí)函數(shù),故OTF=MTF.調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）MTF的重要性調(diào)制度modulation,又稱為對(duì)比度、反襯度是評(píng)價(jià)像質(zhì)的定量方法之一。像的調(diào)制度V的定義:IM:最大光強(qiáng)Im:最小光強(qiáng)0,即IM=Im，像面光強(qiáng)無變化;1,即Im=0，對(duì)比度最高,條紋結(jié)構(gòu)最清晰。V=0<V<1調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）例如：光強(qiáng)分布為余弦型為余弦振幅與均值之比所以均值為1(B=1)的余弦型光強(qiáng)變化幅度A就是調(diào)制度?？梢宰C明：設(shè)：考慮一維情形,物上光強(qiáng)分布通過衍射受限的非相干光學(xué)成像系統(tǒng)成像，放大率為1，則hI(xi)1+mcos2pf0x0Ii(xi)調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）展開卷積式:進(jìn)一步展開積分式:調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）123第一項(xiàng)是像強(qiáng)度的直流分量（均值）第二項(xiàng)中的積分是而{hI(x)}={|h(x)|2}=HC★HCHC={h(x)}第三項(xiàng)積分是[{hI(x)}]*=[HC★HC]*調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）★I0★HC★HC一般是復(fù)函數(shù)★★輸入像調(diào)制度:

V入

=m輸出像調(diào)制度★

★★★★調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）

調(diào)制傳遞函數(shù)★★空頻為f0,調(diào)制度為m的余弦條紋，經(jīng)過非相干成像系統(tǒng)后,成為空頻f0,調(diào)制度為

m|OTF|fx=f0的余弦條紋.這也是OTF的物理意義由于|MTF|<|MTF(0,0)|=1,所以成像后的對(duì)比度一定下降。上述分析適合于任何復(fù)雜物體的非相干光照明成像。3.衍射受限的OTF例3

M=1的非相干成像系統(tǒng)

di=2f=10cm,

=10-4cm光闌縫寬l=2cm（無限窄的單縫∥y0軸的陣列，周期d=0.01mm）物體的強(qiáng)度透過率:理想光柵3.衍射受限的OTF例3思路:首先求出物(幾何像)強(qiáng)度的頻譜,并確定系統(tǒng)的OTF與截止頻率

在通頻帶內(nèi)對(duì)于每個(gè)物頻譜分量求出OTF的值求出像頻譜綜合出像強(qiáng)度

解:(1)M=1,單位強(qiáng)度的平面波垂直照明.幾何光學(xué)理想像分布 等于物體的強(qiáng)度透過率.Ig(x0)=∑δ(x0-nd)(2)輸入的歸一化頻譜:3.衍射受限的OTF例3(3)系統(tǒng)的OTF:

(fx)=tri(fx/2f0)f0=CTF的截止頻率=l/(2ldi)∵M(jìn)=1.di=2f=10cm.截止頻率2f0=l/ldi=200周/mm(4)輸入的歸一化頻譜中有三項(xiàng)通過:fx=0,+100周/mm,

相應(yīng)的OTF值:tri(0)=1,tri(+1/2)=1/2(5)輸出的歸一化強(qiáng)度頻譜:

(6)像面光強(qiáng)分布調(diào)制度m=1的余弦條紋與理想幾何像相比,光柵線仍能分辨,但清晰度降低3.衍射受限的OTF例3與理想幾何像相比,光柵線仍能分辨,但清晰度降低如果2f0<1/d,將看不到光柵像.本