等差數(shù)列典型例題及分析(必看)

1.數(shù)列：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.2.項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1），3.通項(xiàng)公式：一般地，如果數(shù)列｛a｝的第ｎ項(xiàng)與序號(hào)ｎ之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來n表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列.r5.無窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列6.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）及相鄰兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，其關(guān)健是先求出a1,a2,然后用遞推關(guān)系逐一寫出數(shù)列中的項(xiàng).7.等差數(shù)列:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中項(xiàng):如果這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么我們把叫做ａ和ｂ的等差中項(xiàng)．二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點(diǎn)：（1）數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列2）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)3）數(shù)列看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函數(shù).r2.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通常不是唯一的.r3.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和Sn與an之間的關(guān)系：an=-Sn-1a(n>2),則a不用分段形式表示，切不可不求a而直接求a.一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（n,a）均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定n一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列.5、對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式的理解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式可變形為n，若令A(yù)B＝a1則Sn＝An2+Bn.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1]已知數(shù)列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.（1）指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式2）指出1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和.錯(cuò)解1）a=3n+7;n不是它的通項(xiàng).正解1）a=3n－2;nnnnnnn錯(cuò)因：在對(duì)數(shù)列概念的理解上，僅注意了a＝S－S與的關(guān)系，沒注意a=S.4n-3nn::S40=S30+d=100.錯(cuò)因：將等差數(shù)列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差數(shù)列誤解為Sm,S2m,S3m成等差數(shù)列.n7錯(cuò)解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令a=7n+1;b=4n+27.錯(cuò)因：誤認(rèn)為nnnn:{a}前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)，n:Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5)當(dāng)n≥6時(shí)，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an|=錯(cuò)因：一、把n≤5理解為n=5，二、把“前n項(xiàng)和”誤認(rèn)為“從n≥由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？2n+大2）前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最??？nn+2n2nn2nn1n，求an及Sn。n2212)A．72B．60C．48D．36rn}是等差數(shù)列，且滿足am=n,an=m(m≠n)，則am+n等于。1.等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同公比通常用字母q表示.2.等比中項(xiàng)：若a,G,b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項(xiàng).EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up29(q),q)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up29(1),1)二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不為0.2.對(duì)于公比q，要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.r3.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說此數(shù)列從.第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.4.在已知等比數(shù)列的a1和q的前提下，利用通項(xiàng)公式an=a1qn-1,可求出等比數(shù)列中的任5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).的圖象是函數(shù)x的圖象上的一群孤立的點(diǎn).三、經(jīng)典例題導(dǎo)講n}為。A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列nnnn1n:{a}為等比數(shù)列，即B。n錯(cuò)因：忽略了:an=Sn-Sn-1中隱含條件n＞1.當(dāng)n>1時(shí)，:an=Sn-Sn-1=aqn-1(q-1)n:{an}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。:q2＝7，q=±7，錯(cuò)因：是將等比數(shù)列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等比數(shù)列誤解為Sm,S2m,S3m成等比數(shù)列.la1(EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(1),1)-EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(q),q)10錯(cuò)解：a+a2+a3+…+an=1-an.錯(cuò)因：是（1）數(shù)列｛an｝不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（2）用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q是否等于1.2+a3+…+an=1-an.求證：a,b,c成等比數(shù)列且公比為d。22(2)2設(shè)公比為q，則b=aq，c=aq2代入2q22)41n2[例7]從盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，然后加入1kg水，以后每(2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的n112答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg鹽，此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.003125。1=-2,1=-2,1=5,1=5,且2a=-3an求證1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列1（2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的，（3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。1.數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2.應(yīng)用題成為熱點(diǎn)題型，且有著繼續(xù)加熱的趨勢(shì)，因?yàn)閿?shù)列在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛，所以數(shù)列應(yīng)用題占有很重要的位置，解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟1）閱讀理解材料，且對(duì)材料作適當(dāng)處理2）建立變量關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型3）討論變量性增或減的量是具體體量時(shí)，應(yīng)用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)用等比數(shù)列公式．若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則增或減的百分?jǐn)?shù)，加1就是二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.首項(xiàng)為正（或負(fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或最?。﹩栴}，轉(zhuǎn)化為解不等式或解決；2.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公3.等差數(shù)列中,am=an+d,d=等比數(shù)列中，an=amqa1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）數(shù)列；（n∈N+8.若一階線性遞推數(shù)列a=ka+b（k≠0,k≠1）,則總可以將其改寫變形成如下形nn－1式:an+于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；三、經(jīng)典例題導(dǎo)講{ 2 錯(cuò)解：欲證＞logSn+12即證：log(S.S)＞logS2由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證(S.S)＜S2=-aEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(2),1)qn<0:S.S＜S2:原不等式成立.錯(cuò)因：在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，忽視了q＝1的情況.2即證：log(S.S)＞logS2由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證(S.S)＜S2由已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，:q>0,a>0.=-aEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(2),1)qn<0:S.S＜S2:原不等式成立.[例2]一個(gè)球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回至原高度的一半落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng)過了多少米？（精確到1米）錯(cuò)解：因球每次著地后又跳回至原高度的一半，從而每次著地之間經(jīng)過的路程形1成了一公比為的等比數(shù)列，又第一次著地時(shí)經(jīng)過了100米，故當(dāng)它第10次著地時(shí)，2共經(jīng)過的路程應(yīng)為前10項(xiàng)之和.12錯(cuò)因：忽視了球落地一次的路程有往有返的情況.正解：球第一次著地時(shí)經(jīng)過了100米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過223