極坐標(biāo)參數(shù)方程題型歸納7種

極坐標(biāo)與參數(shù)方程(高考真題)題型歸納一、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化’7 ’7 7*A的極坐標(biāo)為A2?—，則I4)1.(2015?廣東理,14)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2psin0-%I 4)點A到直線l的距離為.［立意與點撥］本題考查極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的互化、點到直線的距離，屬于容易題．解答本題先進(jìn)行極直互化，再求距離．二、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化2、設(shè)P是橢帙I2/+刃戶=12上的一個動點，則了+訂的堆大值是.域小位為【解析】橢圓方程為：上+二=1,因為sHx+cos2x=1,令卜="116sm。,則有6 4 ［y=2cosaX+2y=w6sina+4cosa=.<6+16sinG+9),最大值工22,最小值—</22三、根據(jù)條件求直線和圓的極坐標(biāo)方程日畫的參數(shù)方程為日畫的參數(shù)方程為::.:著—的肉為x=3sin^+4cos6, .L,,解析：ilr.門， 1#月-+尸=2口故半徑為解析：ilry=4sin^-3cos^四、求曲線的交點及交點距離4.(2015?湖北高考)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l+15的極坐標(biāo)方程為P(sin0-5的極坐標(biāo)方程為P(sin0-3cos0)=0,曲線C的參數(shù)方程為t（t為參數(shù)），l與C相交于A,B1ly=t++

兩點,則|AB|=【解析】直線l的極坐標(biāo)方程P（sin0-3cos切=0化為直角坐標(biāo)方程為3x-y=0,曲線C的參數(shù)5方程1x二t-丁3x-y=05方程1x二t-丁3x-y=0，y2-X2=4兩式經(jīng)過平方相減，化為普通方程為乎-X2=4，聯(lián)立,，3\：21ly=t+t，B停,亭\：2x=1-寧，5.5.在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），直線l與拋物線y2，y9.（t為參數(shù)，y9.（t為參數(shù)）.以原點為5+當(dāng)，=4x相交于A、B兩點，求線段AB的長.［解析］解法1:將l的方程化為普通方程得l:x+y=3，?y=-x+3，代入拋物線方程y2=4x并整理得x2-10x+9=0，.?交點A（1,2），B（9，-6），故|AB|=泡+82=8<2.2解法2：將l的參數(shù)方程代入y2=4x中得，（2+/t）2=4（1-解之得t1=0，t2=-8短，,1ABi=1tl-12|二8季x/t，2 26.（2015?陜西理，23）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為極點,X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，oC的極坐標(biāo)方程為p=2\,：3sine.（1）寫出。C的直角坐標(biāo)方程；（2）P為直線l上一動點,當(dāng)P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標(biāo).［立意與點撥］考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想；解答本題（1）需熟記極直互化公式；（2）用參數(shù)坐標(biāo)將距離表達(dá)為t的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解.［解析］(1)由P=2\"sine,得P2=2\,"psine,從而有X2+y2=2季V，所以X2+(y-\間2=3.(2)設(shè)P(3+2t,二t),又C(0,、$),則|PC|=\ 3+2t2+T1-\：'32=\「2+12,故當(dāng)t=0時，|PC|取得最小值，此時，P點的直角坐標(biāo)為(3,0).五、利用參數(shù)方程求最值（轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想）了，農(nóng)曲踐孰：<；一如］爐c為參數(shù)）上求-使它到直線qJC=-2^/2-4-—f， 2（f為參數(shù)）的距離最小，并求出讀點坐標(biāo)和最小距離1>［立意與點撥］（用三角函數(shù)作為參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求三角函數(shù)最值問題,著重理解轉(zhuǎn)化思維，用參數(shù)法實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的技巧）TOC\o"1-5"\h\z解：直然心化成普通“程是工?”五-1。 C設(shè)陽求時點為P￡I,門皤凡sin。）則C到直線G的距離d= 十胃+、五一" （\=|sin（-7.| \:例？■爭九即》=苧|由d聯(lián)最小值1 、 Vx=tcosa,8.（2015?新課標(biāo)n高考）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：< （t為參數(shù),t/0），其中0?a<n,y=tsina在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：P=2sine，C3：p=2\「cose.

⑴求c2與C3交點的直角坐標(biāo)；（2）若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB的最大值.X=0,<y=0，或【解】⑴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=,，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為X2+YX=0,<y=0，或X2+y2-2y=0，聯(lián)立' c解解解得,X2+y2-2y3x=0，所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為（0，0）和［金，2⑵曲線C1的極坐標(biāo)方程為e=a（pwR，PW0），其中0?a<n.（此題C1代表的是一條過原點的直線）因此A的極坐標(biāo)為（2sina，a），B的極坐標(biāo)為（2\Acosa，a）.所以|AB|=|2sina-Z^cosa|=4sin1-5n當(dāng)a=工時，|AB|取得最大值，最大值為4.9.（2015?商丘市二模）已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的n'極坐標(biāo)方程為：n'極坐標(biāo)方程為：psin0-716）12,曲線c的參數(shù)方程為x=2+2cosa，y=2sina.⑴寫出直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最大值./ n、［/ n、［解析］⑴7psin0-6I 6)1，qsin。-‘cosS=］，\,'13 1 1??y-2x=2，即1：x-'；'3y+1=0.（2）解法一：由已知可得，曲線上的點的坐標(biāo)為（2+2cosa，2sina），所以，曲線C上的點到直線l的距離d|2+2cosa-d|2+2cosa-213sina+1|n、4cosa+3I3)2+3<2，所以最大距離為2.解法二：曲線C為以（2,0）為圓心，2為半徑的圓.圓心到直線的距離為2，所以，最大距離為2+2=x=2x=2+t彳+ （t為參數(shù)）.y=2-2t當(dāng)sin(0+a)=-1時，|PA|取得最大值，最大值為—ii.已知直線，疊過點尸a,d領(lǐng)斜他以二三6x2y210.（文）（2014?新課標(biāo)I理，23）已知曲線C:4+-=1，直線l:⑴寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A,求|PA的最大值與最小值.x=2cos0,［解析］(1)曲線C的參數(shù)方程為| 八(0為參數(shù))直線l的普通方程為：2x+y-6=0.y=3sin0,（2）曲線C上任意一點P（2cos0,3sin。）到l的距離為d二?4cosC+3sin0-6|.d 2,J5 4則|PA|二i二|5sin(0+a)-6|,其中a為銳角,且tana=-.sn(將d=|AB|sin30利用三角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化化歸思想,高考考點考察學(xué)生思維能力)①匕出了國U的參數(shù)方程;②設(shè)I與圓/+丁=4相交與兩點兒求點尸到兩點的距離之根.

x=14-fees—fl）直線的參數(shù)方程為， 6y=1+fsin—（2）把直線J“ 6（2）把直線J方法戶=近8鼠口+工）方法戶=近8鼠口+工）分別化為普通方程:4得（1+口1尸+（1+:/=4,八（,+1,*-2=。.也則點P到4B兩點的距離之枳為2.㈠為參數(shù)）破曲線q=0883+工）所戳的弦長.43a,+4y+1=0x'+y2-x+y=Ot圓心C（1.-1）,半徑為正圓心到直線的距離d='.驍長=R產(chǎn)一產(chǎn)=入口,=:2 2 2 10 121005方法二：根據(jù)直線參數(shù)方程中t的幾何意義，可知，弦長二|。式2?將方程P=V2cos（^+—）分別化為普通方程：F+y1-x+y=0.44x=n■一r將53r代入國方程y=I f5得：-卜丁I5J35方程化簡，然后用韋達(dá)定理求弦長叫＜=+12—4%t-2 1213.（理）在直角坐標(biāo)系xOy中,過點P（?,｝作傾斜角為a的直線l與曲線C:X2+y2=1相交于不同的兩點M、N.11⑴寫出直線1的參數(shù)方程；（2）求兩+兩的取值范圍.11（根據(jù)直線參數(shù)方程中t的幾何意義,用參數(shù)t表示所求量兩+兩，然后用t的二次方程的韋達(dá)定理,轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)進(jìn)而求范圍，此題較難）<［解析］ (1)3x=亍<［解析］ (1)3x=亍+tcosa,、y=2+tsina,（t為參數(shù)）.<(2)將x=-2-+tcosa,、y=3+tsina.

2(t為參數(shù))代入X2+y2=1中，消去x,y得，t2+(y3cosa+3sina)t由△=(、：’3cosa+3sina)由△=(、：’3cosa+3sina)2-8=12sin2(a+6)-8>0=sin(a+q)>1111

f+f.= +1PMiipni-t1-t2t+1 、：3cosa+3sina廣nll中=」2 1①岫+/、2,\網(wǎng).12七、求動點坐標(biāo)、求變量的值<14.（2015?陜西理<14.（2015?陜西理，23）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為1x=3+2t,y"tiy-2t（t為參數(shù)）.以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，oC的極坐標(biāo)方程為p=2\'3sine.（1）寫出。C的直角坐標(biāo)方程；（2）P為直線l上一動點，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標(biāo).

［立意與點撥］考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想；解答本題⑴需熟記極直互化公式；（2）用參數(shù)坐標(biāo)將距離表達(dá)為t的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解.(2)設(shè)P(3+1t,當(dāng)t)［解析］⑴由P=2\"sin。，得P2=2-'3psin0,從而有X2+y2=2y3y，所以X2(2)設(shè)P(3+1t,當(dāng)t),又C(0,1r3),則|PC|=\3 3+|t2+知-手2=\產(chǎn)2+12,故當(dāng)t=0時，|PC|取得最小值，此時，P點的直角坐標(biāo)為（3,0）.（此處用參數(shù)t來表示所求距離，然后當(dāng)作變量為t的二次函數(shù)，求最值）15.（2016全國卷I）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線c的參數(shù)方程為］'—acost， （t為參數(shù)，a>0）.在1 ［y=1+asint,以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2:p=4cos9.（i）說明c1是哪一種曲線，并將c1的方程化為極坐標(biāo)方程；（口）直線。3的極坐標(biāo)方程為9=a0,其中a0滿足tana0=2,若曲線Q與C2的公共點都在C3上,求a,【解析】：⑴1%=61C0St （t均為參數(shù)）〃?.x2+（y一1）2=a2①y=1+asint???C1為以（0，1）為圓心，a為半徑的圓?方程為x2+y2-2y+1-a2=0:%2+y2=p2，y=psin9，:p2-2psin9+1-a2=0即為C的極坐標(biāo)方程⑵C：p=4cos9，兩邊同乘p得p2=4pcos9 p2=%2+y2，pcos9=xx2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4②,C§：化為普通方程為y=2x由題意：C/口C2的公共方程所在直線即為C3，①一②得：4x-2y+1-a2=0,即為C3?T-a2=0,?.a=1（圓與圓交點所在直線的求法，聯(lián)立圓方程，兩方程相減，可得變量的方程）'n）316.（文）（2015?唐山市二模）在極坐標(biāo)系中，曲線C：p=2acos0（a>0）,l：pcos0-3=-,C與l有且僅I 3J2有一個公共點.n⑴求a; （2）O為極點，A,B為C上的兩點，且/AOB=a,求|OA|+|OB|的最大