2024-2025學(xué)年四川省眉山市東坡區(qū)高二上冊(cè)11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省眉山市東坡區(qū)高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1.下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是（）A.某路口每星期發(fā)生交通事故1次B.冰水混合物的溫度是C.三角形的內(nèi)角和為D.一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊都命中7環(huán)【正確答案】C【分析】根據(jù)現(xiàn)象的分類逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：某路口每星期發(fā)生交通事故1次，這個(gè)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機(jī)現(xiàn)象，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：理想狀態(tài)下冰水混合物的溫度應(yīng)是，這個(gè)事件為不可能現(xiàn)象，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：三角形的內(nèi)角和為，這個(gè)事件為必然現(xiàn)象，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊都命中7環(huán)，這個(gè)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機(jī)現(xiàn)象，故D錯(cuò)誤；故選：C.2.已知某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為，下列說(shuō)法正確的是（）A.患此疾病的病人被治愈的可能性為B.醫(yī)院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈C.如果前9位病人都沒(méi)有治愈，第10位病人一定能被治愈D.醫(yī)院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的【正確答案】A【分析】利用概率的意義直接求解．【詳解】某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為，對(duì)于A，患此疾病的病人被治愈的可能性為，故A正確；對(duì)于B，醫(yī)院接收10位患此疾病的病人，每個(gè)人被治愈的可能性為，不一定有一位病人被治愈，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如果前9位病人都沒(méi)有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，醫(yī)院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故D錯(cuò)誤．故選：A.3.已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（）A. B. C. D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)，展開(kāi)后根據(jù)空間向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，.故選：C4.已知，，則（）A. B. C.0 D.1【正確答案】B【分析】利用空間向量的夾角余弦值公式即可求得.【詳解】解：，，.故選：B.5.進(jìn)入8月份后，我市持續(xù)高溫，氣象局一般會(huì)提前發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)（高溫橙色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為24小時(shí)內(nèi)最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計(jì)算機(jī)生成了20組隨機(jī)數(shù)，結(jié)果如下：116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預(yù)警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預(yù)警，則今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】查出20個(gè)隨機(jī)數(shù)中表示今后3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知表示今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的隨機(jī)數(shù)有：116812730217109361284147318027共10個(gè)，故今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是，故選：B6.接種疫苗是預(yù)防和控制傳染病最經(jīng)濟(jì)、有效的公共衛(wèi)生干預(yù)措施．根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，人在接種某種病毒疫苗后，有不會(huì)感染這種病毒，若有人接種了這種疫苗，則最多人被感染的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】最多人被感染即4人沒(méi)有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率和互斥事件的概率求解.【詳解】由題得最多人被感染的概率為.故選：A方法點(diǎn)睛：求概率常用的方法：先定性（確定所求的概率是六種概率（古典概型的概率、幾何概型的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、條件概率）的哪一種），再定量.7.如圖，某系統(tǒng)由A，B，C，D四個(gè)零件組成，若每個(gè)零件是否正常工作互不影響，且零件A，B，C，D正常工作的概率都為，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】要使系統(tǒng)正常工作，則A、B要都正?；蛘逤正常，D必須正常，然后利用獨(dú)立事件，對(duì)立事件概率公式計(jì)算.【詳解】記零件或系統(tǒng)能正常工作的概率為，該系統(tǒng)正常工作的概率為:,故選：C.8.在正四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題知，在正四面體中，因?yàn)槠矫?，所以是的中心，連接，則，所以.故選：B二、多選題9.已知構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)向量共面的定義分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：令，則，解得，即，，共面，故A選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)：設(shè)，則，此方程組無(wú)解，即，，不共面，故B選項(xiàng)符合題意；C選項(xiàng)：設(shè)，則，此方程組無(wú)解，即，，不共面，故C選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)：設(shè)，則，此方程組無(wú)解，，，不共面，故D選項(xiàng)符合題意；故選：BCD.10.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，該圓錐的母線長(zhǎng)為米，底面圓的半徑為米，為底面圓周上一點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線上的一點(diǎn)，則（

）A.螞蟻爬行的最短路程為米B.當(dāng)螞蟻爬行的路程最短時(shí)，的最大值為C.螞蟻爬行的最短路程為米D.當(dāng)螞蟻爬行的路程最短時(shí)，的最大值為【正確答案】BC【分析】由側(cè)面展開(kāi)圖，可知當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，路程有最小值可判斷AC，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律及性質(zhì)可知為直徑時(shí)由最大值，可判斷BD.【詳解】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，的長(zhǎng)為，，為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，此時(shí)的長(zhǎng)即螞蟻爬行的最短路程，且最短路程為米，A錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)螞蟻爬行的路程最短時(shí)，為的中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，如圖，則，，，則當(dāng)為直徑時(shí)，取得最大值，且最大值為，B正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．11.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知，則在上的投影向量為B.若是四面體的底面的重心，則C.若，則四點(diǎn)共面D.若向量，（都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為【正確答案】BC【分析】根據(jù)投影向量定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解可判斷A；根據(jù)空間向量基本定理可判斷B；根據(jù)四點(diǎn)共面的結(jié)論可判斷C；根據(jù)空間向量基本定理分析可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在上的投影向量為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，是四面體的底面的重心，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，因?yàn)樵趩挝徽换紫碌淖鴺?biāo)為，所以，解得，則在基底下的坐標(biāo)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12.如圖，平面與平面夾角為，四邊形，都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則，兩點(diǎn)間的距離是______．【正確答案】【分析】利用二面角的定義可得出，由空間向量的線性運(yùn)算可得出，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得，即為所求.【詳解】因?yàn)樗倪呅?、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則，，又平面與平面夾角為，即，則，因?yàn)?，由圖易知，，所以，即，兩點(diǎn)間的距離是.故答案為.13.小剛參加一種答題游戲，需要解答A,B,C三道題，已知他答對(duì)這三道題的概率分別為，且各題答對(duì)與否互不影響，若他恰好能答對(duì)兩道題的概率為，則他三道題都答錯(cuò)的概率為_(kāi)__________.【正確答案】##【分析】記小剛解答三道題正確分別為事件，且相互獨(dú)立，根據(jù)題意，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，合理計(jì)算，即可求解.【詳解】解：記小剛解答三道題正確分別為事件，且相互獨(dú)立，且，因?yàn)樗『媚艽饘?duì)兩道題的概率為，可得，整理得，所以他三道題都答錯(cuò)的概率為.故答案.14.某校組織羽毛球比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（每局比賽沒(méi)有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽），兩人第一局獲勝的概率均為，從第二局開(kāi)始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局獲勝的概率為，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為，且一方第一局、第二局連勝的概率為．則打完4場(chǎng)結(jié)束比賽的概率為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】由已知條件可知連勝兩局的概率為，即可求解p，若打完4場(chǎng)結(jié)束比賽，則需一方以獲勝，因此則第4場(chǎng)必須是勝，前3場(chǎng)勝2場(chǎng)即可，有第1、2、4場(chǎng)獲勝，第1、3、4場(chǎng)獲勝，第2、3、4場(chǎng)獲勝三種情況，分別出每種情況的概率，并求和即可.【詳解】解：令事件為一方在第i局獲勝，，則連勝兩局的概率，解得，若打完4場(chǎng)結(jié)束比賽，則需一方以獲勝，因此則第4場(chǎng)必須是勝，前3場(chǎng)勝2場(chǎng)即可，其中一方在第1、2、4場(chǎng)獲勝的概率，其中一方在第1、3、4場(chǎng)獲勝的概率，其中一方在第2、3、4場(chǎng)獲勝的概率，所以打完4場(chǎng)結(jié)束比賽的概率，故答案為.四、解答題15.如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點(diǎn)是與交點(diǎn)．（1）用向量，，表示向量；（2）求異面直線與所成的角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）結(jié)合題意根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可；（2）先利用空間向量的線性運(yùn)算表示向量，，然后根據(jù)空間向量求異面直線所成角的公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，所以，；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，則，，，，，，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以異面直線與所成的角的余弦值為.16.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，，，．求：（1）向量，，的坐標(biāo)；（2），的坐標(biāo)．【正確答案】（1），，（2），【分析】（1）先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法和減法即可.【小問(wèn)1詳解】由已知，則，，；【小問(wèn)2詳解】，.17.2022年卡塔爾世界杯足球賽于11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)舉辦，這是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，備受矚目，一時(shí)間掀起了國(guó)內(nèi)外的足球熱潮，某機(jī)構(gòu)為了解球迷對(duì)足球的喜愛(ài)，為此進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從球迷中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求樣本中數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)；（2）求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在組的概率.【正確答案】（1）（2）50（3）【分析】（1）先根據(jù)概率和為1確定樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率，再利用公式即可求解.（2）根據(jù)公式求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可.（3）先分層抽樣，再利用古典概型的概率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意，樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率為：樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)落在第四組，且第百分位數(shù)為【小問(wèn)2詳解】平均數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】與兩組頻率之比為.現(xiàn)從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，則組抽取2人，記為；組抽取4人，記為所有可能的情況為共15種.其中至少有1人的年齡在的情況有共9種.記“抽取的2人中至少有1人的年齡在組”為事件A，則18.為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，教育部啟動(dòng)了“強(qiáng)基計(jì)劃”的招生改革工作.某校強(qiáng)基招生面試有兩道題，兩道題都答對(duì)者才能通過(guò)強(qiáng)基招生面試.假設(shè)兩題作答相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲?乙?丙三名學(xué)生通過(guò)考核進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，他們答對(duì)第一題的概率分別是，答對(duì)第二題的概率分別是.（1）求甲考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率；（2）求甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率；（3）求甲?乙?丙三人中至少有一人通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算出答案；（2）求出乙考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率，從而分兩種情況，求出甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率；（3）求出丙考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率，先求出無(wú)人通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率，利用對(duì)立事件求概率公式得到答案.【小問(wèn)1詳解】甲通過(guò)考核進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，答對(duì)第一題的概率分別是，答對(duì)第二題的概率分別是，甲考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率為.【小問(wèn)2詳解】乙考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率為，甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率為：.【小問(wèn)3詳解】丙考生通過(guò)某校強(qiáng)基招生面試的概率為，甲?乙?丙三人中至少有一人通過(guò)強(qiáng)基招生面試的概率為：.19.如圖，在平行四邊形中，已知，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記.（1）若，求線段EF的長(zhǎng)；（2）若，設(shè)，求實(shí)數(shù)和的值；（3）若與交于點(diǎn)，