四川省達(dá)州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)（文科）試題 含解析

達(dá)州市普通高中2023屆第二次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（文科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.[-1，4] B. C.(-1，4) D.[-1，4)【答案】B【解析】【分析】求出集合，再由并集的定義即可得出答案.【詳解】，因?yàn)?，所?故選：B.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：B.3.先將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向下平移1個(gè)單位長度，然后將圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的平移和伸縮變換，即可得出結(jié)果.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向下平移一個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖像.故選：A.4.命題p：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】對(duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，直接寫出.【詳解】因?yàn)閷?duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，所以命題p：，的否定為：，.故選：D5.設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（）A.5 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義知，，則，即可得出答案.【詳解】雙曲線C：，則，，由雙曲線的定義知：，，，所以故選：C.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)分別得到，，再有切化弦和二倍角公式求出的值，即可比較大小.【詳解】由于指數(shù)函數(shù)在R單調(diào)遞增，所以，即，又對(duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，即，，所以，綜上.故選：C7.果樹的負(fù)載量，是影響果樹產(chǎn)量和質(zhì)量的重要因素.蘋果樹結(jié)果期的負(fù)載量y（單位：kg）與干周x（樹干橫截面周長，單位：cm）可用模型模擬，其中，，均是常數(shù).則下列最符合實(shí)際情況的是（）A.時(shí)，y是偶函數(shù) B.模型函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形C.若，均是正數(shù)，則y有最大值 D.蘋果樹負(fù)載量的最小值是【答案】C【解析】【分析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可判斷A，B；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)性，可判斷C，D.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A不正確；模型函數(shù)的圖象也不可能是中心對(duì)稱圖象，故B不正確；，則或，若，，均是正數(shù)，則，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，y有最大值，故C正確；，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，蘋果樹負(fù)載量的最小值不是，故D不正確.故選：C.8.如圖，在等腰梯形中，，，，，，.則（）A.62 B.38 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出，，過作，垂足為，過作，垂足為，求出、、、、，以為原點(diǎn)，為軸，過且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系：根據(jù)，求出和的坐標(biāo)，從而得和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出結(jié)果.【詳解】在等腰梯形中，，，，所以，，過作，垂足為，過作，垂足為，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，，又，所以，以為原點(diǎn)，為軸，過且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所?故選：A9.三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取BD的中點(diǎn)O，根據(jù)條件得到和都是直角三角形，其外接圓的圓心都是，再根據(jù)平面平面BCD，得到O為外接球的球心求解.【詳解】解：如圖所示：取BD的中點(diǎn)O，因?yàn)閯t是直角三角形，因?yàn)?。所以是直角三角形，所以和的外接圓的圓心都是，又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，所以O(shè)為外接球的球心，因?yàn)椋?，所以外接球的半徑為，所以外接球的體積為，故選：A10.函數(shù)的部分圖象如圖，A，B，C是曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線與曲線的另一交點(diǎn)為D.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)分析知過，且求出、，根據(jù)求結(jié)果即可.【詳解】由題設(shè)，過，，則，即又，則，故且，即，，顯然，則，故且，可得，綜上，當(dāng)時(shí)，，故，故.故選：B11.在中國唐、宋時(shí)期的單檐建筑中存在較多的2：1的比例關(guān)系，常用的A4紙的長寬比無限接近.把長寬比為的矩形稱做和美矩形.如圖，是長方體，，，，，，分別是棱，，，的中點(diǎn).把圖中所有的矩形按是否為和美矩形分成兩類，再用分層抽樣的方法在這兩類矩形中共抽取5個(gè)，抽得的矩形中和美矩形的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用列舉法把所有的長方形分類，用分層抽樣的概念即可求解.【詳解】由題意可知，，，，能夠稱為和美矩形的有，共9個(gè)；不能稱為為和美矩形的有共6個(gè)；所以用分層抽樣的方法在這兩類矩形中共抽取5個(gè)，抽得的矩形中和美矩形的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：B.12.如圖，在中，，，，平面ABC內(nèi)的點(diǎn)D，E在直線AB兩側(cè)，與都是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，分別是，的重心，則（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，由正弦定理得，根據(jù)、分別是等腰直角三角形，、分別是、的重心，可得、，再由余弦定理可得答案.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，在內(nèi)，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槭堑妊苯侨切危堑闹匦?，所以為邊上的中線，且，因?yàn)椋?，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，是的重心，所以為邊上的中線，且，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，然后平移直線可得答案.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖，令，目標(biāo)函數(shù)化為，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立，得，即，所以.故答案為：14.若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】若，，即，轉(zhuǎn)化為求，求解即可.【詳解】若，，則，令，，令，，則，所以，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.15.是離心率為的橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)，直線交C于點(diǎn)A，B，則△內(nèi)切圓面積為______.【答案】【解析】【分析】由已知可得橢圓方程為，聯(lián)立直線方程求A，B坐標(biāo)，由，列方程求半徑，進(jìn)而求圓的面積.【詳解】由題設(shè)，且，則，故，所以橢圓方程為，聯(lián)立，可得，則，不妨令，，所以，若△內(nèi)切圓半徑為，則，由橢圓對(duì)稱性及其定義知：，，所以，則，故內(nèi)切圓面積為.故答案為：16.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】化簡函數(shù)得，其中，，再利用函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，可得，從而得到，再結(jié)合，，利用三角恒等變換化簡即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，其中，，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，或，則或，，則，，，，，，則，，又，，的取值范圍為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知是數(shù)列前n項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記，分別為數(shù)列的前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，當(dāng)時(shí)，求出，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)成立，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）得出，可知等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再將數(shù)列每一項(xiàng)相乘，底數(shù)相同指數(shù)相加，指數(shù)為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，計(jì)算出指數(shù)，求出，即可求出．【小問1詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】∵，，∴，∴，，∴．18.四戶村民甲、乙、丙、丁把自己不宜種糧的承包土地流轉(zhuǎn)給農(nóng)村經(jīng)濟(jì)合作社，甲、乙、丙、丁分別獲得所有流轉(zhuǎn)土地年總利潤7％，7％，10％，6％的流轉(zhuǎn)收益.該土地全部種植了蘋果樹，2022年所產(chǎn)蘋果在電商平臺(tái)銷售并售完，所售蘋果單個(gè)質(zhì)量（單位：g，下同）在區(qū)間［100，260］上，蘋果分裝在A，B，C，D4種不同的箱子里，共5000箱，裝箱情況如下表.把這5000箱蘋果按單個(gè)質(zhì)量所在區(qū)間以箱為單位得到的頻率分布直方圖如下圖.蘋果箱種類ABCD每箱利潤（元）40506070蘋果單個(gè)質(zhì)量區(qū)間[100，140)[140，180)[180，220)[220，260]（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a和甲、乙、丙、丁2022年所獲土地流轉(zhuǎn)收益（單位：萬元）：（2）在甲、乙、丙、丁中隨機(jī)抽取2戶，求這2戶中恰有1戶2022年土地流轉(zhuǎn)收益超過2萬元的概率.【答案】（1）；1.89萬元，1.89萬元，2.7萬元，1.62萬元（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中小長方形面積之和為1求出a；求出2022年這批流轉(zhuǎn)土地總利潤，再根據(jù)甲、乙、丙、丁所占百分比求出甲、乙、丙、丁2022年所獲土地流轉(zhuǎn)收益；（2）先求出甲、乙、丙、丁中隨機(jī)抽取2戶的所有可能情況，再求出這2戶中恰有1戶2022年土地流轉(zhuǎn)收益超過2萬元的情況，由古典概率概率公式即可得出答案.【小問1詳解】由圖知.根據(jù)表和圖得2022年這批流轉(zhuǎn)土地總利潤為:萬元.所以甲、乙2022年所獲土地流轉(zhuǎn)收益均為萬元，丙2022年所獲土地流轉(zhuǎn)收益為萬元，丁2022年所獲土地流轉(zhuǎn)收益為萬元.【小問2詳解】在甲、乙、丙、丁中隨機(jī)抽取2戶，所有可能結(jié)果為：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁6個(gè)結(jié)果情況，其中甲丙，乙丙，丙丁中恰有1戶土地流轉(zhuǎn)收益超過2萬元.設(shè)事件M表示“這2戶中恰有1戶2022年土地流轉(zhuǎn)收益超過2萬元”，則.所以這2戶中恰有1戶2022年土地流轉(zhuǎn)收益超過2萬元的概率為.19.如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，平面平面ABCD，，，.O，E分別是AD，BC中點(diǎn).（1）證明：平面POE；（2），，求點(diǎn)E到平面PCD的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，由余弦定理和勾股定理可得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）連接OC，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面PDC，則點(diǎn)E到平面PCD的距離等于點(diǎn)O到平面PCD的距離.由余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系和三角形的面積公式可得，利用等體積法計(jì)算即可求解.【小問1詳解】∵，O是AD的中點(diǎn)，∴.∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABCD.∵平面ABCD，∴.設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，∴，∴.∵E是BC中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴.∵PO，OE是平面POE內(nèi)的兩條相交直線，∴平面POE.【小問2詳解】連接OC.∵O，E分別是AD，BC中點(diǎn)，底面ABCD是平行四邊形，∴.∵平面PDC，平面PDC，∴平面PDC.∴點(diǎn)E到平面PCD的距離等于點(diǎn)O到平面PCD的距離.∵，，∴，∴，∴.在中，由余弦定理得，∴，∴面積.設(shè)O到平面PCD的距離為d，因三棱錐O—PCD與三棱錐C—POD是同一三棱錐，所以，即，∴，解得.所以點(diǎn)E到平面PCD的距離為.20.過拋物線C：上一點(diǎn)作C的切線，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn).（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）A，B是C上與M不重合的兩點(diǎn)，，O為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)O到直線AB距離最大時(shí)，求直線AB的方程.【答案】（1）（1，1）（2）【解析】【分析】（1）易知拋物線C的方程為，則，再由時(shí)，C的方程為，利用導(dǎo)數(shù)法求解；（2）設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，由求解；【小問1詳解】解：由題意得，∴.∴拋物線C的方程為.∴.①當(dāng)時(shí)，由C的方程得，，∴.②由①②解得，，即M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）.【小問2詳解】設(shè)直線AB的方程為，，.由方程組得.∴，，.∵，，，∴，即，∴.∴，解得，或.若，則直線AB的方程為，直線AB經(jīng)過點(diǎn)，不合題意，所以，直線AB的方程為，直線AB經(jīng)過定點(diǎn).∴點(diǎn)O到AB的最大距離為，直線OD的斜率為，∴此時(shí)AB的斜率為2，直線AB的方程為，即.21.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線過點(diǎn)，求的值；（2）若在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，.證明：.【答案】（1）e（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求得曲線在處的切線的方程，將代入得到，令，用導(dǎo)數(shù)法求零點(diǎn)即可；（2）由（1）得到，令，轉(zhuǎn)化為有兩不同解，得到m的范圍，結(jié)合韋達(dá)定理得到，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求解.【小問1詳解】解：由得，.∴曲線在處的切線的方程為.根據(jù)條件得，即.設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因，所以，即e是唯一零點(diǎn).所以.【小問2詳解】由（1）知，.令，得，，，.∴有兩不同解，令，∴，∴，∴，，.構(gòu)造函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∵，∴，∵，∴，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先根據(jù)在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的根，再由，結(jié)合中的韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法而得解.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，