新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何測評（二）新人教B版選擇性

第一章測評(二)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若平面α⊥平面β,且平面α的一個法向量為n=-2,1,1A.1,12C.(1,2,0) D.12.已知a=(1,k,2),b=(2k,2,4),若a∥b,則實數(shù)k的值為()A.2 B.2 C.1 D.13.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,P是線段D1B上一點,且BP=2D1P,若AP=xAB+yAD+zAA1,則x+y+z=(A.53 B.23 C.434.已知直線l1的一個方向向量為a=(1,2,2),直線l2的一個方向向量為b=(1,2,0),則兩直線所成角的余弦值為()A.53 B.255 C.55.若平面α的一個法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個法向量是n2=(3,1,3),則平面α與β所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°6.[2023山西高二階段練習(xí)]有以下命題:①若p=xa+yb,則p與a,b共面;②若p與a,b共面,則p=xa+yb;③若MP=xMA+yMB,則P,M,A,B四點共面;④若P,M,A,B四點共面,則MP=xMA+yMB;⑤若存在λ,μ∈R,使λa+μb=0,則λ=μ=0;⑥若a,b不共線,則空間任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R).其中真命題是()A.①② B.①③ C.②③④ D.③④⑥7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年,例如塹堵指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱;鱉臑指的是四個面均為直角三角形的三棱錐.如圖,在塹堵ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,若AB=2,AA1=2,當(dāng)鱉臑A1ABC體積最大時,直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為()A.31010 B.1010 C.18.已知向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),{i,j,k}是空間中的一組單位正交基底.規(guī)定向量積的行列式計算:a×b=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k=ijkaxayazbxbybz=ayazA.(4,8,1) B.(1,4,8)C.(2,8,1) D.(1,4,8)二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.如圖,已知三棱錐OABC,E,F分別是OA,BC的中點,P為線段EF上一點,且PF=2EP,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則下列等式成立的是()A.OF=12bB.EP=16a+16b+C.FP=13a+13b+D.OP=13a+1610.在下列條件中,不能使M與A,B,C一定共面的是()A.OM=2OAB.OMC.MA+MBD.OM+OA11.[2023湖南祁東高二階段練習(xí)]如圖,一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCDA1B1C1D1,其中,以頂點A為端點的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60°,下列說法中正確的是()A.(AA1B.AC1·(AB-C.向量B1D.BD1與AC所成角的余弦值為612.[2023安徽六安高一期末]如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為棱B1C1,BB1的中點,G為面對角線A1D上的一個動點,則()A.三棱錐B1EFG的體積為定值B.線段A1D上存在點G,使A1C⊥平面EFGC.線段A1D上存在點G,使平面EFG∥平面ACD1D.設(shè)直線FG與平面ADD1A1所成角為θ,則sinθ的最大值為2三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知空間中兩點A=(2,2,0),B=(3,y,1),向量a=(3,1,3),a∥AB,則|a|=,y=.

14.在三棱錐DABC中,已知AB=AD=2,BC=1,AC·BD=3,則CD=15.如圖,在三棱錐PABC中,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,AE⊥PB于點E,M是AC的中點,PB=1,則EP·EM的最小值為16.已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,AA1=AB=AD,E為A1D1的中點.給出下列四個說法:①∠BCC1為異面直線AD與CC1所成的角;②三棱錐A1ABD是正三棱錐;③CE⊥平面BB1D1D;④CE=12AD-AB+四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=π3(1)求B1D的長;(2)求CD118.(12分)已知a=(2,3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,m).(1)若a+2b3c=(6,3,1),求實數(shù)m的值;(2)若m=2,求a·(b+c)的值.19.(12分)如圖,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,AC的中點為D,且A1D⊥平面ABC,A1D=3.(1)求證:A1B⊥AC1;(2)在線段CC1上找一點M,使得直線A1B與平面MA1B1所成角的正弦值為31520.(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分別是AB,PC的中點.(1)求證:平面MND⊥平面PCD;(2)求點P到平面MND的距離.21.(12分)如圖,在直三棱柱A1B1C1ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,點D是BC的中點.(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的余弦值.22.(12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,點E是線段CD上靠近點D的一個三等分點,點F是線段AD上的一個動點,且DF=λDA(0≤λ≤1).如圖,將△BCE沿BE折起至△BEG,使得平面BEG⊥平面ABED.(1)當(dāng)λ=12時,求證:EF⊥BG(2)是否存在λ,使得FG與平面DEG所成的角的正弦值為13?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由

第一章測評(二)1.C因為平面α⊥平面β,所以平面α的法向量與平面β的法向量互相垂直.設(shè)平面β的法向量為m=(x,y,z),則有n·m=2x+y+12z=0,即4x2yz=0對于A,4×12×12-對于B,4×22×(1)0≠0,故B不成立;對于C,4×12×20=0,故C成立;對于D,4×122×12≠0,故D不成立2.C根據(jù)題意,a∥b,設(shè)a=tb(t∈R),即(1,k,2)=t(2k,2,4)=(2kt,2t,4t),則有1=2kt,k=23.A∵BP=2D1P,∴BP=2PD即AP-AB=2(AD1-AP)即3AP=AB+2即AP=所以x=13,y=23,z=23,所以4.D直線l1的一個方向向量為a=(1,2,2),直線l2的一個方向向量為b=(1,2,0),則兩直線所成角的余弦值為|cos<a,b>|=|a5.D平面α的一個法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個法向量是n2=(3,1,3),∴cos<n1,n2>=1×(-3∴平面α與β所成的角等于90°.6.B①正確,由平面向量基本定理可得,若p=xa+yb,則p與a,b共面;②不正確,若a,b均為零向量,p為非零向量,則后式不成立;③正確,由平面向量基本定理得;④不正確,若MA,MB均為零向量,⑤不正確,若a,b為相反向量,則a+b=0,λ=μ=1;⑥不正確,若a,b不共線,當(dāng)p與a,b所在的平面垂直時,則后式不成立.故選B.7.A在塹堵ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,AB=2,AA1=2,當(dāng)鱉臑A1ABC體積最大時,AC=BC=1.以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B1(0,1,2),C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),則B1C=(0,1,2),BA=(1,1,0),BB設(shè)平面ABB1A1的法向量n=(x,y,z),則n取x=1,得n=(1,1,0).設(shè)直線B1C與平面ABB1A1所成角為θ(0°≤θ≤90°),則sinθ=|B所以cosθ=310所以直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為310故選A.8.C由題意得,AB×AC=(1×24×1)i+(4×32×2)j+(2×11×3)k=2i+8jk=9.ABD∵E,F分別是OA,BC的中點,∴OF=12(OB+OC)EF=OF-OE=12∵PF=2EP,∴EP=13EF,FP=23即EP=13EF=1312bFP=23EF=2312bOP=OE+EP=12a16a+16b+16c=10.ABDM與A,B,C一定共面的充要條件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1,對于A選項,由于211=0≠1,所以不能得出M,A,B,C共面,對于B選項,由于15+13+12≠1,所以不能得出M,A,B,C共面,對于C選項,由于MA=MB-MC,則MA,MB,MC為共面向量,所以M,A,B,C共面,對于D選項,由OM+OA+OB+OC=0得11.AB以頂點A為端點的三條棱長都相等,它們彼此的夾角都是60°,可設(shè)棱長為1,則AA1·AB=AA1·(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA而2AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2AB·AD)=21+1AC1·(AB-AD)=(AA1+AB+向量B1C=A1D,顯然△AA1D所以向量A1D與又BD1=AD+AA1-AB,BD1·AC=(AD+AA所以cos<BD1,AC故選AB.12.ABD易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1,所以G到平面BCC1B1的距離為定值.又S△B1EF為定值,所以三棱錐GB1EF即三棱錐對于B,如圖所示,以D為坐標(biāo)原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),C1(0,2,2),E(1,2,2),F(2,2,1),所以A1C=(2,2,2),AC=(2,2,0),AD1=(2,0,2),設(shè)DG=λDA1(0≤λ≤1),則G(2λ,0,2所以EG=(2λ1,2,2λ2),FG=(2λ2,2,2λ1),A1C⊥平面EFG?A即-解得λ=14當(dāng)G為線段A1D上靠近D的四等分點時,A1C⊥平面EFG,故B正確;對于C,設(shè)平面ACD1的法向量n1=(x1,y1,z1),則n取x1=1,得n1=(1,1,1).設(shè)平面EFG的法向量n2=(x2,y2,z2),則n取x2=1,得n2=1,4λ-32,1,平面ACD1∥平面EFG?n1∥n設(shè)n1=kn2,即(1,1,1)=k1,4λ-32解得k=1,λ=54,因為0≤λ所以線段B1C上不存在點G,使平面EFG∥平面BDC1,故C錯誤;對于D,平面ADD1A1的法向量為n=(0,1,0),則sinθ=|FG因為8λ212λ+9=8(λ所以sinθ=28所以sinθ的最大值為223,故D正確.13.1953因為則|a|=32因為A=(2,2,0),B=(3,y,1),所以AB=(1,y2,1).又a∥AB,則有AB=λa(λ∈R),即(1,y2,1)=λ(3,1,3),所以1=3λ,14.7設(shè)∠BAC=α,∠DAC=β,顯然|AC-AB|=|BC|=1,則AC2+AB22|AC|·|AB|cosα=1,即AC24|AC|cosα=3,而AC·BD=3,即AC·(AD-AB)=AC·AD-AC·AB=3,于是得2|AC|cosβ2|AC|·cosαCD2=|AD-AC|2=AD2+AC22AD·AC=4+AC24|AC|cosβ=4+AC22(3+2|AC|cosα)=10+AC24|AC|15.18連接EC,如圖,因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC又因為AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又PB?平面PAB,所以BC⊥PB.因為M是AC的中點,所以EM=12(EA又AE⊥PB,所以EP·EM=EP·12EA+12(EB+BC)=12EP·EA+12EP·EB16.②④①∠BCC1=120°,而異面直線AD與CC1所成的角為60°,故①錯誤;②三棱錐A1ABD的每個面都為正三角形,故為正四面體,故②正確;④根據(jù)向量加法的三角形法則,CE=CB+BA+AA③∵BD=AD-AB,∴CE·BD=12AD-AB+AA1·(AD-AB)=12|AD|2+1217.解(1)由題可知,B1那么|B1D|2=(AD-AB-AA1)2=AD2+AB2+AA122AD·AB因此B1D的長為15.(2)由題知,CD則|CD1|=CD1·B1D=(AA1-AB)·(AD-AB-AA1)=AD·AA1-AD·AB+AB18.解(1)因為a=(2,3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,m),所以a+2b3c=(6,3,73m)=(6,3,1),所以73m=1,解得m=2.(2)若m=2,則c=(0,0,2),b+c=(2,0,5),所以a·(b+c)=(2,3,1)·(2,0,5)=9.19.(1)證明作DE⊥AC交AB于點E,分別以DE,DC,DA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),∴A1B=(2,1,3),AC1=(0,3,3),A1B·AC1=0+33(2)解設(shè)CM=λCC1=(0,λ,3λ),A1B1=AB=(2,2,0),A1C=(0,1,3),A1設(shè)平面MA1B1的一個法向量為n=(x,y,z),有A∴2∴x∴n=1,1,λ+13λ∵A1B=(2,1,3),若直線A1B與平面MA1B1所成角的正弦值為則|cos<n,A1B>|=即2-解得λ=13∴當(dāng)CM=13CC'時,直線A1B與平面MA1B1所成角的正弦值為320.(1)證明∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP兩兩互相垂直,如圖所示,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),∴MN=(0,1,1),ND=(1,1,1),PD=(0,2,2).設(shè)m=(x,y,z)是平面MND的法向量,可得m即y取y=1,得x=2,z=1,∴m=(2,1,1)是平面MND的一個法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一個法向量,∵m·n=2×0+(1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.(2)解由(1)得m=(2,1,1)是平面MND的一個法向量.∵PD=(0,2,2),得PD·m=0×(2)+2×(1)+(2)×1=4,∴點P到平面MND的距離d=|m21.解(1)分別以AB,AC,AA1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,如圖.則由題意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,