湖北省隨州市曾都區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

湖北隨州曾都一中2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將集合化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求基本量，然后求出，再結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以.故選：.3.若，是兩個(gè)不同的平面，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由面面垂直的判定定理得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立，，，則或，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.4 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積運(yùn)算律列式計(jì)算即得.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：C5.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換得到，兩邊平方求出.【詳解】，即，，兩邊平方得，即，解得.故選：B6.已知，函數(shù)在R上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A.0,+∞ B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分、討論，根據(jù)沒(méi)有零點(diǎn)求出的范圍可得答案.【詳解】時(shí)，，若無(wú)解，則或；時(shí)，，若無(wú)解，則，則.故選：D．7.若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.8.在中，已知，且滿足，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理得，再根據(jù)向量數(shù)量積得，則得到，即可判斷三角形形狀.【詳解】由題意得，即，由正弦定理得，即，則，因?yàn)?，所以，又，所以故，因?yàn)?，所以．綜上可知三角形為等邊三角形．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.數(shù)據(jù)1，2，2，3，4，5的極差與眾數(shù)之和為7B.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，則C.X和Y是分類變量，若值越大，則判斷“X與Y獨(dú)立”的把握性越大D.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)極差和眾數(shù)的概念即可判斷A；根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可判斷C；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】A：該組數(shù)據(jù)的極差為4，眾數(shù)為2，所以該組數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)之和為6，故A錯(cuò)誤；B：由，得，解得，所以，故B正確；C：值越大，X和Y有關(guān)系的可能性就越大，則“X與Y獨(dú)立”的把握越小，故C錯(cuò)誤；D：由，得，所以，故D正確.故選：BD10.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.為等比數(shù)列 B.為等比數(shù)列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由題設(shè)得是首項(xiàng)、公比為3的等比數(shù)列，即可判斷A、B、C；應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和判斷D.【詳解】由題設(shè)，且，故是首項(xiàng)、公比為3的等比數(shù)列，所以，則，故不是等比數(shù)列，A錯(cuò)，B、C對(duì)；由，則，所以，所以，D對(duì).故選：BCD11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點(diǎn)法作圖求出，再結(jié)合正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，由，得，而，則，所以，A正確；對(duì)于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確.對(duì)于D，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，當(dāng)與關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，的最大值與最小值的差最小，此時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，而，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，而，最大值與最小值的差為1；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)，最大值與最小值的差最大，，當(dāng)或時(shí)均可取到等號(hào)，所以最大值與最小值之差的取值范圍為，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)圖象的最高（低）點(diǎn)定A，求出周期定，由圖象上特殊點(diǎn)求.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，的模長(zhǎng)為1，且，則________.【答案】1【解析】【分析】設(shè)成復(fù)數(shù)一般形式，再用待定系數(shù)方法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等得解.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，所以，所以，，所?故答案為：1.13.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得，結(jié)合展開(kāi)式通項(xiàng)運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，解得，則的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14.一只盒子中裝有4個(gè)形狀大小相同的小球，小球上標(biāo)有4個(gè)不同的數(shù)字.摸球人不知最大數(shù)字是多少，每次等可能地從中摸出一個(gè)球，不放回.摸球人決定放棄前面兩次摸出的球，從第3次開(kāi)始，如果摸出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于前面摸出的球上的數(shù)字，就把這個(gè)球保存下來(lái)，摸球結(jié)束，否則繼續(xù)摸球.問(wèn)摸球人最后保存下來(lái)是數(shù)字最大的球的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出標(biāo)有數(shù)字的4只球排序情況，標(biāo)有數(shù)字最大的球分為第3次摸到和第4次摸到兩種情形，結(jié)合古典概型即可得結(jié)果.【詳解】標(biāo)有數(shù)字的4只球排序共有種情況.要摸到標(biāo)有數(shù)字最大的球，有以下兩種情況：①標(biāo)有數(shù)字最大的球第3次摸到，其他的小球隨意在哪個(gè)位置，有種情況.②標(biāo)有數(shù)字最大的球第4次摸到，標(biāo)有數(shù)字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有種情況.故所求概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.（1）求角A；（2）若，的面積為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用邊化角及和差公式、輔助角公式即可求解；（2）由面積公式和正弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由條件得，從而.所以，由正弦定理得，故.從而，得，故.所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)的面積為，則.16.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值，無(wú)極大值（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出的值，從而得到函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值；（2）依題意可得，恒成立，分析可得，從而得到對(duì)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因，所以，依題意，即，所以，定義域?yàn)?,+∞，則，所以當(dāng)時(shí)f′x>0，當(dāng)時(shí)f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，無(wú)極大值；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以對(duì)恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)椋O(shè)，當(dāng)，即時(shí)，所以，即hx在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；當(dāng)，即，，，所以，由零點(diǎn)存在性定理可知存在使得gx0=0又二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，則當(dāng)時(shí)gx>0，即h所以hx在上單調(diào)遞增，即存在，使得，這與當(dāng)時(shí)，恒成立矛盾，故舍去；綜上可得．17.如圖，三棱錐中，，平面平面，平面平面.（1）證明：平面；（2）若為鈍角，且二面角的大小為，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面PAC，利用線面垂直的性質(zhì)可得、，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）法一：如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得平面PAC，得，設(shè)，，則，根據(jù)建立方程，解之即可求解.法二：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角建立關(guān)于的方程，結(jié)合三角恒等變換的化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，在平面ABC內(nèi)取點(diǎn)O，過(guò)O作于M，過(guò)O作于N，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAC，又平面PAC，，同理可證，又，平面ABC，平面ABC；【小問(wèn)2詳解】法一：如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，過(guò)H作于點(diǎn)Q，連接BQ，平面ABC，平面ABC，，又，平面PAC，平面PAC，則為二面角平面角，即設(shè)，，則，，所以，又，所以，所以，由得，整理得，又，解得或（舍去），綜上.法二：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，易知平面PAC的法向量為，設(shè)面PAB的法向量為，則，，則，整理得，由，得，解得或（舍），綜上，.18.已知，數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足；數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．【答案】（1）（2）存在，（3）4【解析】【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義計(jì)算可得；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義作差得到，即可求出；（3）結(jié)合（2）可得的通項(xiàng)公式，即可得到，令，利用作差法說(shuō)明單調(diào)性，即可求出的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棰伲?，②①得，∴，而，∴，∴成首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，∴為常數(shù)，∴，解得，∴存在使成等差數(shù)列，且公差為．【小問(wèn)3詳解】由（2）知，∴，∴不等式，即，令，則，∴在上單調(diào)遞減，注意到，，∴時(shí)，，∴．19.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為：，定點(diǎn)，B是圓C上任意一點(diǎn)，線段BF的垂直平分線l和半徑BC相交于點(diǎn)T.（1）求點(diǎn)T的軌跡W的方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的一條直線，斜率不為0，交曲線W于P、Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別與直線交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線FM與直線FN的斜率之積為常數(shù).【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義可知點(diǎn)T的軌跡為橢圓，然后求得，即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線