專題06 分式方程及應(yīng)用（講義）

專題06分式方程及應(yīng)用核心知識點精講復(fù)習(xí)目標(biāo)1.了解分式、分式方程的概念，進一步發(fā)展符號感．2．熟練掌握分式的基本性質(zhì)，會進行分式的約分、通分和加減乘除四則運算，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力與代數(shù)恒等變形能力．3．能解決一些與分式有關(guān)的實際問題，具有一定的分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用意識．考點梳理典例引領(lǐng)【題型1：分式方程及其解法】【典例1】（2023?涼山州）解方程：＝．即時檢測1．（2023?山西）解方程：．2．（2023?陜西）解方程：．3．（2022?眉山）解方程：＝．4．（2022?西寧）解方程：﹣＝0．典例引領(lǐng)【題型2：分式方程的應(yīng)用】 【典例2】（2023?通遼）某搬運公司計劃購買A，B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物，且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數(shù)相同．（1）求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．即時檢測1．（2023?長春）隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作3000個“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，問原計劃平均每天制作多少個擺件？2．（2023?寧夏）“人間煙火味，最撫凡人心”，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源．某經(jīng)營者購進了A型和B型兩種玩具，已知用520元購進A型玩具的數(shù)量比用175元購進B型玩具的數(shù)量多30個，且A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍．（1）求兩種型號玩具的單價各是多少元？根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，經(jīng)檢驗x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，經(jīng)檢驗x＝65是原方程的解．則甲所列方程中的x表示，乙所列方程中的x表示（2）該經(jīng)營者準(zhǔn)備用1350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進A型玩具多少個？3．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．4．（2023?瀘州）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來臨之際，某商場預(yù)測A粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測，每千克A粽子節(jié)前的進價比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購進的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）該商場節(jié)后每千克A粽子的進價是多少元？（2）如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場節(jié)前購進多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？典例引領(lǐng)【題型3：與分式方程的解有關(guān)的問題】【典例3】（2023?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程+1＝的解是非負數(shù)．則m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2即時檢測1．（2023?齊齊哈爾）如果關(guān)于x的分式方程的解是負數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣22．（2023?淄博）已知x＝1是方程的解，那么實數(shù)m的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．43．（2023?巴中）關(guān)于x的分式方程+＝3有增根，則m＝．基礎(chǔ)過關(guān)1．（2023秋?樂亭縣期中）解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為（）A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3xC．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x2．（2023秋?株洲期中）分式方程的解是（）A．x＝﹣9 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣23．（2022秋?朔城區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程無解，則n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．4．（2023秋?冷水灘區(qū)校級期中）2023年5月12日是我國第15個全國防災(zāi)減災(zāi)日，我校組織八年級部分同學(xué)進行了兩次地震應(yīng)急演練，在優(yōu)化撤離方案后，第二次平均每秒撤離的人數(shù)比第一次的多15，結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時間比第一次節(jié)省了240秒，若設(shè)第一次平均每秒撤離x人，則x滿足的方程為（）A． B． C． D．5．（2022秋?天河區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的方程有增根，則a的值為（）A．4 B．5 C．6 D．﹣56．（2024?遼寧模擬）解分式方程時，將方程兩邊都乘同一個整式．得到一個一元一次方程，這個整式是（）A．x B．x﹣1 C．x（x+1） D．x（x﹣1）7．（2022秋?五常市期末）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為．8．（2023秋?新田縣期中）甲，乙，丙三管齊開，12分鐘可以注滿全池，乙，丙，丁三管齊開，15分鐘可注滿全池．甲，丁兩管齊開，20分鐘注滿全池，如果是四管齊開，需要分鐘可以注滿全池．9．（2023秋?岱岳區(qū)期中）解方程：（1）： （2）．10．（2023秋?平南縣期中）今年杭州亞運會期間，某商店用3000元購進一批亞運會吉祥物，很快售完，第二次購進時，每個吉祥物的進價提高了20%，同樣用3000元購進的數(shù)量比第一次少了10個．（1）求第一次購進的每個吉祥物的進價為多少元？（2）若兩次購進的吉祥物售價均為96元，且全部售出，則該商店兩次購進吉祥物的總利潤為多少元？11．（2023秋?南縣期中）《非機動車管理辦法》規(guī)定：電動自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)該戴安全頭盔．某商店用1600元購進一批電動車頭盔，銷售發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，于是，又用5400元再購進一批頭盔，第二批頭盔的數(shù)量是第一批的3倍，但單價比第一批貴10元．第一批頭盔進貨單價多少元？12．（2023秋?興賓區(qū)期中）某公司接到制作15000件冰墩墩的訂單，為了盡快完成任務(wù)，該公司實際每天制作冰墩墩的件數(shù)是原計劃每天制作件數(shù)的1.5倍，結(jié)果提前10天完成任務(wù)．（1）求原計劃每天制作多少件冰墩墩？（2）該公司原計劃每天支付給工人的總工資是1000元，實際每天支付給工人的總工資比原計劃增長了20%，完成任務(wù)后，該公司實際支付的工資與原計劃相比多還是少？多或者少的具體數(shù)額是多少？能力提升1．（2023秋?大渡口區(qū)校級期中）若關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．2．（2023秋?祁陽縣期中）a為何值時，關(guān)于x的方程+＝無解？3．（2023?新化縣模擬）某工廠對零件進行檢測，引進了檢測機器．已知一臺檢測機的工作效率相當(dāng)于一名檢測員的20倍．若用這臺檢測機檢測900個零件要比15名檢測員檢測這些零件少3小時．（1）求一臺零件檢測機每小時檢測零件多少個？（2）現(xiàn)有一項零件檢測任務(wù)，要求不超過7小時檢測完成3450個零件．該廠調(diào)配了2臺檢測機和30名檢測員，工作3小時后又調(diào)配了一些檢測機進行支援，則該廠至少再調(diào)配幾臺檢測機才能完成任務(wù)？4．（2022秋?代縣期末）為緩解忻州至太原段的交通壓力，促進兩市經(jīng)濟發(fā)展．山西省委決定修建“太忻大道”，現(xiàn)“太忻大道”正在建設(shè)中．甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設(shè)，甲隊單獨施工30天完成該項工程的，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，才能完成該項工程．（1）若乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程？（2）若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程？5.（2023?興慶區(qū)校級模擬）寧夏中寧縣素有“枸杞之鄉(xiāng)”的美譽，某商場從中寧縣枸杞批發(fā)市場購進甲、乙兩種不同價位的枸杞，甲種枸杞共用了2000元，乙種枸杞共用了2400元．已知乙種枸杞每千克進價比甲種枸杞每千克進價多8元，且購進的甲、乙兩種枸杞的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種枸杞每千克的進價．（2）該商場將購進的甲、乙兩種枸杞進行銷售，甲種枸杞的銷售單價為60元，乙種枸杞的銷售單價為88元．銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種枸杞銷量不好，商場決定：甲種枸杞銷售一定數(shù)量后按原銷售單價的七折銷售：乙種枸杞銷售單價不變，要使兩種枸杞全部售完共獲利不少于2460元，問甲種枸杞按原銷售單價至少銷售多少千克？6．（2022?南崗區(qū)校級一模）某中學(xué)為了創(chuàng)建書香校園，去年購買了一批圖書．其中故事書的單價比文學(xué)書的單價多4元，用1200元購買的故事書與用800元購買的文學(xué)書數(shù)量相等．（1）求去年購買的文學(xué)書和故事書的單價各是多少元？（2）若今年文學(xué)書的單價比去年提高了25%，故事書的單價與去年相同，這所中學(xué)今年計劃再購買文學(xué)書和故事書共200本，且購買文學(xué)書和故事書的總費用不超過2120元，這所中學(xué)今年至少要購買多少本文學(xué)書？7．（2022春?大觀區(qū)校級期末）已知，關(guān)于x的分式方程＝1．（1）當(dāng)a＝2，b＝1時，求分式方程的解：（2）當(dāng)a＝1時，求b為何值時分式方程＝1無解：（3）若a＝3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程＝1的解為整數(shù)時，求b的值．8．（2022春?寧波期末）我們把形如x+＝a+b（a，b不為零），且兩個解分別為x1＝a，x2＝b的方程稱為“十字分式方程”．例如x+＝4為十字分式方程，可化為x+＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．再如x+＝﹣6為十字分式方程，可化為x+＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：（1）若x+＝﹣5為十字分式方程，則x1＝，x2＝．（2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的兩個解分別為x1＝m，x2＝n，求的值．（3）若關(guān)于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的兩個解分別為x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．真題感知1．（2023?海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣52．（2023?大連）解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為（）A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3xC．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x3．（2023?淄博）為貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個年級學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹350棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設(shè)初一年級平均每小時植樹x棵，則下面所列方程中正確的是（）A． B． C． D．5．（2023?日照）若關(guān)于x的方程﹣2＝的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣ B．m＜ C．m＞﹣且m≠0 D．m＜且m≠6．（2023?重慶）若關(guān)于x的不等式組的解集為x＜﹣2，且關(guān)于y的分式方程+＝2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為．7．（2023?廣西）解分式方程：．8．（2023?連云港）解方程＝﹣3．9．（2022?河南）近日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），將勞動從原來的綜合實踐活動課程中獨立出來．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動．據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價格．（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該校活動，對A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購買最少花費多少錢．

專題06分式方程及應(yīng)用核心知識點精講典例引領(lǐng)【題型1：分式方程及其解法】【典例1】（2023?涼山州）解方程：＝．【答案】x＝2．【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，去括號得：x2﹣x＝2，移項得：x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x＝2或x＝﹣1，將x＝2代入原方程，原方程左右相等，∴x＝2是原方程的解．將x＝﹣1代入，使分母為0，∴x＝﹣1是原方程的增根，∴原方程的解為：x＝2即時檢測1．（2023?山西）解方程：．【答案】x＝．【解答】解：由題意得最簡公分母為2（x﹣1），∴原方程可化為：2+2x﹣2＝3．∴x＝．檢驗：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左邊＝右邊．∴原方程的解為x＝．2．（2023?陜西）解方程：．【答案】x＝﹣．【解答】解：原方程兩邊同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，去括號得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，移項，合并同類項得：﹣15x＝25，解得：x＝﹣，經(jīng)檢驗，x＝﹣是分式方程的解，故原方程的解為：x＝﹣．3．（2022?眉山）解方程：＝．【答案】x＝4．【解答】解：＝，方程兩邊同乘（x﹣1）（2x+1）得：2x+1＝3（x﹣1），解這個整式方程得：x＝4，檢驗：當(dāng)x＝4時，（x﹣1）（2x+1）≠0，∴x＝4是原方程的解．4．（2022?西寧）解方程：﹣＝0．【答案】x＝7．【解答】解：方程兩邊同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．去括號得：4x﹣4﹣3x﹣3＝0，移項，合并同類項得：x＝7．檢驗：當(dāng)x＝7時，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．典例引領(lǐng)【題型2：分式方程的應(yīng)用】 【典例2】（2023?通遼）某搬運公司計劃購買A，B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物，且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數(shù)相同．（1）求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．【答案】（1）每臺A型機器每天搬運貨物90噸，每臺B型機器每天搬運貨物100噸：（2）購買A型機器12臺，B型機器18臺時，購買總金額最低是54萬元．【解答】解：（1）設(shè)每臺A型機器每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器每天搬運貨物（x+10）噸，由題意得：，解得：x＝90，當(dāng)x＝90時，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每臺A型機器每天搬運貨物90噸，每臺B型機器每天搬運貨物100噸：（2）設(shè)購買A型機器m臺，購買總金額為w萬元，由題意得：，解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60：∵﹣0.5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝12時，w最小，此時w＝﹣0.5×12+60＝54，∴購買A型機器12臺，B型機器18臺時，購買總金額最低是54萬元．即時檢測1．（2023?長春）隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作3000個“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，問原計劃平均每天制作多少個擺件？【答案】200個擺件．【解答】解：設(shè)原計劃平均每天制作x個擺件，根據(jù)題意，得，解得x＝200，經(jīng)檢驗，x＝200是原方程的根，且符合題意，答：原計劃平均每天制作200個擺件．2．（2023?寧夏）“人間煙火味，最撫凡人心”，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源．某經(jīng)營者購進了A型和B型兩種玩具，已知用520元購進A型玩具的數(shù)量比用175元購進B型玩具的數(shù)量多30個，且A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍．（1）求兩種型號玩具的單價各是多少元？根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，經(jīng)檢驗x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，經(jīng)檢驗x＝65是原方程的解．則甲所列方程中的x表示B型玩具的單價，乙所列方程中的x表示A型玩具的數(shù)量（2）該經(jīng)營者準(zhǔn)備用1350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進A型玩具多少個？【答案】（1）B型玩具的單價：A型玩具的數(shù)量：（2）116個．【解答】解：（1）根據(jù)所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的單價：乙所列方程中的x表示A型玩具的數(shù)量：故答案為：B型玩具的單價：A型玩具的數(shù)量：（2）設(shè)可購進A型玩具a個，則B型玩具（200﹣a）個，根據(jù)題意得：8a+5（200﹣a）≤1350，a≤116，∴整數(shù)a最大值是116，答：最多可購進A型玩具116個3．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元：（2）共有6種購買方案：（3）m＝5．【解答】解：（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元：（2）設(shè)購買y件A款文化衫，則購買（300﹣y）件B款文化衫，根據(jù)題意得：，解得：275≤y≤280，又∵y為正整數(shù)，∴y可以為275，276，277，278，279，280，∴共有6種購買方案：（3）設(shè)購買300件兩款文化衫所需總費用為w元，則w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，∴w的值與y值無關(guān)，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值為5．4．（2023?瀘州）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來臨之際，某商場預(yù)測A粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測，每千克A粽子節(jié)前的進價比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購進的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）該商場節(jié)后每千克A粽子的進價是多少元？（2）如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場節(jié)前購進多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）10元：（2）該商場節(jié)前購進300千克A粽子獲得利潤最大，最大利潤是3000元．【解答】解：（1）設(shè)該商場節(jié)后每千克A粽子的進價為x元，根據(jù)題意，得，解得x＝10或x＝﹣12（舍去），經(jīng)檢驗，x＝10是原分式方程的根，且符合題意，答：該商場節(jié)后每千克A粽子的進價是10元：（2）設(shè)該商場節(jié)前購進m千克A粽子，總利潤為w元，根據(jù)題意，得12m+10（400﹣m）≤4600，解得m≤300，w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，∵2＞0，∴w隨著m增大而增大，當(dāng)m＝300時，w取得最大值，最大利潤為2×300+2400＝3000（元），答：該商場節(jié)前購進300千克A粽子獲得利潤最大，最大利潤是3000元．典例引領(lǐng)【題型3：與分式方程的解有關(guān)的問題】【典例3】（2023?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程+1＝的解是非負數(shù)．則m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，解得：x＝，由分式方程的解是非負數(shù)，得到≥0，且﹣2≠0，解得：m≤2且m≠﹣2，故選：C即時檢測1．（2023?齊齊哈爾）如果關(guān)于x的分式方程的解是負數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2【答案】D【解答】解：將分式方程兩邊同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，移項，合并同類項得：x＝m+1，∵原分式方程的解是負數(shù)，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故選：D．2．（2023?淄博）已知x＝1是方程的解，那么實數(shù)m的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【答案】B【解答】解：將x＝1代入方程，得：﹣＝3，解得：m＝2．故選：B．3．（2023?巴中）關(guān)于x的分式方程+＝3有增根，則m＝﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：方程兩邊同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），由題意得：x＝2是該整式方程的解，∴2+m﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故答案為：﹣1．基礎(chǔ)過關(guān)1．（2023秋?樂亭縣期中）解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為（）A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，故選：B．2．（2023秋?株洲期中）分式方程的解是（）A．x＝﹣9 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣2【答案】A【解答】解：原方程去分母得：7（x+3）＝2（2x﹣3），去括號得：7x+21＝4x﹣6，移項，合并同類項得：3x＝﹣27，系數(shù)化為1得：x＝﹣9，經(jīng)檢驗，x＝﹣9是分式方程的解，故選：A．3．（2022秋?朔城區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程無解，則n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同類項、系數(shù)化為1，得，由題意可知，分式方程的增根為x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故選：A．4．（2023秋?冷水灘區(qū)校級期中）2023年5月12日是我國第15個全國防災(zāi)減災(zāi)日，我校組織八年級部分同學(xué)進行了兩次地震應(yīng)急演練，在優(yōu)化撤離方案后，第二次平均每秒撤離的人數(shù)比第一次的多15，結(jié)果2000名同學(xué)全部撤離的時間比第一次節(jié)省了240秒，若設(shè)第一次平均每秒撤離x人，則x滿足的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由題意得：＝+240，故選：A．5．（2022秋?天河區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的方程有增根，則a的值為（）A．4 B．5 C．6 D．﹣5【答案】D【解答】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故選：D．6．（2024?遼寧模擬）解分式方程時，將方程兩邊都乘同一個整式．得到一個一元一次方程，這個整式是（）A．x B．x﹣1 C．x（x+1） D．x（x﹣1）【答案】D【解答】解：將兩邊同時乘以x（x﹣1）即可得到一個一元一次方程，故選：D．7．（2022秋?五常市期末）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為0或4．【答案】0或4．【解答】解：，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程無解，可分為以下兩種情況：①分式方程沒有意義時，x＝0或﹣，此時m＝0，②整式不成立時，4﹣m＝0，∴m＝4，故答案為：0或4．8．（2023秋?新田縣期中）甲，乙，丙三管齊開，12分鐘可以注滿全池，乙，丙，丁三管齊開，15分鐘可注滿全池．甲，丁兩管齊開，20分鐘注滿全池，如果是四管齊開，需要10分鐘可以注滿全池．【答案】10．【解答】解：設(shè)分別打開甲，乙，丙，丁四個進水管，注滿全池所用的時間分別為a分鐘，b分鐘，c分鐘，d分鐘．根據(jù)題意得：，三式相加得：2（）＝，∴＝，則四管齊開，需要10分鐘可以注滿全池．故答案為：10．9．（2023秋?岱岳區(qū)期中）解方程：（1）： （2）．【答案】（1）x＝2：（2）無解．【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是分式方程的解：（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是增根，分式方程無解．10．（2023秋?平南縣期中）今年杭州亞運會期間，某商店用3000元購進一批亞運會吉祥物，很快售完，第二次購進時，每個吉祥物的進價提高了20%，同樣用3000元購進的數(shù)量比第一次少了10個．（1）求第一次購進的每個吉祥物的進價為多少元？（2）若兩次購進的吉祥物售價均為96元，且全部售出，則該商店兩次購進吉祥物的總利潤為多少元？【答案】（1）50元：（2）1700元．【解答】解：（1）設(shè)第一次每個的進價為x元，則第二次進價為（1+20%）x，根據(jù)題意得：，解得：x＝50，經(jīng)檢驗：x＝50是方程的解，且符合題意，答：第一次購進的每個吉祥物的進價為50元：（2）70×（）﹣3000×2＝1700（元），答：該商店兩次購進吉祥物的總利潤為1700元．11．（2023秋?南縣期中）《非機動車管理辦法》規(guī)定：電動自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)該戴安全頭盔．某商店用1600元購進一批電動車頭盔，銷售發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，于是，又用5400元再購進一批頭盔，第二批頭盔的數(shù)量是第一批的3倍，但單價比第一批貴10元．第一批頭盔進貨單價多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)第一批頭盔進貨單價為x元，則第二批頭盔進貨單價為（x+10）元，根據(jù)題意得：＝3×，解得：x＝80，經(jīng)檢驗，x＝80是所列方程的解，且符合題意．答：第一批頭盔進貨單價為80元．12．（2023秋?興賓區(qū)期中）某公司接到制作15000件冰墩墩的訂單，為了盡快完成任務(wù)，該公司實際每天制作冰墩墩的件數(shù)是原計劃每天制作件數(shù)的1.5倍，結(jié)果提前10天完成任務(wù)．（1）求原計劃每天制作多少件冰墩墩？（2）該公司原計劃每天支付給工人的總工資是1000元，實際每天支付給工人的總工資比原計劃增長了20%，完成任務(wù)后，該公司實際支付的工資與原計劃相比多還是少？多或者少的具體數(shù)額是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)原計劃每天制作x件冰墩墩，則實際每天制作1.5x件冰墩墩，根據(jù)題意得：﹣＝10，解得：x＝500，經(jīng)檢驗，x＝500是所列方程的解，且符合題意．答：原計劃每天制作500件冰墩墩：（2）完成任務(wù)后，該公司原計劃支付的工資總額為1000×＝1000×30＝30000（元）：該公司實際支付的工資總額為1000×（1+20%）×＝1200×20＝24000（元）．∵24000＜30000，30000﹣24000＝6000（元），∴公司實際支付的工資比原計劃少了，少了6000元．答：該公司實際比原計劃少支付工資6000元．能力提升1．（2023秋?大渡口區(qū)校級期中）若關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解為x＝，根據(jù)題意，得，解得a＜1，a為奇數(shù)且a≠﹣5．∵不等式的解集為﹣5≤x＜，且只有3個整數(shù)解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．綜上：﹣7＜a＜1，a為奇數(shù)且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為﹣4故答案為：﹣4．2．（2023秋?祁陽縣期中）a為何值時，關(guān)于x的方程+＝無解？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由原方程得：2（x+2）+ax＝3（x﹣2），整理得：（a﹣1）x＝﹣10，（i）當(dāng)a﹣1＝0，即a＝1時，原方程無解：（ii）當(dāng)a﹣1≠0，原方程有增根x＝±2，當(dāng)x＝2時，2（a﹣1）＝﹣10，即a＝﹣4：當(dāng)x＝﹣2時，﹣2（a﹣1）＝﹣10，即a＝6，即當(dāng)a＝1，﹣4或6時原方程無解．（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，經(jīng)檢驗x＝是分式方程的解：（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，經(jīng)檢驗x＝﹣4是分式方程的解．3．（2023?新化縣模擬）某工廠對零件進行檢測，引進了檢測機器．已知一臺檢測機的工作效率相當(dāng)于一名檢測員的20倍．若用這臺檢測機檢測900個零件要比15名檢測員檢測這些零件少3小時．（1）求一臺零件檢測機每小時檢測零件多少個？（2）現(xiàn)有一項零件檢測任務(wù)，要求不超過7小時檢測完成3450個零件．該廠調(diào)配了2臺檢測機和30名檢測員，工作3小時后又調(diào)配了一些檢測機進行支援，則該廠至少再調(diào)配幾臺檢測機才能完成任務(wù)？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)一名檢測員每小時檢測零件x個，由題意得：﹣＝3，解得：x＝5，經(jīng)檢驗：x＝5是分式方程的解，20x＝20×5＝100，答：一臺零件檢測機每小時檢測零件100個：（2）設(shè)該廠再調(diào)配a臺檢測機才能完成任務(wù)，由題意得：（2×100+30×5）×7+100a×（7﹣3）≥3450，解得：a≥2.5，∵a為正整數(shù)，∴a的最小值為3，答：該廠至少再調(diào)配3臺檢測機才能完成任務(wù)．4．（2022秋?代縣期末）為緩解忻州至太原段的交通壓力，促進兩市經(jīng)濟發(fā)展．山西省委決定修建“太忻大道”，現(xiàn)“太忻大道”正在建設(shè)中．甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設(shè)，甲隊單獨施工30天完成該項工程的，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，才能完成該項工程．（1）若乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程？（2）若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程？【答案】（1）乙隊單獨施工，需要30天才能完成該項工程：（2）乙隊至少施工18天才能完成該項工程．【解答】解：（1）設(shè)乙隊單獨施工，需要x天才能完成該項工程，∵甲隊單獨施工30天完成該項工程的，∴甲隊單獨施工90天完成該項工程，根據(jù)題意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，檢驗得：x＝30是原方程的根，答：乙隊單獨施工，需要30天才能完成該項工程：（2）設(shè)乙隊參與施工y天才能完成該項工程，根據(jù)題意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙隊至少施工18天才能完成該項工程．5.（2023?興慶區(qū)校級模擬）寧夏中寧縣素有“枸杞之鄉(xiāng)”的美譽，某商場從中寧縣枸杞批發(fā)市場購進甲、乙兩種不同價位的枸杞，甲種枸杞共用了2000元，乙種枸杞共用了2400元．已知乙種枸杞每千克進價比甲種枸杞每千克進價多8元，且購進的甲、乙兩種枸杞的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種枸杞每千克的進價．（2）該商場將購進的甲、乙兩種枸杞進行銷售，甲種枸杞的銷售單價為60元，乙種枸杞的銷售單價為88元．銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種枸杞銷量不好，商場決定：甲種枸杞銷售一定數(shù)量后按原銷售單價的七折銷售：乙種枸杞銷售單價不變，要使兩種枸杞全部售完共獲利不少于2460元，問甲種枸杞按原銷售單價至少銷售多少千克？【答案】（1）甲種商品的每件進價為40元，乙種商品的每件進價為48元：（2）20件．【解答】解：（1）設(shè)甲種商品的每件進價為x元，則乙種商品的每件進價為（x+8）元．根據(jù)題意，得，＝，解得x＝40．經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解．答：甲種商品的每件進價為40元，乙種商品的每件進價為48元：（2）甲乙兩種商品的銷售量為＝50．設(shè)甲種商品按原銷售單價銷售a件，則，（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲種商品按原銷售單價至少銷售20件．6．（2022?南崗區(qū)校級一模）某中學(xué)為了創(chuàng)建書香校園，去年購買了一批圖書．其中故事書的單價比文學(xué)書的單價多4元，用1200元購買的故事書與用800元購買的文學(xué)書數(shù)量相等．（1）求去年購買的文學(xué)書和故事書的單價各是多少元？（2）若今年文學(xué)書的單價比去年提高了25%，故事書的單價與去年相同，這所中學(xué)今年計劃再購買文學(xué)書和故事書共200本，且購買文學(xué)書和故事書的總費用不超過2120元，這所中學(xué)今年至少要購買多少本文學(xué)書？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)去年文學(xué)書單價為x元，則故事書單價為（x+4）元，根據(jù)題意得：，解得：x＝8，經(jīng)檢驗x＝8是原方程的解，當(dāng)x＝8時x+4＝12，答：去年文學(xué)書單價為8元，則故事書單價為12元．（2）設(shè)這所學(xué)校今年購買y本文學(xué)書，根據(jù)題意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140：答：這所中學(xué)今年至少要購買140本文學(xué)書．7．（2022春?大觀區(qū)校級期末）已知，關(guān)于x的分式方程＝1．（1）當(dāng)a＝2，b＝1時，求分式方程的解：（2）當(dāng)a＝1時，求b為何值時分式方程＝1無解：（3）若a＝3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程＝1的解為整數(shù)時，求b的值．【答案】（1）x＝：（2）或b＝5：（3）b可取3、29、55、185這四個數(shù)．【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程中，得，方程兩邊同時乘以（2x+3）（x﹣5），2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，10x＝﹣2，x＝，檢驗：把x＝代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．答：分式方程的解是x＝．（2）把a＝1代入分式方程得，方程兩邊同時乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10，①當(dāng)11﹣2b＝0時，即，方程無解：②當(dāng)11﹣2b≠0時，，時，分式方程無解，即，b不存在：x＝5時，分式方程無解，即，b＝5．綜上所述，或b＝5時，分式方程無解．（3）把a＝3b代入分式方程中，得：方程兩邊同時乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴，∵，且b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合題意，故10+b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)．對應(yīng)地，方程的解x為3、5、13、15、17，由于x＝5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去．對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，所以滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．8．（2022春?寧波期末）我們把形如x+＝a+b（a，b不為零），且兩個解分別為x1＝a，x2＝b的方程稱為“十字分式方程”．例如x+＝4為十字分式方程，可化為x+＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．再如x+＝﹣6為十字分式方程，可化為x+＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：（1）若x+＝﹣5為十字分式方程，則x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的兩個解分別為x1＝m，x2＝n，求的值．（3）若關(guān)于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的兩個解分別為x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．【答案】（1）﹣2：﹣3（2）﹣（3）﹣【解答】解：（1）x+＝﹣5可化為x+＝（﹣2）+（﹣3），∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∴+＝＝＝＝﹣．（3）原方程變?yōu)閤﹣2﹣＝﹣k﹣3，∴x﹣2+＝k+（﹣2k﹣3）∴x1﹣2＝k，x2﹣2＝﹣2k﹣3，∴＝＝﹣．真題感知1．（2023?海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝6 B．