2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)25 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 （解析版）

專題25等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

一.等比數(shù)列的有關(guān)概念

U）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)

數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母夕表示，定義的表達(dá)式為如二".

an

：2）等比中項(xiàng)：如果a,G,8成等比數(shù)列，那么G叫做。與b的等比中項(xiàng).

艮]G是。與b的等比中項(xiàng)="，G,b成等比數(shù)列=>G2=ab.

二.等比數(shù)列的有關(guān)公式

U）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

i

設(shè)等比數(shù)列｛〃4｝的首項(xiàng)為q,公比為“（夕工0）,則它的通項(xiàng)公式=aAq"'=cq"（c=—）（?）,（7^0）.

q

nm

推廣形式：an=amq-

：2）等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

叫（q=l）

等比數(shù)列｛為｝的公比為式夕W0），其前〃項(xiàng)和為Sq=4（1一/）_4-,

-:=-:'Q+1）

"q"q

在①等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1,

再由q的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比g是否為1時(shí)，要分g=l與夕工1兩種情況討論求解.

②已知4,夕（9k1）,〃（項(xiàng)數(shù)），則利用5〃=%（”/）求解;已知知見(jiàn),夕（夕"），則利用S.='二組求解.

\-q\-q

③邑="!二《2=二幺./+，」=網(wǎng)”一伙女方0國(guó)工1）,S”為關(guān)于4”的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互

\-q\-q\-q

為相反數(shù).

三.等比數(shù)列的性質(zhì)

U）等比中項(xiàng)的推廣.

2

若6+〃=p+g時(shí)，貝1]〃”4=。刈，特別地，當(dāng)/w+〃=2p時(shí)，aman=ap.

：2）①設(shè)｛%｝為等比數(shù)列，則｛血｝（2為非零常數(shù)），｛㈤｝,｛a：｝仍為等比數(shù)列.

②設(shè)｛七）與｛bj為等比數(shù)列，則｛凡b“｝也為等比數(shù)列.

3）等比數(shù)列｛為｝的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)q與公比q決定）.

當(dāng);10或朦產(chǎn)｛叫為遞增數(shù)列;

當(dāng)卜>°或時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列.

[0<”1匕>1

：4）其他衍生等比數(shù)列.

若已知等比數(shù)列｛〃“｝,公比為q,前〃項(xiàng)和為S〃，則：

①等間距抽取

,，程“，<5，為等比數(shù)列，公比為d?

②等長(zhǎng)度截取

■?為等比數(shù)列，公比為一（當(dāng)g=T時(shí)，雁不為偶數(shù)）.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）若機(jī)+〃=p+g=2攵（m,n,p,q,kwN"）,則4?4=〃」.

⑵若"｝,也）（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛枇｝（4*0）,」｝,宏｝,｛《也｝,｛答｝仍是等比

%4

數(shù)列.

：3）在等比數(shù)列｛4｝中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即14+小%3k…為

等比數(shù)列，公比為4*.

：4）公比不為一1的等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，則S”，S2n-Sn,S3”-S?”仍成等比數(shù)列，其公比

為4”.

：5）｛《』為等比數(shù)列，若…4=7；,則％,條，芥，…成等比數(shù)列.

：6）當(dāng)夕工0,gwl時(shí)，邑=4一人"（攵，0）是｛叫成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k=包.

j

：7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等.特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于中間

項(xiàng)的平方.

⑻若｛〃“｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，則｛log?“｝（c>0,c#l）為等差數(shù)列.

：9）若｛6｝為等差數(shù)列，則化%｝9>03工1）為等比數(shù)列.

U0）若｛q,｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列。｛4）是非零常數(shù)列.

【題型歸納目錄】

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算

題型二：等比數(shù)列的判定與證明

題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用

題型四：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

題型五：求數(shù)列的通項(xiàng)勺

題型六：奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論

題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問(wèn)題

題型九：等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【典例例題】

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列㈤｝的前〃項(xiàng)和為工，54=2,58=10,則｛q｝的公比

為（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】B

【解析】因?yàn)镾4=2,Sg=10,｛《｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，

所以卓=生;：%：%=八4,解得g=&.

故選：B.

例2.（2022?廣東?梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三階段練習(xí)）等比數(shù)列僅“｝中，q+q+/=6,/+%+q=24.則

｛%｝的公比4為（）

A.2B.2或_2C._2D.3

【答案】B

【解析】由題意,%=4展，4=。4。2M9

+4+%=（4+%+%）q2

q2=4g=±2

故選：B

例3.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）記S”為正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若工=14,%=2,則丑詈的值

U\+。4

為（）

A.2B.1C.3D.1

【答案】A

【解析】設(shè)公比為q（q>0），則§3=4（1+4+42）=14,得/+4_6=0,解得4=2（4=一3舍去），

?q+q4+（

故選：A.

例4.（2022.河南省浚縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為S.,且滿足

3%=&-4?,則公比g=（）

A.；B.2C.〈D.3

-3

【答案】D

【解析】由3生=§3-44,則3a2=4+%+/一44，所以用一2%-3%=。，即g2—2g—3=0,

解得q=3或g=-1（舍去）.

故選：D.

例5,（2022?廣東江門?高三階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛凡｝滿足4+。3=10，&+4=5,則

log24+log2a2++log2an=.

［答案］一,+7〃

【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足4+6=1。，/+%=5,所以4=%詈=；

ClyIC4-i乙

4-n

又q+。3=4+4/=1°，解得4=8,故=2八"，log,^=log22=4-w,所以

2

（、「3+（4-n+7n

log2"+log2%++喝4=3+2+1++（4-n）=--------=---?

一〃2+7〃

故答案為:

2

例6.（2022.福建?廈門一中模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若S?=a1,星-%=（a,貝1」§6=

【答案】n

【解析】由已知條件得

3

S二=%+。2=?1（1+<?）=-

，解得曠5,

S3-4=42+。3=4（夕+42）=（

4=1

.e/（1-d）_63

32:

故答案為：苧.

32

例7.：2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂，第1天,它飛出去找回了4個(gè)伙伴；第2天，

5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個(gè)伙伴，……按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢

中一共有蜜蜂（）

520-5421-4

A.42）只B.520只C.--^只D.--^只

43

【答案】B

【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有5x5=5?只蜜蜂，……

按照這個(gè)規(guī)律每天的蜜蜂數(shù)構(gòu)成以為5首項(xiàng)，公比為5的等比數(shù)列

則第力天的蜜蜂數(shù)4=5X5”T=5"

第20天蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中共有蜜蜂數(shù)520

故選：B.

例8.（2022?全圜高三專題練習(xí)）已知2、X、8成等比數(shù)列，則4的值為（）

A.4B.TC.±4D.5

【答案】C

【解析】解：因?yàn)?、%、8成等比數(shù)列，

所以W=2x8,解得x=±4；

故選：C

例9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)后，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差

數(shù)列，則這兩個(gè)正數(shù)之和為（）

A.13-B.11-C.10-D.10

242

【答案】B

【解析】不妨設(shè)插入兩個(gè)正數(shù)為。力,即3M力,9

???3,。力成等比數(shù)列，則

。，為9成等差數(shù)列,則a+9=2b

=9

即卜解得「工或［:二3（舍夫）

b=—

4

451

則a+b=—=11—

44

故選:B.

例10.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列血｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，若

6+&+%=6,&仇々=&則號(hào)譽(yù)的值是（）

A.；B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得/+%+%=3%=6,二.%=2,由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得爾g8=&=8,.?也=2,

4+4_2牝_4

因此,

岫b；4

故選：B.

例11.（2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知等比數(shù)列｛q｝的公比9=-；，則寢等于（

)

A.—B.-C.3D.—3

33

【答案】D

【解析】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝的公比

所以山=上生=』=一3.

a2+4%q+a^qq

故選：D

例12.（2022?內(nèi)蒙古?海拉爾第二中學(xué)模抵預(yù)測(cè)（文））已知等差數(shù)列伍，中，其前5項(xiàng)的和§5=25,等比

數(shù)列應(yīng)｝中，4=243=8,則*=（）

A.-?或3B.--C.-D.-

44454

【答案】D

【解析】由題意得：羽=5（4；%）=5%=25,解得：4=5,

設(shè)等比數(shù)列出，的公比是。，因?yàn)橐?2,d=8,所以2才=8,解得：才=4,

顯然聯(lián)＞0,所以d=2,所以偽=白r=4,

所嗚H

故選：D

例13.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛&｝的前3項(xiàng)和為168,電-6=42,則%=（)

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為名夕工0，

若4=1,則生-6=0,與題意矛盾，

所以“1，

4（1-力4=96

q+&+%168,解得,

則1一夕1

q=-

4

a2-a5=%q-a}q=422

所以4=3.

故選：D.

例14.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝滿足%=%+2%，若存在%、，使得4=16”；,

14

則上十2的最小值為（）

mn

8113

A.-B.16C.—D.—

342

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9,則9>0，由%=%+24可得才一9一2=0,解得夕=2,

因?yàn)椋=16”；,貝!=16a；,:.m+n—2=4,可得,〃+〃=6,

145+〃心+勺/5+細(xì)+0

由已知m、/IGN*所以,—+—

tnn6V\mn)6\ntn)

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2/n=4時(shí)，等號(hào)成立,

143

因此，一+一的最小值為；.

mn2

故選：D.

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃“｝中，4/。3=。6,且《=16,則4。=（)

A.1024B.960C.768D.512

【答案】A

【解析】解：依題意設(shè)公比為9,且4>0、q>0,由44%=%，則即a，=g2,所以4=4,

因?yàn)閝=16,所以.闖3="=16,所以4=2,所以%=2",所以"°=2°=1024；

故選：A

例16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在公差不為。的等差數(shù)列｛%｝中，卬，。2,他，%，%成公比為3的等比數(shù)

歹U，貝」網(wǎng)=（）

A.14B.34C.41D.86

【答案】C

【解析】因?yàn)?M2，%，%，%成公比為3的等比數(shù)列，可得見(jiàn)=34,所以％,=4-34=814

又因?yàn)閿?shù)列｛&｝為等差數(shù)列，所以公差d=%-4=冽，

所以%=?1+(k3-V)d=%+2伏3-Dq=(2勺-Dq,

所以（2%-1）%=81%,解得自=41.

故選：C.

例17.（2022?安徽.合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，己知2s2，3s3成等差數(shù)

列,則｛凡｝的公比為（）

A.；B.—C.3D.—

243

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為9，

因?yàn)?，2s2，3s3成等差數(shù)列，所以S+3s3=2x25-

所以4%+3a2+3/=4。］+4a2,

化為：3%=%,解得g=g.

故選：D

【方法技巧與總結(jié)】

等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略

：1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量4,〃，q,Sn,

一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組）便可迎刃而解.

：2）等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比夕的分類討論：

當(dāng)q=l時(shí)，S“二叫;當(dāng)qwl時(shí)，S"="（l①=

\-q1-q

題型二：等比數(shù)列的判定與證明

例18.（2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，S“=M,+〃-4.

（1）證明：數(shù)歹lj｛47｝是等比數(shù)列.

n

（2）若數(shù)列——2｝的前機(jī)項(xiàng)和求170〃?的值.

513

【解析】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，4=2%-3,4=3.

當(dāng)時(shí)，Si=2q“+（〃—1）—4,兩式相減得q=2a”「l,

即為一1=2（%-1）,4—1=2,

則數(shù)列｛4-1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

（2）由（1）得/—1=2"，%=2"+1,當(dāng)〃=1時(shí)，《=2+1=3,

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=2"+1.

2"_2"二］______1

（2"+］乂2”/+1）-FTT—+］'

得2'"+1=513，解得m=8.

例19.（2022?海南?？?二模）已知數(shù)列幾｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)且互不相等，記S”為｛%｝的前〃項(xiàng)和，從下

面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；②數(shù)列｛S.+l｝是等比數(shù)列；③/=4（4+1）.

注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】選擇①②為條件，③為結(jié)論.

證明過(guò)程如下：設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為小由題意知9>0且

2

則￡+l=q+l,$2+1=4+49+1,S3+1=+axq+axq+1,

因?yàn)椋鸖”十1｝是等比數(shù)列，所以（5產(chǎn)1）（53+1）=（§2+1）2,

2

即（q+1乂4+axq+a｝q+1）=（q+44+1了，展開整理得=a；q+%q,

所以44=42+4,即生=4（4+1）.

選擇①③為條件，②為結(jié)論，

證明過(guò)程如下：設(shè)｛q｝的公比為小由題意知4>0且

因?yàn)?=%（4+1）,即4夕=4（%+1）,因?yàn)閝>0,所以4=4+1.

所以S”=蟲二叭=心二）=/一1,所以S“+l=g”.

"q4

因?yàn)椋?l=q,-^—=±-=q,

s.+iq

所以｛s”+i｝是首項(xiàng)為人公比為4的等比數(shù)列.

選擇②③為條件，①為結(jié)論，

證明過(guò)程如下：設(shè)｛s“+l｝的公比為Q,由題意知。>0且QN1.

則，+1=（5+1）0T=（4+1）0，所以%=反+1_（￡+1）=（4+1）（。一1）,

又因?yàn)?=4（4+1）,且4+1>0,所以4=。-1.所以S.+l=?！?

當(dāng)心2時(shí)，q=S“+l—（Sz+l）=0—eT=（Q—l）0“，

%：（。-@

所以=Q,

*（。-叱2

所以｛4｝是首項(xiàng)為。-1,公比為。的等比數(shù)歹U.

例20.（2022?江蘇?南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S.=A/+8,其中A,8,q為

常數(shù).

⑴若A+B=0,證明：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

（2）若4=1,q.2=4勺，求數(shù)列卜6｝的前〃項(xiàng)和

【解析】⑴當(dāng)在2時(shí)，Sz=Aqi+B,則為=5〃-5“=可'+3-（知1+8）=從（4-1），，

又正項(xiàng)數(shù)列｛q｝,則4工。且4工1,當(dāng)〃=1時(shí)，q=￡=Ag+B,又4+8=0,則q=4（g—1）,也符合

4=4（夕一1）小，

則a.二A（q-l）d",。川=4（4-1）/,則^^二勺，故數(shù)列｛q｝是以A（g-l）為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；

n

n

⑵由U）知：當(dāng)〃22時(shí)，an=A（q-1）q~\則=A（4一1）夕'用，由%.2=4%可得T=4,又正項(xiàng)數(shù)列小｝

可得。＞0,則9=2,

%=42"T（〃N2）,則%=4A,乂4=1,%=4%可得4=1,則/=2"'（〃22）,幾=1時(shí)也符合,則為=2”，

則7；=1x20+2x21+3x2?++?-2"-1,27；=1x2'+2x22+3x23+L+n-2n,

兩式相減得一方=2。+2、22+23++2”T一〃一〃?2”=(1一〃)則7；=1+(〃-1>2”.

1—2

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝中，4=1,1"鏟〃為奇數(shù)，求證：數(shù)列［出”-1

%-3〃,〃為偶數(shù)1

是等比數(shù)列.

fl+2w+1

b(2n+2-||?2n+l()-||-6?)+(2?+1)-1(外口一3]

【解析】設(shè)或=/.、3，

且《《Ng所以數(shù)列｛“號(hào)是以生子^為首項(xiàng),嗎為公比的等比數(shù)列.

例22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足%“二燈其中q=1.證明：2二1是等比

%-41凡-2

數(shù)列；

【解析】證明：因?yàn)椤ㄏ蚨?9（〃￡用），

q-4、

X-3

所以=《「4=%-6-34+12=_2（/_3）=?3一3

%-24-6_26-6-2/+8-（凡-2）an-2,

。”一4

又％=1,

???二|是首項(xiàng)為*=咨=2,公比為2的等比數(shù)列；

U-2J4-21-2

例23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,a2=3,an+2-2^,=an+l-2a?（neN*）.證明：

數(shù)列仞向-%｝是等比數(shù)列，并求｛〃,』的通項(xiàng)公式；

［解析］解：因?yàn)?+2-2。,田=an^-2an（neN*）,

所以4+2一%+】=2（q.1-凡），又。2-4=200,

所以｛。向-是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以4+1-q=2",

當(dāng)〃22時(shí)，4=&-%/+（%?％-2）+…+（4-4）+4

2ff-,-2"-2+---+2,+1=i—=-=2"-1,

=1-2

而4=1也滿足勺=2"-1,所以%=2”-1：

例24.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足：-+見(jiàn)=2”，且q=1,4=勺-卜2”.求證：數(shù)列低｝

是等比數(shù)列；

n

【解析】證明：因?yàn)楱D+4=2",4=1,bn=an-x2,

所以%-gx*=-（勺一/2"），

4r+i_；x2"Xb21

所以——f——=7,即?=7,又偽=4一彳=：00,

a--x2n"33

“3

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為g,公比為-1的等比數(shù)列.

例25.（2022?上海?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛叫中，5=5,〃e=34-4〃十2,其中〃6用.

⑴設(shè)…“-2〃，證明數(shù)列｛我｝是等比數(shù)列；

（2）記數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為S”，試比較S,與〃2+2022的大小.

【解析】（1）〃￡N"，由5=勺一2〃得：an=bn+2n,而可卡1=3/-4〃+2,

則%+25+1）=3（"+2/0-4〃+2,整理得%=3。,而々=a「2=3,

所以數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

⑵由（1）知，"=3X3"T=3"，于是得4=3”+2〃，S'=以二之+2±&.〃='二+〃2+〃_3,

1-3222

邛“AV+l4.?M-4047

因此，s-（n2+2022）=—+n2+n---n2-2022=,

"222

令<7.=3川+2〃-4047,顯然數(shù)列｛*是遞增數(shù)列，而7=-1848匕=2528,

22

即〃日1,2,3,4,5,6｝時(shí)，c?<0,S?-(H+2022)<0,當(dāng)般之7,〃eN.時(shí)，5rt-(n+2022)>0,

所以，當(dāng)〃K6,〃wN?時(shí)，5“〈/+2()22,當(dāng)〃之7,〃wN"時(shí)，5?>n2+2022.

例26.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))記S.是公差不為0的等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，已知4+34=S"4%=S’,

數(shù)列也“｝滿足"=3Z*+2”T(〃N2,〃CN)且&=q-L

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明數(shù)列｛/+1｝是等比數(shù)列，并求也｝的通項(xiàng)公式；

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列應(yīng)｝的公差為d,dw。，

因?yàn)?+3%=S5,a｝a5=S4,

(ai+2d+3q+9d=5《+lOd

4(4+4d)=4q+6d

a.=2[a=0

解得1c或1八(舍去)，

a=2[d=0

所以q=2〃；

(2)證明：因?yàn)椤?地7+2”T(〃之2,〃GN"),

所以翱+/即*+1=1(黜+)

z222/)

b”1

聲

所以彳一=3?因?yàn)?=4-1,所以bg+l=3j

緝+1222

?一]

所以數(shù)列｛條+”是以I為首項(xiàng)，I為公比的等比數(shù)列，

所畛+H芬

所以"=3"-2"；

例27.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S.，％=3,S『2+*.

(1)證明：數(shù)列優(yōu)-2｝為等比數(shù)列;

(2)記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為。，證明：Tn<2.

bn

【解析】⑴因?yàn)镾“=2+*=2+（SN-S3所以2SO=S.X+2,

所以葭-2=20-2）,

S-2

因?yàn)?一2工0,所以S“-lwO,y5r=2,

故數(shù)列｛工-2｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為￡-2=1,公比為2：

⑵由（1）可知斗一2=21,所以晨=江汨＜尸T，

所以7,＜1+；+系…+擊=gj=2（lW）＜2.

-2

例28.（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列｛q｝和色｝滿足4=2,々=0,2?！?%=3〃+1,

%+i+次=3〃+L

⑴證明：｛4一2｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛勿｝的前〃項(xiàng)和.

【解析】⑴由24+%=3〃+1,。川+溝=3〃+1,兩式相減得:

4用-%+2（d-%）=0,%-偽=2工0,

則9M-?M=2,所以｛4-〃｝是等比數(shù)列.

（2）由2%+".|=3〃+1,an+l+2bn=3n+l,兩式相加得：

%+]+%+2（々+4）=6〃+2，

即[。向+時(shí)「2（〃+1）]+2（〃+。”-2〃）=0,

因?yàn)閝+4-2=0,所以%+a=2〃，

rh（1）知%-勿=2",

所以“=型券=〃一2小，

所以例｝的前"項(xiàng)和S.=(1+2+.?+〃)-(1+2+.+2"T)

11

一?————乙I1.

21-22

Iq

例29.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列和也｝滿足4=14%+1%+4,4%=3。一見(jiàn)一4.

（1）證明：｛4+"｝是等比數(shù)列，｛q―包｝是等差數(shù)列；

⑵求｛%｝的通項(xiàng)公式以及｛an｝的前n項(xiàng)和S”.

【解析】（1）證明：因?yàn)?%+]=3。“-a+4,42+|=32-?！?4,

所以4（%+口）=2（4+2），即q+*l.0

所以｛4+2｝是公比為3的等比數(shù)列.

將4〃的=3〃“-4+4,4包+|=34-狐-4方程左右兩邊分別相減，

得4（〃句-%）=4（%也）+8,化簡(jiǎn)得明「%=。"+2,

所以｛4-“｝是公差為2的等差數(shù)列.

⑵由（1）知《,+"=￡7，

an-br=-2+2（n-l）=2n-4,

上式兩邊相加并化簡(jiǎn)，得4=*+〃-2,

^fl1/,八,I〃（〃-3）n12-*43n+21

所以lirS〃七+齊+…+司+（-1+。+…+"-2）=1尸十七~人-----------.

例30.（2022?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知在數(shù)列｛%｝中6=1,4+%=/.

（1）令“=3"-4-5，證明：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

（2電=6+3/+32%++3"一%"，證明：4S”—3%“=〃.

b3”%-；3"停一。｝（3a

【解析】（1）證明：察=------v=———廣=”——T=-3,

n

3-'an--3",3"“_:

〃4z,44

13

又一丁/

所以數(shù)列｛a｝是以（為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列.

（2）證明:法一：5“=4+3%+32%++「4,①

3s“=3q+32生+33%++3”"u+3”勺，②

①+②得4S”=q+3（4+4）+3?（4+=）++3"（的+4）+3"4

2

=l+3xl+3xl++3F*+3工=〃+3a

所以4s“-3&=〃.

法二：由(1)知b”=3"%"一:=1*(一3),所以3"-%”=：x(—3)+—,

4444

所以乙沔一(一3門，+

"41+3416L')」

所以4S,=〃+；—；x(—3)”，

44

Q3

又3Z=丁臼+“所以4—.

例31.(2022?江西贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知數(shù)列應(yīng)｝滿足4=(,。同

1+2*

(1)證明：1?一1|是等比數(shù)歹U；

3

(2)設(shè)以二4%,證明A+&++Z?<-.

3"n8

334八3a八

a7

【解析】⑴證明：因?yàn)樨?n+l——1+2~%,人則」2--1-+---2-%-->°,/3=-[-+-2-,->0,L,

以此類推可知，對(duì)任意的〃wN?，q>0,

12a+1I112

由已知得——二—L，即一=T—+T,

3%an+l3an3

所以,1=1

是首項(xiàng)為g，公比為g的等比數(shù)列.

(2)證明：由(1)知，——l=(g)3"

31

bn=(3"+l)(3rt+,+1)-213"+13'向+1/

+b=-{l1113113

n----4--------4-4--n，l<-

2141010283"+13n+,+l2(43+l8

例32.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，S9=90,%=20,數(shù)列｛"｝滿足a=6,

"+1=電一而，。為數(shù)列仇｝的前〃項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

求證：數(shù)列色-4-1｝為等比數(shù)列;

(3)若4-369之0恒成立，求/的最小值.

(q+4)x9

【解析】(1)由已知得=90,所以4=10,又％=20,5d=10,,所以d=2,所以

2

an=a]()+(n-10]d=2n,

所以數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式凡=2〃：

b-2(〃+1)-1_3/?-4M-2(〃+1)-1_3^-6/7-3

(2)由"+1=3"一4〃得n+irt=3,又因?yàn)?=6,所以

bn-2n-\bn-2/2-1blt-2n-\

｛2-%-1｝是以首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列:

(3)由(2)得女一2〃-1=3'3"7=3“，所以"=3"+2〃+1,

7；=(3+32++3")+[3+5++(2/1+1)]

=-3--3"--31-(3-+-2-〃+-1)〃=-3向--+2-〃-2+-4-〃一-3

1-322

3M+2+2(n+1尸+4(〃+1)-33向+2n2+4〃-3

因?yàn)椋副?=3*2〃+3>0,

22

所以7,隨"的增大而增大，又4=144,7；=398,所以要使7；-369N0恒成立，則〃的最小值為5.

例33.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛叫中，4=1,4=2,且4+2=3。,川+4%.

⑴證明：｛。川+?！埃堑缺葦?shù)列；

（2）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【解析】⑴由*=3%+4%得：%+2+%=4（%+4）,且—+《產(chǎn)°，

則凹暗十%”,=4,又/+4=3,

《川+°n

所以數(shù)列｛〃向+4｝是首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列.

⑵由(1)知：—+4=3+4)x4z=34T,又勺.2+%=34,則%+2-%=9?4”,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，4=4+(4-4)+，+(《-4-2)=1+9?(1+42+—+4"7)=1+9?—j——=^-4n-1+-,

nn,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a?=3-4-'-^+1=1.4--|.

綜上,4=紂+”|.

【方法技巧與總結(jié)】

等比數(shù)列的判定方法

若4包F（4為非零常數(shù)，〃WN?或2F（4為非零常數(shù)且

定義法

/?>2,則｛3｝是等比數(shù)列

中項(xiàng)

若數(shù)列｛%｝中，q產(chǎn)。且q+2（〃eM）,則｛叫是等比數(shù)列

公式法

通項(xiàng)若數(shù)列｛鞏｝的通項(xiàng)公式可寫成（c,4均為非零常數(shù)，

公式法nwN*）,則｛《』是等比數(shù)列

前及項(xiàng)和若數(shù)列｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)和S“=kq”3（k為非零常數(shù)，qx0,l）,則

公式法｛〃”｝是等比數(shù)列

【注意】

U）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.

：2）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用

例34.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）等比數(shù)列｛6｝中，若火=9,貝貝%%+陶％=（）

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【解析】等比數(shù)列｛%｝中，若%=9,所以。4%=。；=81,

2

所以唾3。4+log3a6=Iog3（a5）=log381=4.

故選：C

例35.（2022?遼寧沈陽(yáng)?三模）在等比數(shù)列｛凡｝中，生,％為方程d—4x+萬(wàn)=0的兩根，則Ws%的值為（）

A.兀&B.-兀&C.土冗&D.

【答案】C

【解析】解：在等比數(shù)列｛凡｝中，

因?yàn)椤?，%為方程產(chǎn)-4l+4=0的兩根，

所以的/=乃=,

所以出=±6，

所以a3a5%=&=±九正.

故選：C.

例36.（2022?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模（理））已知等比數(shù)列｛4,｝的公比為2,前〃項(xiàng)和為

S”，若％+%=2,則§4=（）

13,八23，

A.—B.4C.—D.6

55

【答案】D

【解析】因?yàn)閝+。3=2,4=2,則。2+%=4,所以S4=q+%+a3+a4=6.

故選:D

例37.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列｛叫中，如果q+%=16,%+%=24,那么%+，=（）

A.40B.36C.54D.81

【答案】C

【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知，4+叼，/+4，%+4，%+4成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為16,公比為弓24=93

162

所以%+%=16x54.

故選：C.

例38.（2022.陜西?長(zhǎng)安一中一模（理））壬項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝滿足：2%+q=2%+4+8,則2%+能的最小

值是

A.64B.32C.16D.8

【答案】B

【解析】

【詳解】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列血｝的公比4＞0,???2〃4+4=2令+4+8,.?.（四+4）（爐一1）=8（#1）,則

2。6+%二夕，（2。2+4）=^^=8（92+1）十^^

8（^:-l）+-^-y+16=/（^）,4>1時(shí)，/（^）>8x2^（（/2j-+16=32

當(dāng)且僅當(dāng)q=&時(shí)取等號(hào),

0＜夕＜1時(shí)，/（夕）=-8（1-/）+占+16＜0,舍去，綜上可得：24+火的最小值是22,故選B.

例39.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列｛q｝中，若,

log?4+log?%+1。冬3%+1。83%的為

434

A.-B.-C.2D.al

34夕

【答案】A

【解析】

【詳解】

3

在等比數(shù)列｛an｝中，由《64=3,^a5=3,:.a5=i/3,