2024九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)06 反比例函數(shù)章末重難點(diǎn)題型（舉一反三）（人教版）含解析

2024九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)專(zhuān)題06反比例函數(shù)章末重難點(diǎn)題型[舉一反三】

【人教版】

《豆方芍點(diǎn)】

考點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義

考點(diǎn)2反比例函數(shù)的性質(zhì)

考點(diǎn)3反比例函數(shù)值大小比較

考點(diǎn)4與反比例函數(shù)有關(guān)的圖象問(wèn)題

考點(diǎn)5反比例函數(shù)K的幾何意義

KMUHn

【考點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義】

【方法點(diǎn)撥】一般地，形如），二K（欠為常數(shù)，的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)。（自變量X的取值：x^o）

X

反比例函數(shù)的等價(jià)形式：

①y=A（k手o）?y=kx~'[k^o）③xy=k（Zwo）

x

【例1】（2019秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（）

1y3

A.y=x+3B.y=—C.—=2D.y=—

x2x4x

【變式1-1]（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)），=（用+1%葉2是反比例函數(shù)，則6=（）

A.±1B.±3C.-1D.1

【變式1?2】（2019春?阜寧縣期中）下列函數(shù)：①y=x—2,②），=二③y=』，?y=—,），是x的

3x+1

反比例函數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【變式1?3】（2018秋?萬(wàn)山區(qū)月考）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)有（）

2x

（1）y=3x；（2）y=—；（3）y=—：（4）—xy=3；

x3

(5)y=—x(6)y=-V；(7)y=2x-2；(8)y=~.

X+lXX

A.(2)(4)B.(2)(3)(5)(8)C.(2)(7)(8)D.(1)(3)(4)(6)

【考點(diǎn)2反比例函數(shù)的性質(zhì)】

【方法點(diǎn)撥】反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：

攵的取直圖像所在象限函數(shù)的增減性

k>0一、三象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而減小

k<0二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大

【例2】（2019秋?武陵區(qū)校級(jí)月考）在反比例函數(shù)y=主網(wǎng)的圖象在某象限內(nèi)，），隨著x的增大而減小，

x

則m的取值范圍是（）

A."?>—3B.m<—3C.w>3D.m<3

【變式2-1］（2019?道外區(qū)三模）若反比例函數(shù),，=2吆的圖象位于第一、第三象限，則k的取值范圍是（

X

）

A.k<2B.攵>一2C.A<-2D.k>2

【變式2-2］（2019秋?南岸區(qū)校級(jí)月考）從3、1、-1、-2、-3這五個(gè)數(shù)中，取一個(gè)數(shù)作為函數(shù)），=匕

x

和關(guān)于X的方程（k+l）f+2履+1=0中％的值，恰好使所得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，且方程有實(shí)根，

滿足要求的々的值共有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【變式2-3］（2019?荊州區(qū)模擬）已知關(guān)于x的方程X2—（〃L1）X+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且反比例函

數(shù)丫=竺二的圖象在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，那么小的值為（）

x

A.3B.3或一1C.-2D.-1

【考點(diǎn)3反比例函數(shù)值大小比較】

【方法點(diǎn)撥】靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行推理是解此類(lèi)題的關(guān)鍵.反比例函數(shù)的增減性只指在

同一象限內(nèi).

【例3】（2018秋?閔行區(qū)期末）反比例函數(shù)y=A的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（T,2）,A（x,,弘）、B（x,,%）是圖象上

x

另兩點(diǎn)，其中西〈王<0，那么y、力的大小關(guān)系是（）

A.>y2B.y,<y2C.yt=y2D.都有可能

【變式3-1］（2019秋?槐蔭區(qū)期中）已知反比例函數(shù)y=-2的圖象上有三個(gè)點(diǎn),）、（x2,力）、*3,

X

%），若則下列關(guān)系是正確的是（）

B

A.yi<y2<y3-y2Vc.必<）'2VxD.y2<y3<y,

【變式3-2］（2019秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）設(shè)A（—2,y）,8（1,%）,C（2,%）是雙曲線y=-之上的三點(diǎn)，則（

x

）

A.B.凹>為>必C^必>必>）'|D.%>,>為

【變式3-3］（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）若反比例函數(shù)），=@二（4>1/<0）圖象上有兩個(gè)點(diǎn)（內(nèi)，y）,（超，

X

%），設(shè)機(jī)=（%-/）（,一力），則、=加￥-他不經(jīng)過(guò)第（）象限.

A.-B.二C.三D.四

【考點(diǎn)4與反比例函數(shù)有關(guān)的圖象問(wèn)題】

【例4】（2019秋?金安區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)），=-齒2-公與反比例函數(shù)丁=?代。0）在同一平面直角坐標(biāo)

x

系內(nèi)的大致圖象可能是（）

【變式4-1］（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）反比例函數(shù)y=&與），=-丘+1（女工0）在同一坐標(biāo)系的圖象可能為（

x

Ox、\1

A.B.

【變式4-2］（2019?興慶區(qū)校級(jí)一模）己知二次函數(shù)^=一4/+加+。的圖象如下，則一次函數(shù)y=?Lx—3

44

與反比例函數(shù)），=￡在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

X

【變式4-3］（2019?嶗山區(qū)二模）二次函數(shù)），=?2+法+。的圖象如圖所示，則一次函數(shù)）,=—加-4c+從與

反比例函數(shù)、=紇"在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）

x

V

【考點(diǎn)5反比例函數(shù)K的幾何意義】

【方法點(diǎn)撥】反比例函數(shù)），=V（女工0）中比例系數(shù)&的幾何意義是：過(guò)雙曲線y=&（欠。0）上任意

XX

引X軸y軸的垂線，所得矩形面積為阻。

【例5】（2019春?寬城區(qū)期中）如圖，在平直角坐標(biāo)系中，過(guò)x軸正半軸上任意一點(diǎn)2作y軸的平行線，

分別交函數(shù)y=3（x>0）、），=-勺。>0）的圖象于點(diǎn)A、點(diǎn)8.若C是），軸上任意一點(diǎn)，則A43C的面積為

xx

9

A.9B.6C.-D.3

2

【變式5-1］（2019?渝中區(qū)二模）如圖，平行于x軸的直線與函數(shù)x=幺（々>0,1>0）,y2=—（/>>0.x>0）

xx

的圖象分別相交于A、8兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)3的右側(cè)，在X軸上取一點(diǎn)C,使得AABC的面積為3,則〃-匕

的值為（）

y

A.6B.-6C.3D.-3

ia

【變式5-2］（2019?昆明模擬）如圖，函數(shù)y=—（x>0）和y=±（x>0）的圖象分別是乙和設(shè)點(diǎn)P在/，上,

xx

R4〃y軸交4于點(diǎn)A,P8//X軸，交（于點(diǎn)B,AE45的面積為（）

【變式5-3］（2019?蒙陰縣一模）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)），=3（x>0）的圖象上任意一點(diǎn)，AB〃x軸交反

X

比例函數(shù)），=—-的圖象于點(diǎn)8,以"為邊作平行四邊形其中C、。在x軸上，則S平行四邊形Me

x

為1）

【考點(diǎn)6反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)津】

【例6】（2019?蜀山區(qū)一模）如圖，點(diǎn)B在反比例函數(shù)），=［7a>0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)8分別與％軸和），軸

的垂線，垂足分別是C。和A,點(diǎn)C0的坐標(biāo)為（1,0）,取工軸上一點(diǎn)G（3,0）,過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線交反比

例函數(shù)圖象于點(diǎn)用，過(guò)點(diǎn)BJ乍線段用A_L8Co交于點(diǎn)A，得到矩形A4GG，依次在X軸上取點(diǎn)c2（2,0）,

O）…，按此規(guī)律作矩形，則矩形A紇GC-5為正整數(shù)）的面積為

【變式6-1]（2019?海港區(qū)一模）如圖，已知等邊△QA4,頂點(diǎn)A，在雙曲線y=^（x＞0）上，點(diǎn)用的

x

坐標(biāo)為（2,0）,過(guò)4作54//OA，交雙曲線于點(diǎn)兒，過(guò)外作人&//4用交k軸于打，得到第二個(gè)等邊4

司A?與；過(guò)名作4〃片人交雙曲線于點(diǎn)4，過(guò)A3作人與交內(nèi)軸于點(diǎn)名，得到第三個(gè)等邊452A3與；

【變式6?2】（2018?鄰水縣一模）如圖，分別過(guò)反比例函數(shù)y=3圖象上的點(diǎn)4（1,y）,巴（2,必），…，

X

與（〃,？）….作X軸的垂線，垂足分別為A，4，…,4…,連接A5，4居，…,4T巴....再

以4/,Ag為一組鄰邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形AR用鳥(niǎo)，以4呂，4E為一組鄰邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形

&6與4,依此類(lèi)推，則點(diǎn)紇的縱坐標(biāo)是.（結(jié)果用含〃代數(shù)式表示）

【變式6-3]（2019?德州）如圖，點(diǎn)4、4、&…在反比例函數(shù)），=?。＞0）的圖象上，點(diǎn)&、4、4……

x

在反比例函數(shù)丁=工。＞0）的圖象匕/。4&=幺&4=444...=/。=60。，且儂=2,則4（〃為

正整數(shù)）的縱坐標(biāo)為—.（用含〃的式子表示）

【考點(diǎn)7求反比例函數(shù)的解析式】

【例7】（2019秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）已知y-1與x成反比例，當(dāng)x=l時(shí)，y=-5,求y與x的函數(shù)表達(dá)式.

【變式7-1］（2018秋?金山區(qū)期末）已知；y=yt+y2?并且力與（4-1）成正比例，力與了成反比例.當(dāng)％=2

時(shí)，j=5；當(dāng)％=-2時(shí)，y=-9.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）求當(dāng)x=8時(shí)的函數(shù)值.

【變式7-2］（2018秋?浦東新區(qū)期末）已知y=y+必，弘與式成正比例,為與不一1成反比例，當(dāng)％=-1時(shí)，

y=3；當(dāng)x=2時(shí)，y=-3,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【變式7-3］（2018秋?包河區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)。在雙曲線y=3（x>0）上，連結(jié)OP,若將線段O尸繞

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段@2,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的雙曲線的表達(dá)式.

【考點(diǎn)8反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合】

【例8】（2019秋?武陵區(qū)校級(jí)月考）已知A（a,-2a）、8（-2間）兩點(diǎn)是反比例函數(shù)y=生與一次函數(shù)），=收+占

x

圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

（2）求AA4O的面積；

(3)觀察圖象，直接寫(xiě)出不等式履+。-%>0的解集.

【變式8-1](2019?新蔡縣一模)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=〃式與雙曲線y=°相交于A(-l,a)、

X

8兩點(diǎn)，8C_Lx軸，垂足為C,A4OC的面積是1.

(1)求〃?、n的值；

(2)求直線AC的解析式.

(3)點(diǎn)?在雙曲線上，且APOC的面積等于A4BC面積的求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【變式8-2](2019春?京口區(qū)校級(jí)月考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù))=履+3與反比例函數(shù)5=-9

x

的圖象交于A(T,〃?)，B(%-3)兩點(diǎn)，一次函數(shù)y="+〃的圖象與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求一次函數(shù)的解析式;

(2)若反比例函數(shù)y=6當(dāng)yW-2時(shí)，x的取值范圍是,

7

(3)根據(jù)函數(shù)的圖象，直接寫(xiě)出不等式kx+b2-@的解集.

(4)點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且△BOP的面積是△804面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式8-3](2019春?臥龍區(qū)期末)如圖，一次函數(shù)y=左/+2與反比例函數(shù)y,=4的圖象交于點(diǎn)A(4,M

X

和8(-8,-2),與)，軸交于點(diǎn)C.

(1)k}=,k2=；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)y＞為時(shí)，I的取值范圍是一；

(3)過(guò)點(diǎn)A作AD_L4軸于點(diǎn)Z),點(diǎn)尸是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn).設(shè)直線。尸與線段4)交于

點(diǎn)E,當(dāng)S四邊形皿°￡曲=3:1時(shí)，求直線OP的解析式.

【考點(diǎn)9反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

【例9】(2。19秋?碑林區(qū)校級(jí)月考)某小學(xué)為每個(gè)班級(jí)配備了一種可加熱的飲水機(jī)，該飲水機(jī)的工作程序

是：放滿水后，接通電源，則自動(dòng)開(kāi)始加熱，每分鐘水溫上升10℃,待加熱到100C,飲水機(jī)自動(dòng)停止加

熱，水溫開(kāi)始下降，水溫y(°C)與通電時(shí)間x(分)的關(guān)系如下圖所示，回答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)0WxW8時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求出圖中a的值；

(3)某天早上7:20,李優(yōu)老師將放滿水后的飲水機(jī)電源打開(kāi)，若他想在8:00上課前能喝到不超過(guò)40℃的

溫開(kāi)水，問(wèn)：他應(yīng)在什么時(shí)間段內(nèi)接水？

J(℃)

p~~T（min）

【變式9-1]（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)40分鐘的課中，學(xué)生的

注意力隨教師講課時(shí)間的變化而變化，開(kāi)始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意

力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力y隨時(shí)間x（分

）的變化規(guī)律如圖所示，其中AB、3c分別為線段，8為雙曲線的一部分.

（1）寫(xiě)出線段43和雙曲線8的函數(shù)關(guān)系式（不要求指出自變量取值范圍）：線段AB：y產(chǎn)—；雙曲

線CD；%=；

（2）開(kāi)始上課后第5分鐘時(shí)的注意力水平為M，第30分鐘時(shí)的注意力水平為

y2，則M、乃的大小關(guān)系是；

（3）在一節(jié)課中，學(xué)生大約最長(zhǎng)可以連續(xù)保持分鐘（精確到1分鐘），使得注意力維持在32以上.

【變式9-2]（2019春?銅山區(qū)期末）某中學(xué)為了預(yù)防流行性感冒，對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，己知

藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（/ng）與時(shí)間M加力）成正比例.藥物燃燒后，y與x成反比例（如

圖所示），現(xiàn)測(cè)得藥物6加〃燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為4mg,

（1）寫(xiě)出藥物燃燒前后，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6,即時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開(kāi)始，至少需要經(jīng)

過(guò)多少分鐘，學(xué)生方能回到教室？

（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于2〃?g且持續(xù)時(shí)間不低于5/而時(shí)，才能有效殺滅空氣中

的病畫(huà)，那么此次消毒是否有效？

【變式9-3](2019春?泰興市校級(jí)期中)春季是傳染病多發(fā)的季節(jié)，積極預(yù)防傳染病是學(xué)校高度重視的一

項(xiàng)工作，為此，學(xué)校對(duì)教室采取噴灑藥物進(jìn)行消毒.在對(duì)某教室進(jìn)行消毒的過(guò)程中，先經(jīng)過(guò)5加加的集中藥

物噴灑，再封閉教室10機(jī)加，然后打開(kāi)門(mén)窗進(jìn)行通風(fēng)，在封閉教室10帆加的過(guò)程中，每經(jīng)過(guò)一分鐘室內(nèi)每立

方米空氣中含藥量降低0.2/咫，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量》(/叫/加)與藥物在空氣中的持續(xù)時(shí)間加)之

間的函數(shù)關(guān)系如圖(在打開(kāi)門(mén)窗通風(fēng)前分別滿足兩個(gè)一次函數(shù)，在通風(fēng)后又成反比例)

(1)a-；

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5,咫/機(jī)3且持續(xù)時(shí)間不低于20分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒.問(wèn)此

次消毒是否有效？并說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)10與反比例函數(shù)有關(guān)的存在性問(wèn)題】

【例10】(2019春?侯馬市期末)如圖，直線,交x軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)A(O,2),與反比例函數(shù)g

的圖象交于C(l,m),D(n-1),連接OC,OD.

(1)求〃的值;

(2)求ACOD的面積.

(3)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出時(shí)，工的取值范圍.

(4)點(diǎn)M是反比例函數(shù))，,=人上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M、C、。為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,

.X

且8為直角邊，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式10-1】（2019?江油市模擬）如圖，已知正比例函數(shù)），=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)4見(jiàn)-2）.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）觀察圖象，直接寫(xiě)出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)自變量x的取值范圍；

（3）若雙曲線上點(diǎn)C（2,〃）沿。A方向平移檔個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B,在x軸上是否存在點(diǎn)使

SAg>=1S四邊.AEC?若存在，請(qǐng)求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?

【變式10-2】（2018秋?錦州期末）如圖，一次函數(shù)），=，世+必〃工0）的圖象與反比例函數(shù)y=A僅工0）的圖

x

象交于第一、三象限內(nèi)的A,8兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)8作軸，垂足為點(diǎn)M,BM=OM=2,

點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4.

（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）直線回交工軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)0作直線/_!_X軸，如果直線/上存在點(diǎn)P,坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)。.使四

邊形0B4Q是矩形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式10-3】（2018春?江陰市期末）如圖所示，直線y=：x+l與x軸交于點(diǎn)A,與），軸交于點(diǎn)8,與反

比例函數(shù)），2=々X>0）的圖象交于點(diǎn)。，且=

X

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)和反比例函數(shù)%的解析式；

（2）點(diǎn)P在x軸上，反比例函數(shù)％圖象上存在點(diǎn)"，使得四邊形BPCM為平行四邊形，求.8PCM的面

積.

專(zhuān)題06反比例函數(shù)章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】

【人教版】

擊每點(diǎn)］

考點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義

考點(diǎn)2反比例函數(shù)的性質(zhì)

考點(diǎn)3反比例函數(shù)值大小比較

考點(diǎn)4與反比例函數(shù)有關(guān)的圖象問(wèn)題

考點(diǎn)5反比例函數(shù)K的幾何意義

KMmwi

【考點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義】

【方法點(diǎn)撥】一般地，形如），二七（化為常數(shù)，攵的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)。（自變量工的取值：XWO）

X

反比例函數(shù)的等價(jià)形式：

①y二&（k手o）?y=kx''（k^o）③xy二k（Zwo）

x

【例1】（2019秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（）

1V3

A.y=x+3B.尸二C.2=2D.y=—

ATX4x

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可以判定.

【答案】解：根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知y=且是反比例函數(shù)，

y4x

故選：O.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)解析式的一般形式y(tǒng)=k（&W0）,也可轉(zhuǎn)化為y=

X

履[（ZW0）的形式，特別注意不要忽略kWO這個(gè)條件.

【變式1-1]（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)y=（m+lW*H是反比例函數(shù)，貝卜〃=（）

A.±1B.±3C.-1D.1

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論.

【答案】解：???函數(shù)□=（m+1）是反比例函數(shù)，

-2=-1,m+1六0,

**?w—1>

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，正確的列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式；1?2】(2019春?阜寧縣期中)下列函數(shù)：@J=A-2,?J=-,③y-Afl?j=—,y是人的

3x+1

反比例函數(shù)的個(gè)數(shù)有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式再判斷它們的關(guān)系則可.

【答案】解：&y=x-2,)，是k的一次函數(shù)，故錯(cuò)誤；

@y=iy是x的正比例函數(shù)，故錯(cuò)誤；

3

③)，是x的反比例函數(shù)，故正確；

④y=_2_,y是x+2的反比例函數(shù)，故錯(cuò)誤.

x+1

綜上所述，正確的結(jié)論只有1個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義和方程式的變形，涉及的知識(shí)面比較廣.反比例函數(shù)解析式的一

般形式y(tǒng)=Ka#o).也可轉(zhuǎn)化為awo)的形式，特別注意不要忽略kwo這個(gè)條件.

X

【變式1-3](2018秋?萬(wàn)山區(qū)月考)下列函數(shù)中，y是X的反比例函數(shù)有()

2x

(2)y=3x；(2)y=——；(3)y=—：(4)—xy=3；

x3

(5)y=—;(6)丁=二；(7)y=2x~2；(8)y=~.

X+lXX

A.(2)(4)B.(2)(3)(5)(8)C.(2)(7)(8)D.(1)(3)(4)(6)

【分析】分別利用正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)的定義分析得出答案.

【答案】解：(1)j=3x,是正比例謔數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

y=-2,是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)正確;

X

(3)尸三是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

(4)-盯=3是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)正確；

(5)v=—>y是x+1的反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

(6)y=^-,y是/的反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

(7)y是f的反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

（8）尸k,2#0時(shí)，y是工的反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

x

故選:A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2反比例函數(shù)的性質(zhì)】

【方法點(diǎn)撥】反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：

力的取值圖像所在象限函數(shù)的㈣減性

k>0一、三象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而減小

k<0二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大

【例2】（2019秋?武陵區(qū)校級(jí)月考）在反比例函數(shù)丁=三%的圖象在某象限內(nèi)，y隨著尤的增大而減小，

x

則〃?的取值范圍是（）

B.〃2>—3B.m<—3C.m>3D.tn<3

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得3-機(jī)>0,再解不等式即可.

【答案】解：?.?反比例函數(shù)），=心口的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，1y隨著x的增大而減小，

x

解得，機(jī)V3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì).對(duì)于反比例函數(shù)丁=k，當(dāng)左>0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值

x

y隨自變量x的增大而減??；當(dāng)k〈0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值），隨自變量x增大而增大.

【變式2-1］（2019?道外區(qū)三模）若反比例函數(shù)），=旦的圖象位于第一、第三象限，則2的取值范圍是（

x

）

A.k<2B.k>-2C.k<-2D.k>2

【分析】考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由2-心>0即可解得答案.

【答案】解：?.?y=Z*的圖象位于第一、第三象限，

X

：.2-k>0,

k<2.

故選：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：①、當(dāng)*>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)&V0

時(shí)，圖象分別位于第二、四象限.②、當(dāng)A>0時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，隨”的增大而減??；當(dāng)AV0時(shí)，

在同一個(gè)象限，y隨x的增大而增大.

【變式2-2]（2019秋?南岸區(qū)校級(jí)月考）從3、1、-1、-2、-3這五個(gè)數(shù)中，取?個(gè)數(shù)作為函數(shù)），=9

x

和關(guān)于%的方程~+1）/+2米+1=0中k的值，恰好使所得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，且方程有實(shí)根，

滿足要求的左的值共有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【分析】由函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，可得A-2V0,由關(guān)于x的方程（2+1）/+2履+1=0

x

有實(shí)數(shù)根，可得（2D2-4X（RD20或k+l=0,繼而求得答案.

【答案】解：?.?函數(shù)y=￡2的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，

x

則k-2<0,

解得：kV2,

???符合要求的有1，-1,-2,-3,

???關(guān)于x的方程（&+1）/+2履+1=0有實(shí)數(shù)根，

:.（2火）2-4X（2+1）20或2+1=0,

???符合要求的有，-1,-2,-3,

???伶好使所得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，且方程有實(shí)根，滿足要求的女的值共有3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程根的判別式.此題難度適中，注意熟記性質(zhì)是

解此題的關(guān)鍵.

【變式2-3]（2019?荊州區(qū)模擬）己知關(guān)于x的方程/（加l）xi1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且反比例函

數(shù)曠=絲二！的圖象在每個(gè)象限內(nèi)隨x的增大而減小，那么加的值為（）

x

A.3B.3或一1C.-2D.-1

【分析】關(guān)于x的方程有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則△=（）可求出m的值，反比例函數(shù)圖象在每個(gè)象限內(nèi)y

隨尤的增大而減小，則機(jī)-1>0,求出相的取值范圍.再根據(jù)前者確定機(jī)的最后值.

【答案】解：???/-（〃?-1）x+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

/.△=[-（w-1）]2-4XlXl=/w2-2zn-3=（w-3）（小+1）=0,

Aw=3和m=~1；

又???反比例函數(shù)丫=空工的圖象在每個(gè)象限內(nèi)），隨工的增大而減小，

x

???圖象在一，三象限，即（m-1）>0,

二用》1,

，州只能為3,

故選:A.

【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和反比例函數(shù)的性質(zhì)，有一定的難度.只要認(rèn)真分析，能夠正確作

答.

【考點(diǎn)3反比例函數(shù)值大小比較】

【方法點(diǎn)撥】靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行推理是解此類(lèi)題的關(guān)鍵，反比例函數(shù)的增減性只指在

同一象限內(nèi).

【例3】（2018秋?閔行區(qū)期末）反比例函數(shù)y=4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,2）,A（x,,y）、85，%）是圖象上

x

另兩點(diǎn)，其中玉<出<0,那么必、內(nèi)的大小關(guān)系是（）

A.yt>y2B.y{<y2C.y,=y2D.都芍可能

【分析】先代入點(diǎn)（-1,2）求得攵的值，根據(jù)k的值判斷此函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)x\<x2<0

判斷出A（xi,yi）、B（X2,”）所在的象限，根據(jù)此函數(shù)的增減性即可解答.

【答案】解：???反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,2）,

x

：.k=-2,

???此函數(shù)的圖象在二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨工的增大而增大，

VAI<^2<0,

?a?A（xi,yi）>B（x2>兩點(diǎn)均位于第二象限，

.,.『i<）??

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2019秋?槐蔭區(qū)期中）已知反比例函數(shù)），=-?的圖象上有三個(gè)點(diǎn)（k，y）、（x2,%）、（/，

%），若％>9>0>七，則下列關(guān)系是正確的是（）

A.B.y2<yt<y3C.y3<y2<yxD.y2<y3<yt

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式得出圖象所在的象限和增減性，再進(jìn)行比較即可.

【答案】解：???反比例函數(shù)y=-2,

???函數(shù)圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，y隨工的增大而增大，

二?函數(shù)的圖象上有三個(gè)點(diǎn)（巾，yi），J2）、（A3，），3），且XI>X2>O>X3，

.'._y2Vly1Vy3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象和性

質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2019秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）設(shè)A（-2,y）,8（1,%）,。（2,必）是雙曲線y=-之上的三點(diǎn)，貝M

x

）

A.B.y,>>j2C.y3>y2>y.D.>y,>j2

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)2=-3判斷出函數(shù)圖象在二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大

而增大，再根據(jù)-2V0V1V2,即可判斷出yi、*、2的大小.

【答案】解：?“=-3VO,

???則圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

又???-2V0V1V2,

.\y\>y3>y2.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.注意：反比例函數(shù)的增減性只指在同一象限內(nèi).

【變式3-3]（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）若反比例函數(shù)y="1（a>l,xv0）圖象上有兩個(gè)點(diǎn)（芭，y）,（馬，

X

%），設(shè)加=（%-X2）（,一方），則丁二以一根不經(jīng)過(guò)第（）象限.

A.-B.二C.三D.四

【分析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出“的正負(fù)，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【答案】解：??j，=9（a>l,x<0）,

x

：.a-1>0,

???），=亙工（。>1,x<0）圖象在三象限，且y隨x的增大而減小，

x

???圖象上有兩個(gè)點(diǎn)（XI,yi）,（X2?）2）,X】與yi同負(fù)，X2與）2同負(fù)，

；?陽(yáng)=（XI-X2）（）'1-"）<0,

???），=,內(nèi)-根的圖象經(jīng)過(guò)一，二、四象艱，不經(jīng)過(guò)三象限，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)健是熟練掌握基本知識(shí)，屬于

中考?？碱}型.

【考點(diǎn)4與反比例函數(shù)有關(guān)的圖象問(wèn)題】

【例4】（2019秋?金安區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)），=-履2一公與反比例函數(shù)y=A（kw（））在同一平面直角坐標(biāo)

x

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用分類(lèi)討論的方法和二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以

判斷哪個(gè)選項(xiàng)中的圖象符合實(shí)際，從而可以解答本題.

【答案】解：當(dāng)心>0時(shí)，二次函數(shù)丫=一h2■廬的圖象開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸；當(dāng)A>0時(shí)，

反比例函數(shù),v=K（々W0）圖象在第一、三象限，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

x

當(dāng)k<0時(shí)，二次函數(shù)），=-小-F的圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在），軸的負(fù)半軸；當(dāng)k<0時(shí)，反比例函數(shù)y

=1awo）圖象在第二、四象限，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

X

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的

思想和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解答.

【變式4-1］（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）反比例函數(shù)y=&與y=-日+1伏工0）在同一坐標(biāo)系的圖象可能為（

x

A.B.

【分析】分別根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【答案】解：A、由反比例函數(shù)的圖象可知，攵>0,一次函數(shù)圖象呈上升趨勢(shì)且交與y軸的正半軸，-4

>0,即AVO,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、由反比例函數(shù)的圖象可知，k>0,一次函數(shù)圖象呈下降趨勢(shì)且交與），軸的正半軸，7<0,即4>0,

故本選項(xiàng)正確；

。、由反比例函數(shù)的圖象可知，&V0,一次函數(shù)圖象呈上升趨勢(shì)且交與y軸的負(fù)半軸（不合題意），故本

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、由反比例函數(shù)的圖象可知，kVO,一次函數(shù)圖象呈下降趨勢(shì)且交與y粕的正半軸，-k<3即A>0,

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象，熟知反比例函數(shù)中系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)與圖象位

置之間關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

A.B.

【分析】由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)〉軸正半軸可知c>0,利用排除法即可得出正確答案.

【答案】解：對(duì)稱(chēng)軸位于y軸左側(cè)，小匕同號(hào)，即8V0.圖象經(jīng)過(guò)y軸正半可知c>0,根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和一

個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)用。表示出b,c，b=2a=--,c=—,

24

確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，

由匕V0可知，直線y=-/-2力經(jīng)過(guò)一、二、三象限，

由c>0可知，反比例函數(shù)三的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，

C

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知以上知識(shí)是

解答此題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2019?嶗山區(qū)二模）二次函數(shù)），=〃2+云+。的圖象如圖所示，則—次函數(shù)y=-4c+/與

反比例函數(shù)），=佇"^在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）

X

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象確定-反儼-4"、a-b+c的符號(hào)，由它的符號(hào)判定一次函數(shù)圖象與反比例

函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限即可.

【答案】解：如圖，拋物線y=ad+bx+c的開(kāi)口方向向下，則aVO.

對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，則4、〃異號(hào)，所以b>0,故-6V0.

又因?yàn)閽佄锞€與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，

所以M-4ac>0,

所以直線y=-加+■_4"經(jīng)過(guò)第一、二、四象限.

當(dāng);1=7時(shí)，j<0,即a-/HcV0,所以雙曲線y=af+c在經(jīng)過(guò)第二、四象限.

x

綜上所述，符合條件的圖象是8選項(xiàng).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象.熟練掌握?qǐng)D象與函數(shù)關(guān)系式中系

數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5反比例函數(shù)K的幾何意義】

【方法點(diǎn)撥】反比例函數(shù)），二與（女工0）中比例系數(shù)人的幾何意義是：過(guò)雙曲線），二七（女工0）上任意

xx

引X軸y軸的垂線，所得矩形面積為陽(yáng)。

【例5】（2019春?寬城區(qū)期中）如圖，在平直角坐標(biāo)系中，過(guò)x軸正半軸上任意一點(diǎn)尸作y軸的平行線，

分別交函數(shù)），=』。>0）、y=-，x>0）的圖象于點(diǎn)A、點(diǎn)、B.若。是），軸上任意一點(diǎn)，則AABC的面積為

)

9

A.9B.6C.-D.3

2

【分析】連接04、OB,根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S^OP=LX3=W,SMOP=LX|-6|

2