2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之填空題

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之填空題一．填空題（共25小題）1．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）對(duì)于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本、、、，記這個(gè)數(shù)的第百分位數(shù)為．若不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，則的所有可能值組成的集合為．2．（2024?河南模擬）的展開式中的系數(shù)為．3．（2024?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)的最小值為，則．5．（2024?葫蘆島二模）已知實(shí)數(shù)，，則的最大值為．6．（2024?廣州模擬）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，．直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為．7．（2024?南湖區(qū)校級(jí)一模）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是120，則實(shí)數(shù)．8．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5，其頂點(diǎn)和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為．9．（2024?河南模擬）已知△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若，為中點(diǎn)，則．10．（2024?回憶版）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為．11．（2024?安徽模擬）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為．12．（2024?衡陽(yáng)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則．13．（2024?順義區(qū)校級(jí)模擬）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為．14．（2024?錦州模擬）已知，，，，2，3，，，，，為，，，中不同數(shù)字的種類，如，1，4，，，4，4，，，2，2，與，2，1，視為不同的排列，則，，，的不同排列有個(gè)（用數(shù)字作答）；所有的排列所得，，，的平均值為．15．（2024?紅橋區(qū)一模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．16．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．17．（2024?南岸區(qū)模擬）．18．（2024?淅川縣校級(jí)三模）已知集合與集合，，求集合．19．（2024?芝罘區(qū)校級(jí)模擬）如圖，圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)、在圓上，且點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，若，則的值為．20．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．21．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是．22．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，正八面體就是其中之一．正八面體由八個(gè)等邊三角形構(gòu)成，也可以看作由上、下兩個(gè)正方錐體黏合而成，每個(gè)正方錐體由四個(gè)三角形與一個(gè)正方形組成．如圖，在正八面體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是．23．（2024?歷下區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為．24．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．25．（2024?渭南二模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之填空題參考答案與試題解析一．填空題（共25小題）1．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）對(duì)于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本、、、，記這個(gè)數(shù)的第百分位數(shù)為．若不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，則的所有可能值組成的集合為，．【答案】，．【考點(diǎn)】百分位數(shù)【專題】函數(shù)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析【分析】根據(jù)是否為正整數(shù)分類討論，若為正整數(shù)，則5個(gè)數(shù)分別為，，，若不為整數(shù)，則5個(gè)數(shù)分別為，，，根據(jù)，的范圍分類計(jì)算．【解答】解：設(shè)，則不在這組數(shù)據(jù)，為正整數(shù)，，，在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，故這個(gè)5個(gè)數(shù)分別為，，，即，當(dāng)，6，7，當(dāng)時(shí)，，，，即為，，，，共5個(gè)，符合；當(dāng)時(shí)，，，，即為，，，，，，共6個(gè)，不符合；當(dāng)時(shí)，，，，，，，，共7個(gè)，不符合，若為整數(shù)，可得，即有；若不為整數(shù)，故，其中為正奇數(shù)，設(shè)，其中為正整數(shù)，則，且，故，，，在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，這5個(gè)數(shù)分別為，，，，即，但當(dāng)，，此時(shí)，，至少有6個(gè)，，6，7，當(dāng)時(shí)，，，即為，，，，，共5個(gè)，符合，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，即為，，，，，，共6個(gè)，不符合；當(dāng)時(shí)，，，即為，，，，，，，共7個(gè)，不符合．綜上，符合條件的為50，55．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查百分位數(shù)的定義和集合的表示，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2024?河南模擬）的展開式中的系數(shù)為．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理；綜合法【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的系數(shù)．【解答】解：的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式中的系數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【答案】，．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；交集及其運(yùn)算【專題】轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)已知條件，推得，即可求出的取值范圍．【解答】解：，則，，，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)的最小值為，則2．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值；分段函數(shù)的應(yīng)用【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；運(yùn)算求解【分析】由題意可知當(dāng)時(shí)，，從而得當(dāng)時(shí)，有最小值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，易知此時(shí)，，且在，上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，令，則有，，當(dāng)，即時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不能取到最小值；當(dāng)，即時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，解得，又因?yàn)?，所以．故答案為?．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．5．（2024?葫蘆島二模）已知實(shí)數(shù)，，則的最大值為2．【答案】2【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的最值【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；函數(shù)思想【分析】將分式化簡(jiǎn)，然后結(jié)合平方均值不等式與基本不等式的相關(guān)知識(shí)即可得到結(jié)論【解答】解：因?yàn)?，因?yàn)?，，所以根?jù)平方均值不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，將上式化簡(jiǎn)得：，當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)等號(hào)成立，即，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最大值．故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了基本不等式的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)條件化簡(jiǎn)可以知道，基本不等式的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵6．（2024?廣州模擬）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，．直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為．【答案】．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征【分析】由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)橢圓的定義求出，，再在△中，利用余弦定理求出，的關(guān)系，即可得解．【解答】解：由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為平行四邊形，則，由，得，因?yàn)?，所以，又，所以，在△中，由余弦定理得，即，所以，即橢圓的離心率．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?南湖區(qū)校級(jí)一模）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是120，則實(shí)數(shù)2．【答案】2．【考點(diǎn)】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)【專題】綜合法；二項(xiàng)式定理；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】求出的通項(xiàng)公式，得到與，從而得到展開式常數(shù)項(xiàng)，得到方程，求出．【解答】解：展開式的通項(xiàng)公式為，令得，即．令得，即，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故，解得．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5，其頂點(diǎn)和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為．【答案】．【考點(diǎn)】圓錐的體積【專題】整體思想；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】求出圓錐的底面半徑，結(jié)合錐體的體積公式可求得該圓錐的體積．【解答】解：取圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)圓錐的外接球?yàn)榍颍字?，且，，則，故圓錐的底面半徑為，因此該圓錐的體積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?河南模擬）已知△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若，為中點(diǎn)，則．【考點(diǎn)】余弦定理；解三角形【專題】整體思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由已知結(jié)合余弦定理先求出，然后結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)椤髦校?，，，由余弦定理得，，即，所以，為中點(diǎn)，則，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024?回憶版）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為．【答案】．【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解【分析】由題意求出，，利用雙曲線的定義求出和、，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意知，，，所以，解得；又時(shí)，，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的定義與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．11．（2024?安徽模擬）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為．【答案】．【考點(diǎn)】求等差數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；整體思想【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)，基本不等式即可求解．【解答】解：正項(xiàng)等差數(shù)列中，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?衡陽(yáng)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則．【答案】．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線【專題】方程思想；運(yùn)算求解；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】由題意可得直線的斜率和直線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的焦半徑公式，解方程可得，可得所求值．【解答】解：的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線方程為，由，可得直線的斜率為，直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即為，設(shè)，，，，可得，，由，可得，解得，，，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?順義區(qū)校級(jí)模擬）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；平面向量及應(yīng)用；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)平面向量的夾角與數(shù)量積定義，平面向量的線性運(yùn)算，函數(shù)思想即可求解．【解答】解：為等邊三角形，則與的夾角為的補(bǔ)角，即與的夾角大小為，，在以為圓心，1為半徑的圓上，又，為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，，且，設(shè)，則，，，，，時(shí)，，取得最小值，故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的夾角與數(shù)量積定義，平面向量的線性運(yùn)算，函數(shù)思想，屬基礎(chǔ)題．14．（2024?錦州模擬）已知，，，，2，3，，，，，為，，，中不同數(shù)字的種類，如，1，4，，，4，4，，，2，2，與，2，1，視為不同的排列，則，，，的不同排列有256個(gè)（用數(shù)字作答）；所有的排列所得，，，的平均值為．【答案】256；．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；綜合法；排列組合【分析】本題首先可以確定，，，的所有可能取值分別為1、2、3、4，然后分別計(jì)算出每一種取值所對(duì)應(yīng)的排列個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到每一種取值所對(duì)應(yīng)的概率，最后根據(jù)每一種取值所對(duì)應(yīng)的概率即可計(jì)算出，，，的平均值．【解答】解：由題意可知，，，，的不同排列有個(gè)，當(dāng)，，，時(shí)，；當(dāng)，，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，；當(dāng)，，，時(shí)，，綜上所述，所有的256個(gè)，的排列所得的，，，的平均值為：．故答案為：256；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了平均值的計(jì)算，屬于中檔題．15．（2024?紅橋區(qū)一模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．【答案】．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；整體思想【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則44．【答案】44．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由已知條件，可推得，再結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，求解即可．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，即，，．故答案為：44．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和性質(zhì)，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?南岸區(qū)模擬）．【答案】．【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解．【解答】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?淅川縣校級(jí)三模）已知集合與集合，，求集合．【考點(diǎn)】其他不等式的解法；交集及其運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；集合；集合思想【分析】先求出集合，再利用交集運(yùn)算求解．【解答】解：由可得，且，解得，又集合，，集合．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?芝罘區(qū)校級(jí)模擬）如圖，圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)、在圓上，且點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，若，則的值為．【考點(diǎn)】：任意角的三角函數(shù)的定義【專題】49：綜合法；15：綜合題；34：方程思想；56：三角函數(shù)的求值【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．【解答】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，即，，，若，，則，則，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，利用三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)的輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．20．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．【答案】．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；對(duì)應(yīng)思想；定義法【分析】記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，然后可解．【解答】解：由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合，，，中的元素有674個(gè)偶數(shù)，1350個(gè)奇數(shù)，記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，顯然集合共有個(gè)，集合共有個(gè)，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合共有個(gè)，又集合的非空子集共有個(gè)，所以中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)以及古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．21．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是．【答案】．【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)及勾股定理即可求解．【解答】解：設(shè)，，，，又，，又，，，，，，，又，，，，，，又，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題．22．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，正八面體就是其中之一．正八面體由八個(gè)等邊三角形構(gòu)成，也可以看作由上、下兩個(gè)正方錐體黏合而成，每個(gè)正方錐體由四個(gè)三角形與一個(gè)正方形組成．如圖，在正八面體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是．【答案】．【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角【專題】空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】根據(jù)正八面體的性質(zhì)，異面直線所成的角的定義即可得．【解答】解：取棱的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角．設(shè)，則，正方形中，，正三角形中，．在中，由余弦定理可得，則異面直線與所成角的余弦值是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正八面體的性質(zhì)，異面直線所成的角，屬于中檔題．23．（2024?歷下區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為，．【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)函數(shù)解析式特征，判斷其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；通過求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)為正得在上單調(diào)遞增；再利用對(duì)稱性將進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，最后利用單調(diào)性求解抽象不等式即得．【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，即的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上單調(diào)遞增，由，得，由可得，即，所以，解得．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．【答案】．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意易得，，，再作出底面圖形，根據(jù)向量共線定理，三棱錐的體積公式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，作出底面圖形，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如圖所示：由，可得，設(shè)，又，，又，，三點(diǎn)共線，，，，又，，，又，且，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四面體的體積問題，向量的線性運(yùn)算，向量共線定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．25．（2024?渭南二模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為11分．【答案】11分．【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；綜合法【分析】根據(jù)題意，求出小明同學(xué)多選題所有可能總得分，再結(jié)合中位數(shù)的定義求解．【解答】解：由題意可知，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題得6分，第二小題可能得0分或4分或6分，第三小題可能得0分或2分或3分，所以小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：6分，8分，9分，10分，12分，13分，14分，15分，所以中位數(shù)為分．故答案為：11分．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概念：1．如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)相結(jié)合命題．2．交集及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．3．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，＝，用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤，若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．4．其他不等式的解法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對(duì)數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會(huì)指數(shù)和指數(shù)，對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．【解題方法點(diǎn)撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，h（x）為增，當(dāng)x＜1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為減，當(dāng)x＝1時(shí)，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個(gè)綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點(diǎn)其實(shí)是大家的計(jì)算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當(dāng)a＞1時(shí)，有，解得2＜x＜3．當(dāng)1＞a＞0時(shí)，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當(dāng)1＞a＞0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個(gè)題考查的就是對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后變成一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點(diǎn)其實(shí)主要是學(xué)會(huì)判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點(diǎn)考察學(xué)生的運(yùn)算能力，也是一個(gè)比較重要的考點(diǎn)，希望大家好好學(xué)習(xí)．5．函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點(diǎn)的值，然后進(jìn)行比較可得．【解題方法點(diǎn)撥】①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時(shí)，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點(diǎn)到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)的值最后進(jìn)行比較．【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)是?？键c(diǎn)，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識(shí)點(diǎn)未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個(gè)參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．6．奇偶性與單調(diào)性的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)于奇偶函數(shù)綜合，其實(shí)也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時(shí)能融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用．在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反例題：如果f（x）＝為奇函數(shù)，那么a＝．解：由題意可知，f（x）的定義域?yàn)镽，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）?a＝1【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總結(jié)，一定要重視這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．7．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點(diǎn)撥】例1：下列計(jì)算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，先分別判斷四個(gè)備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題時(shí)要熟練掌握基本的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．8．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．9．任意角的三角函數(shù)的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝．2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．【解題方法點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：（1）角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；（2）縱坐標(biāo)y；（3）該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）．【命題方向】已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，3），則cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣分析：由條件直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosα的值．解：∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．分段函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】分段函數(shù)顧名思義指的是一個(gè)函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個(gè)在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中是很常見的，比如說水的階梯價(jià)，購(gòu)物的時(shí)候買的商品的量不同，商品的單價(jià)也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實(shí)際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時(shí)常會(huì)以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．例：市政府為招商引資，決定對(duì)外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價(jià)為每件60元，年銷售量為11.8萬(wàn)件．第二年，當(dāng)?shù)卣_始對(duì)該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價(jià)上升為每件元，預(yù)計(jì)年銷售量將減少p萬(wàn)件．（Ⅰ）將第二年政府對(duì)該商品征收的稅收y（萬(wàn)元）表示成p的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬(wàn)元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬(wàn)元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬(wàn)件，年銷售收入為（11.8﹣p）萬(wàn)元，政府對(duì)該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬(wàn)元）故所求函數(shù)為y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域?yàn)?＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化簡(jiǎn)得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當(dāng)稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時(shí)，稅收不少于16萬(wàn)元．…（9分）（III）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬(wàn)元時(shí)，廠家的銷售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是減函數(shù)∴g（p）max＝g（2）＝800（萬(wàn)元）故當(dāng)稅率為2%時(shí)，廠家銷售金額最大．這個(gè)典型的例題當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個(gè)與分不分段其實(shí)無關(guān)．我們重點(diǎn)看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對(duì)的函數(shù)表達(dá)式；第二注意求的是整個(gè)一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．【命題方向】修煉自己的內(nèi)功，其實(shí)分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個(gè)圖來解答．11．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．12．求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點(diǎn)撥】﹣代入計(jì)算：將具體問題中的n值代入前n項(xiàng)和公式，計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和．﹣推導(dǎo)公式：根據(jù)實(shí)際問題推導(dǎo)出數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和公式與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算具體項(xiàng)，推導(dǎo)數(shù)列和公式，解決實(shí)際問題．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝a3，a4＝5，則Sn＝_____．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n?a1+?2＝n2﹣2n，故答案為：n2﹣2n．13．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，＝||||；當(dāng)，方向相反時(shí)，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）（4）cosθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯(cuò)誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．14．余弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測(cè)量高度問題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．15．解三角形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝16．復(fù)數(shù)的運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則17．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．18．圓錐的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓錐的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r和圓錐的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問題中的圓錐尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計(jì)算圓錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用圓錐的體積計(jì)算．19．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：20．橢圓的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的范圍2．橢圓的對(duì)稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．21．拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：22．雙曲線的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e＝（e＞1）準(zhǔn)線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝023．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．24．用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)【解題方法點(diǎn)撥】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選?。海?）平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；（2）中位數(shù)不受極端值影響，有時(shí)用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）；（3）眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況（即多數(shù)水平）．根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是眾數(shù)．（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．（3）平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點(diǎn)．平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（組中值）之和．25．百分位數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】百分位數(shù)的定義：一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí)，給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈（0，1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn)，總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p．四分位數(shù)：25%，50%，75%分位數(shù)是三個(gè)常用的百分位數(shù)．把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，這三個(gè)百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個(gè)部分，在這4個(gè)部分取值的可能性都是．因此這三個(gè)百分位數(shù)也稱為總體的四分位數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一