常微分方程-習(xí)題集(含答案)

第1頁共17頁《常微分方程》課程習(xí)題集一、單選題1.設(shè)函數(shù)連續(xù)可微,則方程是全微分方程的充分必要條件是.(A)，(B)(C)(D)2.下面的方程是全微分方程的是.(A)，(B)，(C)，(D).3.設(shè)一階方程，則它是。（A）線性非齊次方程；（B）伯努利方程；（C）黎卡堤方程；(D)克萊洛方程。4.設(shè)一階方程，則它是。（A）線性非齊次方程；（B）伯努利方程；（C）黎卡堤方程；(D)克萊洛方程。5.形如的一階隱式方程稱為。（A）線性非齊次方程；（B）伯努利方程；（C）黎卡堤方程；(D)克萊洛方程。6.二階微分方程的通解是。（A）,（B）,（C）,(D).7.二階微分方程的通解是。（A）,（B）,（C）,(D).8.二階微分方程的通解是。（A），(B)，(C)，(D)9.二階微分方程的通解是。（A），(B)，(C)，(D)10.二階微分方程的通解是。（A）,（B）,（C）,（D）.11.單擺的方程是，其對應(yīng)的一階線性方程組為。(A),(B),(C)，(D).12.方程對應(yīng)的一階線性方程組為。(A),(B),(C)，(D)13.方程化成對應(yīng)的一階線性方程組為。(A),(B),(C)，(D)14.方程化成對應(yīng)的一階線性方程組為。(A),(B),(C)，(D)15.方程化成對應(yīng)的一階線性方程組為。(A),(B),(C)，(D)16.下列函數(shù)向量組中不能構(gòu)成某一微分方程組的基本解組的是。(A)，(B)(C)(D)17.下列函數(shù)向量組中不能構(gòu)成某一微分方程組的基本解組的是。(A)，(B），(C)(D)18.下列函數(shù)向量組是中線性相關(guān)的一組是。(A)，(B）(C)(D)19.(A)，(B）(C)，(D)20.下列函數(shù)向量組的Wronsky行列式恒為0的一組是。(A)，(B），(C)(D)21.五階方程，我們用代換可有，其通解是，問原方程的通解是。(A).(B).(C).(D)22.三階方程的特征方程的特征根為，則方程的通解是。(A).(B).(C).(D).23.三階方程的特征方程的特征根為，其基本解組是，則該方程的通解是。（A），(B),(C)，(D)。24.三階方程的特征方程的特征根為，則該方程的通解是。，(B)，(C)，(D)。25.若某三階方程的特征方程的特征根為，則該方程為。，（B），（C），（D）26.設(shè)函數(shù),則它在平面上是函數(shù)。(A)正定，(B)負(fù)定，(C)變號，(D)以上都不是27.設(shè)函數(shù),則它在平面上是函數(shù)。(A)正定，(B)負(fù)定，(C)變號，(D)以上都不是28.設(shè)函數(shù),則它在平面上是函數(shù)。(A)正定，(B)負(fù)定，(C)變號，(D)以上都不是29.微分方程組的零解是。(A)穩(wěn)定但不漸近穩(wěn)定，(B)漸近穩(wěn)定的，(C)不穩(wěn)定的，(D)無法判斷30.微分方程組的零解是。(A)穩(wěn)定但不漸近穩(wěn)定，(B)漸近穩(wěn)定的，(C)不穩(wěn)定的，(D)無法判斷二、計算題131.求方程的通解。32.求方程的通解。33.求的解。34.求方程的通解。35.求解微分方程。36.求方程的通解。37.求方程的通解。38.求方程的通解。39.求方程的通解。40.求方程的通解。41.求的解。42.求的解。43.求解微分方程.44.求的解。45.求的解。46.求二階方程的通解。47.二階方程的通解。48.求二階方程的通解。49.求二階方程的通解。50.求方程的通解，且求該方程滿足初始條件的特解。51.求方程組的通解。52.求方程組的通解。53.求方程組的通解。54.求方程組的通解。55.求方程組的通解。三、計算題256.求一曲線使其上每一點的切線斜率是該點的橫坐標(biāo)的二倍加一，且通過點。57.求一曲線使其上每一點的切線斜率是該點的橫坐標(biāo)的六倍加二，且通過點。58.求一曲線使其上每一點的切線斜率是該點的橫坐標(biāo)的三倍加一，且通過點。59.一曲線使其上每一點的切線斜率是該點的橫坐標(biāo)的四倍加二，且通過點。60.求方程滿足初始條件的解。四、填空題（略）……答案一、單選題1.A2.D3.C4.B5.D6.A7.C8.B9.D10.A11.B12.B13.C14.D15.B16.C17.D18.A19.B20.B21.A22.B23.B24.D25.B26.A27.C28.B29.A30.B二、計算題131.解：分離變量有，，積分有，，得：。（x=0,y=0仍是解）32.解：用除方程有：積分得，，故：（x=0,y=0仍是解）.33.解：分離變量有，，積分有，，得：。（x=0,y=0仍是解）.34.解：令，則，代入原方程，得，當(dāng)時，分離變量，再積分，得，從而，故即通積分為：（y=0也是一個特解）35.解:首先,易見為方程的解.其次,當(dāng)時,分離變量得:直接積分得方程的通積分：即36.解：對方程兩端乘得：，即：37.解:原方程兩端乘以得：故通解為：38.解:原方程兩端乘以得：通解：39.解：初等變形有，，利用公式有：40.解:原方程兩端乘以得：通解：41.解：由的：原方程是全微分方程，由M,N在全平面可積，取有：.42.解：由的：原方程是全微分方程，由M,N在全平面可積，取有：43.解：左端所以方程的通解為：.44.解：故原方程是全微分方程所以方程的通解為：45.解：所以方程的通解為：46.解：令,有：。（4分）又由于是特征方程的單根，設(shè)求導(dǎo)代回原式有：A=-1,B=0從而通解是47.解：令,有：。又由于不是特征方程的根，設(shè)求導(dǎo)代回原式有：A=2,從而通解是48.解：令,有：。又由于不是特征方程的根，設(shè)求導(dǎo)代回原式有：從而通解為49.解：令,有：，又由于不是特征方程的根，設(shè)求導(dǎo)代回原式有：A=2,從而通解是50.解：令,有：齊次方程通解，代入初始條件，求得解為。51.解：1）對應(yīng)的特征方程組的系數(shù)矩陣是，其特征多項式為，，。2）設(shè)所求為,滿足得，令：同理，故通解是，是任意常數(shù)。52.解：對應(yīng)的特征方程組的系數(shù)矩陣是其特征多項式為同理故通解是，是任意常數(shù)。53.解：1）對應(yīng)的特征方程組的系數(shù)矩陣是，其特征多項式為，2）設(shè)所求為,滿足得，令：同理，故通解是：，是任意常數(shù)。54.解：1）對應(yīng)的特征方程組的系數(shù)矩陣是，其特征多項式為，2）設(shè)所求為,滿足得，令：同理，故通解是：，是任意常數(shù)。55.求方程組的通解。解：1）對應(yīng)的特征方程組的系數(shù)矩陣是，其特征多項式為2）設(shè)所求為,滿足得，令：同理，故通解是：，是任意常數(shù)。三、計算題256.解：設(shè)所求曲線上的任意點的坐標(biāo)是（x,y）,依題意有：由曲線過點，則從而得：，故曲線方程是。57.解：設(shè)所求曲線上的任意點的坐標(biāo)是,依題意有