中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案

中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案1.如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn).（1）求拋物線的解析式.（2）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動，經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最??？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：設(shè)拋物線的解析式為，依題意得：c=4且解得所以所求的拋物線的解析式為（2）連接DQ，在Rt△AOB中，所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=

7–5=2因為BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因為AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA?！螩DQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB即所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–=，所以t的值是（3）答對稱軸上存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小理由：因為拋物線的對稱軸為所以A（-3，0），C（4，0）兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱連接AQ交直線于點(diǎn)M，則MQ+MC的值最小過點(diǎn)Q作QE⊥x軸，于E，所以∠QED=∠BOA=90DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO即所以QE=，DE=，所以O(shè)E=OD+DE=2+=，所以Q（，）設(shè)直線AQ的解析式為則由此得所以直線AQ的解析式為聯(lián)立由此得所以M則：在對稱軸上存在點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小。2.如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）如圖10，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0）…1分將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得……2分解得：……3分所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：……3分（2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）……4分理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）……4分由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3）……5分（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，易得G（2，－3），直線AG為．……………8分設(shè)P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．……9分當(dāng)時，△APG的面積最大此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為，．……10分3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。⑴求拋物線的解析式；⑵設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由;⑶若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。⑴∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），∴設(shè)拋物線解析式為………1分根據(jù)題意，得，解得∴拋物線的解析式為………2分⑵存在?！?分由得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對稱軸為x＝1?！?分①若以CD為底邊，則PD＝PC，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)勾股定理，得，即y＝4－x?！?分又P點(diǎn)(x,y)在拋物線上，∴，即…………6分解得，，應(yīng)舍去?！??！?分∴，即點(diǎn)P坐標(biāo)為?！?分②若以CD為一腰，因為點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對稱，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）?！喾蠗l件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或（2，3）?！?分⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理,得CB＝,CD＝,BD＝,………………10分∴,∴∠BCD＝90°,………………………11分設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F，在Rt△DCF中，∵CF＝DF＝1,∴∠CDF＝45°,由拋物線對稱性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，3），∴DM∥BC,∴四邊形BCDM為直角梯形,………………12分由∠BCD＝90°及題意可知，以BC為一底時，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在。綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）?！?3分4.已知：拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的表達(dá)式；（3）求△ABC的面積；（4）若點(diǎn)E是線段AB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（5）在（4）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2∴由拋物線的對稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－6，0）∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式y(tǒng)＝ax2＋bx＋8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝36a－6b＋8,0＝4a＋2b＋8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3),b＝－\f(8,3)))∴所求拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f(2,3)x2－eq\f(8,3)x＋8（3）∵AB＝8，OC＝8∴S△ABC＝eq\f(1,2)×8×8=32（4）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,AB)即eq\f(EF,10)＝eq\f(8－m,8)∴EF＝eq\f(40－5m,4)過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝eq\f(4,5)∴eq\f(FG,EF)＝eq\f(4,5)∴FG＝eq\f(4,5)·eq\f(40－5m,4)＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝eq\f(1,2)（8－m）×8－eq\f(1,2)（8－m）（8－m）＝eq\f(1,2)（8－m）（8－8＋m）＝eq\f(1,2)（8－m）m＝－eq\f(1,2)m2＋4m自變量m的取值范圍是0＜m＜8（5）存在．理由：∵S＝－eq\f(1,2)m2＋4m＝－eq\f(1,2)（m－4）2＋8且－eq\f(1,2)＜0，∴當(dāng)m＝4時，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－2，0）∴△BCE為等腰三角形．5.已知拋物線與軸的一個交點(diǎn)為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．⑴直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)；⑵當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式；⑶坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)M和⑵中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：⑴對稱軸是直線：，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0)．……2分說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分．⑵如圖，連接PC，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B(3,0)，∴AB＝4．∴在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，∴∴b＝………………3分當(dāng)時，∴………………4分∴…………5分⑶存在．……………6分理由：如圖，連接AC、BC．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．①當(dāng)以AC或BC為對角線時，點(diǎn)M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．∴x＝±4．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．…9分說明：少求一個點(diǎn)的坐標(biāo)扣1分．②當(dāng)以AB為對角線時，點(diǎn)M在x軸下方．過M作MN⊥AB于N，則∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．……………12分說明：求點(diǎn)M的坐標(biāo)時，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，然后求交點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法均可，請參照給分．綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．其坐標(biāo)為．2014中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案40例（2）5.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線過且與軸平行，過作軸的平行線分別交軸，于，連結(jié)交軸于，直線交軸于．（1）求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；（2）求證：①四邊形為平行四邊形；②平行四邊形為菱形；（3）除點(diǎn)外，直線與拋物線有無其它公共點(diǎn)？并說明理由．（1）法一：由題可知．，，． （1分），即為的中點(diǎn)． （2分）法二：，，． （1分）又軸，． （2分）（2）①由（1）可知，，，，． （3分），又，四邊形為平行四邊形． （4分）②設(shè)，軸，則，則．過作軸，垂足為，在中，．平行四邊形為菱形． （6分）（3）設(shè)直線為，由，得，代入得：直線為． （7分）設(shè)直線與拋物線的公共點(diǎn)為，代入直線關(guān)系式得：，，解得．得公共點(diǎn)為．所以直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)． （8分）6.如圖13，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C，直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(-2,m)，且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E.（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）求證：①CB=CE；②D是BE的中點(diǎn)；（3）若P(x，y)是該拋物線上的一個動點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PE,若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（1）∵點(diǎn)B(-2,m)在直線y=-2x-1上，∴m=-2×(-2)-1=3.………………（2分）∴B(-2,3)∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A，對稱軸為x=2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4).……（3分）將點(diǎn)B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.∴所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，即.（6分）（2）①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(0,-1)E(2,-5).過點(diǎn)B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，ABCODExyABCODExyx=2GFH在Rt△BGC中，BC=.∵CE=5，∴CB=CE=5.……（9分）②過點(diǎn)E作EH∥x軸，交y軸于H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(0,-5).又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1)，∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.∴△DFB≌△DHE（SAS），∴BD=DE.即D是BE的中點(diǎn).………………（11分）（3）存在.………………（12分）由于PB=PE，∴點(diǎn)P在直線CD上，∴符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn).設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.將D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得.∴直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x-1.∵動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，)，∴x-1=.………………（13分）解得，.∴，.∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，).…（14分）7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線=－++經(jīng)過A（0，－4）、B（，0）、C（，0）三點(diǎn)，且-=5．（1）求、的值；（4分）（2）在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3分）（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．（3分）解：（解析）解：（1）解法一：∵拋物線=－++經(jīng)過點(diǎn)A（0，－4），∴=－4……1分又由題意可知，、是方程－++=0的兩個根，∴+=，=－=6 2分由已知得（-）=25又（-）=（+）－4=－24∴－24=25解得=± 3分當(dāng)=時，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴=－． 4分解法二：∵、是方程－++c=0的兩個根，即方程2－3+12=0的兩個根．∴=， 2分∴－==5，解得=± 3分（以下與解法一相同．）（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對稱軸上， 5分又∵=－－－4=－（+）+ 6分∴拋物線的頂點(diǎn)（－，）即為所求的點(diǎn)D． 7分（3）∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線=-3與拋物線=－--4的交點(diǎn)， 8分∴當(dāng)=－3時，=－×（－3）－×（－3）－4=4，∴在拋物線上存在一點(diǎn)P（－3，4），使得四邊形BPOH為菱形． 9分四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（－3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線上． 10分8.已知：如圖14，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．（1）寫出直線的解析式．（2）求的面積．（3）若點(diǎn)在線段上以每秒1個單位長度的速度從向運(yùn)動（不與重合），同時，點(diǎn)在射線上以每秒2個單位長度的速度從向運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒，請寫出的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并求出點(diǎn)運(yùn)動多少時間時，的面積最大，最大面積是多少？（解析）解：（1）在中，令，， 1分又點(diǎn)在上的解析式為 2分（2）由，得 4分，， 5分 6分（3）過點(diǎn)作于點(diǎn) 7分 8分由直線可得：在中，，，則， 9分 10分 11分此拋物線開口向下，當(dāng)時，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動2秒時，的面積達(dá)到最大，最大為． 12分2014中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案40例（5）16.如圖，已知與軸交于點(diǎn)和的拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與關(guān)于軸對稱，頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知原點(diǎn)，定點(diǎn)，上的點(diǎn)與上的點(diǎn)始終關(guān)于軸對稱，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到何處時，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（3）在上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊且一個角為的直角三角形？若存，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)的函數(shù)關(guān)系式為．又點(diǎn)在拋物線上，，解得．拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（或）．（2）與始終關(guān)于軸對稱，與軸平行．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則其縱坐標(biāo)為，，，即．當(dāng)時，解得．當(dāng)時，解得．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到或或或時，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）滿足條件的點(diǎn)不存在．理由如下：若存在滿足條件的點(diǎn)在上，則，（或），．過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得．，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為．但是，當(dāng)時，．不存在這樣的點(diǎn)構(gòu)成滿足條件的直角三角形．17.如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(－3，0)兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在（1）中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若不存在，請說明理由．解：（1）將A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x2＋bx＋c得 2分解得 3分∴該拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3． 4分（2）存在． 5分該拋物線的對稱軸為x＝－＝－1∵拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸x＝－1對稱．由軸對稱的性質(zhì)可知，直線BC與x＝－1的交點(diǎn)即為所求的Q點(diǎn)，此時△QAC的周長最小，如圖1．將x＝0代入y＝－x2－2x＋3，得y＝3．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b1，將B(－3，0)，C(0，3)代入，得解得∴直線BC的解析式為y＝x＋3． 6分聯(lián)立解得∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－1，2)． 7分（3）存在． 8分設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x－x2－2x＋3）（－3＜x＜0），如圖2．∵S△PBC＝S四邊形PBOC－S△BOC＝S四邊形PBOC－×3×3＝S四邊形PBOC－當(dāng)S四邊形PBOC有最大值時，S△PBC就最大．∵S四邊形PBOC＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC 9分＝BE·PE＋(PE＋OC)·OE＝(x＋3)(－x2－2x＋3)＋(－x2－2x＋3＋3)(－x)＝－(x＋)2＋＋當(dāng)x＝－時，S四邊形PBOC最大值為＋．∴S△PBC最大值＝＋－＝． 10分當(dāng)x＝－時，－x2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，)． 11分18.如圖，已知拋物線y＝a(x－1)2＋(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)D平行于軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在軸正半軸上，連結(jié)BC．（1）求該拋物線的解析式；（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t（s）．問：當(dāng)t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB，動點(diǎn)P和動點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)它們的運(yùn)動的時間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時，四邊形BCPQ的面積最??？并求出最小值及此時PQ的長．解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．∴a＝－ 1分∴該拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋即y＝－x2＋x＋． 3分（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xD，yD)，由于D為拋物線的頂點(diǎn)∴xD＝－＝1，yD＝－×12＋×1＋＝．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)．如圖，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，則DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．∴∠DAO＝60° 4分∵OM∥AD①當(dāng)AD＝OP時，四邊形DAOP為平行四邊形．∴OP＝6∴t＝6（s） 5分②當(dāng)DP⊥OM時，四邊形DAOP為直角梯形．過點(diǎn)O作OE⊥AD軸于E．在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．（注：也可通過Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）∵四邊形DEOP為矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．∴t＝5（s） 6分③當(dāng)PD＝OA時，四邊形DAOP為等腰梯形，此時OP＝AD－2AE＝6－2＝4．∴t＝4（s）綜上所述，當(dāng)t＝6s、5s、4s時，四邊形DAOP分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形． 7分（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．又∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，則PF＝t． 8分∴S四邊形BCPQ＝S△COB－S△POQ＝×6×－×(6－2t)×t＝(t－)2＋ 9分∴當(dāng)t＝（s）時，S四邊形BCPQ的最小值為． 10分此時OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．∴PQ＝＝＝ 11分19.如圖，已知直線y＝－x＋1交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點(diǎn)A，D，C的拋物線與直線另一個交點(diǎn)為E．（1）請直接寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點(diǎn)D落在x軸上時停止．設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，直至頂點(diǎn)D落在x軸上時停止，求拋物線上C、E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積．解：（1）C(3，2)，D(1，3)； 2分（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入得解得 4分∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋1； 5分（3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)F（F為原B點(diǎn)的位置）時∵AF＝＝，∴t＝＝1（秒）．當(dāng)0＜t≤1時，如圖1．B′F＝AA′＝t∵Rt△AOF∽Rt△∠GB′F，∴＝．∴B′G＝·B′F＝×t＝t正方形落在x軸下方部分的面積為S即為△B′FG的面積S△B′FG∴S＝S△B′FG＝B′F·B′G＝×t×t＝t2 7分②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到x軸上時∵Rt△BCC′∽Rt△∠AOB，∴＝．∴CC′＝·BC＝×＝，∴t＝＝2（秒）．當(dāng)1＜t≤2時，如圖2．∵A′B′＝AB＝，∴A′F＝t－．∴A′G＝∵B′H＝t∴S＝S梯形A′B′HG＝(A′G＋B′H)·A′B′＝(＋t)·＝t－ 9分③當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到x軸上時DD′＝t＝＝3（秒）當(dāng)2＜t≤3時，如圖3．∵A′G＝∴GD′＝－＝∴D′H＝－∴S△D′GH＝()(－)＝()2∴S＝S正方形A′B′C′D′－S△D′GH＝()2－()2＝－t2＋t－ 11分（4）如圖4，拋物線上C、E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積為圖中陰影部分的面積．∵t＝3，BB′＝AA′＝DD′＝∴S陰影＝S矩形BB′C′C 13分＝BB′·BC＝×＝15 14分20.已知：拋物線y＝x2－2x＋a（a＜0）與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M．直線y＝x－a分別與x軸，y軸相交于B，C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N．（1）填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M（，），N（，）；（2）如圖，將△NAC沿軸翻折，若點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在拋物線上，AN與軸交于點(diǎn)D，連結(jié)CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；（3）在拋物線y＝x2－2x＋a（a＜0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．解：（1）M(1，a－1)，N(a，－a)． 4分（2）∵點(diǎn)N是△NAC沿軸翻折后點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)∴點(diǎn)N與點(diǎn)N關(guān)于y軸對稱，∴N(－a，－a)．將N(－a，－a)代入y＝x2－2x＋a，得－a＝(－a)2－2×(－a)＋a整理得4a2＋9a＝0，解得a1＝0（不合題意，舍去），a2＝－∴N(3，)，∴點(diǎn)N到軸的距離為3．∵a＝－，拋物線y＝x2－2x＋a與y軸相交于點(diǎn)A，∴A(0，－)．∴直線AN的解析式為y＝x－，將y＝0代入，得x＝．∴D(，0)，∴點(diǎn)D到軸的距離為．∴S四邊形ADCN＝S△ACN＋S△ACN＝××3＋××＝ 8分（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時，若四邊形ACPN是平行四邊形，則PN平行且等于AC．∴將點(diǎn)N向上平移－2a個單位可得到點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(a，－a)，代入拋物線的解析式，得：－a＝(a)2－2×a＋a，整理得8a2＋3a＝0．解得a1＝0（不合題意，舍去），a2＝－．∴P(－，) 10分當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時，若四邊形APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分．∴OA＝OC，OP＝ON，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對稱．∴P(－a，a)，代入y＝x2－2x＋a，得a＝(－a)2－2×(－a)＋a，整理得8a2＋15a＝0．解得a1＝0（不合題意，舍去），a2＝－．∴P(，－) 12分∴存在這樣的點(diǎn)P，使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，)或(，－)．2014中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案40例（6）21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．拋物線y＝ax2＋bx過A、C兩點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動，速度均為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．①過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．當(dāng)t為何值時，線段EG最長？②連接EQ，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形？請直接寫出相應(yīng)的t值22.如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？xyDCAOB②設(shè)△BCF的面積為SxyDCAOB23.如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P是∠AOC平分線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合）．（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到何處，PC總與PD相等；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B的距離最小時，試確定過O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)E是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時，△PDE的周長最??？求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長；（4）設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點(diǎn)P，使∠CPN＝90°？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．24.如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD＝2，AB＝3．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動，設(shè)它們運(yùn)動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）．①當(dāng)t＝時，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．25.如圖1，已知拋物線y＝ax2－2ax－3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為C，過點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)D(2，－3)，且tan∠BAD＝1．（1）求拋物線的解析式；（2）連結(jié)CD，求證：AD⊥CD；（3）如圖2，P是線段AD上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長度的最大值；（4）點(diǎn)Q是拋物線上的動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A，D，F(xiàn)，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．26.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直線x＝m（m＞2）與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線x＝m（m＞2）上有一點(diǎn)E（點(diǎn)E在第四象限），使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出m的值及四邊形ABEF的面積；若不存在，請說明理由．27.已知：t1，t2是方程t2＋2t－24＝0，的兩個實數(shù)根，且t1＜t2，拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（t1，0），B（0，t2）．（1）求這個拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求□OPAQ的面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當(dāng)□OPAQ的面積為24時，是否存在這樣的點(diǎn)P，使□OPAQ為正方形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．21解：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）． 1分將A（4，8）、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝4．∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x． 3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝＝，即＝＝．∴PE＝AP＝t，PB＝8－t．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4＋t，8－t）．2∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為－(4＋t)2＋4(4＋t)＝－t2＋8． 5分∴EG＝－t2＋8－(8－t)＝－t2＋t∵－＜0，∴當(dāng)＝4時，線段EG最長為2． 7分②共有三個時刻． 8分t1＝，t2＝，t3＝40－． 11分22xxyDCAOBFMPE解：（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）． 2分拋物線的對稱軸是：x＝1． 3分（2）①設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx＋b．將B（3，0），C（0，3）分別代入得：解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋3．當(dāng)x＝1時，y＝－1＋3＝2，∴E（1，2）．當(dāng)x＝m時，y＝－m＋3，∴P（m，－m＋3）． 4分將x＝1代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝4，∴D（1，4）．將x＝m代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝－m2＋2m＋3∴F（m，－m2＋2m＋3）． ∴線段DE＝4－2＝2，線段PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3∵PF∥DE，∴當(dāng)PF＝DE時，四邊形PEDF為平行四邊形．由－m2＋3m＝2，解得：m1＝2，m2＝1∴當(dāng)m＝2時，四邊形PEDF為平行四邊形． 7分②設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M．由B（3，0），O（0，0），可得：OB＝OM＋MB＝3．則S＝S△BPF＋S△CPF 8分＝PFBM＋PFOM＝PFOB＝(－m2＋3m)×3＝－m2＋m（0≤m≤3）即S與m的函數(shù)關(guān)系式為：S＝－m2＋m（0≤m≤3）． 9分23解：（1）∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，∴OD＝2，∴OD＝OC．又∵OP是∠COD的角平分線，∴∠POC＝∠POD＝45°．∴△POC≌∠POD，∴PC＝PD； 3分（2）如圖，過點(diǎn)B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點(diǎn)P即為所求．易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），故BF＝2，作PM⊥BF．∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM＝BF＝1．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）．∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx．又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)P（3，3）和點(diǎn)D（2，0）∴解得∴過O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝x2－2x； 7分（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點(diǎn)關(guān)于∠AOC的平分線的對稱點(diǎn)即為C點(diǎn)．連接EC，它與∠AOC的平分線的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)（因為PE＋PD＝EC，而兩點(diǎn)之間線段最短），此時△PED的周長最?。邟佄锞€y＝x2－2x的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)（1，－1），C點(diǎn)的坐標(biāo)（0，2）設(shè)CE所在直線的解析式為y＝kx＋b則解得∴CE所在直線的解析式為y＝－3x＋2．聯(lián)立，解得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．△PED的周長即是CE＋DE＝； 11分（4）存在點(diǎn)P，使∠CPN＝90°，其坐標(biāo)為（，）或（2，2）． 14分24解：（1）∵因所求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）∴可設(shè)其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－2)2＋4． 1分又拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），∴a(0－2)2＋4＝0． 2分解得a＝－1． 3分∴所求函數(shù)關(guān)系式為y＝－(x－2)2＋4，即y＝－x2＋4x． 4分（2）①點(diǎn)P不在直線ME上，理由如下： 5分根據(jù)拋物線的對稱性可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．設(shè)直線ME的解析式為y＝kx＋b，將M（2，4），E（4，0）代入，得解得．∴直線ME的解析式為y＝－2x＋8． 6分當(dāng)t＝時，OA＝AP＝，∴P（，）． 7分∵點(diǎn)P的坐標(biāo)不滿足直線ME的解析式y(tǒng)＝－2x＋8∴當(dāng)t＝時，點(diǎn)P不在直線ME上． 8分②S存在最大值，理由如下： 9分∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上，∴OA＝AP＝t．∴P（t，t），N（t，－t2＋4t），∴AN＝－t2＋4t（0≤≤3）∴PN＝AN－AP＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t＝t(3－t)≥0 10分（?。┊?dāng)PN＝0，即t＝0或t＝3時，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為AD．∴S＝DC·AD＝×3×2＝3． 11分（ⅱ）當(dāng)PN≠0時，