2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破題型9 二次函數(shù)綜合題 類型8 二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）（教師版）

類型八二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為，，；(2)或或；(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，即可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則在上，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出在上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，∴解得：，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，解得：，∴（2）∵，，，設(shè)，∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形當(dāng)為對角線時(shí)，解得：，∴；當(dāng)為對角線時(shí)，解得：∴當(dāng)為對角線時(shí)，解得：∴綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，

∵∴是等腰直角三角形，∴在上，∵，，∴，，∵，∴在上，設(shè)，則解得：（舍去）∴點(diǎn)設(shè)直線的解析式為∴解得：.∴直線的解析式∵，，∴拋物線對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，進(jìn)而得到的最小值為的長，利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；（3）分，，分別為對角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，∴，解得：，∴；（2）∵，∴，設(shè)直線，則：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴；作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，則：，，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長，

∵，，∴，即：的最小值為：；（3）解：存在；∵，∴對稱軸為直線，設(shè)，，當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)：①為對角線時(shí)：，

∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；②當(dāng)為對角線時(shí)：，

∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；③當(dāng)為對角線時(shí)：，

∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)；(2)點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；(3)時(shí)，有最大值，最大值為【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）由二次函數(shù)，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，分類討論：當(dāng)為邊，為對角線時(shí)，當(dāng)為邊，為對角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設(shè)點(diǎn)，，則，，，，運(yùn)用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時(shí)，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)為邊，為對角線時(shí)，∵四邊形為平行四邊形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)為邊，為對角線時(shí)，同理得，解得，或，∴∴點(diǎn)Q坐標(biāo)或綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設(shè)直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點(diǎn)，，可求得直線：設(shè)點(diǎn)，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴時(shí)，，有最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動點(diǎn)運(yùn)動情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；（3）根據(jù)，確定點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征計(jì)算求解．【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)，點(diǎn)代入可得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意，，∴，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，，∴，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入可得，解得，∴直線的解析式為，又∵過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，且拋物線對稱軸為，∴∴，解得（不合題意，舍去），；（3）解：存在，理由如下：∵，∴點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，∵點(diǎn)E在直線上，∴，把代入中，可得，解得（不合題意，舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．5．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)；(2)或或；(3)定值，理由見詳解【分析】（1）將兩點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求解；（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進(jìn)行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，在①中，只要點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點(diǎn)P的坐標(biāo)仍是①中的坐標(biāo)；（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，，解得，故拋物線的解析式為．（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，四邊形是平行四邊形，，，解得：，，；②如圖，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過作軸，交軸于，四邊形是平行四邊形，，在和中，，()，，，，解得：，，；如上圖，根據(jù)對稱性：，③當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，由①知，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且時(shí)，也滿足條件，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)仍為；綜上所述：的坐標(biāo)為或或．（3）解：是定值，理由：如圖，直線經(jīng)過，可設(shè)直線的解析式為，、在拋物線上，可設(shè)，，，整理得：，，，，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，同理可求：，；當(dāng)與對調(diào)位置后，同理可求；故的定值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，動點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．6.（2021·四川南充市·中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ．當(dāng)線段PQ長度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）四邊形OCPQ是平行四邊形，理由見詳解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）設(shè)拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）先求出直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ=，從而求出線段PQ長度最大值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）過點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過點(diǎn)Q作QN∥y軸，過點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，推出，從而得，進(jìn)而求出E（5，4），設(shè)F（0，y），分三種情況討論，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線，∴B（4，0），C（0，4），設(shè)拋物線，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，∴拋物線的解析式為：；（2）∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC的解析式為：y=-x+4，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x，），（0≤x≤4），∴PQ=-x+4-()==，∴當(dāng)x=2時(shí)，線段PQ長度最大=4，∴此時(shí)，PQ=CO，又∵PQ∥CO，∴四邊形OCPQ是平行四邊形；（3）過點(diǎn)Q作QM⊥y軸，過點(diǎn)Q作QN∥y軸，過點(diǎn)E作EN∥x軸，交于點(diǎn)N，由（2）得：Q（2，-2），∵D是OC的中點(diǎn)，∴D（0，2），∵QN∥y軸，∴，又∵，∴，∴，∴，即：，設(shè)E（x，），則，解得：，（舍去），∴E（5，4），設(shè)F（0，y），則，，，①當(dāng)BF=EF時(shí)，，解得：，②當(dāng)BF=BE時(shí)，，解得：或，③當(dāng)EF=BE時(shí)，，無解，綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，）或（0，1）或（0，-1）．．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．7.（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動點(diǎn)，連接PA，PD，求面積的最大值；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線AD平移個(gè)單位，得到新的拋物線，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為的對稱軸上任意一點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，過程見解析【分析】（1）將，的坐標(biāo)代入函數(shù)式利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先得出拋物線的對稱軸，作PE∥y軸交直線AD于E，設(shè)P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面積即可求出最大面積；

（3）通過平移距離為，轉(zhuǎn)化為向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，根據(jù)平移變化得出平移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標(biāo)，分DE為對角線、EG為對角線、EF為對角線三種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：（1）將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，

∴C（0，-4），拋物線y=x2-3x-4的對稱軸l為

∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，

∴D（3，-4），

∵A（-1，0），設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b；

∴，解得：，∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，

設(shè)P（m，m2-3m-4），

作PE∥y軸交直線AD于E，

∴E（m，-m-1），

∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，∴，∴，∴當(dāng)m=1時(shí)，的面積最大，最大值為：8（3）∵直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-1，∴直線AD與x軸正方向夾角為45°，∴拋物線沿射線AD方向平移平移個(gè)單位，相當(dāng)于將拋物線向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，∵，，平移后的坐標(biāo)分別為（3，-4），（8，-4），

設(shè)平移后的拋物線的解析式為則，解得：，∴平移后y1=x2-11x+20，∴拋物線y1的對稱軸為：，∵P（1，-6），

∴E（5，-10），∵以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況：設(shè)G（n，n2-11n+20），F(xiàn)（，y），①當(dāng)DE為對角線時(shí)，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴②當(dāng)EF為對角線時(shí)，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴③當(dāng)EG為對角線時(shí)，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴∴或或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式和最值問題，求三角形的面積，以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想．8.（2022·四川眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)最大為(3)存在，的坐標(biāo)為或（3，-16）或【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出c的值即可；（2）過作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，得，當(dāng)最大時(shí)，最大，，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式為，設(shè)，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊，②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊，③當(dāng)AC為對角線三種情況討論求解即可．(1)（1）∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，∴∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)過作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，設(shè)直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設(shè)，，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大為，∴此時(shí)最大為，即點(diǎn)到直線的距離值最大；(3)存在．∵∴拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，m），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，）分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時(shí)，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-16）②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長時(shí)，如圖，方法同①可得，，∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-7，-16）；③當(dāng)AC為對角線時(shí)，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為，即H（）∴，解得，?！唷帱c(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，8）綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或（3，-16）或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9.（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點(diǎn)E．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)△PDE的周長取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE周長的最大值；（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為（2）中求得的點(diǎn)P．M是新拋物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】（1）；（2）t=2時(shí)，△PDE周長取得最大值，最大值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）；（3）滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），過程見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；（2）先求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C坐標(biāo)，設(shè)P，其中0<t<4，則E，證明△PDE∽△AOC，根據(jù)周長之比等于相似比可得，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求解即可；（3）分以下情況①若AB是平行四邊形的對角線；②若AB是平行四邊形的邊，1）當(dāng)MN∥AB時(shí)；2）當(dāng)NM∥AB時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可．【詳解】解（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1），點(diǎn)B（4，1），∴，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）∵A（0，-1），B（4，1），∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為，∴C（2，0），設(shè)P，其中0<t<4，∵點(diǎn)E在直線上，PE∥x軸，∴E，∠OCA=∠DEP，∴PE=，∵PD⊥AB，∴∠EDP=∠COA，∴△PDE∽△AOC，∵AO=1，OC=2，∴AC=，∴△AOC的周長為3+，令△PDE的周長為l，則，∴，∴當(dāng)t=2時(shí)，△PDE周長取得最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4），（3）如圖所示，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，對稱軸為直線．①若AB是平行四邊形的對角線，當(dāng)MN與AB互相平分時(shí)，四邊形ANBM是平行四邊形，即MN經(jīng)過AB的中點(diǎn)C（2，0），∵點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-4）；②若AB是平行四邊形的邊，1）MN∥AB時(shí)，四邊形ABNM是平行四邊形，∵A（0，-1），B（4，1），點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2﹣4=﹣2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，12）；2）當(dāng)NM∥AB時(shí)，四邊形ABMN是平行四邊形，∵A（0，-1），B（4，1），點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2+4=6，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，12），綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式、相似三角形的判定與性質(zhì)、求二次函數(shù)的最值、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解答的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法進(jìn)行探究、推導(dǎo)和計(jì)算．10.（2021·廣東中考真題）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且對任意實(shí)數(shù)x，都有．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)．問在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，或或或【分析】（1）令，解得，可得函數(shù)必過，再結(jié)合必過得出，，即可得到，再根據(jù)，可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且整體位于的上方，可得，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，再根據(jù)，可解得的值，即可求出二次函數(shù)解析式．（2）結(jié)合（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)，①當(dāng)為對角線時(shí)，②當(dāng)為對角線時(shí)，③當(dāng)為對角線時(shí),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別列出方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：（1）令，解得，當(dāng)時(shí)，，∴必過，又∵必過，∴，∴，即，即可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且整體位于的上方∴，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴，∴，∴，∴，，∴．（2）由（1）可知：，，設(shè)，①當(dāng)為對角線時(shí)，∴，解得（舍），，∴，即．②當(dāng)為對角線時(shí)，∴，解得（舍），∴，即．③當(dāng)為對角線時(shí)，∴，解得，∴或，∴．綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到二次函數(shù)與不等式組，考查了平行四邊形的存在性問題，利用中點(diǎn)公式，分類討論是解題關(guān)鍵．11.（2021·四川中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，，．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使四邊形PBAC的面積最大．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q．使點(diǎn)P、B、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在．請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）【分析】（1）根據(jù)OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）判斷出四邊形BACP的面積最大時(shí)，△BPC的最大面積，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，求出直線BC的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2-2x+3），利用三角形面積公式S△BPC=，即可求出S△BPC面積最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分類討論，一是當(dāng)BP為平行四邊形對角線時(shí)，二是當(dāng)BP為平行四邊形一邊時(shí)，利用平移規(guī)律即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=，∴，即，解得：OA=1，OC=OB=3，∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，則，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，四邊形PBAC的面積=△BCA的面積+△PBC的面積，而△ABC的面積是定值，故四邊形PBAC的面積最大，只需要△BPC的最大面積即可，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，∵B（-3，0），C（0，3），設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=mx+n，則，解得：，∴直線BC的表達(dá)式為y=x+3，設(shè)點(diǎn)P（x，-x2-2x+3），則點(diǎn)H（x，x+3），S△BPC===，∵，故S有最大值，即四邊形PBAC的面積有最大值，此時(shí)x=，代入得，∴P（，）；（3）若BP為平行四邊形的對角線，則PQ∥BM，PQ=BM，則P、Q關(guān)于直線x=-1對稱，∴Q（，）；若BP為平行四邊形的邊，如圖，QP∥BM，QP=BM，同上可得：Q（，）；如圖，BQ∥PM，BQ=PM，∵點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，代入中，解得：或（舍），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；如圖，BP∥QM，BP=QM，∵點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，代入中，解得：（舍）或，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）；綜上：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.（2021·湖南中考真題）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后，得到拋物線．拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．已知，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)在線段上方的拋物線上運(yùn)動（不與，重合），過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)．作，垂足為，求的面積的最大值；（3）如圖2，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）的面積最大值為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）由題意易得平移后的拋物線的表達(dá)式為，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解即可；（2）由（1）及題意易得，則有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，進(jìn)而可得直線AC的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則，然后可得△AED和△PEF都為等腰直角三角形，過點(diǎn)F作FT⊥PD于點(diǎn)，則有，由三角形面積公式可得，要使面積最大則PE的值為最大即可，最后問題可求解；（3）由題意可知當(dāng)以點(diǎn)A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則可分①當(dāng)以AC為平行四邊形的邊時(shí)，②當(dāng)以AC為平行四邊形的對角線時(shí)，然后利用等腰直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式分類進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：平移后的拋物線的表達(dá)式為，則把點(diǎn)代入得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為，即為；（2）由（1）可得拋物線的表達(dá)式為，則有，∴，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=∠ACO=45°，∵，∴∠AED=∠CAO=45°，∴∠AED=∠PEF=45°，∵，∴△PEF是等腰直角三角形，過點(diǎn)F作FT⊥PD于點(diǎn)，如圖所示：

∴，∴，∴要使面積最大則PE的值為最大即可，設(shè)直線AC的解析式為，代入點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得：，解得：，∴直線AC的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則，∴，∵-1＜0，開口向下，∴當(dāng)時(shí)，PE有最大值，即為，∴△PEF面積的最大值為；（3）存在以點(diǎn)A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，拋物線的對稱軸為直線，∴，∠CAO=∠ADQ=45°，①當(dāng)以AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖所示：

過點(diǎn)P作PG⊥l于點(diǎn)G，∵四邊形APQC是平行四邊形，∴，AC∥PQ，∴∠ADQ=∠PQG=45°，∴△PQG是等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-4，∴；②當(dāng)以AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖所示：

同理①可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∴；③當(dāng)以AC為平行四邊形的對角線時(shí)，如圖所示：

∵四邊形AQCP是平行四邊形，∴，設(shè)點(diǎn)，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，∴，∴；綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的綜合及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的綜合及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13.（2021·海南中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為、點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，若該拋物線的頂點(diǎn)為P，求的面積；（3）如圖2，有兩動點(diǎn)在的邊上運(yùn)動，速度均為每秒1個(gè)單位長度，它們分別從點(diǎn)C和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D沿折線按方向向終點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)E沿線段按方向向終點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，請解答下列問題：①當(dāng)t為何值時(shí)，的面積等于；②在點(diǎn)運(yùn)動過程中，該拋物線上存在點(diǎn)F，使得依次連接得到的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）的面積為；（3）①當(dāng)或時(shí)，；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為或．【分析】（1）直接將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中求出a和c的值即可；（2）先求出頂點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法，將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的圖形的面積的和差關(guān)系即可，如圖，；（3）①先求出BC的長和E點(diǎn)坐標(biāo)，再分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動時(shí)的情況和當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動情況，利用面積已知得到關(guān)于t的一元二次方程，解t即可；②分別討論當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動時(shí)的情況和當(dāng)點(diǎn)D在線段上的情況，利用平行四邊形的性質(zhì)和平移的知識表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式中計(jì)算即可．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，解得該地物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）∵拋物線，∴拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為．，令，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．如圖4-1，連接，則的面積為．（3）①∵在中，．當(dāng)動點(diǎn)E運(yùn)動到終點(diǎn)C時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)D也停止運(yùn)動．，∴在中，．當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，，如圖4-2，過點(diǎn)E作軸，垂足為N，則．．．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．下面分兩種情形討論：i．當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動時(shí)，．此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，．解得（舍去），．．ii．如圖4-3，當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動時(shí)，，．．當(dāng)時(shí)，解得．又，．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，②如圖4-4，當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動時(shí)，；∵，當(dāng)四邊形ADFE為平行四邊形時(shí)，AE可通過平移得到EF，∵A到D橫坐標(biāo)加1，縱坐標(biāo)加，∴，∴，化簡得：，∴，∴，∴;如圖4-5，當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動時(shí)，AE可通過平移得到EF，∵，∵A到D橫坐標(biāo)加，縱坐標(biāo)不變，∴，∴∴，因?yàn)椋?，∴，綜上可得，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了拋物線的圖像與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、已知頂點(diǎn)坐標(biāo)求三角形面積、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，本題對學(xué)生的綜合思維能力、分析能力以及對學(xué)生的計(jì)算能力都要求較高，考查了學(xué)生利用平面直角坐標(biāo)系解決問題的能力，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法等．14.（2020?齊齊哈爾）綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x求拋物線的解析式；（2）直線AB的函數(shù)解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為），cos∠ABO＝；連接OC，若過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）在y軸上找一點(diǎn)Q，使得△AMQ的周長最?。唧w作法如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，連接MA'交y軸于點(diǎn)Q，連接AM、AQ，此時(shí)△AMQ的周長最?。埱蟪鳇c(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式即可求解；（2）點(diǎn)A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點(diǎn)B（0，4），即可求出AB的表達(dá)式；OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP=13AC或（3）△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；（4）分AC是邊、AC是對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：12×16?4b+c=01故直線AB的表達(dá)式為：y=12x（2）點(diǎn)A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故點(diǎn)B（0，4），由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y＝x+4；則∠ABO＝45°，故cos∠ABO=2對于y=12xOP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP=13AC或則yPyC=1故點(diǎn)P（﹣2，2）或（0，4）；故答案為：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；22（3）△AMQ的周長＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，點(diǎn)A′（4，0），設(shè)直線A′M的表達(dá)式為：y＝kx+b，則4k+b=0?2k+b=?2，解得k=故直線A′M的表達(dá)式為：y=13x令x＝0，則y=?43，故點(diǎn)Q（0，（4）存在，理由：設(shè)點(diǎn)N（m，n），而點(diǎn)A、C、O的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①當(dāng)AC是邊時(shí)，點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)C，同樣點(diǎn)O（N）右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故點(diǎn)N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②當(dāng)AC是對角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故點(diǎn)N（﹣2，6）；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（?2，0），直線BC的解析式為y=?（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)A作AD∥BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動點(diǎn)．在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用直線BC的解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，則y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝ax2﹣22a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=（2）四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12（3）分AE是平行四邊形的邊、AE是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）直線BC的解析式為y=?23x+2，令y＝0，則x＝3故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（32，0）、（0，2）；則y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22即﹣6a＝2，解得：a=1故拋物線的表達(dá)式為：y=?13x2（2）如圖，過點(diǎn)B、E分別作y軸的平行線分別交CD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)F，∵AD∥BC，則設(shè)直線AD的表達(dá)式為：y=?23（x聯(lián)立①②并解得：x＝42，故點(diǎn)D（42，?10由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為：y=?2當(dāng)x＝32時(shí)，yBC=?23x+2＝﹣2，即點(diǎn)H（3設(shè)點(diǎn)E（x，?13x2+2則四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH=12×（?13x2+22∵?22＜0，故S有最大值，當(dāng)x=322時(shí)，S的最大值為（3）存在，理由：y=?13x2+223x+2=?13（x?2則新拋物線的表達(dá)式為：y=?13x2點(diǎn)A、E的坐標(biāo)分別為（?2，0）、（322，52）；設(shè)點(diǎn)M（2，m），點(diǎn)N（n，s），s=?①當(dāng)AE是平行四邊形的邊時(shí)，點(diǎn)A向右平移522個(gè)單位向上平移52個(gè)單位得到E，同樣點(diǎn)M（N）向右平移5即2±52則s=?13n2+8故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（722，?112）或（②當(dāng)AE是平行四邊形的對角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：?2+322s=?13n2故點(diǎn)N的坐標(biāo)（?22，綜上點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（722，?112）或（?32216.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C．過點(diǎn)C的直線CA與拋物線交于另一點(diǎn)A（點(diǎn)A在對稱軸左側(cè)），點(diǎn)B在AC的延長線上，連結(jié)OA，OB，DA和DB．（1）如圖1，當(dāng)AC∥x軸時(shí)，①已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，1），求拋物線的解析式；②若四邊形AOBD是平行四邊形，求證：b2＝4c．（2）如圖2，若b＝﹣2，BCAC【分析】（1）①先確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；②先確定出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出DF=b（2）先判斷出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)D（﹣1，c+1），設(shè)點(diǎn)A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），判斷出△AFD≌△BCO（AAS），得出AF＝BC，DF＝OC，再判斷出△ANF∽△AMC，得出ANAM=FNCM=AFAC=BCDN=94，F(xiàn)N=9【解析】（1）①∵AC∥x軸，點(diǎn)A（﹣2，1），∴C（0，1），將點(diǎn)A（﹣2，1），C（0，1）代入拋物線解析式中，得?4?2b+c=1c=1∴b=?2c=1∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+1；②如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，交AB于點(diǎn)F，∵AC∥x軸，∴EF＝OC＝c，∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，∴D（b2，c+∴DF＝DE﹣EF＝c+b24∵四邊形AOBD是平行四邊形，∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∵∠AFD＝∠BCO＝90°，∴△AFD≌△BCO（AAS），∴DF＝OC，∴b2即b2＝4c；（2）如圖2，∵b＝﹣2．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+c，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D（﹣1，c+1），假設(shè)存在這樣的點(diǎn)A使四邊形AOBD是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于F，∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，∵四邊形AOBD是平行四邊形，∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∴△AFD≌△BCO（AAS），∴AF＝BC，DF＝OC，過點(diǎn)A作AM⊥y軸于M，交DE于N，∴DE∥CO，∴△ANF∽△AMC，∴ANAM∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，∴?m?1?m∴m=?5∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為﹣（?52）2﹣2×（?5∵AM∥x軸，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，c?54），N（﹣1，c∴CM＝c﹣（c?54）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，c+1），∴DN＝（c+1）﹣（c?54）∵DF＝OC＝c，∴FN＝DN﹣DF=9∵FNCM∴94∴c=3∴c?5∴點(diǎn)A縱坐標(biāo)為14∴A（?52，∴存在這樣的點(diǎn)A，使四邊形AOBD是平行四邊形．17.已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）求拋物線的解析式．（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使得△EAC為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)P是x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論；（2）先求出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；（3）利用平移先確定出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【解析】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)C（0，﹣3）代入拋物線y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC=10設(shè)點(diǎn)E（0，m），則AE=m∵△ACE是等腰三角形，∴①當(dāng)AC＝AE時(shí)，10=∴m＝3或m＝﹣3（點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，舍去），∴E（0，3），②當(dāng)AC＝CE時(shí)，10=∴m＝﹣3±10，∴E（0，﹣3+10）或（0，﹣3?③當(dāng)AE＝CE時(shí)，m2∴m=?4∴E（0，?4即滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+10）、（0，﹣3?10）、（0，（3）如圖，存在，∵D（1，﹣4），∴將線段BD向上平移4個(gè)單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，這樣便存在點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)就是點(diǎn)P，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，設(shè)Q（t，4），將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q（1+22，4）或（1﹣22，4），分別過點(diǎn)D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22，即P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，0）、Q（1﹣22，4）．18.如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點(diǎn)M與對稱軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，直線AN交拋物線于點(diǎn)D，直線BE交AD于點(diǎn)E，若直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．（3）P為拋物線上的一動點(diǎn)，Q為對稱軸上動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3），把點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式，可求解；（2）先求出點(diǎn)M，點(diǎn)N坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求AD解析式，聯(lián)立方程組可求點(diǎn)D坐標(biāo)，可求S△ABD=1（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解．【解析】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），∴設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵拋物線y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，6），∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴拋物線解析式為：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣2），∵拋物線的頂點(diǎn)M與對稱軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，∴點(diǎn)N（2，2），設(shè)直線AN解析式為：y＝kx+b，由題意可得：0=k+b2=2k+b解得：k=2b=?2∴直線AN解析式為：y＝2x﹣2，聯(lián)立方程組得：y=2x?2y=2x解得：x1=1y∴點(diǎn)D（4，6），∴S△ABD=1設(shè)點(diǎn)E（m，2m﹣2），∵直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，∴S△ABE=13S△ABD＝2或S△ABE=2∴12×2×（2m﹣2）＝2或∴m＝2或3，∴點(diǎn)E（2，2）或（3，4）；（3）若AD為平行四邊形的邊，∵以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴AD＝PQ，∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，16）或（﹣1，16）；若AD為平行四邊形的對角線，∵以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴AD與PQ互相平分，∴xA∴xP＝3，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，0），綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）時(shí)，使A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+3分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C（1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為線段AB上一點(diǎn)，∠APO＝∠ACB，求AP的長；（3）在（2）的條件下，設(shè)M是y軸上一點(diǎn)，試問：拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（3）分兩種情形：①PA為平行四邊形的邊時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)可以為±2，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可解決問題．②當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時(shí)，點(diǎn)M″的橫坐標(biāo)為﹣4，求出點(diǎn)M″的坐標(biāo)即可解決問題．【解析】（1）由題意拋物線經(jīng)過B（0，3），C（1，0），∴c=3?1+b+c=0解得b=?2c=3∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3（2）對于拋物線y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），∵B（0，3），C（1，0），∴OA＝OB＝3OC＝1，AB＝32，∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴APAC∴AP4∴AP＝22．（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝22，①當(dāng)AP為平行四邊形的邊時(shí)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2或﹣2，∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），②當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時(shí)，點(diǎn)N″的橫坐標(biāo)為﹣4，∴N″（﹣4，﹣5），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．20.如圖，二次函數(shù)y═ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，其對稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F，動直線l在拋物線的對稱軸的右側(cè)（不含對稱軸）沿x軸正方向移動到B點(diǎn)．（1）求出二次函數(shù)y＝ax2+bx+4和BC所在直線的表達(dá)式；（2）在動直線l移動的過程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接CP，CD，在動直線l移動的過程中，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△DCE相似？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得出方程組，求出二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x+4，則C（0，4），由待定系數(shù)法求出BC所在直線的表達(dá)式即可（2）證DE∥PF，只要DE＝PF，四邊形DEFP即為平行四邊形，由二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由直線BC的解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，則DE=154，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P的坐標(biāo)為：（t，﹣t（3）由平行線的性質(zhì)得出∠CED＝∠CFP，當(dāng)∠PCF＝∠CDE時(shí)，△PCF∽△CDE，則PFCE【解析】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：0=a?b+40=16a+4b+4解得：a=?1b=3∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），設(shè)BC所在直線的表達(dá)式為：y＝mx+n，將C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：4=n0=4m+n解得：m=?1n=4∴BC所在直線的表達(dá)式為：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x軸，PF⊥x軸，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四邊形DEFP即為平行四邊形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x?32）2∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（32，25將x=32代入y＝﹣x+4，即y=?3∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（32，5∴DE=25設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P的坐標(biāo)為：（t，﹣t2+3t+4），F(xiàn)的坐標(biāo)為：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t=15解得：t1=32（不合題意舍去），t2當(dāng)t=52時(shí)，﹣t2+3t+4＝﹣（52）2+3×∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（52，21（3）存在，理由如下：如圖2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF與∠DCE有共同的頂點(diǎn)C，且∠PCF在∠DCE的內(nèi)部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE時(shí)，△PCF∽△CDE，∴PFCE∵C（0，4）、E（32，5∴CE=(由（2）得：DE=154，PF＝﹣t∴CF=t∴?t∵t≠0，∴154解得：t=16當(dāng)t=165時(shí)，﹣t2+3t+4＝﹣（165）2+3×∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（165，8421.如圖，已知拋物線y＝ax2過點(diǎn)A（﹣3，94（1）求拋物線的解析式；（2）已知直線l過點(diǎn)A，M（32，0）且與拋物線交于另一點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，求證：MC2（3）若點(diǎn)P，D分別是拋物線與直線l上的動點(diǎn)，以O(shè)C為一邊且頂點(diǎn)為O，C，P，D的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）構(gòu)建方程組確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（3）如圖2中，設(shè)P（t，14t2【解析】（1）把點(diǎn)A（﹣3，94）代入y＝ax2得到94∴a=1∴拋物線的解析式為y=14x（2）設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b，則有94解得k=?1∴直線l的解析式為y=?12x令x＝0，得到y(tǒng)=3∴C（0，34由y=14x2y=?∴B（1，14如圖1中，過點(diǎn)A作AA1⊥x軸于A1，過B作BB1⊥x軸于B1，則BB1∥OC∥AA1，∴BMMC=M∴BMMC即MC2＝MA?MB．（3）如圖2中，設(shè)P（t，14t2∵OC為一邊且頂點(diǎn)為O，C，P，D的四邊形是平行四邊形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，?12t∴|14t2﹣（?12t+整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1?7或﹣1+∴P（﹣1?7，2+72）或（﹣1+22.如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，作直線．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為；（3），【解析】【分析】（1）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線中，聯(lián)立即可求得a和c的值，從而求出拋物線解析式；（2）過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，則，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)，借助，即可求得t的值，從而求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）先求出直線BC的解析式，設(shè)，分DF為邊和DF為對角線兩種情況討論，表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線中求得n的值，即可得出N點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：（1）：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，解得∴拋物線的解析式為（2）過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，則過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則∵點(diǎn)是與軸的交點(diǎn)，解得的坐標(biāo)為，解得（舍去），∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：則點(diǎn)坐標(biāo)為（3）設(shè)直線BC的解析式為：，將C（0,3），B（4，0）分別代入得，，解得，∴直線BC的解析式為：，設(shè)，①當(dāng)FD為平行四邊形的邊時(shí)，如圖，當(dāng)N點(diǎn)在M點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則即整理得，即,故，解得：，此時(shí)；同理當(dāng)N點(diǎn)在M點(diǎn)右側(cè)時(shí)可得，故，解得，此時(shí)；①當(dāng)FD為平行四邊形的對角線時(shí)，則,即故，整理得，該方程無解．綜上所述：，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，分別考查了求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，和二次函數(shù)與平行四邊形問題．（1）中直接代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可，難度不大；（2）中能正確作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵；（3）中能分類討論是解題關(guān)鍵，需注意平行四邊形對邊平行且相等，可借助這一點(diǎn)結(jié)合圖象表示M點(diǎn)坐標(biāo)．23.如圖，拋物線過點(diǎn)A（0，1）和C，頂點(diǎn)為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點(diǎn)為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點(diǎn)E，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)F